人教版数学必修一初等函数难题

【考点训练】基本初等函数I-1

一、选择题（共10小题）

1．方程（fx）=x的根称为（fx）的不动点，若函数（fx）=

有唯一不动点，且x1=2，xn+1=

（n∈N），

+

则

（x2014﹣1）=（ ）

B2013 ． C1 ． D0 ． 2

3

A2014 ． 2．（2012?泸州二模）设a，b为正实数， A1 ． B﹣1 ． C±1 ． ，（a﹣b）=4（ab），则logab=（ ）

D． 3．（2014?天津二模）设a＞b＞0，a+b=1且x=（），y=log Ay＜x＜z ． Bz＜y＜x ． Cy＜z＜x ． b

a，z=

Dx＜y＜z ． a，则x，y，z的大小关系是（ ）

4．（2010?广州模拟）若2＜x＜3， AQ＜P＜R ． *

，Q=log2x，CP＜R＜Q ． ，则P，Q，R的大小关系是（ ） DP＜Q＜R ． BQ＜R＜P ． 5．设a，b，x∈N，a≤b，已知关于x的不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga的解集X的元素个数为50个，当ab取最大

可能值时，=（ ） AB6 CD4 ． ． ． ． 6．函数f（x）的定义域为D，满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[

x

]?D，使得f（x）在[]上的值

域为[a，b]，那么就称函数y=f（x）为“优美函数”，若函数f（x）=logc（c﹣t）（c＞0，c≠1）是“优美函数”，则t的取值范围为（ ） A（0，1） BCD（0，） （﹣∞，） （0，） ． ． ． ． 7．（2012?湖北模拟）已知定义域为（O，+∞）的单调函数f（x），若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）+]=3”，则方程f（x）=2+ A3 ． 的解的个数是（ ） B2 C1 ． ． 2

x

DO ． 8．在下列图象中，二次函数y=ax+bx+c与函数y=（）的图象可能是（ ）

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www.jyeoo.com A． B． C． D． 9．已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（a＞1），若x∈[0，1），t∈[4，6）时，F（x）=g（x）﹣f（x）

有最小值是4，则a的最小值为（ ） A10 B2 C3 D4 ． ． ． ． 10．（2013?自贡一模）已知对数函数f（x）=logax是增函数，则函数f（|x|+1）的图象大致是（ ） ABCD． ． ． ． 二、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷） 11．已知函数f（x）=

，a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1．

（1）判断函数f（x）的单调性；

（2）当a≠b时，利用（1）中的结论，证明不等式：

12．已知函数f（x）=2+（1）解不等式：

x

|x|

．

．

；

≤f（x）≤

（2）若关于x的方程f（2x）+af（x）+4=0在（0，+∞）上有解，求实数a的取值范围．

13．设f（x）=（）﹣3，解关于x的不等式f（

14．已知α，β满足等式

15．如果函数f（x）=a（a﹣3a﹣1）（a＞0且a≠0）在区间[0，+∞）单调递增，那么实数a的取值范围是什么？

16．（2007?浦东新区二模）记函数f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈D，f2（x）=x，则称f（x）是集合M的元素．

（1）判断函数f（x）=﹣x+1，g（x）=2x﹣1是否是M的元素；

（2）设函数f（x）=loga（1﹣a），求f（x）的反函数f（x），并判断f（x）是否是M的元素； （3）若f（x）≠x，写出f（x）∈M的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数．

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x

﹣1

xx

）+f（x）≤0．

，试求α+β的值．

xx2

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17．（2010?徐州一模）设P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是函数

图象上的两点，且

，

点P的横坐标为．

（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值； （2）若

，求Sn；

（3）记Tn为数列求a的取值范围． ①②

；

的前n项和，若对一切n∈N都成立，试

*

18．（2011?哈尔滨模拟）已知f（x）=ae+cosx﹣x（0＜x＜1） （1）若对任意的x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围； （2）求证：

19．（2009?金山区一模）已知函数f（x）=loga

在定义域D上是奇函数，（其中a＞0且a≠1）． ．

﹣x

（1）求出m的值，并求出定义域D；

（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明； （3）当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的值的范围恰为（1，+∞），求a及r的值．

