abaqus系列教程-09显式非线性动态分析

9 显式非线性动态分析

在前面的章节中，已经考察了显式动态程序的基本内容；在本章中，将对这个问题进行更详细的讨论。显式动态程序对于求解广泛的、各种各样的非线性固体和结构力学问题是一种非常有效的工具。它常常对隐式求解器是一个补充，如ABAQUS/Standard；从用户的观点来看，显式与隐式方法的区别在于： ?

显式方法需要很小的时间增量步，它仅依赖于模型的最高固有频率，而与载荷的类型和持续的时间无关。通常的模拟需要取10,000至1,000,000个增量步，每个增量步的计算成本相对较低。 ?

隐式方法对时间增量步的大小没有内在的限制；增量的大小通常取决于精度和收敛情况。典型的隐式模拟所采用的增量步数目要比显式模拟小几个数量级。然而，由于在每个增量步中必须求解一套全域的方程组，所以对于每一增量步的成本，隐式方法远高于显式方法。

了解两个程序的这些特性，能够帮助你确定哪一种方法是更适合于你的问题。

9.1 ABAQUS/Explicit适用的问题类型

在讨论显式动态程序如何工作之前，有必要了解ABAQUS/Explicit适合于求解哪些类问题。贯穿这本手册，我们已经提供了贴切的例题，它们一般是应用ABAQUS/Explicit求解的如下类型问题： 高速动力学（high-speed dynamic）事件

最初发展显式动力学方法是为了分析那些用隐式方法（如ABAQUS/Standard）分析起来可能极端费时的高速动力学事件。作为此类模拟的例子，在第10章“材料”中分析了一块钢板在短时爆炸载荷下的响应。因为迅速施加的巨大载荷，结构的响应变化的非常快。对于捕获动力响应，精确地跟踪板内的应力波是非常重要的。由于应力波与系统的最高阶频率相关联，因此为了得到精确解答需要许多小的时间增量。

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复杂的接触（contact）问题

应用显式动力学方法建立接触条件的公式要比应用隐式方法容易得多。结论是ABAQUS/Explicit能够比较容易地分析包括许多独立物体相互作用的复杂接触问题。ABAQUS/Explicit是特别适合于分析受冲击载荷并随后在结构内部发生复杂相互接触作用的结构的瞬间动态响应问题。在第12章“接触”中展示的电路板跌落试验就是这类问题的一个例子。在这个例子中，一块插入在泡沫封装中的电路板从1m的高度跌落到地板上。这个问题包括封装与地板之间的冲击，以及在电路板和封装之间的接触条件的迅速变化。 复杂的后屈曲（postbuckling）问题

ABAQUS/Explicit能够比较容易地解决不稳定的后屈曲问题。在此类问题中，随着载荷的施加，结构的刚度会发生剧烈的变化。在后屈曲响应中常常包括接触相互作用的影响。

高度非线性的准静态（quasi-static）的问题

由于各种原因，ABAQUS/Explicit常常能够有效的解决某些在本质上是静态的问题。准静态过程模拟问题包括复杂的接触，如锻造、滚压和薄板成型等过程一般地属于这类问题。薄板成型问题通常包含非常大的膜变形、褶皱和复杂的摩擦接触条件。块体成型问题的特征有大扭曲、瞬间变形以及与模具之间的相互接触。在第13章“ABAQUS/Explicit准静态分析”中，将展示一个准静态成型模拟的例子。

材料退化（degradation）和失效（failure）

在隐式分析程序中，材料的退化和失效常常导致严重的收敛困难，但是ABAQUS/Explicit能够很好地模拟这类材料。混凝土开裂的模型是一个材料退化的例子，其拉伸裂缝导致了材料的刚度成为负值。金属的延性失效模型是一个材料失效的例子，其材料刚度能够退化并且一直降低到零，在这段时间中，单元从模型中被完全除掉。

这些类型分析的每一个问题都有可能包含温度和热传导的影响。

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9.2 动力学显式有限元方法

这一节包括ABAQUS/Explicit求解器的算法描述，在隐式和显式时间积分之间进行比较，并讨论了显式方法的优越性。

9.2.1 显式时间积分

ABAQUS/Explicit应用中心差分方法对运动方程进行显示的时间积分，应用一个增量步的动力学条件计算下一个增量步的动力学条件。在增量步开始时，程序求解动

??等于节点的合力力学平衡方程，表示为用节点质量矩阵M乘以节点加速度u（在所施

加的外力P与单元内力I之间的差值）：

??=P-I Mu在当前增量步开始时（t时刻），计算加速度为：

??|(t)?(M)?1?(P?I)|(t) u由于显式算法总是采用一个对角的、或者集中的质量矩阵，所以求解加速度并不复杂；不必同时求解联立方程。任何节点的加速度是完全取决于节点质量和作用在节点上的合力，使得节点计算的成本非常低。

对加速度在时间上进行积分采用中心差分方法，在计算速度的变化时假定加速度为常数。应用这个速度的变化值加上前一个增量步中点的速度来确定当前增量步中点的速度：

?|u(t??t)2?|?u(t??t)2?(?t|(t??t)??t|(t))2??|(t) u速度对时间的积分并加上在增量步开始时的位移以确定增量步结束时的位移：

?|u|(t??t)?u|(t)??t|(t??t)u(t??t2)

