2015浙江省中考复习数学知识点汇总25

2015浙江省中考复习数学知识点汇总

★★21、（2010黄冈）已知抛物线y ax2 bx c(a 0)顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线y （1）求字母a，b，c的值；

（2）在直线x＝1上有一点F(1,)，

求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请

求出t值，若不存在请说明理由.

5

作垂线，垂足为M，连FM（如图）. 4

34

解：（

1）a＝－1，b＝2，c＝0

（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形. （3）不存在.因为当t＜

1此时，MP＝，横坐标为1

455

，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞144

时，PM与PN不可能相等

.

★★22

、（2010济南）如图所示，抛物线y x2 2x 3与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为y l与直线BD交于点C、与x轴交于点E． ⑴求A、B、C三个点的坐标．

⑵点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN．

①求证：AN=BM．

②在点P该最大值或最小值.

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解：⑴令 x2 2x 3 0，

x

解得：x1 1,x2 3，∴A(－1，0)，B(3，0)

∵y x2 2x 3= (x 1)2 4，∴抛物线的对称轴为直线x=1， 将x=1

代入y y

C（1，

. ⑵①在Rt△ACE中，tan∠CAE

=

CE

AE

∴∠CAE=60º，

由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线， ∴AC=BC，

∴△ABC为等边三角形， ∴AB= BC =AC = 4，∠ABC=∠ACB= 60º，

又∵AM=AP，BN=BP，∴BN = CM， ∴△ABN≌△BCM， ∴AN=BM.

②四边形AMNB的面积有最小值． 设AP=m，四边形AMNB的面积为S， 由①可知AB= BC= 4，BN = CM=BP，S△ABC

×42

=， ∴CM=BN= BP=4－m，CN=m，

m)， 过M作MF⊥BC,垂足为F，则MF=MC sin60º

211

m)= ， ∴S△CMN=CN MF=m

22

2

）

∴S=S△ABC－S△CMN

=

－（m 2)2 ∴m=2时，S取得最小值

★★23、（2010济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4， 1）的抛物线交y轴于

A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧）. 已知A点坐标为（0，3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D， 如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；

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（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时， PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和 PAC的最大面积.

（1）解：设抛物线为y a(x 4) 1.

2

x

∵抛物线经过点A（0，3），∴3 a(0 4)2 1.∴a ∴抛物线为y

(2) 答：l与⊙C相交.

证明：当

1. 4

11

(x 4)2 1 x2 2x 3. 44

1

(x 4)2 1 0时，x1 2，x2 6. 4

∴B为（2，0），C为（6，0）.

∴AB 设⊙C与BD相切于点E，连接CE，则 BEC 90 AOB. ∵ ABD 90 ，∴ CBE 90 ABO.

又∵ BAO 90 ABO，∴ BAO CBE.∴ AOB∽ BEC. ∴

CECEBC

2. .

∴.

∴CE OBAB2∵抛物线的对称轴l为x 4，∴C点到l的距离为2. ∴抛物线的对称轴l与⊙C相交.

(3) 解：如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q.

可求出AC的解析式为y

1

x 3. 2

1

m 3）. 2

2

设P点的坐标为（m，m 2m 3），则Q点的坐标为（m，

14

∴PQ ∵S PAC

1113m 3 (m2 2m 3) m2 m. 2442

113327

S PAQ S PCQ ( m2 m) 6 (m 3)2 ,

24244

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∴当m 3时， PAC的面积最大为 此时，P点的坐标为（3，

27. 4

3

）. 4

★★24、（2010晋江）已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC 3，BC 2，

取AB的中点M，连结MC，把 MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到 DAO.

(1)试直接写出点D的坐标；

(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，

过点P作PQ x轴于点Q，连结OP. ①若以O、P、Q为顶点的三角形与

DAO相似，试求出点P的坐标；

②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得 TB的值最大.

解：(1)依题意得：D

3

,2 ； 2

(2) ① ∵OC 3，BC 2， ∴B 3,2 .

∵抛物线经过原点，∴设抛物线的解析式为y ax bx a 0

2

又抛物线经过点B 3,2 与点

3 D ,2

2

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4 a , 9a 3b 2, 422 9

y x x.∵点P在抛物线∴ 9 解得：∴抛物线的解析式为 3

293a b 2 b 2 4 3

上，∴设点P x,

422 x x . 93

422

x x

PQQO5193 x， 1)若 PQO∽ DAO，则， 解得：x1 0(舍去)或x2 ，

316DAAO22

∴点P

51153

, . 1664

422

x x

OQPQ9x93， 2)若 OQP∽ DAO，则， 解得：x1 0(舍去)或x2 ，

32DAAO22

∴点P

9 ,6 . 2

②存在点T，使得TO TB的值最大. 抛物线y

4223

x x的对称轴为直线x ，设抛物线与x轴的另一个交点为E，则点

493

3 3

E ,0 .，∵点O、点E关于直线x 对称，∴TO TE，要使得TO TB的值最大，

4 2

即是使得TE TB的值最大，

最大.

