2019届高考数学第二轮复习限时训练题18

限时规范训练十[单独成册]

(建议用时45分钟)

1．(2018·山西省四校高三联考)在△ABC中，角A、B、C的对边分别CA3为a、b、c，面积为S，已知acos22＋ccos22＝2b. (1)求证：a、b、c成等差数列； π

(2)若B＝3，S＝43，求b.

CA

(1)证明：由正弦定理得：sin Acos22＋sin Ccos22 3

＝2sin B，

sin A＋sin Acos Csin C＋sin Ccos A3∴＋＝2sin B 221113

∴2sin A＋2sin C＋2sin(A＋C)＝2sin B ∴sin A＋sin C＝2sin B

∴a＋c＝2b，∴a、b、c成等差数列

13

(2)解：∵S＝2acsin B＝4ac＝43，∴ac＝16. 又b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac， 由(1)得：a＋c＝2b，∴b2＝4b2－48， ∴b2＝16，即b＝4.

2．(2018·高考全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． sin B(1)求sin C；

2

(2)若AD＝1，DC＝2，求BD和AC的长．

11

解：(1)S△ABD＝2AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝2AC·ADsin∠CAD. 因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC. sin BAC1由正弦定理，得sin C＝AB＝2.

(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝2. 在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC. 故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6. 由(1)，知AB＝2AC，所以AC＝1.

3．(2018·高考浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，π1b，c，已知A＝4，b2－a2＝2c2. (1)求tan C的值；

(2)若△ABC的面积为3，求b的值． 12

解：(1)由b－a＝2c及正弦定理得

2

2

112

sinB－2＝2sinC，

2

所以－cos 2B＝sin2C. π3

又由A＝4，即B＋C＝4π，得 －cos 2B＝sin 2C＝2sin Ccos C， ∴2sin C·cos C＝sin2 C 解得tan C＝2.

(2)由tan C＝2，C∈(0，π)，得

255

sin C＝5，cos C＝5. ?π?

因为sin B＝sin(A＋C)＝sin?4＋C?，

?

?

310所以sin B＝10. 22b

由正弦定理得c＝3，

π1

又因为A＝4，2bcsin A＝3，所以bc＝62，故b＝3.

4．(2018·高考调研卷)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对3cb的边分别为a，b，c，且tan A＝2.

c＋b2－a2(1)求角A的大小；

(2)当a＝3时，求c2＋b2的最大值，并判断此时△ABC的形状． sin A3cb

解：(1)由已知及余弦定理，得cos A＝2cbcos A， 3

sin A＝2，

因为A为锐角，所以A＝60°.

abc3

(2)法一 由正弦定理，得sin A＝sin B＝sin C＝＝2，

32所以b＝2sin B，c＝2sin C＝2sin(120°－B)． c2＋b2＝4[sin2B＋sin2(120°－B)]

?1－cos 2B1－cos?240°－2B??

? ＝4?＋22?????11?13

＝4?1－2cos 2B－2?－cos 2B－sin 2B??

2??2??

＝4－cos 2B＋3sin 2B

＝4＋2sin(2B－30°)．

?

当sin(2B－30°)＝1，即B＝60°时，(c2＋b2)max＝6， 此时C＝60°，△ABC为等边三角形．

法二 由余弦定理得(3)2＝b2＋c2－2bccos 60°＝b2＋c2－bc＝3. b2＋c2

而bc≤2(当且仅当b＝c时取等号)，

b2＋c2

则3≥2，即b2＋c2≤6(当且仅当b＝c时取等号)． 故c2＋b2的最大值为6，此时△ABC为等边三角形．

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