广州市普通高中2017届高三第一次模拟数学备考试题精选：立体几何

广州市普通高中2017届高三第一次模拟数学备考试题精选：立体几何

1、若一个圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 cm2 【答案】8?

【解析】因为圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，所以母线l?4，底面半径r?2。所以底面周长c?2?r?4?，所以侧面积为

11lc??4?4??8?。 22

2、如图所示，已知一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为

主视图左视图俯视图

【答案】2??233

【 解析】由三视图可知该几何下面是圆柱，上面是四棱锥。圆柱的底面半径为1，高为2 所以圆柱的体积为2?。四棱锥的高为22?1?3，四棱锥底面边长为2，所以四棱锥的体积为?(2)?3?1322323，所以该几何体的体积为2??

3。33、正方体ABCD?A1B1C1D1中，异面直线B1C与C1D所成的

角的大小为

- 1 -

【答案】

【 解析】连结AC1与平面BCC1B1所成的1D//B1C，所以?D11，A1D,则A1BC1为直线BD角，所以设正方体的边长为1，则BC1?2，所以tanD1BC1?D1C112，所以??BC122?D1BC1?arctan

2。 24、 三棱锥S?ABC中，E、F、G、H分别为SA、AC、BC、SB的中点，则截面EFGH将三棱锥S?ABC分成两部分的体积之比为

【答案】1:1

【 解析】因为E、F、G、H分别为SA、AC、BC、SB的中点，所以四边形EFGH为平行四边形，SC平行平面EFGH且AB平行平面EFGH，且SC和AB到平面EFGH的距离相同。每一部分都可以可作是一个三棱锥和一个四棱锥两部分的体积和。如图1中连接DE、DF，VADEFGH=VD﹣EFGH+VD﹣EFA：图2中，连接BF、BG， VBCEFGH=VB﹣EFGH+VG﹣CBFE，F，G分别是棱AB，AC，CD的中点，所以VD﹣EFGH=VB﹣EFGHVD﹣EFA的底面面积是VG﹣CBF的一半，高是它的2倍，所以二者体积相等． 所以VADEFGH：VBCEFGH=1：1

- 2 -

5、已知正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积V? ． 【答案】33

【 解析】正三棱柱的底面面积为

13?2?2??3，所以体积为33。 226、若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 ． 【答案】2?

【解析】设圆柱的底面半径为r，母线为l，则l?2?r，所以

7、若圆椎的母线l?10cm,母线与旋转轴的夹角??30,则该圆椎的侧面积为

0l?2?。 rcm2

【答案】50?

00【 解析】因为线与旋转轴的夹角??30，设底面圆的半径为r，则r?10sin30?5。所

以底面圆的周长c?2?r?10?，所以该圆锥的侧面积

11lc??10?10??50?。 228、已知l1,l2,l3是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A 如果l1?l2,l2?l3，则l1?l3 C 如果l1?l2,l2?l3，则l1?l3

B 如果l1?l2,l2?l3，则l1,l2,l3共面

D 如果l1,l2,l3共点，则l1,l2,l3共面

【答案】A

【 解析】根据线面垂直和平行的性质可知，A正确，所以选A

9、一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R的半圆，则这个圆锥的底面积是________． 【答案】

?R24

- 3 -

【 解析】因为圆锥的侧面展开图是一个半径为R的半圆，所以圆锥的，母线l?R,设圆锥底

RR2?R22面圆的半径为r，则2?r??R,即r?,所以圆锥的底面积是?r??()?

224

10、已知A,B,C,D是空间四点，命题甲：A,B,C,D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的 [答]( ) （A）充分不必要条件 （C）充要条件 【答案】A

【 解析】若A,B,C,D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交。若直线AC和BD不相交，AC和BD平行时，A,B,C,D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件，选A

11、已知长方体的三条棱长分别为1，1，2，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，

则此球的表面积为____________． 【答案】6?

【 解析】因为长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则长方体的体对角线为球的直径，

（B）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

2r?12?12?22?6，所以球半径r?62)?6?。 26，所以球的表面积为24?r2?4?(

12、已知m，n是两条不同直线，?,?是两个不同平面，下列命题中的假命题的是（ ）

A 若m??,m??,则?//? C 若m//?,????n,则m//n 【答案】C

- 4 -

B 若m//n,m??,则n??

D 若m??,m??,则???

【 解析】C中，当m??时，直线m//n，当m??时，直线m//n不一定成立，所以C为假命题，选C

13、若圆锥的侧面展开图是半径为1cm、圆心角为180?的半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于 【答案】3 4

【 解析】因为半圆的周长为?，所以圆锥的母线为1。设圆锥的底面半径为r，则2?r??，所以r?

