陕西省师大附中、西工大附中2010-2011学年高三数学第一次模拟考

陕西省师大附中、西工大附中2010-2011学年高三数学第一

次模拟考试 理

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面内，复数

2i1?i对应的点的坐标为( )

（A）(?1,1) （B）(1,?1) （C）(?2,2) （D）(1,1) 2．有四个关于三角函数的命题：

p1：sin15?cos15?sin16?cos16；

p2：若一个三角形两内角?、?满足sin??cos??0，则此三角形为钝角三角形；

0000p3：对任意的x??0,??,都有p4：要得到函数y?sin(x2?1?cos2x2?sinx ；

x2?4)的图像，只需将函数y?sin的图像向右平移

?4

个单位。

其中为假命题的是（ ） ．．．

（A）p1，p4 （B）p2，p4 （C）p1，p3 （D）p3，p4 3．M?{x|x?1x?12?0}，P?{x|(x?b)?a}。若“a?1”是“M?P?Ф”

的充分条件，则b的取值范围是（ ）

?2?b?2 （A）?2≤b?0 （B）0?b≤2 （C）?3?b??1 （D）

??????04．平面向量a与b的夹角为60， a?(2,0)，|b|?1，则|a?2b|?（ ）

（A）3 （B）23 （C）4 （D）12 5．一个容量为20的样本数据，分组情况及各组的频数如下：（10，20]，2；（20，30]，3；（30，40]，4；（40，50]，5；（50，60]，4；（60，70]，2，则样本数据在（??，30]上的频率为（ ） （A）

120 （B）

710 （C）

14 （D）

12

6．按下面的流程（图1），可打印出一个数列，设这个数列为{xn}，则x4?（ ）

（A）

34 （B）

58 （C）

1116 （D）

2132

7．如图２所示，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，?DAB??ABC

?90，若PA?平面ABCD，且左视图投影平面与平面PAB平行，则下列选项

0中可能是四棱锥P?ABCD左视图的是( )

8．已知直线mx?y?1?0交抛物线y?x于A、B两点，则△AOB（ ） （A）为直角三角形 （B）为锐角三角形

2

（C）为钝角三角形 （D）前三种形状都有可能

9．设圆C:x2?y2?3，直线l:x?3y?6?0，点P(x0,y0)?l，存在点Q?C，

使?OPQ?600（O为坐标原点），则x0的取值范围是（ ） （A）[?12,1]

（B）[0,1]

xa22 （C）[0,]

56 （D）[,]

221310．设F1、F2分别是椭圆

?yb22?1(a?b?0)的左、右焦点，P是其右准线

上纵坐标为3c（c为半焦距）的点，且|F1F2|?|F2P|，则椭圆的离心率为（ ） （A）

3?12 （B）

22 （C）

5?12 （D）

12

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。将答案填写在题中的横线上。

11．(1?x)?(1?x)?(1?x)???(1?x)展开式中x项的系数为 。 ?2x?y?2?0?12．设x,y满足约束条件?8x?y?4?0，若目标函数z?abx?y?a?0,b?0?的

?x?0 , y?0?2362最大值为8，则a?b的最小值为________。

13．先后抛掷两枚均匀的骰子，骰子朝上的点数分别为m，n，则满足log的概率是 。

C14．直三棱柱AB?12mn?1AB的C各顶点都在同一球面上，若1

AB?AC?AA1?2,?BAC?120?，则此球的表面积等于 。

15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的

第一题评阅记分）

A．（不等式选做题）不等式|x?1x?1|?1的解集是

。

B. (几何证明选做题) 如图3,以AB?4为直径的圆与

△ABC的两边分别交于E,F两点，?ACB?60?， 则EF? 。

C. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标中，已知点P

为方程??cos??sin???1所表示的曲线上一动点，

Q（2，

?3），则PQ的最小值为________。

三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本题满分12分）

已知函数f(x)?2cos(x?2?6)?2sin(x??4)sin(x??4)?1。

（1）求函数f(x)的最小正周期和图像的对称轴方程； （2）求函数f(x)在区间[?

17．（本题满分12分）

袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球。 （1）求得分X的概率分布列；

?12,?2]上的值域。

（2）求得分大于6分的概率。

18．（本题满分12分）

如右图，四棱锥P?ABCD的底面是正方形，

PD?底面ABCD，点E在棱PB上。

（1）求证：平面AEC?平面PDB；

（2）当PD?2AB且E为PB的中点时，求AE与

平面PDB所成的角的大小。

19．（本题满分12分）

数列{an}的首项为a1?56，以a1，a2，a3，?，an?1，an为系数的二次

2方程an?1x?anx?1?0（n≥2，且n?N?）都有根?、?，且?、?满足

3?????3??1。

（1）求证：{an?12}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）记Sn为{an}的前n项和，对一切n?N?，不等式2Sn?n?2?≥0恒成立，

求?的取值范围。

20．（本题满分13分）

已知函数f(x)?ln(3?x)?ax?1。

（1）若函数f(x)在?0,2?上是单调递增函数，求实数a的取值范围；

（2）求函数f(x)在?0,2?上的最大值。

21．（本题满分14分）

已知双曲线C：

xa22?yb22?1(a?0,b?0)的右准线与一条渐近线交于点M，

F是右焦点，若|MF|?1，且双曲线C的离心率e?62。

（1）求双曲线C的方程；

（2）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P在A、

Q之间，若AP??AQ且??13，求直线l斜率k的取值范围。

2011届高三数学试题参考答案

一．选择题（每题5分，共50分） AADBC CAACB

二．填空题（每题5分，共25分）

11．35

12．4 13．

112 14．20?

