高等数学(同济)下册期末考试题及答案

高数下册期末试卷

大学高等数学（下册）考试试卷（一）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

22

1、 z=loga(x y)(a 0)的定义域为D= 。

2、二重积分

|x| |y| 1

22ln(x y)dxdy的符号为。

3、由曲线y lnx及直线x y e 1，y 1所围图形的面积用二重积分表示为，其值为 。

4、设曲线L的参数方程表示为

x (t)

y (t)

( x ),则弧长元素ds 。

5、设曲面∑为x2 y2 9介于z 0及z 3间的部分的外侧，则

（x2 y2

1)ds

6、微分方程dydx yx tany

x

的通解为。 7、方程y(4)

4y 0的通解为。

8、级数

1

的和为 。n 1

n(n 1) 二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、二元函数z f(x,y)在(x0,y0)处可微的充分条件是（ ） （A）f(x,y)在(x0,y0)处连续；

（B）fx (x,y)，fy (x,y)在(x0,y0)的某邻域内存在；

（C） z f (x22

x (x0,y0) x fy0,y0) y当( x) ( y) 0时，是无穷小；

（D） lim

z fx (x0,y0) x fy (x0,y0) y

x 0

( x)2

y 0

( y)

2

0。

yf(xy 22、设uu 2u

y) xf(x),其中f具有二阶连续导数，则x x2 y y

2等于（ ）

（A）x y； （B）x； (C)y； (D)0 。 3、设 ：x2 y2 z2

1,z 0,则三重积分I

zdV等于（ ）

1

（A）4

2

23

d 0

d rsin cos dr；（B） 2d d 1

2

rsin dr；

。

高数下册期末试卷

（C）

2 0

0

d 2d r3sin cos dr；（D）

12 0

d d r3sin cos dr。

1

4、球面x2 y2 z2 4a2与柱面x2 y2 2ax所围成的立体体积V=（ ）

（A）4

2

d d

2acos 0

4a rdr； （B）4 2d

22

2acos 0

r4a2 r2dr；

（C）8

20

2acos 0

r4a rdr； （D） 2 d

2

22

2acos 0

r4a2 r2dr。

5、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则

Pdx Qdy (

L

)

（A）

(

D

P Q Q P )dxdy； （B） ( )dxdy； y x y xD P Q Q P )dxdy； （D） ( )dxdy。 x y x yD

（C）

(

D

6、下列说法中错误的是（ ） （A） （B） （C） （D）

方程xy 2y xy 0是三阶微分方程； 方程y

2

dydy

x ysinx是一阶微分方程； dxdx

2

3

2

2

2

方程(x 2xy)dx (y 3xy)dy 0是全微分方程； 方程

dy12y x 是伯努利方程。 dx2x

7、已知曲线y y(x)经过原点，且在原点处的切线与直线2x y 6 0平行，而y(x) 满足微分方程

y 2y 5y 0，则曲线的方程为y （ ）

x

（A） esin2x； （B）e(sin2x cos2x)； x

（C）e(cos2x sin2x)； （D）esin2x。

x

x

8、设limnun 0 , 则

n

u

n 1

n

（ ）

（A）收敛； （B）发散； （C）不一定； （D）绝对收敛。 三、求解下列问题（共计15分）

1、（7分）设f,g均为连续可微函数。u f(x,xy),v g(x xy)，

高数下册期末试卷

求

u u,。 x y

2、（8分）设u(x,t)

x tx t

f(z)dz，求

u u

,。 x t

四、求解下列问题（共计15分）。 1、计算I 2、计算I

dx

0

22x

e

y2

（7分） dy。

2222

，其中是由 y 2z,z 1及z 2所围成的空间闭区域（8分） x(x y)dV

五、（13分）计算I

L

xdy ydx

，其中L是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点O(0,0)的封22

x y

闭曲线的逆时针方向。

六、（9分）设对任意x,y,f(x)满足方程f(x y)

f(x) f(y)

，且f (0)存在，求f(x)。

1 f(x)f(y)

