2005-2014江西理数

江西理数

2005-2014

2014江西理数

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. z是z的共轭复数. 若z?z?2，（(z?z)i?2（i为虚数单位），则z?（ ）

A. 1?i B. ?1?i C. ?1?i D. 1?i 2. 函数f(x)?ln(x2?x)的定义域为（ ）

A.(0,1) B. [0,1] C. (??,0)?(1,??) D. (??,0]?[1,??) 3. 已知函数f(x)?5|x|，g(x)?ax2?x(a?R)，若f[g(1)]?1，则a?（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. -1

4. 在?ABC中，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,，若c?(a?b)?6,C?（ ） A.3 B.

22?3,则?ABC的面积

9333 C. D.33 225. 一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）

6. 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，

得到统计数据如表1至表4，泽宇性别有关联的可能性最大的变量是（ ）

A.成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量

- 1 -

7. 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）

A.7 B.9 C.10 D.11 8. 若f(x)?x?2A.?1 B.?2?10f(x)dx,则?f(x)dx?（ ）

0111 C. D.1 339. 在平面直角坐标系中，A,B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x?y?4?0相切，则圆C面积的最小值为（ ）

A.? B.? C.(6?25)? D.?

453454AB=11，AD=7，AA1=12，10.如右图，在长方体ABCD?A一质点从顶点A射向点E?4，312，?，1B1C1D1中，

遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将i?1次到第i次反射点之间的线段记为Li?i?2,3,4?，

L1?AE，将线段L1,L2,L3,L4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）

二.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

11(1).（不等式选做题）对任意x,y?R,x?1?x?y?1?y?1的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

11(2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，

则线段y?1?x?0?x?1?的极坐标为（ ） A.??1?1?,0??? B.??,0???

cos??sin?2cos??sin?4C.??cos??sin?,0???

?2 D.??cos??sin?,0???- 2 -

?4

三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

12.10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________. 13.若曲线y?e?x上点P处的切线平行于直线2x?y?1?0，则点P的坐标是________. 14.已知单位向量e1与e2的夹角为?，且cos??1，向量a?3e1?2e2与b?3e1?e2的夹角为?，则3cos?= 1x2y215.过点M(1,1)作斜率为?的直线与椭圆C：2?2?1(a?b?0)相交于A,B，若M是线段AB的

2ab中点，则椭圆C的离心率为 三.简答题

16.已知函数f(x)?sin(x??)?acos(x?2?)，其中a?R,??(?（1）当a???,)

222,???4时，求f(x)在区间[0,?]上的最大值与最小值；

(2)若f()?0,f(?)?1，求a,?的值.

?217、（本小题满分12分）

已知首项都是1的两个数列(1) 令(2) 若

，求数列，求数列

（

），满足

.

的通项公式； 的前n项和.

18、（本小题满分12分）

已知函数(1) 当(2) 若

时，求在区间

的极值；

上单调递增，求b的取值范围.

.

19．(本小题满分12分)

如图，四棱锥P?ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD?平面

ABCD.

（1）求证：AB?PD;

（2）若?BPC?90?,PB?2,PC?2,问AB为何值时，四棱锥

P?ABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值.

20.（本小题满分13分）

x22如图，已知双曲线Cn2?y?1(a?0)的右焦点F,点A,B分别在C的两条渐近线上，AF?x轴，

aAB?OB,BF∥OA(O为坐标原点）.

（1）求双曲线C的方程；

- 3 -

（2）过C上一点P(x0,y0)(y0?0)的直线l:x0x?y0y?1与直线a2AF相交于点M，与直线x?上移动时，

3相交于点N，证明点P在C2MF恒为定值，并求此定值 NF?21.（满分14分）随机将1,2,???,2nn?N,n?2这2n个连续正整数分成A,B两组，每组n个数，A组

??最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b1，记??a2?a1,??b1?b2 （1）当n?3时，求?的分布列和数学期望；

（2）令C表示事件?与?的取值恰好相等，求事件C发生的概率p?c?；

（3）对（2）中的事件C,c表示C的对立事件，判断p?c?和p?c?的大小关系，并说明理由。

- 4 -

2013江西理数

一、选择题

1. 已知集合M={1,2，zi}，i，为虚数单位,N={3,4}，则复数z=

A.-2i B.2i C.-4i D.4i 2. 函数y=xln(1-x)的定义域为

A．（0,1） B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 3. 等比数列x，3x+3，6x+6，?..的第四项等于

A．-24 B.0 C.12 D.24

4. 总体有编号为01,02,?,19,20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从

随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B.07 C.02 D.01 5. (x-2

25

)展开式中的常数项为 3xA.80 B.-80 C.40 D.-40 6.若S1??21xdx,S2??22121dx,S3??exdx,则S1S2S3的大小关系为

1xA.S1?S2?S3 B.S2?S1?S3 C.S2?S3?S1 D.S3?S2?S1 7.阅读如下程序框图，如果输出i?5，那么在空白矩形框中应填入的语句为

A.S?2*i?2 B.S?2*i?1

C.S?2*i D.S?2*i?4

8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面?上，且ABCD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m,n，那么m?n?

A.8 B.9 C.10 D.11

9.过点(2,0)引直线l与曲线y?1?x2相交于A,B两点，O为坐标原点，当?AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于

A.y?EB?BC?CD

333 B.? C.? D.?3 333- 5 -

10.如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线，l1,l2之间l//l1,l与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC两边相交于Ｅ，Ｄ两点，设弧FG的长为x(0?x??)，y?EB?BC?CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y?f(x)的图像大致是

二、填空题

11.函数y?sin2x?23sin2x的最小正周期为T为 12.设e1，e2为单位向量。且e1，e2的夹角为为

13设函数f(x)在(0,??)内可导，且f(ex)?x?ex，则fx(1)? ?，若a?e1?3e2，b?2e1，则向量a在b方向上的射影3x2y2??1相交于A,B两点，若?ABF为等边14.抛物线x?2py(p?0)的焦点为F，其准线与双曲线332三角形，则P?

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分

?x?t

15（1）、（坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为?（t为参数），若以直角坐标系的原2

y?t?

点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c的极坐标方程为 15（2）、（不等式选做题）在实数范围内，不等式x?2?1?1的解集为 四．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（conA-（1） 求角B的大小；

（2） 若a+c=1，求b的取值范围 17. （本小题满分12分）

正项数列{an}的前项和{an}满足：sn?(n?n?1)sn?(n?n)?0 （1）求数列{an}的通项公式an； （2）令bn?222sinA）cosB=0.