设过B、Ey kx b k 0 3k b 2,

∴ 3 k b 0 2∴直线BE

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当x

343

时，y 2 1. 434

∴存在一点T

3

, 1 使得TO TB最大. 4

★★25、（2010）如图，在等边 ABC中，线段AM为BC边上的中线. 动点D在直线．．AM上时，以CD为一边且在CD的下方作等边 CDE，连结BE.

(1) 填空： ACB ______度；

(2) 当点D在线段．．AM上(点D不运动到点A)时，试求出

AD

的值； BE

(3)若AB 8，以点C为圆心，以5为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点，在点D运动的过程中(点D与点A重合除外)，试求PQ的长.

C

B B C

备用图(1)

解：

(2)∵

∴ACACB DCE 60 ∴ ACD DCB DCB BCE ∴ ACD BCE，∴ ACD≌ BCE SAS

备用图(2)

AD

1. BE

(3)①当点D在线段AM上（不与点A重合）时，由(2)可知 ACD≌ BCE，则

∴AD BE，∴

CBE CAD 30 ，作CH BE于点H，则PQ 2HQ，连结CQ，则CQ 5.

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在Rt CBH中， CBH 30 ，BC AB 8，则CH BC sin30 8 在Rt CHQ中，1

4. 2

②当点D在线段 DEC∴AC BC，CD∴ ACB DCB∴ ACD BCE ∴ ACD≌ BCE ∴ CBE CAD③当点D在线段MA∵ ABC与 DEC∴AC BC，CD∴ ACD ACE∴ ACD BCE ∴ ACD≌ BCE ∴ CBE CAD∴ CBE CAD同理可得：PQ 6★★26、（2010莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ax bx c交x轴于

2

A(2,0),B(6,0)两点，交y轴于点C(0,2).

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若此抛物线的对称轴与直线y 2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；

（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.

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解：（1）∵抛物线y ax2 bx c经过点A(2,0)，B(6,0)，C(023)．

a

4a 2b c 06

4∴ 36a 6b c 0， 解得 b .

3 c 2 c 23

∴抛物线的解析式为：y

24x x 2. 63

（2）易知抛物线的对称轴是x 4.把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．

∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8． 连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M． 在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°． ∴劣弧的长为：

1． 2

12016

8 ． 1803

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点A(2,0),C(0,2).

2k b 0 k 3

∴ ，解得 .∴直线AC的解析式为：y x 2.

b 23 b 23

设点P(m,

24m 3m 23)(m 0)，PG交直线AC于N， 63

则点N坐标为(m, m 23).∵S

PNA:S GNA PN:GN∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=

3

GN. 2

即

324

m 3m 2= m 2）.

263

解得：m1=－3， m2=2（舍去）.

1524

3. m 3m 23=当m=－3时，

263

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∴此时点P的坐标为( 3,

15

3). 2

②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN. 即

24

. m 3m 2=（3 3m 23）

63

24

m 3m 2=3. 63

解得：m1 12，m2 2（舍去）.当m1 12时，∴此时点P的坐标为( 12,). 综上所述，当点P坐标为( 3,

15

)或( 12,)时， 2

△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分．

★★27、（2010丽水）小刚上午7：30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了1200步，

用时10分钟，到达学校的时间是7：55．为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步．

(1) 小刚上学步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间

的路程分别是多少米？

(2) 下午4：00，小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在

未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后，赶紧以 110米/分的速度回家，中途没有再停留．问：

① 小刚到家的时间是下午几时？ ② 小刚回家过程中，离家的路程s(米)与时间t(分)之间

的函数关系如图，请写出点B的坐标，并求出线段

) CD所在直线的函数解析式．

解：(1) 小刚每分钟走1200÷10=120(步)，每步走100÷150=

2

(米)， 3

2

所以小刚上学的步行速度是120×=80(米/分)．

3小刚家和少年宫之间的路程是80×10=800(米)． 少年宫和学校之间的路程是80×(25-10)=1200(米)．

1200 300800 300

(2) ① 30 60(分钟)，

45110

所以小刚到家的时间是下午5：00．

② 小刚从学校出发，以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米，

900用时 20分，此时小刚离家1 100米，所以点B的坐标是（20，1100）．

45线段CD表示小刚与同伴玩了30分钟后，回家的这个时间段中离家的路程s(米)与行走时间t(分)之间的函数关系，由路程与时间的关系得 s 1100 110(t 50)， 即线段CD所在直线的函数解析式是s 6600 110t． ……2分 (线段CD所在直线的函数解析式也可以通过下面的方法求得：

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点C的坐标是（50，1100），点D的坐标是（60，0）

设线段CD所在直线的函数解析式是s kt b，将点C，D的坐标代入，得 50k b 1100, k 110,

解得

60k b 0.b 6600.

