2011年广东省教研室推荐高考必做38套(27)（数学理）

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2011年广东省教研室推荐高考必做38套（27）

数学理

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式v?1Sh，其中s是锥体的底面积，h是锥体的高． 3一、选择题：本大题共8 小题，每小题5分，满分40分.每小题给出得四个选项中，只有一项符合题目要求得.

1. 设集合A??x|x?3?,B??x|A. ?

2. i是虚数单位，若

??x?1??0?，则A?B= x?4?C.??2,1?

D. ?4.???

B. ?3,4?

1?7i?a?bi(a,b?R)，则乘积ab的值是 2?i12， 则cosA? 555B. C.? 1313 （A）-15 （B）-3 （C）3 （D）15 3. 已知?ABC中，cotA??

A.

12 13D. ?12 134. 3.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 =6，a1=4， 则公差d等于 A．1 B

5 C.- 2 D 3 3 第 - 1 - 页 版权所有@中国高考志愿填报门户

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E为AA1中点，则异面直线BE与CD15. 已知正四棱柱ABCD?A，1BC11D1中，AA1?2AB所成的角的余弦值为

A.

10 10B.

1 5C.

310 10D.

3 56. 已知函数f(x)在R上满足f(x)?2f(2?x)?x2?8x?8，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是

（A）y?2x?1 （B）y?x （C）y?3x?2 （D）y??2x?3

7．已知直线y?k?x?2??k?0?与抛物线C:y2?8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|?2|FB|，则k?

A.

12222 B. C. D. 33338. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，?，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，?这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是

A.289 B.1024 C.1225 D.1378

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。 （一）必做题（11－13题）

9. 等差数列?an?的前n项和为Sn，且6S5?5S3?5,则a4? 第 - 2 - 页 版权所有@中国高考志愿填报门户

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2810.(x?)的展开式中x4的系数是

2x11.已知a?1,b?6,a?(b?a)?2 ，则向量a与向量b的夹角是 12. 阅读图2的程序框图(框图中的赋值符号“=”也可以写成“?”或“:=”)， 若输出的S的值等于16,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是

（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）

2??x?3t?2,13.参数方程?(0?t?5)表示的曲线是 2??y?t?114.不等式x?1?x?2?5的解集为

15. （几何证明选讲选做题）如图4，点A,B,C是圆O上的点， 且

AB?4,?ACB?450， 则圆O的面积等于 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题满分10分）

C的对边长分别为a、b、B、cos(A?C)?cosB?设?ABC的内角A、c，

求B。

32b?ac，，217(本小题满分13分，第Ⅰ小题4分，第Ⅱ小题6分，第Ⅲ小题3分)

如图，PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°. （Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC; （Ⅱ）求二面角M?AC?B的大小; （Ⅲ）求三棱锥P?MAC的体积.

18．（本小题满分13分） 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的中任选一个项目参与建设。 （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； 111，，.现在3名工人独立地从236 第 - 3 - 页 版权所有@中国高考志愿填报门户

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（II）记?为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求?的分布列及数学期望。 19. （本小题满分13分）

已知动圆C过点A??2,0?，且与圆M:?x?2??y2?64相内切.

2（1）求动圆C的圆心的轨迹方程；

（2）设直线l:y?kx?m（其中k,m?Z)与（1）中所求轨迹交于不同两点B，D，与双

?????????x2y2??1交于不同两点E,F，问是否存在直线l，使得向量DF?BE?0，曲线

412若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

20.（本小题满分13分）

已知函数f(x)?12x?ax?(a?1)lnx,a?1 2（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）证明：若a?5，则对任意x1，x2?(0,??)，x1

21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。

已知?an?是公差为d的等差数列，?bn?是公比为q的等比数列。 （1） 若an?3n?1，是否存在m、k?N，有am?am?1?ak?说明理由； （2） 找出所有数列?an?和?bn?，使对一切n?N,

**?x2，有

f(x1)?f(x2)??1

x1?x2an?1?bn,并说明理由； an（3） 若a1?5,d?4,b1?q?3,试确定所有的p，使数列?an?中存在某个连续p项的和是

数列?bn?中的一项，请证明。

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2011年广东省教研室推荐高考必做38套（27）

数学理参考答案

一、选择题：本大题共8 小题，每小题5分，满分40分 1. B 2. B 3. D 4. C 5. C 6.A 7．D 8．C

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。 9.

13

10．1120 11．

? 312. i?5?

（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题） 13.线段

14．???,?3???2,??? 15. 8?

