2012届浙江省余杭高级中学高三第一次阶段性检测（理科数学）

余杭高级中学2012届高三第一次阶段性检测

数 学理（试卷）

考生须知：

1．全卷分试卷和答卷两部分。试卷共4页，有三大题，22小题。满分为150分。考试时间

为120分钟。

2．本卷答案必须做在答卷的相应位置上，做在试卷上无效。

3．请用钢笔或圆珠笔将班级、姓名和学号填写在答卷的相应位置上。

4．考生应严格遵守考试时间和考试纪律。

一、选择题 （本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。） 1．设全集U=R，集合M?{x||x?

A

．

{x|?4?x??2}12|?52}，P?{x|?1?x?4}，则(CUM)?P等于

B．{x|?1?x?3} C．{x|3?x?4}D．{x|3?x?4}

42．已知2sin??tan??3，则sin

A．?7

B．?12??cos?的值是

4 C．

34 D．

12

32,0)时，

3．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其最小正周期为3, 且x?(?f(x)?log2(1?3x)，

则f(2011)?

A．4 B．2

5?6C． －2

5?D．log27

4．已知角?的终边上一点的坐标为(sin

A．

5?6,cos B．

2?3 C．

)，则角?的最小正值为

65?11?3 D．

6

5．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)?f(2?x),且(x?1)f'(x)?0，若

1a?f(0),b?f()，

2 c?f(3)，则a,b,c的大小关系是

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A．a?b?c B．c?a?b C．b?a?c D．c?b?a

?log2(?x),x?0,?6．若函数f(x)??logx,x?0,,若f(m)?f(?m),则实数m的取值范围是

1?余杭高级中学高三阶段性测试数学试题卷第1页（共4页） ?2 A．(?1,0)?(0,1) B．(??,?1)?(1,??) C．(?1,0)?(1,??) D．(??,?1)?(0,1)

7．已知函数f(x)?ax2?2ax?4(a?3),若x1?x2,x1?x2?1?a,则

A．f(x1)?f(x2) C．f(x1)?f(x2)

2xB．f(x1)?f(x2)

D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定

8．下列关于函数f(x)?(x?2x)e的判断正确的是

① f(x)?0的解集是{x|0?x?2} ③ f(x)有最小值，没有最大值 A． ① ③

B． ① ② ③

② f(?2)是极小值，f(2)是极大值 ④ f(x)有最大值，没有最小值

[来源学C． ② ④ D． ① ② ④

??x??)(A?0,??,??0)的图象如图所示，为了得到9．函数f(x)?Asin(2g(x)?Asin?x的

图象，则只需将y?f(x)的图象 A．向右平移 C．向左平移

10．设函数y?f(x)在（??，+?）内有定义．对于给定的正数K，定义函数

?f(x),f(x)?K, fk(x)???K,f(x)?K.?6个长度单位 B．向右平移个长度单位 D．向左平移

?12个长度单位 个长度单位

?6?12 取函数f(x)=3?x?e?x．若对任意的x?(??,??)，恒有fK(x)=f(x)，则

A．K的最大值为2 B．K的最小值为2 C．K的最大值为1 D．K的最小值为1

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分。） 11．函数f(x)?3x21?x?lg(3x?1)的定义域是 ▲ ；

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12．若函数y?|2x?1|，在(??,m]上单调递减，则m的取值范围是 ▲ ； 13．曲线y?xex?2x?1在点（0,1）处的切线方程为 ▲ ；

2余杭高级中学高三阶段性测试数学试题卷第页（共 = ▲ ； f'(x),且满足f(x)?2x?xf2?(2)14．已知函数f(x)的导函数为,则4f页）?(5)15．求值：tan7?12? ▲ ；

16．已知函数f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0)的导函数是g(x),a?b?c?0，

g(0)?g(1)?0．设

x1,x2是方程g(x)?0的两根，则|x1?x2|的取值范围为 ▲ ；

17．定义在???,???上的偶函数f?x?满足f?x?1???f?x?，且在??1,0?上是增函数，下面是关于f（x）

的判断：

① f?x?是周期函数； ② f?x?的图像关于直线x?1对称；

③ f?x?在[0，1]上是增函数； ④ f?2??f?0?．

其中正确的判断是 ▲ .（把你认为正确的判断都填上）

三、解答题（本大题共5小题，共72分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 18．（本小题满分14分）

已知

2p2：

x?A??x|x?2x?3?0,x?R?,2q：

x?B??x|x?2mx?m?9?0,x?R,m?R?

（1）若A?B??2,3?,求实数m的值；

（2）若p是?q的充分条件，求实数m的取值范围． 19．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?sinx?cosx,f?(x)是f(x)的导函数.

2（1）求函数F(x)?f(x)?f?(x)?f(x)的最大值和最小正周期；

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（2）若f(x)?2f?(x)，求

1?sincos22xx?sinx?cosx的值.