20．（2004?宝山区一模）已知f（x）=log4（4+1）+kx（k∈R）是偶函数． （1）求k的值；

（2）证明：对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线（3）设围．

最多只有一个交点；

x

，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范

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【考点训练】基本初等函数I-1

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题）

1．方程（fx）=x的根称为（fx）的不动点，若函数（fx）=

有唯一不动点，且x1=2，xn+1=

（n∈N），

+

则

（x2014﹣1）=（ ）

A2014 B2013 ． ． 考点： 对数的运算性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 函数f（x）=有唯一不动点?有唯一实数根，化为ax2+（2a﹣1）x=0，由于a≠0，可得△=0，解得a=．f（x）=．由于x1=2，xn+1=，可得，再利用等比数列的通项公式与对数

C1 D0 ． ．

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的运算性质即可得出． 解答： 解：函数（fx）=有唯一不动点，∴有唯一实数根， 化为ax2+（2a﹣1）x=0，∵a≠0，∴△=（2a﹣1）2﹣0=0，解得a=． ∴f（x）=． ∵且x1=2，xn+1=， ∴xn+1==， ∴， ∴数列{xn﹣1}是等比数列， ∴， ∴．

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∴（x2014﹣1）==2013． 故选：B． 点评： 本题考查了新定义“不动点”、等比数列的通项公式与对数的运算性质，考查了等价转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 2．（2012?泸州二模）设a，b为正实数，，（a﹣b）2

=4（ab）3

，则logab=（ A1 B﹣1 C±1 D ． ． ． ． 考点： 对数的运算性质． 专题： 综合题． 分析： 由a，b为正实数，，知a+b，由（a﹣b）2=4（ab）3，知（a+b）2=4ab+（a﹣b）2=4ab+4（ab）3≥4=8（ab）2，故 ?2010-2014 菁优网

）

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，所以a+b=2ab，由此能够求出logab． 解答： 解：∵a，b为正实数，， ∴a+b， ∵（a+b）2=4ab+（a﹣b）2=4ab+4（ab）3≥4=8（ab）2， ∴，① 故a+b=2ab，② 由①中等号成立的条件知ab=1， 与②联立，解得，或． ∴logab=﹣1． 故选B． 点评： 本题考要对数性质的综合应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值不等

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www.jyeoo.com 式的灵活运用． 3．（2014?天津二模）设a＞b＞0，a+b=1且x=（），y=log Ay＜x＜z b

a，z=

Dx＜y＜z a，则x，y，z的大小关系是（ ）

Bz＜y＜x Cy＜z＜x ． ． ． 考点： 对数值大小的比较． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 利用对数函数和指数函数的单调性即可得出． 解答： 解：∵a＞b＞0，a+b=1，∴， ∴y=loga＜z=a，即y＜z． ∵a＞b＞0，a+b=1， ∴，，0＜b＜a＜1． ∴z=a=0，=1． ∴x＞z． ∴y＜z＜x． 故选：C． 点评： 本题考查了

． ?2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com 对数函数和指数函数的单调性，属于难题． 4．（2010?广州模拟）若2＜x＜3， AQ＜P＜R ． ，Q=log2x，CP＜R＜Q ． ，则P，Q，R的大小关系是（ ） DP＜Q＜R ． BQ＜R＜P ． 考点： 对数值大小的比较；指数函数的定义、解析式、定义域和值域． 专题： 计算题；综合题． 分析： 利用指数函数与对数函数及幂函数的性质可得到＜P＜，Q＞1，R＞，再构造函数x=22t，通过分析y=2t 和 y=2t的图象与性质，得到结论． 解答： 解：P=在x∈（2，3）上单调递减，＜P＜； Q=log2x在x∈（2，3）上单调递增Q＞1； R=在x∈（2，3）上单调递增，R＞，显然需要比较的是Q，R的大小

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关系． 令x=22t，这是一个单调递增函数，显然在x∈（2，3）上x与t 一一对应， 则1＜Q=log2x=2t，R=2t＜， ∴＜t＜log23＜?log24=1，在坐标系中做出 y=2t 和 y=2t的图象，两曲线分别相交在 t=1 和 t=2 处， 可见，在 t＜1 范围内 y=2t 小于 y=2t， 在 1＜t＜2 范围内 y=2t 大于 y=2t， 在 t＞2 范围内 y=2t 小于 y=2t， ∵＜t＜1，∴2t＜2t，即 R＞Q； ∴当2＜x＜3时，R＞Q＞P． 故选D． 点评： 本题考查对数值大小的比较，难点在于Q，R的大小比较，考查构造函数，通过指数函数与一次函数

