多项式最大公因式性质定理及求解方法

多项式最大公因式性质定理及求解方法

作者：xxx 指导教师：xxx

摘 要 对多项式最大公因式理论中的重要性质定理进行总结归纳及对其中一个性质定理的结构进行进一步的研究，以及研究最大公因式的几种求解方法：因式分解法；辗转相除法；矩阵的初等变换法．

关键词 公因式 最大公因式 辗转相除法 初等变换

最大公因式是多项式理论的核心概念，最大公因式的性质在多项式理论的研究中具有关键作用，本文将分三个方面阐述这些内容：首先总结归纳最大公因式的性质定理；其次对其中的一个重要性质定理作进一步的研究；最后将对最大公因式的求解方法：因式分解法、辗转相除法、矩阵的初等变换法进行研究．

本文所考虑的多项式均为数域F上的一元多项式环F[x]内的多项式．

§1．最大公因式的定义及性质

首先我们给出最大公因式的定义：

定义1：设d(x)是多项式f(x)与g(x)的一个公因式，若是d(x)能被f(x)与g(x)的每一个公因式整除，那么d(x)叫做f(x)与g(x)的一个最大公因式．以(f(x),g(x))表示f(x)与g(x)在F[x]中最高项系数为1的最大公因式．

例1．如果f(x)?g(x)?q(x)，那么g(x)是f(x)和g(x)的最大公因式．

证明：按定义1．有g(x)是f(x)与g(x)的一个公因式， 设h(x)是f(x)和g(x)的任一公因式，则有： h(x)|g(x)， 所以按定义，有g(x)是f(x)与g(x)的最大公因式． 为研究多项式最大公因式的性质定理下面将给出一个引理：

引理1：如果多项式h(x)是多项式f(x)和g(x)的公因式，a(x)和b(x)是F[x]上的两个任意多项式，那么h(x)一定是多项式a(x)?f(x)?b(x)?g(x)的因式．

证明：因为h(x)是f(x)的因式，

所以 可设 f(x)?h(x)?m(x)， g(x)?h(x)?n(x)，其中m(x)，n(x)?F[x]． 又因为 a(x)?f(x)?b(x)?g(x)?h(x)?a(x)?m(x)?h(x)?b(x)?n(x)

?h(x)[a(x)?m(x)?b(x)n(x)]．

1

所以 h(x)是a(x)?f(x)?b(x)?g(x)的因式． 注：应用引理1有时可以方便的求两个多项式的最大公因式．

例2：求f(x)?3x3?2x?1和g(x)?3x3?2x?5的最大公因式． 解：由上面的引理可知：所求的最大公因式一定是：

?f(x)?g(x)?4(x?1)的因式， 又因为 f(1)?0，g(1)?0，可知所求的最大公因式就是x?1．

定理1:设g(x)?0，f(x)?g(x)?q(x)?r(x)，其中??(r(x))???(g(x))，则有

(f(x),g(x))?(g(x),r(x)) ．

注：定理1的结论可以形象的叙述为：

(被除式，除式)?(除式，余式).

证明：设d(x)是g(x)和r(x)的最大公因式，那么根据引理１得：d(x)也是f(x)的因式，从而

d(x)是f(x)和g(x)的公因式；其次，设h(x)?F[x]是f(x)和g(x)的任一公因式，那么由引理１

得：h(x)是r(x)?f(x)?g(x)?q(x)的因式，所以h(x)是r(x)的因式.因此, h(x)是g(x)和r(x)的公因式,从而可知h(x)能够整除d(x)；所以d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式．

根据引理１和定理１不难得到：

定理２：如果f(x)和g(x)不全是零多项式，那么f(x)和g(x)一定有最大公因式，并且f(x)和

g(x)的最大公因式，除了一个零次多项式的因式差别之外是唯一确定的．

具体证明过程可参阅[1] 、[2]．

两个多项式的最大公因式存在的一条非常重要的性质：

定理３：若d(x)是F[x]的多项式f(x)和g(x)的公因式，则以下命题等价：

（i）d(x)为f(x)和g(x)的一个最大公因式；

（ii）在F[x]里存在多项式u(x)与v(x)使u(x)?f(x)?v(x)?g(x)?d(x).