5n?1*T?n?N，数列{b。证明：对于任意的，都有 n}的前n项和为Tnn2264(n?2)a

18.（本小题满分12分）

- 6 -

小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队。游戏规则为：以O为起点，再从

A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,(如图)这8个点中任取两点分别

为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X?0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队。 （1） 求小波参加学校合唱团的概率； （2） 求X的分布列和数学期望。

19（本小题满分12分）

P?ABCD如图，四棱锥中

，

PA?平面ABCD,E为BD的中点，?DAB??DCB,EA?EB?AB?1，PA?AD于F.

(1) 求证：AD?平面CFG；

(2) 求平面BCP 与平面DCP的夹角的余弦值.

20. (本小题满分13分)

G为PD的中点，3，连接CE并延长交231x2y2 如图，椭圆C：2+2=1(a>b>0)经过点P(1,),离心率e=，

22ab直线l的方程为x=4.

（1） 求椭圆C的方程；

（2） AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问：是否存在常数?，使得k1+k2=?k3.？若存在求?的值；若不存在，说明理由.

21. (本小题满分14分) 已知函数f(x)=a(1-2x-1)，a为常数且a>0. 21对称； 2(1) 证明：函数f(x)的图像关于直线x=(2) 若x0满足f(f(x0))=x0，但f(x0)?x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点，如果f(x)有两个二阶周

期点x1,x2,试确定a的取值范围；

(3) 对于（2）中的x1,x2和a， 设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f

（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性.

- 7 -

2012江西理数

一．选择题

1．若集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合｛z︱z=x+y,x∈A,y∈B｝中的元素的个数为 A．5 B．4 C．3 D．2 2．下列函数中，与函数y=

1定义域相同的函数为 3xB．y=

A．y=

1 sinx1nx xC．y=xe

x

D．

sinx x?x2?1,x?1,，则f（f（10）= 3．若函数f（x）=?lgx,x?1?

A．lg101

B．2

C．1

D．0

4．若tan?+

1 =4,则sin2?= tan?11A． B．

54C．

1 3D．

1 25．下列命题中，假命题为

A．存在四边相等的四边形不是正方形 ．

B．Z1,z2∈C,z1+z2为实数的充分必要条件是z1,z2互为共轭复数 C．若x,y∈R，且x+y＞2，则x,y至少有一个大于1

01．n

D．对于任意n∈N,Cn+Cn?+Cn都是偶数

2223344551010

6．观察下列各式：a+b=1 ，a+b=3，a+b=4 ，a+b=7,a+b=11,?，则a+b= A．28 B．76 C．123 D．199 7．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则

PA?PBPC222?

A．2 B．4 C．5 D．10

8．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜

的产量、成本和售价如下表 黄瓜 韭菜

年产量/亩 4吨 6吨 年种植成本/亩 1．2万元 0．9万元 每吨售价 0．55万元 0．3万元 为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为 A．50,0 B．30．20 C．20,30 D．0,50

9．样本（x1,x2?，xn）的平均数为x，样本（y1，y2，?，yn）的平均数为yx?y。若样本（x1,x2?，xn，

??（1?a）y，其中0＜α＜y1，y2，?，yn）的平均数z?ax?1，则n，m的大小关系为 2 A．n＜m B．n＞m C．n=m D．不能确定

10．如图，已知正四棱锥S-ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正

四棱锥分成上、下两部分。记SE=x（0＜x＜1），截面下面部分的体积为V（x），则函数y=V（x）的图像大致为

- 8 -

二。填空题

11．计算定积分（x2?sinx）dx=________。

1

?-112．设数列{an},{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=___________。

x2y213．椭圆2?2?1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|，|F1F2|，

ab|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________．

14．下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是______________．

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答。若两题都做，则按第一题评阅计分。本题共5分。

22

15．（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C的直角坐标方程为x＋y-2x=0，以原点为极点，x轴的正半

轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为___________。 15．（2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________。 四．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和Sn?-（1）确定常数k，求an； （2）求数列?12n?kn（其中k?N）,且Sn的最大值为8． 2?9-2an??的前n项和Tn。 n?2?17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c。已知A??4，。

nbis

（?C）-nisc4?（?B）?a 4?（1）求证：B?C??2

（2）若a=2，求△ABC的面积。

18．（本题满分12分） 如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，1，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）。

- 9 -

（1）求V=0的概率；

（2）求V的分布列及数学期望EV。 19．（本题满分12分）

在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=5，BC=4，点A1在底

面ABC的投影是线段BC的中点O。

（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；

（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值。 20．（本题满分13分）

已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x，y）满足MA?MB?OM?(OA?OB)?2．

（1）求曲线C的方程； （2）动点Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为L，问：是否存在定点P（0，

t）（t＜0），使得L与PA，PB都相交，交点分别为D,E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值。若不存在，说明理由。 21．（本小题满分14分）

若函数h（x）满足（1）h（0）=1，h（1）=0；（2）对任意a??0,1?，有h（h（a））=a；（3）在（0,1）

1?xpp上单调递减。则称h（x）为补函数。已知函数h(x)?()(???1,p?0)。

1??xp（1）判断函数h（x）是否为补函数，并证明你的结论；

（2）若存在m??0,1?，使得h（m）=m，若m是函数h（x）的中介元，记p?（n?N）时h（x）的

中介元为xn，且Sn?11n1，若对任意的，都有S< ,求?的取值范围； n?Nxn?1?2n-1n（3）当?=0，x??0,1?时，函数y= h（x）的图像总在直线y=1-x的上方，求P的取值范围。

- 10 -

2011江西理数

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。 1．若z?

???i，则复数z? iA． ???i B． ???i

C． ??i D． ??i

2．若集合A?{x????x????},B?{x A． {x???x??}

C． {x??x??}

x????}，则A?B? xB． {x??x??} D．{x??x??}

3．若f(x)??，则f(x)的定义域为

log?(?x??)? A．(??,?) ?B．(?,?]

??C．(??,??) ?D．(?,??)

4．若f(x)?x???x??lnx，则f'(x)??的解集为

（-?，?）?（，?+?） A．(?,??) B． C．(?,??) D．(-?,?)