(x 2)2n 1

七、（8分）求级数 ( 1)的收敛区间。

2n 1n 1

n

高等数学（下册）考试试卷（二）

1、设2sin(x 2y 3z) x 2y 3z，则

z z

x y

2、lim

y 0

3 xy

。

x 0xy

3、设I

20

dx

2xx

f(x,y)dy，交换积分次序后，I 。

1

t3

4、设f(u)为可微函数，且f(0) 0,则lim

t 0

2

2

x2 y2 t2

f(x2 y2)d 。

5、设L为取正向的圆周x y 4，则曲线积分

L

y(yex 1)dx (2yex x)dy

2

2

2

6、设A (x yz)i (y xz)j (z xy)k，则divA 。 7、通解为y c1e c2e8、设f(x)

x

2x

的微分方程是

1,

1,

x 0

，则它的Fourier展开式中的an 。

0 x

高数下册期末试卷

二、选择题（每小题2分，共计16分）。

xy2

, 24

1、设函数f(x,y) x y

0,

x2 y2 0x2 y2 0

,则在点（0，0）处（ ）

（A）连续且偏导数存在； （B）连续但偏导数不存在； （C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在。 2、设u(x,y)在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足

2u 2u 2u

0 及 2 2 0，

x x y y

则（ ）

（A）最大值点和最小值点必定都在D的内部； （B）最大值点和最小值点必定都在D的边界上；

（C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上； （D）最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。 3、设平面区域D：(x 2) (y 1) 1，若I1 则有（ ）

（A）I1 I2； （B） I1 I2； （C）I1 I2； （D）不能比较。 4、设 是由曲面z xy,y x,x 1及z 0 所围成的空间区域，则 （A）

23xy zdxdydz =（ ）

2

2

(x y)

D

2

d ，I2 (x y)3d

D

1111

； （B）； （C） ； （D）。 361362363364

x (t)

5、设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为 ( t )，其中 (t), (t)在

y (t)

[ , ]上具有一阶连续导数，且 2(t) 2(t) 0， 则曲线积分 f(x,y)ds （ ）

L

(A) (C)

f( (t), (t))dt； (B)

f( (t), (t)) 2(t) 2(t)dt ；

f( (t), (t)) 2(t) 2(t)dt； (D) f( (t), (t))dt。

2

2

2

6、设 是取外侧的单位球面x y z 1， 则曲面积分

xdydz ydzdx zdxdy =（ ）

(A) 0 ； (B) 2 ； (C) ； (D)4 。

7、下列方程中，设y1,y2是它的解，可以推知y1 y2也是它的解的方程是（ ） (A) y p(x)y q(x) 0； (B) y p(x)y q(x)y 0；

高数下册期末试卷

(C) y p(x)y q(x)y f(x)； (D) y p(x)y q(x) 0。

8、设级数

a

n 1

n

为一交错级数，则（ ）

(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；

(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若an 0(n 0)，则必收敛。 三、求解下列问题（共计15分） 1、（8分）求函数u ln(x 的方向的方向导数。

2、（7分）求函数f(x,y) x2y(4 x y)在由直线x y 6,y 0,x 0所围成的闭区域D上的最大值和最小值。

四、求解下列问题（共计15分） 1、（7分）计算I 域。

2、（8分）设f(x)为连续函数，定义F(t) 其中 (x,y,z)|0 z h,x y t五、求解下列问题（15分） 1、（8分）求I （0，0）的弧。 2、（7分）计算I

222222

，其中是x y z(0 z a) 的外侧。 xdydz ydzdx zdxdy

y2 z2)在点A（0，1，0）沿A指向点B（3，-2，2）

dv

，其中 是由x 0,y 0,z 0及x y z 1 所围成的立体3 (1 x y z)

222

[z f(x y)]dv，

222

。 ，求dFdt

L

(exsiny my)dx (excosy m)dy，其中L是从A（a，0）经y ax x2到O

六、（15分）设函数 (x)具有连续的二阶导数，并使曲线积分

L

[3 (x) 2 (x) xe2x]ydx (x)dy与路径无关，求函数 (x)。

高等数学（下册）考试试卷（三）

一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、设u

yzxz

etdt， 则

2

u

。 z

2、函数f(x,y) xy sin(x 2y)在点（0，0）处沿 (1,2)的方向导数

f l

(0,0)