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16. 解：由 cos（A?C）+cosB=

3及B=π?（A+C）得 23 cos（A?C）?cos（A+C）=， ????（2分）

23 cosAcosC+sinAsinC?（cosAcosC?sinAsinC）=,

23 sinAsinC=. ????（4分）

4

又由b=ac及正弦定理得

2 sinB?siAn2故 sinB?2sCi n,3， ????（6分） 4

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sinB?于是 B=

33 或 sin（舍去）， ????（7分） B??22π2π 或 B=. ????（8分） 33又由 b2?ac知b?a或b?c

所以 B=评析：本小题考生得分易，但得满分难。 17. 解法一：

（Ⅰ）∵PC?AB,PC?BC,AB?BC?B

∴PC?平面ABC，????（3分） 又∵PC?平面PAC

∴平面PAC?平面ABC????（4分） （Ⅱ）取BC的中点N，则CN?1，连结AN,MN，

π????（10分） 3∵PM////CN，∴MNPC，从而MN?平面ABC ????（6分） ??作NH?AC，交AC的延长线于H，连结MH，则由三垂线定理知，AC?NH，

从而?MHN为二面角M?AC?B的平面角 直线AM与直线PC所成的角为60

0∴?AMN?60

0在?ACN中，由余弦定理得AN?AC2?CN2?2AC?CN?cos1200?3 3????（8分） ?13

在?AMN中，MN?AN?cot?AMN?3?在?CNH中，NH?CN?sin?NCH?1?33????（9分） ?22

在?MNH中，MN?tan?MHN?MN123 ??NH332 第 - 6 - 页 版权所有@中国高考志愿填报门户

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故二面角M?AC?B的平面角大小为arctan（Ⅲ）由（Ⅱ）知，PCMN为正方形 ∴VP?MAC?VA?PCM?VA?MNC?VM?ACN?23????（10分） 3113?AC?CN?sin1200?MN?????（133212分）

解法二：（Ⅰ）同解法一 ????（4分）

（Ⅱ）在平面ABC内，过C作CD?CB，建立空间直角坐标系C?xyz（如图）

31?，设P?0,0,z??z?0?， 由题意有A?00??2,?2,0??????????31?????M?0,1,z0?,AM??,?,z,CP??0,0,z0? 0??2?2??由直线AM与直线PC所成的解为60，得

0???????????????????AM?CP?AMCP.cos60o,即z02?2z02?3z0,解得z0?1

??????????31∴CM?(0,0,1),CA?(,?,0),设平面MAC的一个法向量为n?(x1,y1,z1)

22?y1?z1?0??则?3，取x1?1，得n?(1,3,?3) 1y1?z1?0??22??平面ABC的法向量取为m?(0,0,1)

??????m?n3设m与n所成的角为?，则cos??????? 7mn显然，二面角M?AC?B的平面角为锐角， 故二面角M?AC?B的平面角大小为arccos21????（10分） 7??（Ⅲ）取平面PCM的法向量取为n1?(1,0,0)，则点A到平面PCM的距离

??????CA?n13 h????2n1?????????PC?1,PM?1,

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∴VP?ABCD?VA?PCM??????11???133 ??PCPM.h??1?1??326212????（13分）

本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。

18. 解: 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件

Ai,Bi,Ci,i=1，2，3.由题意知A1,A2,A3相互独立，B1,B2,B3相互独立，C1,C2,C3相互

独立，Ai,Bj,Ck（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且

111P(Ai)?,P(Bi)?,P(Ci)?. 236（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率 1111???.????（3分） 2366

（Ⅱ）解法1：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为?，

P=3!P(A1)P(B2)P(C3)?6?1B2C3)?6P(A1），且?=3-?。 31313所以P（?=0）=P（?=3）=C3()=， 32712222 P（?=1）=P（?=2）=C3 () ()=， 3392411()()2=， P（?=2）=P（?=1）=C33932380P（?=3）=P（?=0）= C3 ()= ????（9分） 327

由已知， ??B（3，故?的分布列是 ? P 0 1 2 3 1 272 94 98 27????（11分）

?的数学期望E?=0?1248+1?+2?+3?=2. ????（13分） 279927 第 - 8 - 页 版权所有@中国高考志愿填报门户

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解法2: 记第i名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件Di，i=1,2,3 . 由

已知，D1,D2,D3相互独立，且P（Di）=（Ai?Ci）= P（Ai）+P（Ci）=

kk3?k所以??B(3,),即P(??k)?C3()()，k?0,1,2,3.

112+=， 263232313故?的分布列是 ? P

0 1 2 3 1 2722 94 98 2719. 解：（1）圆M:?x?2??y2?64， 圆心M的坐标为?2,0?，半径R?8.

∵AM?4?R，

∴点A??2,0?在圆M内. 设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得r?CA，且CM?R?r，

即CM?CA?8?AM. ????（2分）

∴圆心C的轨迹是中心在原点，以A,M两点为焦点，长轴长为8的椭圆,设其方程为

x2y2??1?a?b?0?, 则a?4,c?2. a2b2222∴b?a?c?12.

x2y2??1. ????（4分） ∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为

1612

?y?kx?m,?222 (2)由?x2 消去y化简整理得：3?4kx?8kmx?4m?48?0. y2??1.??1612??????（6分）

设B(x1,y1)，D(x2,y2)，则x1?x2??

28km. 23?4k△1??8km??43?4k24m2?48?0. ① ????（7分）

?????y?kx?m,?222由?x2 消去y化简整理得：3?kx?2kmx?m?12?0. y2??1.??412??????（9分）

设E?x3,y3?,F?x4,y4?，则x3?x4?