5．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn?Sm?Sn?m，且a1=1．那么a10=

A．1 B．9 C．10 D．55

6．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；变量U与V

相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则 A．r2?r1?0

5B．0?r2?r1

67C．r2?0?r1

2011D．r2?r1

7．观察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，?，则5 A．3125

B．5625

C．0625

的末四位数字为

D．8125

8．已知a1，a2，a3是三个相互平行的平面．平面a1，a2之间的距离为d1，平面a2，a3之间的距离为d2．直

线l与a1，a2，a3分别相交于p1，p2，p3，那么“PP12=P2P3”是“d1?d2”的 A．充分不必要条件 C．充分必要条件

22B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

9．若曲线C1：x?y?2x?0与曲线C2：y(y?mx?m)?0有四个不同的交点，则实数m的取值范围

是 A．（?

3333，） B．（?，0）∪（0，） 3333- 11 -

C．[?3333，] D．（??，?）∪（，+?） 333310．如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方

向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小 圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大 致是

二、填空题

11．已知a?b?2,(a?2b)·=-2，则a与b的夹角为 （a?b）12．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于

则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于

1，21，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看．4书的概率为

13．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是

1x2y22214．若椭圆2?2?1的焦点在x轴上，过点（1，）作圆x+y=1的切线，切点分别为A,B，直线AB2ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是

三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分。本题共5分。 15．（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为?=2sin??4cos?,以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为

15．（2）（不等式选做题）对于实数x，y,若x?1?1,y?2?1,则x?2y?1的最大值为 四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分）

某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B

- 12 -

两种饮料没有鉴别能力． （1）求X的分布列；

（2）求此员工月工资的期望。 17．（本小题满分12分）

在VABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知sinC?cosC???sin （1）求sinC的值；

（2）若a??b???(a?b)??，求边c的值． 18．（本小题满分12分）

已知两个等比数列{an},{bn}，满足a??a(a??),b??a???,b??a???,b??a???． （1）若a??，求数列{an}的通项公式； （2）若数列{an}唯一，求a的值． 19．（本小题满分12分）

C． ?????x?x??ax ??? （1）若f(x)在(,??）上存在单调递增区间，求a的取值范围；

??? （2）当??a??时，f(x)在[?,?]上的最小值为?，求f(x)在该区间上的最大值．

?设f(x)?? 20．（本小题满分13分）

x2y2p?x0,y0??x0??a?是双曲线E:2?2?1?a?0,b?0?上一点，M,N分别是双曲线E的左、右顶点，

ab直线PM,PN的斜率之积为

1． 5 （1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，

满足OC??OA?OB,求?的值．

21．（本小题满分14分）

（1）如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4,找出依次排列的四个

相互平行的平面?1，使得A?2，?4，?3，,2,3,4?，1??i?i?1且其中每相邻两个平面间的距离都相等；

（2）给定依次排列的四个相互平行的平面?1，?2，?3，?4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，

若一个正四面体A（,?,?,?)，求该正四面体A?A?A?A?的体?A?A?A?的四个顶点满足：Ai??ii??积．

- 13 -

2010江西理数

一、选择题

1.已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（ ）

A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2 C. x=1，y=1 D. x=1，y=2

22.若集合A=x|x?1，x?R，B=y|y?x，x?R，则A?B=（ ）

????A. ?x|?1?x?1? B. ?x|x?0? C. ?x|0?x?1? D. ?

x?2x?2?x 的解集是（ ） 3.不等式 x A. (0，2) B. (??，0) C. (2，??) D. （-?，0）?(0，??)

?11lim?1??2?x???334.

?1???3n?（ ）

53A. 3 B. 2 C. 2 D. 不存在

5.等比数列?an?中，a1?2，a8=4，函数f?x??x(x?a1)(x?a2)A．2 B. 2 C. 2 D. 2 6. 2?x691215(x?a8)，则f'?0??（ ）

??展开式中不含．．x项的系数的和为（ ）

84A.-1 B.0 C.1 D.2

7.E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan?ECF?（ ）

16233A. 27 B. 3 C. 3 D. 4

8.直线y?kx?3与圆?x?3???y?2??4相交于M,N两点，若MN?23，则k的取值范围是

223???3??，0??，????4??A. ?4? B. ?9．给出下列三个命题： ①函数y??33??2?，???????，0??0，?33?3?? C. D. ?11?cosxxln与y?lntan是同一函数； 21?cosx2②若函数y?f?x?与y?g?x?的图像关于直线y?x对称，则函数y?f?2x?与

y?1g?x?的图像也关于直线y?x对称； 2③若奇函数f?x?对定义域内任意x都有f?x??f(2?x)，则f?x?为周期函数。 其中真命题是

A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②

AB,AD,AA1所成的角都相等，这样的直10.过正方体ABCD?A1BC11D1的顶点A作直线L，使L与棱

- 14 -

线L可以作

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为p1和p2，则

A. p1=p2 B. p1p2 D。以上三种情况都有可能

12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S?t?S?0??0，则导函数y?S'?t?的图像大致为

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上。 13.已知向量a，b满足a?1，b?2， a与b的夹角为60°，则a?b? 14.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。

??x2y2??1的右支上，若点A到右焦点的距离等于 15.点A(x0，y0)在双曲线

4322x0，则x0=

16.如图，在三棱锥O?ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且

OA>OB>OC,分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，

截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为 。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分12分）

??????f?x???1?cotx?sin2x?msin?x??sin?x??4??4?。 ?已知函数

(1) 当m=0时，求f?x?在区间?，?上的取值范围；

84(2) 当tana?2时，f?a??18. （本小题满分12分）

- 15 -

??3????3，求m的值。 5某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令?表．．．示走出迷宫所需的时间。 （1） 求?的分布列； （2） 求?的数学期望。 19. （本小题满分12分）

设函数f?x??lnx?ln?2?x??ax(a?0)。 （1）当a=1时，求f?x?的单调区间。 （2）若f?x?在?01，?上的最大值为20. （本小题满分12分）

如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD?平面BCD，AB?平面BCD，AB?23。 （1） 求点A到平面MBC的距离；

（2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。 21. （本小题满分12分）

1，求a的值。 2x2y2C1:2?2?1(a?b?0)22C:x?by?bab设椭圆，抛物线2。

（1） 若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；

（2） 设A（0，b），N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为B?0，b?，Q?33，?,又M、