15．A [0,1)∪(1,??)； B．2 三．解答题（共75分） 16．（本题满分12分） 解：（1）∵ f(x)?2cos(x?(x? ?cos22 C．

62

?6)?2sin(x??4)sin(x??4)?1

?3)?2sinx(??4)cosx(??4)

?1212cos2x?3232sin2x?sin2(x??2)

?cos2x?sin2x?cos2x

?sin2(x?∴ 周期 T?2?2?6) ?6

?k??? ?2 （5分）

k?2???。由2x?，得 x??3 (k?Z)

∴ 函数图像的对称轴方程为x?（2）∵x?[??12,k?2?[??3, (k?Z)

]，

（7分）

?2]，∴2x??6?5?36,又∵f(x) ?sin(2x?递减，∴当x??3?6)在区间[??12?3]上单调递增，在区间[??3,2]上单调

时，f(x)取最大值1。

32又 ∵f(??12)???f(?2)?1，∴当x???12时，f(x)取最小值?32。

∴ 函数f(x)在区间[??12,?2]上的值域为[?32,1]。 （12分）

17．（本题满分12分）

解：（1）从袋中随机摸4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5，6，7，8。 (2分)

P(X?5)?C4C3C73413?4351235， P(X?6)?C4C3C7422?1835，

P(X?7)?C4C3C471?， P(X?8)?C4C3C4740?135，

故所求分布列为：

X P 5 4356 18357 12358 135

（8分） （2）根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6的概率为：

P(X?6)?P(X?7)?P(X?8)?1235?135?1335。 （12分）

18．（本题满分12分）

证：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD， ∵PD?底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，

∴平面AEC?平面PDB. （6分） 解：（2）设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为

AE与平面PDB所的角，

∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE//PD，OE?12PD，

又∵PD?底面ABCD， ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，

1222OE?PD?AB?AO，

∴?AEO?450，即AE与平面PDB所成的角的大小为45?。 （12分） （本题满分12分） 19．

2证明：（1）由?、?是方程an?1x?anx?1?0的两根，得????anan?1，且

???1an?1（n≥2，且n?N?）。又由3?????3??1得3(???)????1，

∴

3anan?1?1an?1?1，整理得3an?1?an?1（n≥2）。∴ an?12?13(an?1?12)

（n≥2，且n?N?）。 ∴ {an?12}是等比数列，且公比q?5613。

12?

1 （5分）

解：（2）∵ a1?

，∴a1?12?13，则an?1n?111n?()，即an??()。 3323

n2

?(13

?3

12

???

13n （7分）

)

（3）∵ Sn?a1?a2???an?11n[1?()]nn1133????(1?n)，

122231?3n11n∴ Sn??(1?n)。又显然数列{Sn?}是递增数列，

2223∴ 要使对一切n?N?，不等式2Sn?n?2?≥0恒成立， 只需?≤(Sn?n2)min?S1?112?a1?12?56?12?13，

（12分）

∴ ?的取值范围是(??,]。

3

20．（本题满分13分） 解：f?(x)=

1x?3+a

13?x（1）只要在x∈[0，2]上f?(x)≥0恒成立，?a≥

而

13?x

∈[1，1]，∴a≥1 （5分） 31x?3(2)∵当x∈[0，2]时，

∈[－1，－1] 3∴①当a≤1时，f?(x)≤0，这时f(x)在[0，2]上单调递减，f(x)≤f(0)=1+ln3 3

②当10

a?1? （7分）

当x∈?3－1，2]时，有f?(x)<0， a∴x=3－1是f(x)在[0，2]上的唯一的极大值， a则f(x)≤f(3－1)=3a－lna a

（10分）

③当a≥1时，f?(x)≥0，这时f(x)在[0，2]上单调递增，

f(x)≤f(2)=2a+1 （12分）

综上所述：f?x?max21．（本题满分14分）

(a?1)?1?ln33? ??3a?lna (1?a?1) （13分）3?2a?1(a?1)?解：（1）由对称性，不妨设M是右准线x=为M（

2a2c与一渐近线y?ca?62bax的交点，其坐标

a2c2,abc2F,1?），?M322∴

2bc42?2abc222又e??1，∴?abe?1?22222，

c?a?b?a，解得a?2,b?1，所以双曲线C的方程是

x2?y?1；

（6分）

（2）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，设点P(x1,y1),Q(x2,y2)，

?y?kx?1由?2得：(1?2k2)x2?4kx?4?0， 2?x?2y?2???16k2?16(1?2k2)?0??4k?x1?x2??02P、Q，∴?2k?1?4?x1x2??02?2k?1?21?2k?0??l与双曲线C的右支交于不同的两点

2????????又?AP??AQ且P在A、Q之间，??2∴?k?1且k?0 ① （9分）

113???1， ，∴x1??x2且13?4k?(1??)x?22222?4k2(1??)?2k?1(1??)??2?∴?∴，?f(?)? 224?2k?12k?1???x2?22??2k?11116=???2在? ?3,1?上是减函数（?f?(?)?0）,∴4?f(?)?3,∴

?22216144?2??k??k?1 ②,由于，∴ （12分） 32522k?1由①②可得：?1?k??255， （13分）

?25??1,?即直线l斜率取值范围为? ? （14分）?5??

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