复变函数总结

第一章 复数与复变函数

一、复数几种表示 （1）代数表示 z?x?yi

（2）几何表示：用复平面上点表示

（复数z、点z、向量z视为同一概念） （3）三角式：z?r(cos??isin?) （4）指数式 ： z?rei? 辐角Argz?argz?2k? |z|?x2?y2

y?arctan,x?0,?x?y?arctan??,x?0,y?0x argz?? ?y?arctan??,x?0,y?0x???/2,x?0,y?0???/2,x?0,y?0?z?zz?z,y? x? 22i二、乘幂与方根

（1）乘幂： z?rei?，zn?rnein? （2）方根： nz?n|z|e

第二章 解析函数

一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似

函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域内处处可导

2k??argzin,k?0,1,2,?n?1

注：（1）点解析?点可导， 点可导推不出点解析 （2）区域内解析与可导等价

二、定理1 w?f(z)?u?iv在z0可导?u,v在z0可微，满足C-R方程

定理2 w?f(z)?u?iv在区域D内解析（可导） ?u,v在区域D内可微，满足C-R方程

讨论1 u,v在区域D内4个偏导数存在且连续，满足C-R方程 ?w?f(z)?u?iv在区域D内解析（可导） 三、解析函数和调和函数的关系

1、定义1 调和函数：满足拉普拉斯方程，且有二阶连续偏导数的函数。

定义2 设?(x,y),?(x,y)是区域D内调和函数，且满足C-R方程，

?x??y,?y???x，则称?是?的共轭调和函数。

2、定理1 解析函数的虚部与实部都是调和函数。

定理2 函数在D内解析?虚部是实部的共轭调和函数。 3、问题：已知解析函数的实部（或虚部），求虚部（或实部） 理论依据：

（1）虚部、实部是调和函数。 （2）实部与虚部满足C-R方程。 求解方法：（例如已知v）

（1）偏积分法：先求ux,uy，再求u??uxdx??(y)，得出?(y) （2）利用曲线积分：求ux,uy,du，再u??(x,y)uxdx?uydy?c

00(x,y) （3）直接凑全微分：求ux,uy,du，再du

四、初等函数

1、指数函数w?ez?exeiy?ex(cosy?isiny) 性质：（1）ez是单值函数，

（2）ez除无穷远点外处处有定义 （3）ez?0

zz （4）ez处处解析，(e)??e

（5）ez?z?ezez

1212 （6）ez是周期函数，周期是2k?i

2、对数函数w?Lnz?ln|z|?iargz?i2k? （多值函数） 主值（枝）lnz?ln|z|?iargz （单值函数） 性质：（1）定义域是z?0， （2）多值函数

（3）除去原点和负实轴的平面内连续 （4）除去原点和负实轴的平面内解析， （5） Ln(z1z2)?Lnz1?Lnz2

(Lnz)??11(lnz)??z，z，

z1Ln?Lnz1?Lnz2z2 3、幂函数w?z??e?Lnz(z?0,?是复常数） （1）?为正整数，函数单值、处处解析，

（2）?为负整数，函数单值、除去z?0及其负实轴处处解析， 4、三角函数

s?isin? 欧拉公式 ei??co?ei??e?i?ei??e?i?s?,sin??或 co?

22ieiz?e?izeiz?e?iz,sinz?定义：cosz? 22i tanz?sinz/cosz,cotz?cosz/sinz secz?1/cosz,cscz?1/sinz

性质：周期性、可导性、奇偶性、零点、等于实函数一样 各种三角公式、求导公式照搬 注：sinz,cosz的有界性 保护成立。

第三章 复变函数的积分

一、复积分?cf(z)dz??c(u?vi)d(x?yi)??cudx?vdy?i?cvdx?udy

?f(z)dz （c的正向为逆时针方向）

c计算方法：

（1）第二类曲线积分计算 （2）化为普通定积分

c:z?z(t)?x(t)?iy(t),t:a?b

?f(z)dz??[u(x(t),y(t))?iv(x(t),y(t))][x?(t)?iy?(t)]dt

cab重要结果：

?2?i,n?11 ?|z?z|?r （n为任意整数） dz??00,n?1(z?z0)n? 二、柯西积分定理

定理1（柯西积分定理） 设f(z)在单连通区域D内解析，C为D

内任意一条简单闭曲线，则

?Cf(z)dz?0 。

注：条件变为f(z)在单连通区域D内解析，在D的边界C上连续，结论成立，即

?Cf(z)dz?0 。

定理2 设f(z)在单连通区域D内解析，则积分与路径无关。 记积分为

?zz0f(z)dz，或?f(?)d?