且△QMN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程。

22. （本小题满分14分） 证明以下命题：

（1） 对任一正整a,都存在整数b,c(b

（2） 存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an，bn，cn为正整数且an2，bn2，cn2成等差数列。

- 16 -

222??5?4???3?4?2009江西理数

一．选择题

2z?(x?1)?(x?1)i为纯虚数，则实数x的值为 1．若复数

A．?1 B．0 C．1 D．?1或1

y?2．函数

ln(x?1)?x2?3x?4的定义域为

A．(?4,?1) B．(?4,1) C．(?1,1) D．(?1,1] 3．已知全集U?A数为

A．mn B．m?n C．n?m D．m?n 4．若函数f(x)?(1?3tanx)cosx，

(UB)中有n个元素．若AIB非空，则AIB的元素个B中有m个元素，(痧UA)0?x??2，则f(x)的最大值为

A．1 B．2 C．3?1 D．3?2

25．设函数f(x)?g(x)?x，曲线y?g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y?2x?1，则曲线y?f(x)在

点(1,f(1))处切线的斜率为

11?A．4 B．4 C．2 D．2

?x2y2?2?12FFab6．过椭圆(a?b?0)的左焦点1作x轴的垂线交椭圆于点P，2为右焦点，若

?F1PF2?60，则椭圆的离心率为

1123 A．2 B．3 C．2 D．3

ny(1?ax?by)7．展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含的项的系数绝对值的和为32，则

a,b,n的值可能为

A．a?2,b??1,n?5 B．a??2,b??1,n?6 C．a??1,b?2,n?6 D．a?1,b?2,n?5

8．数列

{an}的通项

an?n2(cos2n?n??sin2)33，其前n项和为Sn，则S30为

- 17 -

A．470 B．490 C．495 D．510 9．如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，

zCDOy，Oz上，则在下列命题中，错误的为

OA．O?ABC是正三棱锥 B．直线OB∥平面ACD C．直线AD与OB所成的角是45 D．二面角D?OB?A为45

ByAx10．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为

31334850A．81 B．81 C．81 D．81

11．一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为下列关系中正确的为 A．

?1,?2,?3,?4，则

??1??4??3 B．?3??1??2 C．?4??2??3 D．?3??4??1

?2f(x)?ax?bx?c(a?0)的定义域为D，12．设函数若所有点(s,f(t))(s,t?D)构成一个正方形区域，

则a的值为

A．?2 B．?4 C．?8 D．不能确定 二.填空题

13．已知向量a?(3,1)，b?(1,3)，c?(k,7)，若(a?c)∥b，则k= ． 14．正三棱柱

ABC?A1B1C1内接于半径为2的球，

若A,B两点的球面距离为?，则正三棱柱的体积为 ．

29?x?k(x?2)?2的解集为区间?a,b?,且b?a?2,则k? ． 15．若不等式16．设直线系M:xcos??(y?2)sin??1(0???2?),对于下列四个命题：

A．M中所有直线均经过一个定点 B．存在定点P不在M中的任一条直线上 C．对于任意整数n(n?3)，存在正n边形,其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

- 18 -

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 三.解答题 17．（本小题满分12分）

ex设函数f(x)?

x（1）求函数f(x)的单调区间；

'fk?0（2）若，求不等式(x)?k(1?x)f(x)?0的解集．

18．（本小题满分12分）

某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是

1.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若2只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令?表示该公司的资助总额． (1) 写出?的分布列； (2) 求数学期望E?． 19．（本小题满分12分）

△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，（1）求A,C； （2）若

tanC?sinA?sinBcosA?cosB,sin(B?A)?cosC.

S?ABC?3?3,求a,c.

20．（本小题满分12分）

在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?平面ABCD，

PPA?AD?4，AB?2. 以AC的中点O为球心、AC为直径的

球面交PD于点M，交PC于点N （1）求证：平面ABM⊥平面PCD；

（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；

BANMDOC（3）求点N到平面ACM的距离 21．（本小题满分12分）

x2y2?2?12P(x,y)FPb已知点100为双曲线8b（b为正常数）上任一点,2为双曲线的右焦点,过1作右准线的

- 19 -

垂线,垂足为A,连接（1）求线段

F2A并延长交y轴于P2.

yP1P2的中点P的轨迹E的方程;

P（2）设轨迹E与x轴交于B、D两点,在E上任取一点

P2AP1F1OQ（x1,y1）(y1?0),直线QB，QD分别交y轴于M，N两点.

求证:以MN为直径的圆过两定点. 22．（本小题满分14分） 各项均为正数的数列

F2x{an}，a1?a,a2?b，且对满足m?n?p?q的正整数m,n,p,q都有

ap?aqam?an?.(1?am)(1?an)?(1ap?)a(1q

)14a?,b?25时，求通项a； （1）当n1（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数?，使得对于每个正整数n，都有?

- 20 -

?an??.

2008江西理数

一．选择题

1．在复平面内，复数z?sin2?icos2对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．定义集合运算:A?B?zz?xy,x?A,y?B.设A??1,2?,B??0,2?,则集合A?B的所有元素之和为

A．0 B．2 C．3 D．6

3．若函数y?f(x)的值域是[,3]，则函数F(x)?f(x)???121的值域是 f(x)A．[,3] B．[2,121051010] C．[,] D．[3,] 32334．limx?1x?3?2?

x?111 B．0 C．? D．不存在 2215．在数列{an}中，a1?2， an?1?an?ln(1?)，则an?

nA．

A．2?lnn B．2?(n?1)lnn C．2?nlnn D．1?n?lnn

6．函数y?tanx?sinx?tanx?sinx在区间(?3?2,2y)内的图象是

y?2yy2-??22-??2o?2-?3?2?2xo?A3?2xo?B3?2x?o?2-?3?2x?CDM总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围7．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1?MF2?0的点

是

A．(0,1) B．(0,] C．(0,1222) D．[,1) 228． (1?3x)(1?6110)展开式中的常数项为 4xA．1 B．46 C．4245 D．4246

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9若0?a1?a2,0?b1?b2,且a1?a2?b1?b2?1，则下列代数式中值最大的是 A．a1b1?a2b2 B．a1a2?bb12 C．a1b2?a2b1 D．

1 210．连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于27、43，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题： ①弦AB、CD可能相交于点M ②弦AB、CD可能相交于点N ③MN的最大值为5 ④MN的最小值为1