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www.jyeoo.com 的图象与性质分析解决问题，考查学生综合分析与解决问题的能力，属于难题． 5．设a，b，x∈N，a≤b，已知关于x的不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga的解集X的元素个数为50个，当ab取最大可能值时，=（ ） AB6 CD4 *

． 考点： 专题： 分析： 解答：

． 对数的运算性质． 函数的性质及应用． 由不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga可得，利用对数函数的单调性可得， 由于a，b，x∈N*，关于x的不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga的解集X的元素个数为50个，可得，化为．由于a≤b．可得ab≥51+1，再利用基本不等式即可得出． 解：由不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga可． ．

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得， ∴， ∵a，b，x∈N*，关于x的不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga的解集X的元素个数为50个， ∴52＞，∵a，b，x∈N*，a≤b． ∴（a=1时不成立），∴． 令g（a）=，∵a≥2，可知g（a）单调递减． 当a=2时，，取ab=68时，b=34．取ab=69，b不是整数，舍去． 因此ab的最大值为68．

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www.jyeoo.com ∴当ab取最大可能值时，=6． 故选：B． 本题考查了集合的意义、基本不等式的性质，考查了推理能力，属于难题． 点评： 6．函数f（x）的定义域为D，满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[

x

]?D，使得f（x）在[]上的值

域为[a，b]，那么就称函数y=f（x）为“优美函数”，若函数f（x）=logc（c﹣t）（c＞0，c≠1）是“优美函数”，则t的取值范围为（ ） A（0，1） BCD（0，） （﹣∞，） （0，） ． ． ． ． 考点： 对数函数的图像与性质． 专题： 分析： 解答： 函数的性质及应用． 根据复合函数的单调性，先判断函数f（x）的单调性，然后根据条件建立方程组，转化为一元二次方程根的存在问题即可得到结论． 解：若c＞1，x则函数y=c﹣t为增函数，y=logcx，为增函数，∴函数f（x）x=logc（c﹣t）为增函数， 若0＜c＜1，x则函数y=c﹣t为减函数，y=logcx，为减函数，∴函数f（x） ?2010-2014 菁优网

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=logc（cx﹣t）为增函数， 综上：函数f（x）=log（ccx﹣t）为增函数， 若函数f（x）=logc（cx﹣t）（c＞0，c≠1）是“优美函数”， 则，即， 即，是方程x2﹣x+t=0上的两个不同的正根， 则， 解得0＜t＜， 故选：D 点评： 本题主要考查与指数函数和对数函数有关的信息题，判断函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．

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www.jyeoo.com 7．（2012?湖北模拟）已知定义域为（O，+∞）的单调函数f（x），若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）+则方程f（x）=2+的解的个数是（ ） A3 B2 C1 ]=3”，

DO ． ． ． 考点： 对数的运算性质；函数单调性的判断与证明． 专题： 综合题． 分析： 由题设知必存在唯一的正实数a，满足，f（a）=3，，故3+，，，左增，右减，有唯一解a=2，故，由此能够导出方程f（x）=2+的解的个数是2． 解答： 解：∵定义域为（O，+∞）的单调函数f（x）， 满足f[f（x）+]=3，f（x）=2+， ∴必存在唯一的正实数a， ． ?2010-2014 菁优网

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满足，f（a）=3，① ∴，② 由①②得：3+， ， ，左增，右减，有唯一解a=2， 故， f（x）=2﹣， 由2﹣=2+，得， ∴， 令，则t2=2t， 此方程只有两个正根t=2，或t=4， ∴x=4，或x=16． 故方程f（x）=2+的解的个数是2． 故选B．

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www.jyeoo.com 点评： 本题考查对数的运算性质的综合运用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化． 8．在下列图象中，二次函数y=ax+bx+c与函数y=（ A． B． C． 2