余杭高级中学高三阶段性测试数学试题卷第3页（共4页）

20．（本小题满分14分）

如图1，已知抛物线C：y?3x2(x?0)与直线x?a．直线x?b(其中0?a?b)及x轴围成的曲

边梯形(阴影部分)的面积可以由公式S?b?a来计算，则如图2，过抛物线C：

y?3x(x?0)上一点

2A(点A在y轴和直线x=2之间)的切线为l，S1是抛物线y?3x与切线l及直线y?0所围

233成图形的面积，

S2是抛物线y?3x与切线l及直线x?2所围成图形的面积，求面积S1?S2的最小值。

2

21．（本小题满分15分）若定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足： ① 对任意的x?[0,1]，总有f(x)?0；

② f(1)?1；③ 若x1?0,x2?0,x1?x2?1，则有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2).

（1）求f(0)的值；

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（2）求函数f(x)的最大值； （3）证明：f(x)?2x,x?[,1]

41 22．（本小题满分15分） 已知函数f(x)?kx?(k?1)x

（1）若函数f(x)是(0,??)上的增函数，求k的取值范围； （2）证明：当k?2时，不等式f(x)?lnx对任意x?0恒成立； （3）证明：ln(1?2)?ln(2?3)???ln[n(n?1)]?2n?3

余杭高级中学2012届高三第一次阶段性检测

数 学（参考答案及评分标准）

一、选择题

1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 6. C 7. A 8. A 9. A 10. B

三、解答题

18．（1） A??x|?1?x?3,x?R?,B??x|m?3?x?m?3,x?R,m?R?,

?m?3?3?A?B??1,3? 所以：??m?5 （7分）

?m?3?2 （2） 由（1）得：p:x?[?1,3]

q:x?[m?3,m?3]?q:x?(??,m?3)?(m?3,??) ?p是?q的充分条件, ?A?CRB

则：m?3?3或m?3??1 ?m?6或m??4. （7分）

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19．（1）F(x)?(sinx?cosx)(cosx?sinx)?(sinx?cosx)2 ?cos2x?1?sin2x? 所以F(x)max?2sin(2x??4)?1 （3分）

2?1 （2分） T?2?2?? （2分）

13 （2）f(x)?2f?(x)?sinx?cosx?2(cosx?sinx)?tanx?222 （3分）

1?sincos2xx?sinx?cosx?2tanx?11?tanx（2分） ?9?113?116 （2分）

1?20. 解：设切点A的坐标为(a,3a) （0?a?2）

则y??6x?k?6a 所以切线l的方程为：y?3a2?6a(x?a) （2分）

令y?0得x?a22，令x?2得y?12a?3a

2 所以

S1?S2?2?0?331?a?33222?(12a?3a)??a?6a?12a?8??2?2?4（0?a?2） 记f(a)??34a?6a?12a?8，（0?a?2） （5分）

34a?6a?12a?8在a?[0,2]时的最小值，

49433232 则转化为求f(a)?? f?(a)??942a?12a?12??(a?)(a?4)

（2分）

a 0 (0,) 3443 (,2) 2 34 f?(a) — 0 ? f(a) 8 89 2 （3分） 由上表知：当a?43，f(a)取得最小值

8989.

因此面积S1?S2的最小值

（2分）

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21．（1）由 ① 得：f(0)?0

由 ③得：f(0)?f(0)?f(0)?f(0)?0 所以：f(0)?0 （3分）

（3）当x?[,1]?x?2112?1?2x

由（2）得：f(x)?1

所以：f(x)?2x （3分） 当x?[,]?2x?[,1]?f(2x)?2(2x)?4x

422111 由 ③ 得：f(2x)?f(x?x)?f(x)?f(x)?2f(x) 即：2f(x)?f(2x) 所以：2f(x)?f(2x)?4x?f(x)?2x （3分） 综上之：f(x)?2x（x?[,1]） （1分）

41

22.（1）由f(x)?kx?(k?1)x?k?k?1x?f?(x)?k?1x2 （1分）

因为：f(x)是(0,??)上的增函数 所以：f?(x)??0对x?(0,??)恒成立 2x 所以：k?1?0?k??1 （2分）

k?1 当：k??1时，f(x)是常函数，不合题意

所以：k??1 （1分）

（2）k?2时，令： g(x)?f(x)?lnx?2?3x?lnx （1分）

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则：g?(x)?

?(x?3)x2（x?(0,??)）

x (0,3) 3 (3,??) g?(x) ? 0 —

g(x) 1?ln3

（2分） 由表知：g(x)max?g(3)?1?ln3?0?g(x)?0（x?(0,??)） 所以：f(x)?lnx（x?(0,??)） （2分）

（3）由（2）得：f(x)?lnx（x?(0,??) 即：lnx?2??3x（x?(0,??)

则：n?N时，ln[n(n?1)?2?3n(n?1)?2?3(1n?1n?1) （3分）

所以：ln(1?2)?ln(2?3)?ln(3?4)???ln[n(n?1)] ?[2?3(1?12)]?[2?3(1?1)]?[2?3(1?1)]???[2?3(1?1)]

2334nn?11111111)] ?2n?3[(1?)?(?)?(?)???(?22334nn?113)?2n?3??2n?3 （3分） ?2n?3(1?n?1n?1

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