职高高二数学数学复数及其应用 教案

第三十二课时：复数的概念（一）

【教学目标】

知识目标：

理解复数的有关概念． 能力目标：

通过复数概念的学习与相关计算，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．

【教学重点】

复数的概念．

【教学难点】

复数的概念．

【教学设计】

首先给出了复数的定义，然后引入虚数、纯虚数的定义，将实数集推广到复数集．介绍复数a?bi（a,b?R）的概念时，要注意以下几点：（1）复数的虚部是b，而不是bi，如教材中指出复数z??3?4i的虚部是?4，而不是?4i．（2）当虚部b?0时，复数a?bi?a就是实数.当虚部b?0时，复数a?bi是虚数，特别a?0时，虚数bi是纯虚数.（3）a?bi（a,b?R）中的“?”号有两种作用，第一个作用是连接记号，表示a?bi是一个整体，由实数a和纯虚数bi组成复数；第二个作用是运算符号表示实数a和纯虚数bi相加．例1的作用是帮助学生理解概念．这部分内容学生了解即可，不需要特别强化训练，不介绍关于数系讨论问题的解题技巧．教学中要把握难度，不超过教材的例、习题的难度．讲解复数相等的定义时要强调a1?b1i?a2?b2i等价于a1?a2且b1?b2，只有当a1?a2，b1?b2这两个条件同时成立时a1?b1i才能等于a2?b2i. 复数z?a?bi的共轭复数是z?a?bi．要注意它们的特征：实部相等，虚部互为相反数，教学中可引导学生得出：实数的共轭复数就是它本身．例2的作用是帮助学生理解复数相等的定义．教学中要讲清楚解题的基本思想，分清等号两边复数的实部与虚部，利用复数相等的概念，由“实部与实部相等，虚部与虚部相等”列出一个二元一次方程组，最后求出未知数x、y的值．例3的作用是帮助学生理解共轭复数的概念．要强调互为共轭的两个复数，其实部相等，虚部互为相反数．

【课时安排】

1课时．

【教学过程】

创设情境 兴趣导入

我们知道一元二次方程x??1在实数范围内无解．更一般地，当根的判别式

2??b2?4ac?0时，一元二次方程ax2?bx?c?0（其中a,b,c为实数且a?0）在实数

范围内也无解. 动脑思考 探索新知

为了使方程x??1有解，引进一个新数i，叫做虚数单位，并且规定数i有如下性质： （1）i的平方等于－1，即 i??1 ；（2）i与实数进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算法则和运算律仍然成立. 由性质（1）知，x?i是方程x??1的一个解． 由性质（2）知，

222(?i)2?(?1?i)2?(?1)2?i2?1?(?1)??1，

故x??i也是方程x??1的一个解.

【注意】为了与表示电流强度的符号相区别，电学中虚数单位用字母j表示. 根据上述性质，i可以与实数b相乘，由于满足乘法交换律，其乘积一般写作bi（规定0?i?0），再将bi与实数a相加，

动脑思考 探索新知

为了使方程x??1有解，引进一个新数i，叫做虚数单位，并且规定数i有如下性质：

22；（1）i的平方等于－1，即 i??1

（2）i与实数进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算法则和运算律仍然成立. 由性质（1）知，x?i是方程x??1的一个解． 由性质（2）知，

22(?i)2?(?1?i)2?(?1)2?i2?1?(?1)??1，

故x??i也是方程x??1的一个解.

【注意】为了与表示电流强度的符号相区别，电学中虚数单位用字母j表示. 根据上述性质，i可以与实数b相乘，由于满足乘法交换律，其乘积一般写作bi（规定0?i?0），再将bi与实数a相加， （转下节）

2第三十三课时：复数的概念（二）

【教学目标】

知识目标：

理解复数的有关概念． 能力目标：

通过复数概念的学习与相关计算，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．

【教学重点】

复数的概念．

【教学难点】

复数的概念．

【课时安排】

1课时．

【教学过程】 （接上节）

根据上述性质，i可以与实数b相乘，由于满足乘法交换律，其乘积一般写作bi（规定

0?i?0），再将bi与实数a相加由于满足加法交换律，其和一般写作a?bi.