所以线段CD所在直线的函数解析式是s 110t 6600)

★★28、（2010丽水）△ABC中，∠A=∠B=30°，AB

=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．

(1) 当点B

B的横坐标；

(2) 如果抛物线y ax2 bx c(a≠0)的对称轴经过点C

1① 当a b

，c A，B两点是否都 2

在这条抛物线上？并说明理由；

② 设b=

-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不

可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m若不存在，请说明理由．

解：(1) ∵ 点O是AB的中点， ∴ OB

设点B的横坐标是x(x>0)，则x2 解得 x1

(第28题)

1

AB 2

2

2， x2 舍去)． ∴ 点B

(2) ① 当a y

211

x b ，c y ……(＊)

22

2x ．

以下分两种情况讨论．

情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C OC OB tan30 1．

由此，可求得点C的坐标为点A的坐标为()， )， (甲)

∵ A，B两点关于原点对称， ∴ 点B的坐标为)．

，即等于点A的纵将点A的横坐标代入(＊)(乙)

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坐标；

将点B的横坐标代入(＊)

式右边，计算得，即等于点B的纵坐标． ∴ 在这种情况下，A，B两点都在抛物线上．

情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为

)，

点A的坐标为

)，点B的坐标为

(

)．

经计算，A，B两点都不在这条抛物线上．

(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上) ② 存在．m的值是1或-1． (y a(x m)2 am2 c，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)

★★29、（2010龙岩）如图，抛物线交x轴于点A（ 2，

0），点B（4，0），交y轴于点C（0， 4）． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标； （2）若直线y＝ x交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC．试判断△EBC的形状，并加以证明；

（3）设P为直线MN上的动点，过P作PF∥ED

直线MN上是否存在点P，使得以P、E、D、F求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：

（法一） 设所求的抛物线解析式y ax2 bx c(a 0) ∵ 点A、B、C均在此抛物线上

1 a 4a 2b c 02

∴ 16a 4b c 0∴ b 1

c 4 c 4

∴ 所求的抛物线解析式为y

12

x x 4 2

9

顶点D的坐标为（1， ）

2

（法二） 设所求的抛物线解析式y a(x 2)(x 4) ∵ 点C在此抛物线上，∴ a(0 2)(0 4)

4，a

1 2

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1

∴ 所求的抛物线解析式为y (x 2)(x 4)

2 即y

912

x x 4， 顶点D的坐标为（1， ）

22

（2）△EBC的形状为等腰三角形

证明：

（法一） ∵ 直线MN的函数解析式为y x

∴ ON是∠BOC的平分线

∵ B、C两点的坐标分别为（4，0），（0， 4） ∴ CO=BO=4，∴ MN是BC的垂直平分线 ∴ CE=BE，即 △ECB是等腰三角形。

（法二） ∵ 直线MN的函数解析式为y x

∴ ON是∠BOC的平分线，∴ ∠COE =∠BOE ∵ B、C两点的坐标分别为（4，0）、（0， 4）

∴ CO=BO=4，又 ∵ CE=BE，∴ △COE≌△BOE ∴ CE=BE 即 △ECB是等腰三角形

（法三） ∵ 点E是抛物线的对称轴x 1和直线y x的交点

∴ E点的坐标为（1， 1）

∴ 利用勾股定理可求得 CE

BE

∴ CE=BE ，即 △ECB是等腰三角形

（3）解：存在 ∵ PF∥ED

∴ 要使以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形，只要使PF=ED ∵ 点E是抛物线的对称轴x 1和直线y x的交点 ∴ E点的坐标为（1，－1）

97

∴ ED 1 ( ) ，∵ 点P是直线y x上的动点

22 ∴ 设P点的坐标为（k, k） 则直线PF的函数解析式为x=k ∵ 点F是抛物线和直线PF的交点

1

∴ F的坐标为(k,k2 k 4)