其中真命题的个数为

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为 A．

1111 B． C． D． 18028836048012．已知函数f(x)?2mx2?2(4?m)x?1，g(x)?mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数m的取值范围是

A． (0,2) B．(0,8) C．(2,8) D． (??,0)

二.填空题

、)B(?3,、2C)13．直角坐标平面上三点A(1,2(，9,若E、F为线段BC的三等分点，则

AE?AF= ．

14．不等式23x??1x?1的解集为 ． 215．过抛物线x2?2py(p?0)的焦点F作倾角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则

AFFB? ．

16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2）。有下列四个

P命题：

A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半

B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P

C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P D．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满

图1其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）．

三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）

- 22 -

P图2在?ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，a?23，tanA?BC?tan?4, 222sinBcosC?sinA，求A,B及b,c

18．（本小题满分12分）

某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5. 若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5； 第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6. 实施每种方案，第二年与第一年相互独立。令?i(i?1,2)表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数． （1）．写出?1、?2的分布列；

（2）．实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？ （3）．不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？ 19．（本小题满分12分） 数列{an}为等差数列，an为正整数，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且a1?3,b1?1，数列{ban}是公比为64的等比数列，b2S2?64. （1）求an,bn； （2）求证

11??S1S2?13?. Sn4O20．（本小题满分12分）

如图，正三棱锥O?ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延

3OA?长线分别相交于A、、，已知． BC11112（1）．求证：B1C1⊥平面OAH； （2）．求二面角O?A1B1?C1的大小； 21．（本小题满分12分）

A1AEHCFC1BB122设点P(x0,y0)在直线x?m(y??m,0?m?1)上，过点P作双曲线x?y?1的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点M(1,0). m（1）求证：三点A、M、B共线。

- 23 -

（2）过点A作直线x?y?0的垂线，垂足为N，试求?AMN的重心G所在曲线方程. 22．（本小题满分14分） 已知函数f?x??11ax，x??0,???． ??ax?81?x1?a?1?．当a?8时，求f?x?的单调区间； ?2?．对任意正数a，证明：1?f?x??2．

- 24 -

2007江西理数

一、选择题 1 化简

2?4i的结果是（ ） 2(1?i)

Ｂ ?2?i

Ａ 2?i

Ｃ 2?i

Ｄ ?2?i

x3?x22 lim（ ）

x?1x?1Ａ 等于0

Ｂ 等于1

Ｃ 等于3

Ｄ 不存在

3 若tan??π?????3，则cot?等于（ ） ?4?

Ｂ ?Ａ ?2

1 2 Ｃ 1 2

Ｄ 2

3??4 已知?x?3?展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（ ）

x??nＡ 4

Ｂ 5

Ｃ 6

Ｄ 7

π，则下列命题中正确的是（ ） 23342Ａ sinx?x Ｂ sinx?x Ｃ sinx?2x

πππ5 若0?x?Ｄ sinx?42x π26 若集合M??01，，2?，N?(x，y)x?2y?1≥0且x?2y?1≤0，x，y?M，则N中元素的个数

??为（ ） Ａ 9

Ｂ 6

Ｃ 4

Ｄ 2

7 如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点

ABHCDH，则以下命题中，错误的命题是（ ） ．．

Ａ.点H是△A1BD的垂心 Ｂ.AH垂直平面CB1D1 Ｃ.AH的延长线经过点C1 Ｄ.直线AH和BB1所成角为45

A1B1C1D18 四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆

口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半 设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，

h3，h4，则它们的大小关系正确的是（ ）

Ａ h2?h1?h4

Ｂ h1?h2?h3

Ｃ h3?h2?h4

Ｄ h2?h4?h1

- 25 -

1x2y29 设椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为e?，右焦点为F(c，0)，方程ax2?bx?c?0的两个实根

2ab分别为x1和x2，则点P(x1，x2)（ ） Ａ 必在圆x2?y2?2内

Ｂ 必在圆x2?y2?2上

Ｃ 必在圆x2?y2?2外

Ｄ 以上三种情形都有可能

10 将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ） ．．

Ａ 1 9 Ｂ 1 12 Ｃ 1 15 Ｄ 1 1811 设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y?f(x)在x?5处的切线的斜率为（ ）

Ａ ?1 5

Ｂ 0

Ｃ 1 5

Ｄ 5

x2??)内单调递增，q:m≥?5，则p是q的（ ） 12 设p:f(x)?e?lnx?2x?mx?1在(0，Ａ 充分不必要条件 Ｃ 充分必要条件 二、填空题

Ｂ 必要不充分条件

Ｄ 既不充分也不必要条件

13 设函数y?4?log2(x?1)(x≥3)，则其反函数的定义域为

1，则a36? 915 如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，

14 已知数列?an?对于任意p，q?N*，有ap?aq?ap?q，若a1?若AB?mAM，AC?nAN，则m?n的值为

A16 设有一组圆Ck:(x?k?1)2?(y?3k)2?2k4(k?N*) 下列四个命题：

NBOCＡ.存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ.存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ.存在一条定直线与所有的圆均不相交 Ｄ.所有的圆均不经过原点 ．．其中真命题的代号是 三、解答题

17 （本小题满分12分）

M （写出所有真命题的代号）

?cx?1 (0?x?c)9?1)内连续，且f(c2)? 已知函数f(x)???x在区间(0，8c2??2?k (c≤x?1)（1）求实数k和c的值；

y3PQoAx2（2）解不等式f(x)??1

818 （本小题满分12分）

0?≤)的图象与y轴交于点(0，3)，且在该点处切线的斜率为如图，函数y?2cos(?x??)(x?R，≤

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π2?2

（1）求?和?的值；

（2）已知点A?，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0?0?，时，求x0的值

?π?2??3?π?，x0??，π?2?2?19 （本小题满分12分）

某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立 根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75

（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为?，求随机变量?的期望

20 （本小题满分12分）

右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC 已知

A1B1?B1C1?1，?A1B1C1?90，AA1?4，BB1?2，CC1?3

AC（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1； （2）求二面角B?AC?A1的大小；

A1OBC1B1（3）求此几何体的体积 21 （本小题满分12分）

，0)和B(1，0)的距离分别为d1和d2，?APB?2?，且存在常数?(0???1)，使得设动点P到点A(?1d1d2sin2???

