2014届高考数学一轮 知识点各个击破 空间几何体的表面积和体积课

空间几何体的表面积和体积

1．(2012·北京西城模拟)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是( )

8

A．8 B. 34

C．4 D. 3

2．(2012·山西模拟)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝3，

BC＝2，则棱锥O－ABCD的体积为( )

A.51 C．251

B．351 D．651

3．(2012·马鞍山二模)如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为( )

A．4π C．5π

B.D.15

π 417π 4

4．(2012·济南模拟)用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图所示，则此立体模型的表面积为( )

A．24 C．22

B．23 D．21

5．(2012·江西高考)若一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积为( )

1

A.11

2

B．5 D．4

9

C. 2

6.如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱

AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′－EFQ的体积( )

A．与点E，F位置有关 B．与点Q位置有关 C．与点E，F，Q位置都有关 D．与点E，F，Q位置均无关，是定值

7．(2012·湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．

8．(2012·上海高考)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．

9．(2013·郑州模拟)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．

10．(2012·江西八校模拟)如图，把边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE折起，使

AC＝6.

(1)求证：面ABEF⊥面BCDE； (2)求五面体ABCDEF的体积．

2

11．(2012·大同质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB＝4，CD＝2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．

(1)求证：DE∥平面PBC； (2)求三棱锥A－PBC的体积．

12．(2012·湖南师大附中月考)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形．

(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； (2)证明：A1C⊥平面AB1C1.

1．(2012·潍坊模拟)已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线

AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC的外接球表面积等于( )

A．8π B．16π

C．482π D．不确定的实数

2．(2012·江苏高考)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝

AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm3.

3．(2013·深圳模拟)如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，AB＝2，BD＝2，沿BD将△BCD折起，使二面角A－BD－C是大小为锐角α的二面角，设C在平面ABD上的射影为O.

(1)当α为何值时，三棱锥C－OAD的体积最大？最大值为多少？ (2)当AD⊥BC时，求α的大小．

3

[答 题 栏]

1._________ 2._________ 3._________ A级 4._________ 5.__________ 6._________ 7. __________ 8. __________ 9. __________ 答 案

课时跟踪检测(四十一)

A级

1．D 2.A 3.D 4.C

5．选D 由三视图可知，所求几何体是一个底面为六边形，高为1的直棱柱，因此只1

需求出底面积即可．由俯视图和主视图可知，底面面积为1×2＋2××2×1＝4，所以该几

2何体的体积为4×1＝4.

1?116?6．选D 因为VA′－EFQ＝VQ－A′EF＝×?×2×4?×4＝，故三棱锥A′－EFQ的体积与点3?23?

B级 1.______ 2.______ E，F，Q的位置均无关，是定值．

7．解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为顶点和底面中心即为高，可求得高为

2

6

2122，所以体积V＝×1×1×＝. 2326

3

，连接2

答案：

8．解析：因为半圆的面积为2π，所以半圆的半径为2，圆锥的母线长为2.底面圆的周长为2π，所以底面圆的半径为1，所以圆锥的高为3，体积为3π 3

3

π. 3

答案：

9．解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长

a＋b＝6，??222

方体，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则?b＋c＝5，

??c2＋a2＝52，

2

2

2

2

2

2

2

222

得a＋b＋c＝43，即(2R)＝a＋b＋c＝43，易知R即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为

4

4πR＝43π. 答案：43π

10．解：设原正六边形中，AC∩BE＝O，DF∩BE＝O′，由正六边形的几何性质可知OA＝OC＝3，AC⊥BE，DF⊥BE.

(1)证明：在五面体ABCDE中，OA＋OC＝6＝AC， ∴OA⊥OC，

又OA⊥OB，∴OA⊥平面BCDE. ∵OA?平面ABEF， ∴平面ABEF⊥平面BCDE.

(2)由BE⊥OA，BE⊥OC知BE⊥平面AOC，同理BE⊥平面FO′D，∴面AOC∥平面FO′D，故AOC－FO′D是侧棱长(高)为2的直三棱柱，且三棱锥B－AOC和E－FO′D为大小相同的三棱锥，

∴VABCDEF＝2VB－AOC＋VAOC－FO′D

11122

＝2×××(3)×1＋×(3)×2＝4.

322

11.解：(1)证明：如图，取AB的中点F，连接DF，EF. 在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB＝4，CD＝2，所以BF綊CD. 所以四边形BCDF为平行四边形． 所以DF∥BC.

在△PAB中，PE＝EA，AF＝FB， 所以EF∥PB.

又因为DF∩EF＝F，PB∩BC＝B， 所以平面DEF∥平面PBC. 因为DE?平面DEF， 所以DE∥平面PBC. (2)取AD的中点O，连接PO. 在△PAD中，PA＝PD＝AD＝2， 所以PO⊥AD，PO＝3.

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以PO⊥平面ABCD.

在直角梯形ABCD中，CD∥AB， 且AB＝4，AD＝2，

2

2

2

2

AB⊥AD，

5

1

所以S△ABC＝×AB×AD

21

＝×4×2＝4. 2

1143

故三棱锥A－PBC的体积VA－PBC＝VP－ABC＝×S△ABC×PO＝×4×3＝.

33312．解：(1)几何体的直观图如图所示，四边形BB1C1C是矩形，BB1

＝CC1＝3，BC＝B1C1＝1，四边形AA1C1C是边长为3的正方形，且平面

AA1C1C垂直于底面BB1C1C，

13

故该几何体是直三棱柱，其体积V＝S△ABC·BB1＝×1×3×3＝.

22(2)证明：由(1)知平面AA1C1C⊥平面BB1C1C且B1C1⊥CC1， 所以B1C1⊥平面ACC1A1. 所以B1C1⊥A1C.

因为四边形ACC1A1为正方形， 所以A1C⊥AC1. 而B1C1∩AC1＝C1， 所以A1C⊥平面AB1C1.

B级

1．选B 设矩形长为x，宽为y，

周长P＝2(x＋y)≥4xy＝82，当且仅当x＝y＝22时，周长有最小值．

此时正方形ABCD沿AC折起，

∵OA＝OB＝OC＝OD，三棱锥D－ABC的四个顶点都在以O为球心，以2为半径的球上，

此球表面积为4π×2＝16π. 2．解析：由题意得

2

VA－BB1D1D＝VABD－A1B1D1＝××3×3×2＝6.

答案：6

3．解：(1)由题知CO⊥平面ABD， ∴CO⊥BD，

又BD⊥CD，CO∩CD＝C， ∴BD⊥平面COD. ∴BD⊥OD.∴∠ODC＝α.

2

32132

6

VC－AOD＝S△AOD·OC＝×·OD·BD·OC

＝

2222·OD·OC＝·CD·cos α·CD·sin α＝·sin 2α≤， 6633

1

31132

当且仅当sin 2α＝1，即α＝45°时取等号． ∴当α＝45°时，三棱锥C－OAD的体积最大，最大值为2. (2)连接OB， ∵CO⊥平面ABD， ∴CO⊥AD， 又AD⊥BC， ∴AD⊥平面BOC. ∴AD⊥OB.

∴∠OBD＋∠ADB＝90°. 故∠OBD＝∠DAB， 又∠ABD＝∠BDO＝90°， ∴Rt△ABD∽Rt△BDO. ∴OD＝BDBDAB. ∴OD＝BD2＝22

AB2

＝1，

在Rt△COD中，cos α＝OD1

CD＝2

，

得α＝60°. 3

7

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