）的图象可能是（ ）

D． x

考点： 指数函数的图像与性质；二次函数的图象． 计算题． 二次函数

专题： 分析： y=ax+bx+c与函数y=（）的图x2解答： 象，分别判断a，b，c的符号及关系，由此寻找正确答案． 解：A中，由二次函数y=ax+bx+c的图象知，a＞0，b＞0，c=0，．此时，y=（）即xx2y=（）为 ?2010-2014 菁优网

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减函数，故A成立； B中，由二次函数y=ax2+bx+c的图象知，a＞0，b＜0，c=0．此时，＜0，函数y=（）x无意义，故B不成立； C中，由二次函数y=ax2+bx+c的图象知，a＜0，b＜0，c=0，．此时，y=（）x即y=（）x为增函数，故C不成立； D中，由二次函数y=ax2+bx+c的图象知，a＞0，b＜0，c=0．此时，＜0，函数y=（）x无意义，故D不成立； 故选A． 点评： 本题考查指数函数和二次函数的图象和性质，解题时结合图象要能准确地判断系数

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www.jyeoo.com 的取值． 9．已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（a＞1），若x∈[0，1），t∈[4，6）时，F（x）=g（x）﹣f（x）有最小值是4，则a的最小值为（ ） A10 B2 C3 D4 ． ． ． 考点： 对数的运算性质；函数的最值及其几何意义；对数函数的值域与最值． 专题： 计算题． 分析： 把f（x）和g（x）代入到F（x），然后利用对数的运算性质化简，转化为关于a的不等式，再运用基本不等式即可． 解答： 解：∵f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（a＞1），x∈[0，1），t∈[4，6）时，F（x）=g（x）﹣f（x）有最小值是4， ∴F（x）=g（x）﹣f（x）=，x∈[0，1），t∈[4，6） ∵a＞1， ∴令h（x）== ． ?2010-2014 菁优网

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=4（x+1）+4（t﹣2）+ ∵0≤x＜1，4≤t＜6， ∴h（x）=4（x+1）++4（t﹣2）在[0，1）上单调递增， ∴h（x）min=h（0）=4+（t﹣2）2+4（t﹣2）=[（t﹣2）+2]2=t2， ∴F（x）min=logat2=4， ∴a4=t2； ∵4≤t＜6， ∴a4=t2≥16， ∴a≥2． 故选B． 点评： 此题考查对数的运算性质，要求学生灵活运用对数运算的性质，熟练运用化归思想解决恒成立问题，易错点转化为a4≤在于h（x）=4（x+1）++4（t﹣2），

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www.jyeoo.com 该先把最小值解出，再令它等于4，转化为在t∈[4，6）上有解，属于难题． 10．（2013?自贡一模）已知对数函数f（x）=logax是增函数，则函数f（|x|+1）的图象大致是（ ） ABCD． ． ． ． 考点： 对数函数的图像与性质；函数的图象与图象变化． 专题： 分析： 数形结合． 先导出解答： 再由函数f（x）=logax是增函数知，a＞1．再由对数函数的图象进行判断． 解：点评： 由函数f（x）=logax是增函数知，a＞1． 故选B． 本小题主要考查了对数函数的图象与性质，以及分析问题和解决问题的能力．这类试题经常出现，要高度重视． 二、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）

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www.jyeoo.com 11．已知函数f（x）=

，a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1．

（1）判断函数f（x）的单调性；

（2）当a≠b时，利用（1）中的结论，证明不等式：．

考点： 指数函数综合题． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）分子分母同时除以bx，然后根据指数函数和分式函数的单调性之间的关系，即可判断函数f（x）的单调性； （2）当a≠b时，利用（1）中的结论，将不等式中的式子转化为对应的函数值，利用函数的单调性即可证明不等式：． 解答： 解：（1）f（x）== = ?2010-2014 菁优网

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， 若a=b，则f（x）=a，此时函数为常数函数，不单调． 若a＞b，则b﹣a＜0，， 则为增函数， ∴根据 符合函数单调性之间的关系可知f（x）为增函数． 若a＜b，则b﹣a＞0，， 则为减函数， ∴根据 符合函数单调性之间的关系可知f（x）为增函数． 综上当a≠b时，函数（fx）的单调递增． （2）∵f（x）=， ∴f（0）=，f（1）