yd12?d2A（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；

（2）过点B作直线双曲线C的右支于M，N两点，试确定?的范围，使

POMON?0，其中点O为坐标原点

oBx22 （本小题满分14分）

11?aan?111*设正整数数列?an?满足：a2?4，且对于任何n?N，有2? ?n?2?an?11?1annn?1（1）求a1，a3；

（3）求数列?an?的通项an

- 27 -

2006江西理数

一、选择题 1 已知集合M＝｛x|

x2

?0｝，N＝｛y|y＝3x＋1，x?R｝，则M?N＝（ ） 3（x－1）A ? B {x|x?1} C ｛x|x?1｝ D {x| x?1或x?0}

2 已知复数z满足（3＋3i）z＝3i，则z＝（ ）

A －323333333i B －i C ＋i D ＋i 24422441?a等价于（ ） x11111111A －?x?0或0?x? B －?x? C x?-或x? D x?－或x?

baababba3 若a?0，b?0，则不等式－b?

4 设O为坐标原点，F为抛物线y＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若OA?AF＝－4

2

则点A的坐标是（ ）

A （2，?22） B (1，?2) C （1，2）D (2，22) 5 对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f?（x）?0，则必有（ ） A.f（0）＋f（2）?2f（1） B.f（0）＋f（2）?2f（1） C.f（0）＋f（2）?2f（1） D.f（0）＋f（2）?2f（1）

6 若不等式x＋ax＋1?0对于一切x?（0，

2

1〕成立，则a的取值范围是（ ） 2A.0 B.–2 C.-5 D.-3 27 已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若OB＝a1OA＋a200OC，且A B C三点共线（该直线不过

原点O），则S200＝（ ）

A.100 B.101 C.200 D.201 8 在（x－2）2006

的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝2时，S等于（ ）

3009

A 2

3008

B -2

3008

C 2

D -23009

x2y21的右支上一点，M N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，9 P是双曲线－＝916则|PM|－|PN|的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9

10 将7个人（含甲 乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a，甲 乙分到同一组的概率为p，则a p的值分别为（ ）

A.a=105 p=

5454 B.a=105 p= C.a=210 p= D.a=210 p= 21212121A11 如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ）

ODFBEC - 28 -

A.S1?S2 B.S1?S2 C.S1=S2 D.S1，S2的大小关系不能确定 12 某地一年的气温Q（t）（单位：oc）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10oc，令G（t）表示时间段〔0,t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（ ）

G(t)100C100CG(t)100CG(t)G(t)100C100CG(t)o612to612to612to612to612t(1)二、 填空题 13 数列｛

ABCD 1｝的前n项和为Sn，则limSn＝______________ 2n??4n－1－1

－1

－1

14 设f（x）＝log3（x＋6）的反函数为f（x），若〔f（m）＋6〕〔f（n）＋6〕＝27

则f（m＋n）＝___________________

AB15 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，?ACB＝90?，AC＝6，

CBC＝CC1＝2，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是___________

16 已知圆M：（x＋cos?）＋（y－sin?）＝1， 直线l：y＝kx，下面四个命题：

⑴对任意实数k与?，直线l和圆M相切； ⑵对任意实数k与?，直线l和圆M有公共点； ⑶对任意实数?，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切 ⑷对任意实数k，必存在实数?，使得直线l与和圆M相切

其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号） 三、 解答题

17 （本小题满分12分）

P22

A1C1B1已知函数f（x）＝x＋ax＋bx＋c在x＝－

32

2与x＝1时都取得极值 3（1） 求a b的值与函数f（x）的单调区间

2

（2） 若对x?〔－1，2〕，不等式f（x）?c恒成立，求c的取值范围 18 （本小题满分12分）

某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令?表示甲，乙摸球后获得的奖金总额 求： （1）?的分布列 （2）?的的数学期望

19 （本小题满分12分）

A如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M N分别是边AB AC上的点，

线段MN经过△ABC的中心G，设?MGA＝?（

?3???2?） 3MB⑴.试将△AGM △AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为?的函数

?GDN⑵.求y＝

11＋的最大值与最小值 22S1S2C20 （本小题满分12分）

如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、 ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝3，BD＝

- 29 -

CD＝1，另一个侧面是正三角形 （1） 求证：AD?BC

（2） 求二面角B－AC－D的大小

（3） 在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30?角？若存在，

确定E的位置；若不存在，说明理由 21 （本大题满分12分）

ABDx2y21（a?b?0）的右焦点F（c，0）如图，椭圆Q：＋＝，过点F的一动

Ca2b2直线m绕点F转动，并且交椭圆于A B两点，P是线段AB的中点

（1） 求点P的轨迹H的方程

（2） 在Q的方程中，令a2＝1＋cos?＋sin?，b2＝sin?（0???

?2 ），确定?的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？ 22 （本大题满分14分）

已知数列｛an｝满足：a1＝

3，且a3nan＝n－1（n?2，n?N?22a） n－1＋n－1（1） 求数列｛an｝的通项公式；

（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1?a2???an?2?n！

- 30 -

yBoFPxA2005江西理数

一、选择题

1．设集合I?{x||x|?3,x?Z},A?{1,2},B?{?2,?1,2},则A? (CIB）=

A．{1}

B．{1，2}

C．{2}

D．{0，1，2}

（ ） （ ）

2．设复数：z1?1?i,z2?x?2i(x?R),若z1z2为实数，则x=

A．－2

B．－1

C．1

D．2

3． “a=b”是“直线y?x?2与圆(x?a)2?(y?b)2?2相切”的

A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分又不必要条件

D．1项

（ ）

4．(x?3x)12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有

A．4项

B．3项

C．2项

（ ）

5．设函数f(x)?sin3x?|sin3x|,则f(x)为

（ ）

? 3C．周期函数，数小正周期为2?

A．周期函数，最小正周期为

B．周期函数，最小正周期为D．非周期函数

2? 3（ ）

6．已知向量a?(1,2),b(?2,?4),|c|?