高数下册期末试卷

3、设 为曲面z 1 x2 y2,z 0所围成的立体，如果将三重积分I

f(x,y,z)dv化为先对z再对

2

y最后对x三次积分，则

4、设f(x,y)为连续函数，则I lim

t 0

1

t2

f(x,y)d ，其中D:x

D

y2 t2。

5、

L

(x2 y2)ds ，其中L:x2 y2 a2。

6、设 是一空间有界区域，其边界曲面 是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数P(x,y,z)，

Q(x,y,z)，R(x,y,z)在 上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系

式： ， 该关系式称为 公式。 7、微分方程y 6y 9y x2 6x 9的特解可设为y 。

*

( 1)n 1

8、若级数 发散，则p 。 p

nn 1

二、选择题（每小题2分，共计16分）

f(x a,b) f(a x,b)

=（ ）

x 0x

1

（A）fx (a,b)；（B）0；（C）2fx (a,b)；（D）fx (a,b)。

2

1、设fx (a,b)存在，则lim

2、设z x，结论正确的是（ ）

y2

2z 2z 2z 2z（A） 0； （B） 0；

x y y x x y y x 2z 2z 2z 2z（C） 0； （D） 0。

x y y x x y y x

3、若f(x,y)为关于x的奇函数，积分域D关于y轴对称，对称部分记为D1,D2，f(x,y)在D上连续，则

f(x,y)d （ ）

D

（A）0；（B）2

2

2

（C）4 f(x,y)d ； (D)2 f(x,y)d 。 f(x,y)d ；

D1

D1

D2

4、设 ：x y z R，则

22

(x

2

y2)dxdydz=（ ）

816

R5； （D） R5。 1515

（A） R； （B） R； （C）

8

3

5

43

5

5、设在xoy面内有一分布着质量的曲线L，在点(x,y)处的线密度为 (x,y)，则曲线弧Ｌ的重心的x坐标x为（ ）

高数下册期末试卷

（Ａ）x=（C）x=

1M

L

x (x,y)ds； （B）x=

1M

1M

L

L

x (x,y)dx；

L

x (x,y)ds； （D）x=

xds, 其中M为曲线弧Ｌ的质量。

６、设 为柱面x2 y2 1和x 0,y 0,z 1在第一卦限所围成部分的外侧，则 曲面积分

22yzdxdy xzdydz xydxdz＝（ ）

（A）0； （B）

4

； （C）

5

； （D）。 244

７、方程y 2y f(x)的特解可设为（ ）

x

（A）A，若f(x) 1； （B）Ae，若f(x) e；

x

（C）Ax Bx Cx Dx E，若f(x) x2 2x； （D）x(Asin5x Bcos5x)，若f(x) sin5x。

432

1,

８、设f(x)

1

（A）

x 0

，则它的Fourier展开式中的an等于（ ）

0 x

42

[1 ( 1)n]； （B）0； （C）1； （D）。

n n n

三、（１２分）设y f(x,t),数，求

t为由方程 F(x,y,t) 0 确定的x,y的函数，其中f,F具有一阶连续偏导

dy

。

2

2

四、（８分）在椭圆x 4y 4上求一点，使其到直线2x 3y 6 0的距离最短。

22

五、（８分）求圆柱面x y 2y被锥面z

x2 y2和平面z 0割下部分的面积Ａ。

2

六、（１２分）计算I 的外侧。 七、（10分）设

xyzdxdy，其中 为球面 x

y2 z2 1 的x 0,y 0部分

df(cosx)

1 sin2x，求f(x)。

d(cosx)

2

3

八、（10分）将函数f(x) ln(1 x x x)展开成x的幂级数。

高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案

2222

一、1、当0 a 1时，0 x y 1；当a 1时，x y 1；

高数下册期末试卷

2、负号； 3、

d

D

10

dy

e 1 ye

y

dx;

