函数的周期性历年经典习题

常见结论 (约定a>0)

函数关于某点对称（a,b）,f(x)=2b-f(2a-x) 函数关于x=a 对称 f(a+x)=f(a-x)

（1）f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=a； （2）f(x?a)?－f(x)，或f(x?a)?f(x?a)??1f(x)(f(x)?f(－xa或f(x?a)?)1f(x)(f(x)?0)，或

,)则f(x)的周期T=2a； 0例1：设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x?4?)－f(x且)f(3)?5，则

f(－21?)______________，f(2005)?______________

例2：设f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x?2)?1f(x)，当0≤x≤1，f(x)?2x，

则f(7.5)?______________

例3：设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x?2)?f(x?2)， f(1)?2，则

f(2)?f(7?)______________

练习

1、函数f?x?对于任意实数x满足条件f?x?2??1f?x?，若f?1???5,则

f?f?5???_______________

2、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为

(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 3．已知函数y?f(x)是一个以4为最小正周期的奇函数，则f(2)?

A．0

B．－4

C．4

D．不能确定

（ ）

4、 设f(x)是(??,??)上的奇函数，f(x?2)??f(x)，当0?x?1时，f(x)?x，则f(47.5)等于_____

5、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?2)?f(x)，且在[?3,?2]上是减函数，若?,?是锐角三角形的两个内角，则f(sin?),f(cos?)的大小关系为_________

6、已知f(x)是偶函数，且f(1)=993，g(x)=f(x?1)是奇函数，求f(2005)的值

7、已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)?0在[?2,2]上至少有__________个实数根

8、已知f(x)是定义在R上的函数，f(10?x)?f(10?x)且f(20?x)??f(20?x)，则f(x)是（ ）

A. 周期为20的奇函数 B. 周期为20的偶函数 C. 周期为40的奇函数 D. 周期为40的偶函数

1.定义在R上的函数f(x)是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)等于( )

A．－1 B．0 C．1 D．4

2．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋2)＝f(x)，若f(x)在[－1，0]上是减函数，那么f(x)在[2，3]上是( )

A．增函数 B．减函数

C．先增后减的函数 D．先减后增的函数

3．f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(－6,6)内解的个数的最小值是( )

A．10 B．8 C．6 D．4

1＋x

5．(2009年深圳调研)设f(x)＝，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f[fk(x)]，k＝1,2，…，则f2009(x)

1－x＝( )

x－11＋x1

A．－ B．x C. D.

xx＋11－x

6．(2009年山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )

A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)

7．(2009年山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.

8．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．

(1)求证：f(x)是周期函数；

1

(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，求使

21

f(x)＝－在[0,2009]上的所有x的个数．

2

9．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.

(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；

(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2009,2009]上的根的个数，并证明你的结论．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/owkv.html