A．30°

5,若(a?b)?c?5,则a与c的夹角为 2B．60° C．120° D．150°

7．已知函数y?xf?(x)的图象如右图所示下面四个图象中y?f(x)的(其中f?(x)是函数f(x)的导函数)，

图象大致是

yy=xf'(x)1-1o（ ）

y21yy421y21o42o1x-2-1-2123x-112x-2o-1 -2x-2o2x A B C D

8．若limx?1f(x?1)x?1?1,则lim?

x?1x?1f(2?2x)B．1

C．－

（ ）

A．－1

1 2D．

1 29．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球

的体积为（ ）

125125

? ? C．961a1b10．已知实数a, b满足等式()?(),下列五个关系式

23

A．

B．

125

? 12

D．

125? 3 ⑤a=b

①0- 31 -

④b

其中不可能成立的关系式有（ ） ．．．A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

11．在△OAB中，O为坐标原点，A(1,cos?),B(sin?,1),??(0,

A．

?2]，则△OAB的面积达到最大值时，??

D．

? 61 56B．

? 41 70C．

? 31 336? 21 420A1E12．将1，2，?，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

13．若函数f(x)?logn(x?x2?2a2)是奇函数，则a= . C1B1F?x?y?2?0y?14．设实数x, y满足?x?2y?4?0,则的最大值是 .

x?2y?3?0??ABC15．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=2，BB1=2，?ABC?90，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 . 16．以下同个关于圆锥曲线的命题中

①设A、B为两个定点，k为非零常数，|PA|?|PB|?k，则动点P的轨迹为双曲线； ②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若OP?21(OA?OB),则动点P的轨迹为椭圆； 2③方程2x?5x?2?0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

x2y2x2??1与椭圆?y2?1有相同的焦点. ④双曲线

25935其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）

三、解答题 17．（本小题满分12分）

x2已知函数f(x)?（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.

ax?b （1）求函数f(x)的解析式；

（2）设k>1，解关于x的不等式；f(x)?18．（本小题满分12分）

已知向量a?(2cos(k?1)x?k

2?xxx?x?x?,tan(?)),b?(2sin(?),tan(?)),令f(x)?a?b. 2242424是否存在实数x?[0,?],使f(x)?f?(x)?0(其中f?(x)是f(x)的导函数)?若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.

19．（本小题满分12分）

- 32 -

A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设?表示游戏终止时掷硬币的次数.

（1）求?的取值范围； （2）求?的数学期望E?.

20．（本小题满分12分）

如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.

D1 （1）证明：D1E⊥A1D；

A1 （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为21．（本小题满分12分）

已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0?1,an?1?（1）证明an?an?1?2,n?N; （2）求数列{an}的通项公式an. 22．（本小题满分14分）

如图，设抛物线C:y?x2的焦点为F，动点P在直线l:x?y?2?0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

（1）求△APB的重心G的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.

- 33 -

C1B1CEB?. 4DA1an,(4?an),n?N. 22014参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分

1.D

2.C

3.A

4.C

5.B

6.D

7.B

8.B

9.A

10.C

二、选做题：本大题5分

11.（1）C

11.（2）A

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

12.

1 213.(?ln2,2)

14.

22 3 15.

2 2四、解答题：本大题共6小题，共75分 16.（本小题满分12分） 解：（1）f(x)?sin(x???2)?2cos(x?)?(sinx?cosx)?2sinx 442??22cosx?sinx?sin(?x)

422因为x?[0,?]，从而

?4?x?[?3??,] 44故f(x)在[0,?]上的最大值为

2，最小值为-1 2??????1cos?(1?2?sin?)?0?f()?0????cos??0??(?,)（2）由?2得?，又知，解得? ?222???2?sin??sin????1???f(?)?1?6?17.（本小题满分12分）

解：（1）因为anbn?1?an?1bn?2bn?1bn?0,bn?0，两边同时除以bnbn?1，得到

anan?1??2?0 bnbn?1an?1ana??2 即：cn?1?cn?2 所以，{cn}是首项为1?1，公差为2的成差数列 bn?1bnb1所以，cn?1?2(n?1)?2n?1 （2）

cn?an?2n?1,?an?(2n?1)3n?1 bn?Sn?1?32?3?33?5?34?...?(2n?3)?3n?(2n?1)?3n?1 ?3Sn?1?33?3?34?5?35?...?(2n?3)?3n?1?(2n?1)?3n?2

两式相减，得：?2Sn?32?2?(33?34?...?3n?1)?(2n?1)?3n?2??18?(2n?2)?3∴Sn?9?(n?1)?3n?2

18. （本小题满分12分）

- 34 -

n?2

解：（1）当b=4时，f(x)?(x?2)21?2x的定义域为(??,)

12f?(x)?2(x?2)1?2x?(x?2)211?5x(x?2) ?21?2x1?2x令f?(x)?0，解得x1??2,x2?0 当x??2和0?x?11时，f?(x)?0，所以f(x)在(??,?2),(0,)上单调递减； 22当?2?x?0时，f?(x)?0，所以f(x)在(?2,0)上单调递增； 所以，当x??2时，f(x)取得极小值f(?2)?0； 当x?0时，f(x)取得极大值f(0)?4

（2）依题意，f(x)在(0,)上单调递增，所以f?(x)?0，且不恒等于0，

1311?5x2?2x?3bx f?(x)?2(x?b)1?2x?(x?bx?b)(?2)?21?2x1?2x2??5x2?2x?3bx?0 ?b?19.

2?5x1 x?(0,) ?b?332?5?13?1 39（1）证明：平面PAD?平面ABCD，平面PAD?平面ABCD?AD，

又

AB?AD ?AB?平面PAD 又PD?平面PAD ?AB?PD

（2）过P做PO?AD，由（1）有PO?面ABCD

作OM?BC，连接PM，作PM?BC 设AB?x

111421VP?ABCD??OP?SABCD??OP?AB?BC??x?6?8?6x2

33333?当x2?2266即x?时，Vmax? 393如图建立空间直角坐标系，

???6?6??66??6P?0,0,,M0,,0,C?,,0,D?,0,0 ???????????????3???3??33??3???66?666??PM???0,3,?3??,PC????3,3,?3??

????????666?6?MC????3,0,0??,PD????3,0,?3??，DC???0,3,0??