证明：由(i)推(ii):

若f(x)?g(x)?0，那么d(x)?0，这时F[x]中任何两个多项式都可以取作u(x)与v(x)． 若f(x)与g(x)不都等于零，不妨假定g(x)?0，用辗转相除法来求（f(x)，g(x)）.用g(x)去除f(x)应用带余除法，得商式q1(x)及余式r1(x)．如果r1(x)?0，那么再以r1(x)除g(x)，得

2

商式q2(x)及余式r2(x)．如果r2(x)?0，再以r2(x)除r1(x)，得商式q3(x)及余式r3(x)如此继续下去，因为余式的次数在带余除法中每次降低，所以作了有限次这种除法后，必然得出这样一个余式rk(x)?0，使得rk?1(x)?rk(x)?qk?1(x)，于是我们得到一串等式：

f(x)?g(x)?q1(x)?r1(x)， g(x)?r1(x)?q2(x)?r2(x)，

r1(x)?r2(x)?q3(x)?r3(x)，

……………………………… (1) rk-3(x)?rk-2(x).qk-1(x)?rk-1(x)， rk-2(x)?rk-1(x)?qk(x)?rk(x)， rk-1(x)?rk(x)?qk?1(x)．

则 rk(x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式，考察等式组（1）的倒数第二个等式，得

rk-2(x)?rk-1(x)?qk(x)?rk(x)，

令 u1(x)?1，v1(x)??qk(x)，那么上面的等式可以写成 :

rk-2(x)?u1(x)?rk-1(x)?v1(x)?rk(x)． 由（1）的倒数第三个等式，得

rk-1(x)?rk-3(x)?rk-2(x)?qk-1(x)．

把rk-1(x)的这个表达式带入(3)中，

并令 u2(x)?v1(x)，v2(x)?u1(x)?v1(x)?qk-1(x)，所以有

rk-3(x)?u2(x)?rk-2(x)?v2(x)?rk(x)．

如此继续利用（1）中的等式，最后可得到

f(x)?uk(x)?g(x)?vk(x)?rk(x)．

但f(x)与g(x)的最大公因式d(x)等于F中不为零的数c与rk(x)的积：

d(x)?c?rk(x)，

因此 取u(x)?c?uk(x)，v(x)?c?vk(x)，即得所证．

由(ii)推(i):

3

3） （设h(x)是f(x)与g(x)的任一公因式，则h(x)|f(x)，h(x)|g(x)，由引理1得h(x)是

u(x)?f(x)?v(x)?g(x)?d(x)的因式，即h(x)|d(x)．又因为d(x)是f(x)与g(x)的公因式，所

以d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式．

若(f(x),g(x))?1，则称多项式f(x)与g(x)互素． 与定理3类似的还有下面一条重要的定理：

定理4 ：在F[x]中，设f(x)?d(x)?f1(x)，g(x)?d(x)?g1(x)，且f(x)与g(x)不全为零，则d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式?(f1(x),g1(x))?1．