； 4、 2(t) 2(t)dt； 5、180 ； 6、sin7、y C1cos

y

Cx； x

x

2x C2sin2x C3e

C4e

x

； 8、1；

二、1、D； 2、D； 3、C； 4、B； 5、D； 6、B； 7、A； 8、C； 三、1、

u u f1 yf2 ； xg (x xy)； x y

u u f(x t) f(x t)； f(x t) f(x t)； x t

222y21 y2 y2 y2 4

四、1、 dx edy dy edx yedy (1 e)；

0x0002

2、2、I

柱面坐标

2 0

d

20

dr rdz

1

2

3

2 0

d dr 12r3dz

2r

22

14

； 3

yx

五、令P 2,Q

x y2x2 y2

Py2 x2 Q

则，(x,y) (0,0)； 2 y(x y2)2 x

P Q,在D内连续。所以由Green公式得：I=0；②当L y x

于是①当L所围成的区域D中不含O（0，0）时，

所围成的区域D中含O（0，0）时，

P Q

,在D内除O（0，0）外都连续，此时作曲线l为 y x

x2 y2 2(0 1)，逆时针方向，并假设D*为L 及l 所围成区域，则

I L

l

l

L l

Green公式 (

l

D*

Q P

)dxdy 2 x yx2 y2 2

六、由所给条件易得： f(0)

2f(0)

f(0) 0 2

1 f(0)

f(x) f( x)

f(x)

1 f(x)f( x)f(x x) f(x)

又f (x) lim =lim

x 0 x 0 x x

1 f2(x)f( x) f(0)2

lim f (0)[1 f(x)]

x 01 f(x)f( x) x

高数下册期末试卷

即

f (x)

f (0) 2

1 f(x)

fn(x) f (0) x c即 f(x) tan[f (0)x c] arcta

又 f(0) 0 即c k ,k Z f(x) tanf( (0)x)

t2n 1

七、令x 2 t，考虑级数 ( 1)

2n 1n 1

n

t2n 3

t2 lim2nn t 12n 1

当t2 1即t 1时，亦即1 x 3时所给级数绝对收敛；

当t 1即x 3或x 1时，原级数发散；

当t 1即x 1时，级数

( 1)n 1

n 1

1

收敛； 2n 1

当t 1即x 3时，级数

( 1)n

n 1

1

收敛； 2n 1

级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。

高等数学（下册）考试试卷（二）参考答案

一、1、1； 2、-1/6； 3、

20

dy

yy/2

f(x,y)dx dy

2

42y/2

f(x,y)dx ； 4、

2

f (0)； 3

5、 8 ； 6、2(x y z)； 7、y y 2y 0； 8、0；

二、1、C； 2、B； 3、A； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、C； 三、1、函数u ln(x

y2 z2)在点A（1，0，1）处可微，且 1/2；

u x u y u z

A

1x y z

1x y z

1x y z

2

2

2

2

2

2

(1,0,1)

A

yy zzy z

2

2

(1,0,1)

2

2

(1,0,1)

0；

A

1/2

高数下册期末试卷

而 (2, 2,1),所以l (,

2321

,),故在A点沿l AB方向导数为： 33 u z

A

u l

A

u x

A

cos +

u y

A

cos + cos

12211

0 ( ) 1/2. 23323

fx 2xy(4 x y) xy( 1) 0

2、由 得D内的驻点为M0(2,1),且f(2,1) 4， 2

fy x(4 x 2y) 0

又f(0,y) 0,f(x,0) 0

而当x y 6,x 0,y 0时，f(x,y) 2x3 12x2 令(2x3 12x2 0得x1 0,x2 4

于是相应y1 6,y2 2且f(0,6) 0,f(4,2) 64.

f(x,y)在D上的最大值为f(2,1) 4，最小值为f(4,2) 64.