14、已知半径为R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于这三个点的小圆周长为4?，则R= ． 【答案】23 【 解析】设三点分别为A、B、C，球心为O，由题意知∠AOB=∠AOC=∠BOC=?，所以3AB=BC=CA=R，所以小圆半径为112311332。圆锥的高为1?()?，所以圆锥的轴截面面积为?2??。 ?2222422?R，且经过3RR?4?，解得R=23 ，小圆周长为2??33立体几何02

AB?AC?2，∠BAC=90?，E是AA115、如图，直三棱柱ABC?A1B1C1的体积为8，且

的中点，O是C1B1的中点 求异面直线C1E与BO所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

OC1A1EAB1OC1A1EB1BBFCAC

- 5 -

【答案】解：由V?S?AA1?8得AA1?4，………………………3分 取BC的中点F，联结AF，EF，则C1F//BO，

所以?EC1F即是异面直线C1E与BO所成的角，记为?． ………………………5分

C1F2?18，C1E2?8，EF2?6，………………………8分 C1F2?C1E2?EF25cos???，………………………11分

2C1F?C1E6因而??arccos

16、如图已知四棱锥P?ABCD中的底面是边长为6的正方形，侧棱PA的长为8，且垂直于

5………………………………………………12分 6底面，点M、N分别是DC、AB的中点．求

（1）异面直线PM与CN所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）四棱锥P?ABCD的表面积 【答案】

（1）解法 一：连结AM，可证CN∥AM， 直线PM与AM所成角等于直线PM与CN所成角． …………………………2分 因为PA垂直于底面,所以PA?AM,

点M分别是DC的中点, DC?6?AM?35

- 6 -

在Rt?PAM中,PA?8,AM?35,

tan?PMA?835?8585,??PMA?arctan…………………………4分

151585．…………………………6分 15即异面直线PM与CN所成角的大小为arctan解法二：以A为坐标原点建立空间直角坐标系可得M(3,6,0)，P(0,0,8)，N(3,0,0)，

C(6,6,0)，?PM?(3,6,?8)，?CN?(?3,?6,0) …………………………2

分

直线PM与CN所成角为?，向量PM与CN的夹角为?

?cos??PM?CNPMCN??45109?45??3545 …………………………4分 109又cos??cos??35453545，??arccos， 1091093545．…………………………6分 109即异面直线PM与CN所成角的大小为arccos（说明：两种方法难度相当）

(2) 因为PA垂直于底面,所以PA?AB，PA?AD即Rt?PAB≌Rt?PDC

?PA?BC?BC?PB，同理CD?PD?Rt?PBC≌Rt?PAD…………8分 ??AB?BC底面四边形ABCD是边长为6的正方形，所以S底?36 又

?S?PADS侧?S?PAB?S?PBC11?2?(PA?AB)?2?(PB?BC)?48?60?108

22?S?PCDS表?108?36?144

所以四棱锥P?ABCD的表面积是144 …………………………………………12分

16、如图，△ABC中，?ACB?90，?ABC?30 ，BC?3，在三角形内挖去一个

- 7 -

00

半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体。 （1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；

（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积． A M C O 第20题 N B

【答案】解（1）连接OM，则OM?AB

?BC?3,?ABC?300,?AC?1,AB?2， …………3分

设OM?r，则

OB?2r，又OB?3?r，所以2r?3?r,r?所以，

3，…………6分 3S球表?4?r2?（2）V?V圆锥

4?. …………8分 31453?V球???AC2?BC??r3??.…………12分

332717、如图，在三棱锥P?ABC中，PA?底面ABC，AC?BC，AC?BC?PA?2．

（1）求三棱锥P?ABC的体积V； （2）求异面直线AB与PC所成角的大小．

- 8 -

P A

C

B

【答案】（1）因为PA?底面ABC，所以三棱锥P?ABC的高h?PA，…………（3分） 所以，V?1114Sh???AC?BC?PA?．…………（6分） 3323（2）取PA中点E，PB中点F，BC中点G， 连结EF，FG，EG，则EF∥AB，FG∥PC，

所以?EFG就是异面直线AB与PC所成的角（或其补角）．…………（2分） 连结AG，则AG?AC2?CG2?5，……（3分）

P E A

G C F B

EG?EA2?AG2?6， …………（4分）

又AB?PC?22，所以EF?FG?2．…………（5分）

EF2?FG2?EG21??，……（7分） 在△EFG中，cos?EFG?2EF?FG2故?EFG?120?．所以异面直线AB与PC所成角的大小为60?．…………（8分）