证明：

充分性：如果(f1(x),g1(x))?1，则由多项式互素的判定定理有，存在u(x)，v(x)使

f1(x)?u(x)?g1(x)?v(x)?1，

则 等式两边同时乘以d(x)，得

d(x)?f1(x)?u(x)?d(x)?g1(x)?v(x)?d(x),

由命题条件f(x)?d(x)?f1(x)，g(x)?d(x)?g1(x)知d(x)是f(x)与g(x)的公因式，结合上式同时有

f(x)?u(x)?g(x)?v(x)?d(x)，

所以，由定理3得d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式．

必要性：若d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式，则由定理3得，存在u(x)，v(x)使

f(x)?u(x)?g(x)?v(x)?d(x)．

因为 f(x)?d(x)?f1(x)，g(x)?d(x)?g1(x)，所以代进上式变为

d(x)?[f1(x)?u(x)?g1(x)?v(x)]?d(x)，

又因为f(x)，g(x)不全为零，所以d(x)?0，可用d(x)除等式两边，得

f1(x)?u(x)?g1(x)?v(x)?1，

所以 1是f(x)与g(x)的公因式，由Th3得,(f1(x),g1(x))?1．

已知d(x)?(f(x),g(x))，则(af(x),g(x))?d(x)，(f(x)?g(x),g(x))?d(x),一般地有：

4

定理5 ：令f(x)与g(x)是F[x]的多项式，而a、b、c、d是F中的数，并且ad?bc?0，则d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式?d(x)也是af(x)?bg(x)与cf(x)?dg(x)的最大公因式．

证明：设d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式，并令d(x)?(f(x),g(x)).

命 F(x)?af(x)?bg(x)，G(x)?cf(x)?dg(x)，现只需证明d(x)?(F(x),G(x))即可． 由 引理1知，d(x)是F(x)的因式，同时d(x)也是G(x)的因式， 所以 d(x)是F(x)与G(x)的公因式．

设 h(x)是F(x)与G(x)的任一公因式，现证明h(x)|d(x)如下： 因为 F(x)?af(x)?bg(x)，G(x)?cf(x)?dg(x)，且ad?bc?0, 所以 从F(x)与G(x)的表达式中可得：

dbF(x)?G(x)，

ad?bcad?bccag(x)??F(x)?G(x)，

ad?bcad?bcf(x)?又由于h(x)是F(x)与G(x)的公因式，所以h(x)|f(x)，h(x)|g(x), 从而h(x)|d(x)．

即证明了d(x)是af(x)?bg(x)与cf(x)?dg(x)的最大公因式．

\?\

因为 d(x)是af(x)?bg(x)与cf(x)?dg(x)的最大公因式 ，由Th3可知在F[x]里总可以求得多项式u(x)与v(x)使

u(x)[af(x)?bg(x)]?v(x)[cf(x)?dg(x)]?d(x) , 即 f(x)[au(x)?bv(x)]?g(x)[bu(x)?dv(x)]?d(x)． 令 u1(x)?au(x)?cv(x),v1(x)?bu(x)?dv(x),则

u1(x)f(x)?v1(x)g(x)?d(x)． ①

由引理1得d(x)是d[af(x)?bg(x)]?b[cf(x)?dg(x)]?(ad?bc)f(x)的因式， 同时也是c[af(x)?bg(x)]?a[cf(x)?dg(x)]?(bc?ad)g(x)的因式． 又?ad?bc?0,?d(x)|f(x),d(x)|g(x) , ②

5

f1(x),f2(x),?,fn(x)中至少有一个常数项不为0，则它们的最大公因式d(x)的常数项必不为0．

证明：

假设d(x)的常数项等于0，则d(x)能被x整除，所以fi(x)(i?1,2,?,n)的常数项均为0，与条件矛盾，证毕．

再由前3个性质及推论1得性质4：

（4）：设f1(x),?,fi(x),?,fj(x),?,fn(x)是F(x)中的n个一元多项式，并设f(x)?xkgi(x)，

其中1?i?n，k为非负整数，fj(x)为常数项不为0的一元多项式，其中1?j?n，且i?j，则

(f1(x),?,fi(x),?,fj(x),?,fn(x))?(f1(x),?,gi(x),?,fj(x),?,fn(x))．

证明：设(f1(x),?,gi(x),?,fj(x),?,fn(x))?d(x), 显然 d(x)是f1(x),?,fi(x),?,fj(x),?,fn(x)的一个公因式． 其次 设h(x)是f1(x),?,fi(x),?,fj(x),?,fn(x)的任一公因式，则

h(x)|fi(x)，h(x)|xkgi(x)，

而 (f1(x)…,fi(x),fi?1(x),…,fj(x),…,fn(x))的常数项非零，则

h(x)不含xk这一因式，从而h(x)|gi(x)，因而h(x)是f1(x)…,gi(x),…,fn(x)的公因式,

所以 h(x)|d(x).