(0 x 6)

0 x 1

四、1、 的联立不等式组为 : 0 y x 1

0 z 1 x y

所以I

10

dx

1 x0

dy

1 x y0

dz

3

(1 x y z)

1 x1111dx[ 0(1 x y)24]dy 2 0

1113 x15( )dx ln2 02x 14216

2、在柱面坐标系中 F(t) 所以

2

1

d dr [z f(r)]rdz 2 [hf(r2)r h3r]dr

0003

t

h

2

2

t

1dF1

2 [hf(t2)t h3t] 2 ht[f(t2) h2]

3dt3

五、1、连接OA，由Green公式得：

I

L

OA

OA

L OA

OA

Green公式

x2 y2 ax,y 0

xx

(ecosy ecosy m)dxdy 0

高数下册期末试卷

1

m a2 8

2、作辅助曲面 1: I

z a x y a

1

222

，上侧，则由Gauss公式得：

+

1

2

2

=

1

1

=

x y z2,0 z a

2(x y z)dxdydz

x2 y2 a2

2a dxdy

=2

a0

dz

a

x2 y2 z2

zdxdy a

4

2

z3dz a4 a4

1

2

六、由题意得：3 (x) 2 (x) xe2x (x) 即 (x) 3 (x) 2 (x) xe2x 特征方程r 3r 2 0，特征根r1 1,对应齐次方程的通解为：y c1ex c2e2x

*2x

又因为 2是特征根。故其特解可设为：y x(Ax B)e

2

r2 2

代入方程并整理得：A 即 y

*

1,2

B 1

1

x(x 2)e2x 2

x

2x

故所求函数为： (x) c1e c2e

1

x(x 2)e2x 2

高等数学（下册）考试试卷（三）参考答案

一、1、ye

y2z2

xe

x2z2

； 2、； 3、

1 1

dx

1 x2 x2

dy

1 x2 y20

f(x,y,z)dz；

4、f(0,0);

5、2 a3； 6、 (

P Q R

)dv Pdydz Qdzdx Rdxdy， x y z

Gauss公式； 7、Ax2 Bx C 8、P 0。

二、1、C； 2、B； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B 三、由于dy fx (x,t)dx ft (x,t)dt，Fx dx Fy dy Ft dt 0

高数下册期末试卷

由上两式消去dt，即得：

dyfx Ft ft Fx

dxFt ftFy

四、设(x,y)为椭圆x2 4y2 4上任一点，则该点到直线2x 3y 6 0的距离为

d

6 2x 3y

；令L (6 2x 3y)2 (x2 4y2 4)，于是由：

Lx 4(6 2x 3y) 2 x 0

Ly 6(6 2x 3y) 8 y 0 22

L x 4y 4 0

83838383

得条件驻点：M1(,),M2( ,),M3( , ),M4(, )

35555555

依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中dmin

6 2x 3y

M1

即为所求。 13

22 z x y

五、曲线 在yoz面上的

22 x y 2y

z2 2y

投影为

x 0

(0 y z)

于是所割下部分在yoz面上的投影域为：

0 y 2Dyz: ， y

0 z 2y

由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。 A 2

Dyz

(

x2 x

) ()2d x y z

2

Dyz

dydz2y y

2

2 dy

1

20

dz2y y

2

8

2222

六、将 分为上半部分 1:z x y和下半部分 2:z x y，

1, 2在面xoy上的投影域都为：Dxy:x y 1,x 0,y 0, 于是：

22

xyzdxdy

1极坐标

Dxy1

x2 y2dxdy

1； 15

0

d 2sin cos 2 d

高数下册期末试卷

22

xyzdxdy xy( x y)( dxdy) 2

Dxy

1， 15

I

1

=

2

2 15

七、因为

df(cosx)

1 sin2x，即f (cosx) 1 sin2x

d(cosx)

13

x c 3

所以f (x) 2 x2 f(x) 2x

八、 f(x) ln[(1 x)(1 x2)] ln(1 x) ln(1 x2)

( 1)n 1n 又ln(1 u) u,u ( 1,1]

nn 1

( 1)n 1n ( 1)n 12nx x,x ( 1,1] f(x) nnn 1n 1

( 1)n 1n

x(1 xn),

nn 1

x ( 1,1]

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