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www.jyeoo.com =（﹣1）=，f，f（）=， ∵当a≠b时，函数f（x）的单调递增．且﹣1， ∴f（﹣1）＜f（）＜f（0）＜f（1）， 即点评： 成立． 本题主要考查函数单调性的判断和应用，要求熟练掌握符合函数单调性之间的关系，将不等式中的式子转化为对应的函数值是解决本题的关键． x

|x|

12．已知函数f（x）=2+（1）解不等式：

．

；

≤f（x）≤

（2）若关于x的方程f（2x）+af（x）+4=0在（0，+∞）上有解，求实数a的取值范围． 考点： 指数函数综合题． 专题： 函数的性质 ?2010-2014 菁优网

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及应用；不等式的解法及应用． 分析： （1）将函数表示为分段函数形式，然后根据分段函数即可解不等式：≤f（x）≤； （2）利用换元法将方程转化为关于t的方程形式，然后利用基本不等式即可得到结论． 解答： 解：（1）当x≤0时，f（x）=2x+|x|=2?2x=2x+1≤2， 当x＞0时，f（x）=2x+（）x． ∴由不等式≤（fx）≤得： 当x≤0等价为≤2x+1，即2≤2x+1， ∴x+1，即﹣≤x≤0， 当x＞0等价为2x+（） ?2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com ﹣3x+5x﹣3， ∴g（t）=f（t+1）3=（t+1）﹣32（t+1）+5（t+1）﹣33=t+2t是奇函数． 令p+1=α，q+1=β， f（α）=g（p）3=p+2p=﹣2， f（β）=g（q）3=q+2q=2． ∴g（p）=﹣g（q） 则p+q=0， 而p=α﹣1，q=β﹣1． 即：α﹣1+β﹣1=0． 得到：∴α+β=2． 本题考查了函数的性质及其应用，考查了学生的灵活思维能力，解答此题的关键在于构造函数f（x）=x﹣23x+5x﹣3，是压轴题． 15．如果函数f（x）=a（a﹣3a﹣1）（a＞0且a≠0）在区间[0，+∞）单调递增，那么实数a的取值范围是什么？ 考点： 指数函数综合题． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 利用换元法将函数转化为一元二次函数形式，利用符合函数单调性之间的关系即可2点评： 3xx2

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得到结论． 解答： 解：设t=ax，当x≥0时， 则函数f（x）=ax（ax﹣3a2﹣1）（a＞0且a≠0）等价为： y=g（t）=t（t﹣3a2﹣1）=t2﹣（3a2+1）t， 对称轴t= 若a＞1，则当x≥0时，t≥1，此时函数t=ax单调递增， 要使函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增， 则g（t）在[1，+∞）单调递增， 即对称轴t=≤1，即3a2≤1， 即0＜a＜，此时不成立， 若0＜a＜1，则当x≥0时，则0＜t≤1，此时函数t=ax单调递减， 要使函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增， 则g（t）在0＜t≤1单调递减， 即对称轴t=≥1，即3a2≥1，

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www.jyeoo.com 即≤a＜1， 即实数a的取值范围是≤a＜1． 点评： 本题主要考查符合函数单调性的应用，根据同增异减的原则是解决本题的根据，本题还使用了换元法，注意对a要进行分类讨论． 16．（2007?浦东新区二模）记函数f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈D，f2（x）=x，则称f（x）是集合M的元素．

（1）判断函数f（x）=﹣x+1，g（x）=2x﹣1是否是M的元素；

（2）设函数f（x）=loga（1﹣a），求f（x）的反函数f（x），并判断f（x）是否是M的元素； （3）若f（x）≠x，写出f（x）∈M的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数． 考点： 对数函数图象与性质的综合应用；元素与集合关系的判断；反函数． 专题： 综合题． 分析： （1）依题意，可求得f（f（x））=x，g（g（x））=4x﹣3，从而可作出判断； （2）由y=x﹣1

，a＞1时可求得其反函数为y=（x＜0），0＜

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a＜1时，反函数为y=（x＞0），可求得f（f（x））=x，从而可判断f（x）是否是M的元素； （3）（fx）≠x，f（x）∈M的条件是：f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）=f（x），举例即可． 解答： 解：（1）∵对任意x∈R，f（f（x））=﹣（﹣x+1）+1=x， ∴f（x）=﹣x+1∈M﹣﹣（2分） ∵g（g（x））=2（2x﹣1）﹣1=4x﹣3不恒等于x， ∴g（x）?M﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） （2）设y=， ①a＞1时，由0＜1﹣ax＜1解得：x＜0，y＜0； 由y=， 解得其反函