z0z原函数定义

结论：F(z)??zf(?)d?是f(z)的原函数。

0z

?z1z0f(z)dz?F(z1)?F(z0) （条件：f(z)是解析函数）

定理3 （闭路变形原理）（柯西积分定理推广到多连通区域） C1,C2是两条简单闭曲线，C2在C1内部，f(z)在C1,C2所围区域D内解析，在C1,C2上连续，则

?C1f(z)dz??f(z)dz

C2注：定理3说明：区域内的解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内的连续变动而改变它的值。

三、柯西积分公式

定理1 （柯西积分公式）f(z)在简单闭曲线C上连续，C的内部解析（即单连通区域D内解析），z0是C的内部一点，则

f(z) ?Cz?z0dz?2?if(z0)

注：（1）D为多连通区域时，公式仍 成立。 （2）提供了计算积分的一种方法。

推论1 （平均值公式）设f(z)在|z?z0|?R内解析，在|z?z0|?R上连续，则

1f(z)?0 2??2?0f(z0?Reei?)d?

定理2 （最大模原理）设f(z)在区域D内解析，又f(z)不是常数，则在D内|f(z)|没有最大值。

推论1 区域D内的解析函数，若其模在D内一点达到最大值，则此函数被常数。（定理2的逆否命题）

四、解析函数的高阶导数

定理1 （解析函数的高阶导数）设f(z)在简单闭曲线C所围的单连通区域D内解析，在C上连续，则f(z)的各阶导数均在D内解析，且对D内z有 f(n)(z)?n!f(?)f(?)2?i(n)d?d??f(z) ，或n?1n?1??CC2?i(??z)(??z)n!f(?)d??2?if(z)求导即得。 ??z注：由柯西积分公式?C第四章 解析函数的级数表示 一、数项级数?zn，其中zn?xn?iyn

n?1?定理

?zn?1??nzn?0 收敛的必要条件是limn??定理 定理

?zn?1?n收敛?

|收敛?

?xn?1??n与

?yn?1?n均收敛

?|zn?1?n?zn?1?n收敛，称为绝对收敛

?|zn?1n|发散，?zn收敛，称为条件收敛

n?1二、幂级数

?c(z?z)n0n?0?n

收敛半径??lim|n??1cn?1|, ??limn|cn|, 则R? n???cn收敛圆|z?z0|?R

三、函数展开成泰勒级数（幂级数）

?1公式：1、??zn，|z|?1

1?zn?0 2、e??zn， |z|??

z1n?0n!?113!5!11 cosz?1?z2?z4??， |z|??

2!4! 3、sinz?z?z3?z5??，|z|??

4、对数函数，反三角函数求导数 四、洛朗级数 （函数在环域内展开） 第五章 留数

一、孤立奇点z0（函数在z0不解析，在z0的去心邻域内解析）

分类：1、可去奇点（洛朗级数中没有负幂项）

f(z)存在 判定（1）洛朗级数，（2）zlim?z02、极点（洛朗级数中有有限负幂项） 判定（1）洛朗级数，

f(z)?? （2）zlim?z0极点阶数判定： （1）洛朗级数 （2）f(z)?的m阶极点。

1?(z)，?(z)在z0解析，?(z0)?0，则z0是f(z)m(z?z0) （3）零点与极点关系 （4）f(z)?P(z)，z0是分子的n阶零点，是分母的m阶零点， Q(z) m>n时，z0是函数的m-n阶极点，否则，是可去奇点。

3、本性奇点（洛朗级数中有无限负幂项） 判定 （1）洛朗级数，

f(z)不存在，也不是无穷。 （2）zlim?z0二、m阶零点

法1 f(k)(z0)?0,k?0,1,?,m?1,f(m)(z0)?0 法2 函数在z0展开成幂级数

三、留数 Res[f(z),z0]?c?1，c?1是洛朗级数中留数计算： 可去奇点处留数为零 本性奇点：通过洛朗级数求解 m阶极点：Res[f(z),z0]?1lim[(z?z0)mf(z)](m?1) (m?1)!z?z01系数。 z?z0im(z?z0)f(z) 一阶极点 Res[f(z),z0]?zl?z0 或 Res[f(z),z0]?P(z)|z?z0，z0是分母1阶零点，不是分子零点 Q(z)注：用洛朗级数求留数，不需判定奇点类型。

留数定理：?Cf(z)dz?2?i?Res[f(z),zk]，条件；f(z)在C内除有限个孤

k?1n 立奇点外处处解析。

函数在?留数：Res[f(z),?]???Res[11f(),0] z2z定理 函数在扩充复平面上各点留数和为零。

四、留数在定积分中的应用 1、形如 ?2?0R(cos?,sin?)d? 的积分

2、形如???????R(x)dxiax 的积分

R(x)e3、???dx(a?0)

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