??????设面PMC、面PDC的法向量分别为m?(x1,y1,z1),n?(x2,y2,z2)

- 35 -

?66y1?z1?0?3?m?PM?0?3??66??6??m?PC?0 ??x1?y1?z1?0 设y1?1，则z1?1，?m?(0,1,1)

33??3??6?m?MC?0x1?0??3??同理可得n?(1,1,1) cos?m,n??m?n6 ?3|m||n|平面PBC与平面DPC夹角的余弦值为6 3c?ttctcx2?11aa?y2?1 20.解：（1）A(c,),B(t,?) ?，即t?,a?3，即???1且?aa23c?taac?t（2）A(2,xx2x-33x?223),l:0?y0y?1,F(2,0) M(2,0),N(,0) 333y022y0?MF?NF|2x0?3|3y01(x0?2)2?44y02?2|2x0?3|3y02?(x0?2)2?2|2x0?3|23 ???2|2x?3|330x30?1?(x0?2)2332|2x0?3|21.解：（1）随机变量?取值的所有可能是2，3,4,5

P(??5)?41416363 ?P(??2)??P(??3)??P(??4)?? 3333C65C65C65C610?的分布列为：

? P 2 3 4 5 1 53 103 101 5所以，?的数学期望为E(?)?2?13317?3??4??5?? 5101052（2）事件?与?的取值恰好相等的基本事件：

共P(c)?2?123n?21?1?C2?C4?C6?...?C2(n?2)Cn2n(n?3)

n?2时，P(c)?2?22? 2C431的大小， 2（3）因为P(c)?P(c)?1，所以要比较P(c)与P(c)的大小，实际上要比较P(c)与

- 36 -

由P(c)?2?123n?21?1?C2?C4?C6?...?C2(n?2)Cn2n(n?3)可知，

当n?2时，P(c)?P(c) 当n?3时，P(c)?P(c)

2013参考答案

1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 6.B 7.C 8.A 9.B 10.D 11.? 12.

5 13.2 14.6 15(1).?cos2??sin??0 15（2）.?0,4? 21≤b<1 216.B??3，

17.an?2n，bn?18.P(X?0)?1?11?1?111?1?1?5，?T?1???n?22(n?1)2(n?2)2?<16?1?22??64 22?16?n(n?2)16??????215223?(?1)??0??1??? EX?(?2)?7141477141x2y22?1???1，??2 21.a>，a∈?,???时，S?a?单调递增。 19.cos?? 20.

2434?2?2012参考答案

1.C 2.D 3.B 4.D 5.B 6.C 7.D 8.B 9.A 10.A 11.

253? 12.35 13. 14.3 15.（1）??2cos? 15.（2）?x?R|??x?352?3?? 2?9n?21?n，Tn?4?n?1 17.S? 22233111323419???????18.P?V?0??，EV?0???

556203203203204016.an?19.AE?S△QAB3052,cos??20．x?4y，t??1,?2

105S△PDE21．???3,???,P??1,???

2011参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。 1—5 DBACA 6—10 CDCBA

二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分。

?13x2y2??1 11． 12． 13．10 14．

16354三、选做题：本大题5分。

15．（1）x?y?4x?2y?0 （2）5

- 37 -

22四、解答题：本大题共6小题，共75分。 16．（本小题满分12分）

解：（1）X的所有可能取值为：0，1，2，3，4

14?iC4C4P(X?i)?(i?0,1,2,3,4) 4C5即

X P 0 1 2 3 4 1 7016 7036 7016 701 70 （2）令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100，2800，3500 则P(Y?3500)?P(X?4)?18 P(Y?2800)?P(X?3)?7035

5311653P(Y?2100)?P(X?2)? EY?3500??2800??2100??2280.70707070所以新录用员工月工资的期望为2280元.

17．（本小题满分12分）

CCCC?1?cosC,即sin(2cos?1)?2sin2 2222CCCCC13由sin?0得2cos?1?2sin,即sin?cos?,同边平方得：sinC?

2222224解：（1）由已知得sinC?sin （2）由sin22CC1?C??37?cos??0得??，即?C??,则由sinC?得cosC?? 22242224422由a?b?4(a?b)?8得:(a?2)?(b?2)?0,则a?2,b?2 由余弦定理得c2?a2?b2?2abcosC?8?27,所以c?7?1. 18．（本小题满分12分）

（1）设{an}的公比为q，则b1?1?a?2,b2?2?aq?2?q,b3?3?aq2?3?q2

由b1,b2,b3成等比数列得(2?q)?2(3?q),即q2?4q?2?0,解得q1?2?2,q2?2?2 22所以{an}的通项公式为an?(2?2)n?1或an?(2?2)n?1.

（2）设{an}的公比为q，则由(2?aq)?(1?a)(3?aq),得aq?4aq?3a?1?0(*)

由a?0得??4a?4a?0，故方程（*）有两个不同的实根 由{an}唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得a?19．（本小题满分12分）

解：（1）由f?(x)??x?x?2a??(x?)?

222221. 31221?2a 4- 38 -

当x?[,??)时,f?(x)的最大值为f?()?2323221?2a;令?2a?0,得a?? 999所以，当a??时,f(x)在(,??)上存在单调递增区间

1923 （2）令f?(x)?0,得两根x1?1?1?8a1?1?8a,x2?. 22所以f(x)在(??,x1),(x2,??)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增 当0?a?2时,有x1?1?x2?4,所以f(x)在[1，4]上的最大值为f(x2)

27?6a?0,即f(4)?f(1) 24016?? 所以f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)?8a?33又f(4)?f(1)??得a?1,x2?2，从而f(x)在[1，4]上的最大值为f(2)?20．（本小题满分13分）

22x0y0x2y2解：（1）点P(x0,y0)(x0??a)在双曲线2?2?1上，有2?2?1

abab10. 3由题意又有

y0yc301 ?0?,可得a2?5b2,c2?a2?b2?6b2,则e??a5x0?ax0?a5?x2?5y2?5b2 （2）联立?,得4x2?10cx?35b2?0,设A(x1,y1),B(x2,y2)

?y?x?c5c?x?x?,12??2则? ??????（1） 2?xx?35b12??4?x3??x1?x2设OC?(x1,y1),OC??OA?OB,即?

y??y?y12?322又C为双曲线上一点，即x3?5y3?5b2,有(?x1?x2)2?5(?y1?y2)2?5b2

化简得：?(x1?5y1)?(x2?5y2)?2?(x1x2?5y1y2)?5b ????（2） 又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上，所以x1?5y1?5b,x2?5y2?5b

由（1）式又有 x1x2?5y1y2?x1x2?5(x1?c)(x2?c)??4x1x2?5c(x1?x2)?5c?10b 得：??4??0,解出??0,或???4.

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