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数为y=，（x＜0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） ②0＜a＜1时，由0＜1﹣ax＜1解得：x＞0，y＞0 解得函数y=的反函数为y=，（x＞0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） ∵f（f（x））===x ∴f（x）=∈M﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分） （3）（fx）≠x，f（x）∈M的条件是：f（x）存在反函数f﹣1（x），且f

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www.jyeoo.com cosx+x）?e， ∵0＜x＜1， ∴sinx＞0，1x﹣cosx＞0，e＞0，∴g′（x）＞0， ∴g（x）在（0，1）上为增函数． ∴﹣1＜g（x）＜（1﹣cos1）?e，故a≤﹣1． （2）构造函数h（x）=x（0＜x＜1），且h（0）=0， 则h′（x）=﹣e+cosx﹣x， 由（1）知：当a=﹣1时，f（x）=﹣ex+cosx﹣x＜0（0＜x＜1）， ∴h（x）在（0，1）单调递减，∴h（x）＜h（0）=0， 即﹣﹣x点评： ． 本题考查对数函数的性质和应用，解题时要注意导数的应用，掌握构造法在解题中的合理运用． 19．（2009?金山区一模）已知函数f（x）=loga（1）求出m的值，并求出定义域D；

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在定义域D上是奇函数，（其中a＞0且a≠1）．

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www.jyeoo.com （2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明； （3）当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的值的范围恰为（1，+∞），求a及r的值． 考点： 对数函数图象与性质的综合应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质． 专题： 证明题；综合题；转化思想． 分析： （1）由函数f（x）是奇函数，可得出f（﹣x）=﹣f（x），由此方程恒成立，可得出参数m的方程，解出参数的值，再由对数的真数大于0得出x的不等式，解出函数的定义域即可； （2）由于本题中参数a的取值范围未定，故应对它的取值范围分类讨论，判断函数的单调性再进行证明； （3）由题设x∈（r，a﹣2）时，f（x）的值的范围恰为（1，+∞），可根据函数的单调性确定出两个参数a及r的方程，解方程得出两个参数的值． ?2010-2014 菁优网

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解答： 解：（1）因为f（x）是奇函数，所以（f﹣x）=﹣f（x）， 所以loga=loga，…（2分） 即1﹣m2x2=1﹣x2对一切x∈D都成立，…（3分） 所以m2=1，m=±1，…（4分） 由于＞0，所以m=﹣1…（5分） 所以f（x）=loga，D=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）…（6分） （2）当a＞1时，f（x）=loga，任取x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，…（7分） 则f（x1）﹣f（x2）=loga﹣loga=loga（+1） ?2010-2014 菁优网

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﹣loga（+1）…（9分） 由于x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，所以+1＞+1，得f（x1）＞f（x2），…（10分） 【注】只要写出x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，（fx1）﹣（fx2）=…=…，得出f（x1）＞（fx2）即可． 即（fx）在（1，+∞）上单调递减…（11分） 同理可得，当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增 …（13分） （3）因为x∈（r，a﹣2），定义域D=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）， 1°当r≥1时，则1≤r＜a﹣2，即a＞3，…（14分） 所以f（x）在（r，a﹣2）上为减函数，值域恰为（1，+∞），所以f（a﹣2）=1，…

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（15分） 即loga=loga=1，即=a，…（16分） 所以a=2+且r=1 …（18分） 2°当r＜1时，则（r，a﹣2）?（﹣∞，﹣1），所以0＜a＜1 因为f（x）在（r，a﹣2）上为增函数， 所以f（r）=1，a﹣2=﹣1， 解得a=1与a＞0且a≠1矛盾（舍） …（20分） 点评： 本题考察对数函数性质的综合运用，解答本题关键是熟练掌握对数的性质，函数单调性的证明方法，单调性的运用等结论，本题中第三小问是难点，第二问证明较繁琐，是本题的重点．本题考察了打理证明的能力，等价转化的能力以及转化的思想

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