比和比例奥数讲义

比和比例

在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断。

成正比或反比的量中都有两种相关联的量．一种量（记作x）变化时另一种量（记作y）也随着变化．与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）．在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k．如成正比例；如果k是y与x的积，即在x变化时，y与x的积不变：xy＝k，那么y与x成反比例．如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例． 下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始． 例1 下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？ ①速度一定，路程与时间． ②路程一定，速度与时间．

③路程一定，已走的路程与未走的路程．

④总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间． ⑤总产量一定，亩产量和播种面积． ⑥整除情况下被除数一定，除数和商． ⑦同时同地，竿高和影长．

⑧半径一定，圆心角的度数和扇形面积． ⑨两个齿轮啮合转动时转速和齿数．

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⑩圆的半径和面积．

(11)长方体体积一定，底面积和高． (12)正方形的边长和它的面积． (13)乘公共汽车的站数和票价．

(14)房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数． (15)汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量．

分析 以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢？关键是能否把两个两种形式，或只能写出加减法关系，那么这两种量就不成比例．例如①×零件数＝总时间，总时间一定，制造每个零件用的时间与要制造的零件总数成反比例．③路程一定，已走的路程和未走的路程是加减法关系，不成比例． 解：成正比例的有：①、⑦、⑧、(15)

成反比例的有：②、④、⑤、⑥、⑨、(11)、(14) 不成比例的有：③、⑩、(12)、(13)．

例2 一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时3千米，问此人走完全程用了多少时间？

分析 要求此人走完全程用了多少时间，必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间，必须知道走上坡路的速度（题中每小

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时行3千米）和上坡路的路程，已知全程60千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是1∶2∶3，就可以求出上坡路的路程． 解：上坡路的路程： 60×

1=10（千米） 1?2?3 走上坡路用的时间： 10÷3=3（小时）

上坡路所用时间与全程所用时间比：

44?

4?5?61513 走完全程所用时间：

41=12（小时） 1521 答：此人走完全程共用12小时。

2 3÷

13 例3 一块合金内铜和锌的比是2∶3，现在再加入6克锌，共得新合金36克，求新合金内铜和锌的比？

分析 要求新合金内铜和锌的比，必须分别求出新合金内铜和锌各自的重量．应该注意到铜和锌的比是2∶3时，合金的重量不是36克，而是（36－6）克．铜的重量始终没有变． 解：铜和锌的比是2∶3时，合金重量： 36－6＝30（克）． 铜的重量： 30×

2=12（克） 2?3 新合金中锌的重量： 36－12＝24（克）．

3

新合金内铜和锌的比：

12∶24＝1∶2．

答：新合金内铜和锌的比是1∶2．

例4 师徒两人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？ 分析 师傅加工一个零件用5分钟，每分钟可加工个零件；徒弟加工一个零件用9分钟，每分钟可加工零件个。师、徒两人效率的比是：，由于两人的工作时间是一定的，根据（一定），工作量与工作效率成正比例．

解法1：设师傅加工x个，徒弟加工（168－x）个．

1x ?5

168?x191519工作量?工作时间工作效率1519解得 x＝108．

168－x＝168－108＝60（个）． 答：师傅加工108个，徒弟加工60个．

115911114的比也是:，因此师傅工作量是徒弟工作量的÷=1（倍），徒

59559解法2：由于师、徒两人工作效率的比是:，那么他们工作量

弟的工作量为1倍量。

168÷（÷＋1）=60（个）（徒弟） 60×（÷）=108（个）（师傅）

解法3：师傅每分钟加工个，徒弟每分钟加工个，用相遇问题思考方法可求出两人各用了多少分钟。然后用师、徒每分钟各自的

4

151915191519

效率，分别乘以540就是各自加工零件的个数。

168÷（＋）=540（分钟）

151 ×540=60（个）

91519 ×540=108（个）

解法4：按比例分配做。 ∵ ：=9：5

9=108（个） 9?55 168×=60（个）

9?51519∴ 168×

例5 洗衣机厂计划20天生产洗衣机1600台，生产5天后由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天？

分析 这是一道比例应用题，工效和工时是变量，不变量是计划生产5天后剩下的台数．从工效看，有原来的效率1600÷20＝80台/天，又有提高后的效率 80×（1＋25％）＝100台/天．从时间看，有原来计划的天数，要求效率提高后还需要的天数． 根据工效和工时成反比例的关系，得： 提高后的效率×所需天数＝剩下的台数． 解法1：设完成计划还需x天．

1600÷20×（1＋25%）×x＝1600－1600÷20×5 80×1.25×x＝1600－400 100x＝1200

x＝12． 答：完成计划还需12天．

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