所以 (f1(x),?,fi(x),?,fj(x),?,fn(x))?(f1(x),?,gi(x),?,fj(x),?,fn(x))．

为了更方便的介绍n个多项式最大公因式的求解，现将上述四条性质相应的称为：第一种，第二种，第三种，第四种初等变换，并用以下内容概括：

⑴交换两个多项式的位置，所求的最大公因式不会改变；

⑵用一非零常数乘以某一多项式，所求的最大公因式不会改变；

⑶把某一多项式的k倍(k?0)，加到另一个多项式上，所求的最大公因式不会改变； ⑷性质4我们暂称为替换变换，它也不改变其最大公因式（只有在某一多项式常数项不为0的条件下才成立）．

现再给出n行多项式矩阵的定义：

定义3：设fi(x)(i?1,2,?,n)是F上的n个一元多项式，且这n个多项式的最高次项的次数是

m次，现将每个多项式各项的系数（按逐次降幂次序排列，缺少次数的项的系数取0）排出来作为矩阵的一行，这样构造出来一个n行m+1列矩阵，我们称这个矩阵为n个多项式的n行多项式矩阵，

?f1(x)???n个多项式f1(x),f2(x),?,fn(x)所组成的n行多项式矩阵记为???，并规定该矩阵表示

?f(x)??n?

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(f1(x),f2(x),?,fn(x))的最高次项系数为1的最大公因式．

下面将给出关于n行多项式矩阵的一些结论：

定理7：设fi(x)(i?1,2,?,n)是F上的n个一元多项式，对这n个多项式（至少有一个常数项

?f1(x)???不等于0）组成的多项式矩阵???，作四种初等变换，所求的最大公因式不会改变；该定理可由

?f(x)??n?前面谈到的n个多项式最大公因式的四条性质直接得到．

在前面的基础上，现给出定理8：

?f1(x)?? d(x)?????定理８：对于n行多项式矩阵???，一定可以通过四种初等变换，化成?0??的形式，

?f(x)?? 0????n?其中d(x)就是它的最大公因式．

定理8的证明过程参阅[3]．

下面以实例阐述多项式最大公因式的矩阵求法．

例5．设f(x)?x3?2x2?4x?8，g(x)?x3?x2?4x?4，求(f(x),g(x))．

?1?2?48?解：对矩阵A???1-1-44??施行矩阵的初等变换得：

???1?2?48??10-40??010-4??010?4?????. A?????????01???????0?4??010-4??010?4??0000??故 (f(x),g(x))?(x2?4,0)?x2?4.

例6．设f(x)?2x3?5x2?3x?2，g(x)?4x3?2x2?2x，h(x)?6x4?3x3+7x?2x

2?2，求它们的最大公因式．

?02532???解：对矩阵A??04220?施行初等变换得：

?63722????02110??0021???A??02532???0253?612-10??0612???1??0012?00211??????00000???0000??00000?????0000?

0??002111??00211??????3???001477???00211?????0???06330??00211?1??2?0???0??12

故 (f(x),g(x),h(x))?(x?21111x?,0,0)?x2?x?. 2222参考文献：

[1]余元庆.方程论初步．上海：教育出版社,1979. [2]张禾瑞,郝炳新．高等代数（第四版）．北京：高等教育出版社，1997. [3]郁金祥．多项式最大公因式求解方法的推广．嘉兴学院学报，2003，（3）：27-29. [4]汪军．关于多项式最大公因式的进一步探讨．工科数学，1999，（3）：137-139. [5]王向东．高等代数常用方法．科学出版社，1989. [6]万哲先．代数导引．科学出版社，2004.

The proprties and methods about the greatest

common divisor of the polynomials

Wang Fei Directed by Prof.Dong Huiying

Abstract This paper summaries the important proprties about the greatest common divisor of the polynomials,among which is further researched for its serucfure ,and gives several methods of finding the greatest common divisors of the polynomials :factoring method;Euclidean algorithm;matrix method．

Key words common divisors greatest common divisors Euclidean algorithm elemetary transform

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ox0p.html