2121

∴ PF= k (k k 4) k2 4

22

127

∴ k 4

22

∴ k 1

9

当k 1时，点P的坐标为（1， 1），F的坐标为（1， ）

2

此时PF与ED重合，不存在以P、F、D、E为顶点的平行四边形

5

当k 1时，点P的坐标为（ 1，1），F的坐标为（ 1， ）

2 此时，四边形PFDE是平行四边形

★★30、（2010

ABC绕其直角顶点C

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顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得△A1B1C，A1C交AB于点D，A1B1分别交于BC、AB于点E、F，连接AB1． （1）求证：△ADC∽△A1DF； （2）若α=30°，求∠AB1A1的度数；

（3）如图②，当α=45°时，将△A1B1C沿C→A方向平移得△A2B2C2，A2C2交AB于点G，B2C2交BC于点H，设CC2=x（0＜x

ABC与△A2B2C2的重叠部分面积为S，试求S与x的函数关系式．

图① 图② （第30题图） 解：（1）证明：如图①，根据旋转变换的性质易知 ∠CAD=∠FA1D ， ∵ ∠1=∠2 ， ∴ △ADC∽△A1DF （2）解：

（法一） ∵ CA=CA1=CB=CB1

∵ 点A、A1、B、B1均在以C为圆心

∴ ∠AB1A1=

11

30 15 22

（法二） 如图①，

∵ AC=B1C，∴ ∠4=∠3，∵ 30 ，∠A1CB1=90°

180 ACB1

∴ ∠ACB1=120°，∴ ∠4==30°

2

∴ ∠AB1A1=∠CB1A1 ∠4=45° 30°=15° （法三）如图①，

∵ AC=B1C，∴ ∠4=∠3，∵ ∠CAB=∠CB1A1

∴ ∠CAB ∠3=∠CB1A1 ∠4，即 ∠B1AB=∠AB1A1

∵ ∠5=∠B1AB+∠AB1A1， ∠5=2∠AB1A1 ∵ △ADC∽△A1DF

11

∴ ∠5= ，∴ ∠AB1A1= 5 15

22

（3）解：△A1B1C在平移的过程中，易证得△AC2G、△HB2E、△A2FG、△C2HC、

△FBE均是等腰直角三角形，四边形AC2B2F是平行四边形 ∵ AB

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∴ 当α=45°时，CE=CD=

1

AB=1 2

情形①：当0＜x＜1时（如图②所示），

△A2B2C2与△ABC的重叠部分为五边形C2HEFG

（法一） S五边形C2HEFG=S平行四边形AC2B2F SRt△AC2G SRt△HB2E

∵ C2C=x

∴ CH=x，AC2

x，B2E=HE=1 x ∴ AG=C2G

x) 1 AC2

∴ S平行四边形AC2B2F=AC2·CE=

x）·

x 12111

x) x x2 ·AG2

=(1

2242

1111

SRt△HB2E=·B2E2=(1 x)2 x x2

2222

SRt△AC2G=

1111

x2) ( x x2) ∴ S五边形C2HEFG

x (

2422

=

32x x 1 4（法二） S五边形C2HEFG= SRt△A2B2C2 SRt△A2FG SRt△HB2E

∵ C2C=x

∴ AC2

x，B2E=1 x ∴ C2G

x) 1 AC2

x) 1 x A2G=A2C2 C2G

(1 ∴ SRt△A2B2C2= SRt△A2FG=

11

2

A2C2=2=1 22

1211

x) x2 A2G2

= 1

242

1111

SRt△HB2E =B2E2=(1 x)2 x x2

2222

∴ S五边形C2HEFG

=1

=

111

x x2) ( x x2) 42232x x 1

4

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（法三） S五边形C2HEFG= SRt△ABC SRt△AC2G SRt△C2HC SRt△FBE

∵ C2C=x

∴ AC2

x，CH=x，BE

1 ∴ AG=C2

∴ SRt△ABC=

x) 1 x AC2

11

AC2=2=1 22

12111

x) x2 AG2

=(1

2242

11

SRt△C2HC =C2C2=x2

22

SRt△ AC2G =

SRt△FBE =

11

BE2

= 1)2

22

111 x2) x2 ∴ S五边形C2HEFG

=1 (

2423x 1

= x2

4情形②：当1≤x

△A2B2C2与△ABC的重叠部分为直角梯形C2B2FG

（法一） S直角梯形C2B2FG

=S平行四边形C2B2FA SRt△AC2G

1

=AC2·CE AG2

2

11

x x2)

x (

24

=

121x 1)x 42

（法二） S直角梯形C2B2FG= SRt△A2B2C2 SRt△A2FG

=1 =

1

x2)

4

121x 1)x 42

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ox91.html