形如a?bi（a,b?R）的数叫做复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.复数一般使用小写字母z,w,?等来表示.例如，复数z??3?4i的实部为?3，虚部为?4.

当虚部b?0时，复数a?bi?a就是实数.

当虚部b?0时，复数a?bi叫做虚数，特别a?0时虚数bi叫做纯虚数. 例如，4，?1?44i，2i都是复数，其中4是实数，?1?i是虚数，2i是纯虚数. 55【想一想】 4，2i的实部、虚部各是多少？

全体复数组成的集合叫做复数集，常用大写字母C来表示，即

C??zz?a?bi，a，b?R?.

显然，实数集R是复数集C的真子集. 引入复数后，数的范围得到扩充：

??有理数实数a(b?0)???无理数?复数a?bi? ?(a,b?R)?纯虚数bi(a?0)?虚数a?bi(b?0)????非纯虚数a?bi(a?0)?巩固知识 典型例题

例1 指出下列复数的实部和虚部，并判定它们是实数还是虚数？如果是虚数是否为纯虚数？

(1)z1?3?i；(2)z2?3?2；(3)z3??1i． 4解 (1) z1的实部a?3，虚部b??1，它是虚数，但不是纯虚数； (2) z2的实部a?3?2，虚部b?0，它是实数； (3) z3的实部a?0，虚部b??动脑思考 探索新知

如果两个复数a?bi（a,b?R）与c?di（c,d?R）的实部与虚部分别相等，那么称这两个复数相等.记作a?bi?c?di，即

1，它是虚数，且是纯虚数. 4a?bi?c?di ?a?c且b?d. （3.1）

特别地

a?bi?0?a?0且b?0． (3.2)

巩固知识 典型例题

例2 已知(x?2)+xi?1?(x?3y)i，其中x，y是实数，求x和y的值． 解 根据公式(3.1) ，得

?x?2?1， ?x??(x?3y)，?解方程组得x＝3，y＝2．

例3 求复数z1??20?33i，z2??解 z1??20?33i，z2?运用知识 强化练习

1. 指出下列复数的实部和虚部：(1)2?3i； (2) ?3?5． 2.求下列复数的共轭复数：(1) 11?6i； (2) ?3?8i. 继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题3．1（必做）；学习与训练训练题3．1（选做）

3i，z3??7的共轭复数. 43i，z3??7. 4 第三十四课时：复数的几何意义 （一）

【教学目标】

知识目标：

（1）理解复数的几何意义 ．

（2）会求复数的模、辐角和辐角主值以及复数的三角形式． 能力目标：

通过复数的模、辐角和辐角主值以及复数的三角形式的学习，使学生的计算技能得到锻炼和提高．

【教学重点】

（1）复数的几何表示．

（2）复数的三角形式、指数形式、极坐标形式.

【教学难点】

复数的代数形式转化为三角形式．

【教学设计】

在讲解复平面和复数的几何表示时，自然的建立了复数z?a?bi与直角坐标平面内的点Z（a,b）之间的一一对应关系，于是复数z?a?bi（a,b?R）可以用直角坐标系平面中的点Z(a,b)表示．建立了直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x轴叫做实轴， 实轴上的点都表示实数，虚轴上除去原点以外的点都表示纯虚数．要y轴叫做虚轴，特别强调虚轴不包括原点，虚轴的单位与实轴一样都是1．复平面与复数的点表示是复数的向量表示的基础．例4是理解复平面的实际操作训练题．例5是用向量表示复数的知识巩固性题目．包含了与坐标轴平行和不平行的情况．例6介绍了求复数a?bi（a,b?R）的模与辐角?的方法．将复数的代数形式化为三角形式，关键是求出复数的模和辐角．有了例6的铺垫，进行这种转化的例7，就比较容易完成了．要注意依照教材规范解题的步骤进行规范． 将三角式化为代数式，只需按照分配律计算出结果．例8给出了具体的步骤，要引导学生独立完成．在计算中要帮助学生复习三角函数诱导公式．

【课时安排】

1课时．

【教学过程】

动脑思考 探索新知

1.复数的点表示

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/owtv.html