18、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，AO?平面BCD，

CA?CB?CD?BD?2．

（1）求三棱锥A?BCD的体积；

（2）求异面直线AE与CD所成角的大小．

- 9 -

A D O B 【答案】

（1）因为CO=3，AO=1 所以V?E

C

13 。 ?3?1?33（2）因为O、E为中点，所以OE//CD，所以?AEO的大小即为异面直线

AE与CD所成角。 在直角三角形AEO中，?AEO=

?4，所以异面直线AE与CD所成角的大小为

? 4立体几何03

19、如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成 已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm

（1）这种“浮球”的体积是多少cm（结果精确到0 1）？

（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？

32cm 6cm

（第19题图）

【答案】（1）d?6cm，R?3cm，V球?434?R???27?36?cm3…………2分 333 h?2，V圆柱??R2?h???9?2?18?cm…………2分

- 10 -

V?V球?V圆柱?36??18??54??169.6cm3…………2分

（2）S球表?4?R?4???9?36?cm2…………2分

S圆柱侧?2?Rh?2???3?2?12?cm2…………2分

236??12?48??m2 44101048 2500个“浮球”的表面积的和S2500?2500?4??12?m2

10 所用胶的质量为100?12??1200?（克）…………2分 答：这种浮球的体积约为169.6cm3；供需胶1200?克

1个“浮球”的表面积S1?

?ABC?30?, 20、如图，在三棱锥P?ABC中，PA?平面ABC，AC?AB，AP?BC?4，

D、E分别是BC、AP的中点，

（1）求三棱锥P?ABC的体积；

（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为?，求tan?的值

P E ABC

D

【答案】(1)由已知得，AC?2,AB?23, ………2分

所以 ，体积

VP??ABC?183S?ABCPA?33 ………5分

(2)取AC中点F，连接DF,EF，则AB//DF，

所以?EDF就是异面直线AB与ED所成的角? ………7分 由已知，AC?EA?AD?2,AB?23,PC?25，

?AB?EF,?DF?EF ………10分

在Rt?EFD中，DF?3,EF?5，

- 11 -

tan??所以，

153 ………12分

21、如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，

A1c1B1ADCAB?AC?AA1?2,?ABC?45?

B

（1）求直三棱柱ABC?A1B1C1的体积；

（2）若D是AC的中点，求异面直线BD与AC1所成的角

1【答案】（1）V??2?2?2?4；…………………………………6分

2（2）设M是AA1的中点，连结DM,BM，?DM//AC1,

??BDM是异面直线BD与AC1所成的角 ………8分

在?BDM中，BD?BM?5,22MD?2，

25???2???5??cos?BDM?2?2?5?10 …………………………………10分 10即?BDM?arccos10 ?异面直线BD与AC所成的角为110arccos10 …………12分 10

22、在正四棱锥P?ABCD中，PA?25，PA与CD所成的角的大小为arccos（1）求正四棱锥P?ABCD的体积；

（2）若正四棱锥P?ABCD的五个顶点都在球O的表面上，

求此球的半径

- 12 -

10 5

【答案】解：（1）取AB的中点M，记正方形ABCD对角线的交点为O?，连PM，PO?，

AC，则AC过O?．

?PA?PB，?PM?AB，又cos?PAM?得AM?22 ………………4分

10，PA?25，5AO??4，PO??2

1164VP?ABCD?S底?PO???(42)2?2?

33364（立方单位）．………………8分 ?正四棱锥P?ABCD的体积等于3（2）连AO，OO?，设球的半径为R，则OA?R，OO??R?PO??R?2，在Rt?OO?A中有R2?(R?2)2?42，得R?5。…………12分

23、如图所示，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E,F分别为线段DD1,BD的 中点．

（1）求三棱锥E?ADF的体积； （2）求异面直线EF与BC所成的角．

【答案】解：（1）在正方体ABCD?A1B1C1D1中， ∵F是AC的中点， ∴S?CDF?AA1ED1B1C1DFBC11S?ADC??2?1， ………………3分 22A1D1B1C1又CE?平面ABCD，即CE?平面CDF， 故VE?CDF?S?CDF?CE??1?1?E13131， 3ADFBC所以三棱锥E?ADF的体积为．………………6分

13 - 13 -

（2）连BD1，由E、F分别为线段DD1、BD的中点，

可得EF∥BD1，故?D1BC即为异面直线EF与BC所成的角． ………………… 8分 ∵BC?平面CDD1C1，CD1??平面CDD1C1，∴BC?CD1， 在Rt△BCD1中，BC?2，D1C?22， ∴tan?D1BC?D1CBC?2，∴ ?D1BC?arctan2． 所以异面直线EF与BC所成的角为arctan2．

- 14 -

分 ………………………… 12

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