22km, 23?k?????????∵BE?DF?0，

△2???2km??43?k2m2?12?0. ② ????（10分）

???? 第 - 9 - 页 版权所有@中国高考志愿填报门户

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∴(x4?x2)?(x3?x1)?0，即x1?x2?x3?x4，

8km2km?. 223?4k3?k41?∴2km?0或?. 223?4k3?k解得k?0或m?0. 当k?0时,由①、②得 ?23?m?23，

∴?∵m?Z,

∴m的值为?3,?2 ?1，0，1,2,3; 当m?0，由①、②得 ?3?k?3， ∵k?Z,

∴k??1,0,1.

∴满足条件的直线共有9条 ????（13分）

20. 解：(1)f(x)的定义域为(0,??)。

a?1x2?ax?a?1(x?1)(x?1?a)f(x)?x?a??? ……2分

xxx'（ⅰ）若a?1?1即a?2,则

(x?1)2f(x)?

x'故f(x)在(0,??)单调增加。 ????（3分） （ⅱ）若a?1?1,而a?1,故1?a?2,则当x?(a?1,1)时，f'(x)?0;

当x?(0,a?1)及x?(1,??)时，f'(x)?0

故f(x)在(a?1,1)单调减少，在(0,a?1),(1,??)单调增加。 ????（4分） （ⅲ）若a?1?1,即a?2,同理可得f(x)在(1,a?1)单调减少，在(0,1),(a?1,??)单调增加. ????（5分） （Ⅱ）考虑函数 g(x)?f(x)?x

?则g?(x)?x?(a?1)?12x?ax?(a?1)lnx?x ????（9分） 2a?1a?1?2xg?(a?1)?1?(a?1?1)2 ????（10分） xx 第 - 10 - 页 版权所有@中国高考志愿填报门户

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由于1

f(x1)?f(x2)当0?x1?x2时，??1，

x1?x2有

f(x1)?f(x2)f(x2)?f(x1)········13分 ???1 ·

x1?x2x2?x1

21. 解：（1）由am?am?1?ak,得6m?5?3k?1， ??2分

整理后，可得k?2m?4，?m、k?N*，?k?2m为整数， 3?不存在m、k?N*，使等式成立。 ??5分

（2）解法一：若

an?1a1?nd?bn,即?b1qn?1， （*） ana1?(n?1)d（ⅰ）若d?0,则1?b1qn?1?bn，

当?an?为非零常数列，?bn?为恒等于1的常数列，满足要求。 ??7分 （ⅱ）若d?0，（*）式等号左边取极限得lima1?nd?1,（*）式等号右边的极

n??a?(n?1)d1限只有当q?1时，才可能等于1，此时等号左边是常数，∴d?0，矛盾。

综上所述，只有当?an?为非零常数列，?bn?为恒等于1的常数列，满足要求。

??10分

解法二：设an?nd?c，若

an?1?bn，对n???都成立，且?bn?为等比数列， an则

an?2an?12/?q，对n???都成立，即anan?2?qan?1， an?1an?(dn?c)(dn?2d?c)?q(dn?d?c)2，对n???都成立， ?d2?qd2 ??7分

?（ⅰ）若d?0,则an?c?0，?bn?1,n??。

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（ⅱ）若d?0，则q?1,?bn?m（常数），即

dn?d?c?m，则d?0，矛盾

dn?c综上所述，有an?c?0，bn?1，使对一切n???，（3）an?4n?1,bn?3n,n?N*，

an?1?bn ??10分 an设am?1?am?2???am?p?bk?3,p、k?N,m???

k*4(m?1)?1?4(m?p)?1p?3k，

23k?4m?2p?3＝，?p、k?N*，?p?3s,s?N ??13分

p2S+2取k?3s?2,4m?32S?2?2??S?3?（4-1）?2??????S?3?0，??15分 2S+2由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）=4M1+1， S2?（4-1）?8M2?(?1)S2

?4m?4(M1?2M2)?((?1)S?1)2,?存在整数m满足要求。

故当且仅当p?3s,s?N，命题成立。 ??18分 说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）

k若p为偶数，则am?1?am?2???am?p为偶数，但3为奇数。

故此等式不成立，?p一定为奇数。 ??1分 当p?1时，则am?1?bk,即4m?5?3k， 而3k?(4?1)k

0k?1k?1k?ck?4k?c1?(?1)???ck?4?(?1)k?1?ck?(?1)k?4M?(?1)k,M??? k?4当k为偶数时，存在m，使4m?5?3成立， ??1分 当p?3时，则am?1?am?2?am?3?bk,即3am?2?bk， 也即3(4m?9)?3，?4m?9?3kk?1k,4(m?1)?5?3k?1，

k由已证可知，当k?1为偶数即k为奇数时，存在m，4m?9?3成立，??2分

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当p?5时，则am?1?am?2???am?5?bk,即5am?3?bk，

也即5(4m?13)?3k，而3k不是5的倍数，?当p?5时,所要求的m不存在， 故不是所有奇数都成立。 ??2分

户

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