全国2019版高考数学一轮复习第章平面解析几何第讲抛物线增分练8

第7讲 抛物线

板块四 模拟演练2提能增分

[A级 基础达标]

1．若抛物线y＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( ) A．y＝4x C．y＝8x 答案 C

解析 ∵抛物线y＝2px，∴准线为x＝－.

2∵点P(2，y0)到其准线的距离为4.∴?－－2?＝4.

?2?∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y＝8x.

52

2．已知抛物线C：y＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝( )

4A．1 B．2 C．4 D．8 答案 A

151

解析 由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝4445

|AF|＝x0，解得x0＝1.故选A.

4

3．[20162全国卷Ⅰ]以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，

2

2

22

2

B．y＝6x D．y＝10x

2

2

p?p?

E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为( )

A．2 B．4 C．6 D．8 答案 B

解析 由题意，不妨设抛物线方程为y＝2px(p>0)，由|AB|＝42，|DE|＝25，可取16p?4??p?A?，22?，D?－， 5?，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得2＋8＝＋5，得p＝4.故p4?p??2?选B.

4．[20182运城模拟]已知抛物线x＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为( )

32

A．x＝y

2C．x＝－3y 答案 D

??x＝ay，

解析 设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．由?

??y＝2x－2

2

2

2

2

2

B．x＝6y D．x＝3y

2

2

消去y，得x－2ax＋2a＝0，所以

2

x1＋x2

2

2a2

＝＝3，即a＝3，因此所求的抛物线方程是x＝3y. 2

5．已知直线ax＋y＋1＝0经过抛物线y＝4x的焦点，则直线与抛物线相交弦的弦长为( )

2

A．6 B．7 C．8 D．9 答案 C

解析 抛物线y＝4x的焦点F(1,0)，点F在直线ax＋y＋1＝0上，∴a＋1＝0，即a＝

??x－y－1＝0，

－1，∴直线方程为x－y－1＝0.联立?2

?y＝4x，?

2

得x－6x＋1＝0.设直线与抛物线交

2

于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.

6．[20182郑州模拟]已知F是抛物线y＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，若|AF|＋|BF|＝5，则线段AB的中点到y轴的距离为________．

9

答案

4

11

解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线定义可得|AF|＋|BF|＝5，即x1＋＋x2＋＝449x1＋x29

5，解得x1＋x2＝，所以线段AB的中点到y轴的距离＝. 224

7．[20172河北六校模拟]抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点

22

O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．

答案 y＝16x

解析 设满足题意的圆的圆心为M. 根据题意可知圆心M在抛物线上． 又∵圆的面积为36π，

∴圆的半径为6，则|MF|＝xM＋＝6，即xM＝6－.

22又由题意可知xM＝，∴＝6－，解得p＝8.

442∴抛物线方程为y＝16x.

8．[20172天津高考]设抛物线y＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．

答案 (x＋1)＋(y－3)＝1

解析 由y＝4x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1.

由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝3，所以点C的纵坐标为3.

2

2

2

2

2

2

ppppp

所以圆的方程为(x＋1)＋(y－3)＝1.

9.如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y＝4x的焦点F.设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点为点B，与抛物线C在第四象限的交点为点D.

2

2

2

(1)若点O到直线l的距离为

3

，求直线l的方程； 2

(2)试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明． 解 (1)由题易知，抛物线C的焦点为F(1,0)， 当直线l的斜率不存在时，即x＝1，不符合题意．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0. 所以

|－k|1＋k＝2

3

，解得k＝±3. 2

即直线l的方程为y＝±3(x－1)． (2)直线AB与抛物线C相切，证明如下： 设A(x0，y0)，则y0＝4x0.

因为|BF|＝|AF|＝x0＋1，所以B(－x0,0)．

2

所以直线AB的方程为：y＝2x0y整理得，x＝－x0，

y0

(x＋x0)， 2x0

y0

把上式代入y＝4x得y0y－8x0y＋4x0y0＝0，

Δ＝64x0－16x0y0＝64x0－64x0＝0，所以直线AB与抛物线C相切．

10．[20182湖南模拟]已知过A(0,2)的动圆恒与x轴相切，设切点为B，AC是该圆的直径．

(1)求C点轨迹E的方程；

(2)当AC不在y轴上时，设直线AC与曲线E交于另一点P，该曲线在P处的切线与直线

2

2

2

2

22

BC交于Q点．求证：△PQC恒为直角三角形．

?xy＋2?，又因为圆与x轴切于B点，所

解 (1)设C(x，y)，A(0,2)，则圆心坐标为?，?2??2?x??y＋2?. 以B点坐标为?，0?，圆的半径为???2??2?

根据AC是圆的直径得，|AC|＝|y＋2|， 即x＋?y－2?＝|y＋2|，两边平方整理得

2

2

x2＝8y，所以C点的轨迹E的方程为x2＝8y.

(2)证明：设AC所在直线的方程为y＝kx＋2， 与曲线E联立得x－8kx－16＝0， 设C(x1，y1)，P(x2，y2)，则x12x2＝－16. 曲线E：x＝8y在点P(x2，y2)处切线的斜率为

2

2

xx2?x1?k1＝| x＝x2＝，且B?，0?，

4

4

?2?

x21

直线BC的斜率为k2＝

8x1

＝＝， x1x14x1－

22

y1

x2x1x1x2－16

所以k12k2 ＝3＝＝＝－1，

441616

所以PQ⊥BC，即△PQC为直角三角形．

[B级 知能提升]

1．已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一

→

→

个交点，若FP＝4FQ，则|QF|＝( )

75

A. B. C．3 D．2 22答案 C

→

→

解析 过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为FP＝4FQ，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点

2

F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.

2．[20182安徽模拟]过抛物线y＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐

2

标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )

A.

232 B.2 C. D．22 22

答案 C

解析 焦点F(1,0)，设A，B分别在第一、四象限，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得A的横坐标为2，纵坐标为22，AB的方程为y＝22(x－1)，与抛物线方程联立可得2x1132

－5x＋2＝0，所以B的横坐标为，纵坐标为－2，S△AOB＝313(22＋2)＝. 222

2

x2y2

3．[20172山东高考]在平面直角坐标系xOy中，双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右支

ab与焦点为F的抛物线x＝2py(p＞0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．

答案 y＝±

2x 2

2

解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

xy??2－2＝1，由?ab??x2＝2py，

2

22

得ay－2pby＋ab＝0，

22222

2pb∴y1＋y2＝2. a又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，

∴y1＋＋y2＋＝43，即y1＋y2＝p，

222

pppb21b2∴2＝p，即2＝，∴＝，

aa2a2

2pb∴双曲线的渐近线方程为y＝±

2

2

2

x. 2

4．设A，B为抛物线y＝x上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，分别以A，B为切点作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P.

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