这样，在增量步开始时提供了满足动力学平衡条件的加速度。得到了加速度，在时间上“显式地”前推速度和位移。所谓“显式”是指在增量步结束时的状态仅依赖于该增量步开始时的位移、速度和加速度。这种方法精确地积分常值的加速度。为了

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使该方法产生精确的结果，时间增量必须相当小，这样在增量步中加速度几乎为常数。由于时间增量步必须很小，一个典型的分析需要成千上万个增量步。幸运的是，因为不必同时求解联立方程组，所以每一个增量步的计算成本很低。大部分的计算成本消耗在单元的计算上，以此确定作用在节点上的单元内力。单元的计算包括确定单元应变和应用材料本构关系（单元刚度）确定单元应力，从而进一步地计算内力。

这里给出了显式动力学方法的总结：

1. 节点计算

a. 动力学平衡方程

??(t)?(M)?1?(P(t)?I(t)) u

b. 对时间显式积分

?u(t??t)2??u(t??t)2?(?t(t??t)??t(t))2?t2??tu

?u(t??t)?u(t)??t(t??t)u

2. 单元计算

(t?)

?，计算单元应变增量d? a. 根据应变速率?b. 根据本构关系计算应力?

?(t??t)?f(?(t),d?)

c. 集成节点内力I(t??t)

3. 设置时间 t为t??t，返回到步骤1。

9.2.2 比较隐式和显式时间积分程序

对于隐式和显式时间积分程序，都是以所施加的外力P、单元内力I和节点加速度的形式定义平衡：

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??=P-I Mu其中M是质量矩阵。两个程序求解节点加速度，并应用同样的单元计算以获得单元内力。两个程序之间最大的不同在于求解节点加速度的方式上。在隐式程序中，通过直接求解的方法求解一组线性方程组，与应用显式方法节点计算的相对较低成本比较，求解这组方程组的计算成本要高得多。

在完全Newton迭代求解方法的基础上，ABAQUS/Standard使用自动增量步。在时刻t??t增量步结束时，Newton方法寻求满足动力学平衡方程，并计算出同一时刻的位移。由于隐式算法是无条件稳定的，所以时间增量?t比应用于显式方法的时间增量相对地大一些。对于非线性问题，每一个典型的增量步需要经过几次迭代才能获得满足给定容许误差的解答。每次Newton迭代都会得到对于位移增量?uj的修正值cj。每次迭代需要求解的一组瞬时方程为

?c?P?I?Mu??j Kjjjjj?是关于本次迭代的切对于较大的模型，这是一个昂贵的计算过程。有效刚度矩阵Kj向刚度矩阵和质量矩阵的线性组合。直到一些量满足了给定的容许误差才结束迭代，如力残差、位移修正值等。对于一个光滑的非线性响应，Newton方法以二次速率收敛，描述如下：

迭代 相对误差 1 1 2 10-2 3 10-4 . . . . . .

然而，如果模型包含高度的非连续过程，如接触和滑动摩擦，则有可能失去二次收敛，而是可能需要大量的迭代过程。为了满足平衡条件，减小时间增量的值可能是必要的。在极端情况下，在隐式分析中的求解时间增量值可能与在显式分析中的典型

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基本思想。它也描述了稳定极限，以及在求解时网格细划和材料的影响。

棒的尺寸如图9-1所示。

主视图侧视图

图9-1 在棒中波传播的问题描述

为了使问题成为一个一维的应变问题，所有四个侧面均由滚轴支撑；这样，三维模型模拟了一个一维问题。材料为钢材，其性质如图9-1所示。棒的自由端承受一个量级为1.0×105 Pa的爆炸载荷，如图9-2所示，爆炸载荷的持续时间为3.88×10-5 s。

振幅时间图9-2 爆炸载荷的幅值－时间曲线

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9.4.1 前处理——用ABAQUS/CAE创建模型

在这一节中，我们将讨论如何应用ABAQUS/CAE创建这个模拟所用的模型。在本手册的在线文档第A.7节“Stress wave propagation in a bar”提供了输入文件。当通过ABAQUS/CAE运行这个输入文件时，将创建关于该问题的完整的分析模型。根据下面给出的指导如果你遇到困难，或者如果你希望检查你的工作，则可以运行这个输入文件。在附录A“Example Files”中，给出了如何提取和运行输入文件的指导。

如果你没有进入ABAQUS/CAE或者其它的前处理器，可以人工创建关于这个问题的输入文件，关于这方面的讨论，见Getting Started with ABAQUS/Standard：Keywords Version，第3.4节“Example：stress wave propagation in a bar”。 定义模型几何

在这个例子中，应用可拉伸实体的基本特征，将创建一个三维的可变形物体。首先画一个棒的二维轮廓图然后将它拉伸成型。 创建部件：

1．在Create Part对话框中，创建一个部件并命名为Bar，接受三维的变形体和可拉伸实体的基本特征的默认设置，对于模型采用近似的尺寸为0.50。 2．应用在图9-3中给出的尺寸画棒的横截面。

图9-3 矩形

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可以采用如下的步骤：

a. 应用位于画图工具箱右上角的Create Lines: Connected工具创建一个0.20 m高×0.20 m宽的矩形。

b. 当完成绘制轮廓图后，在提示区点击Done。

显示Edit Base Extrusion（编辑基础拉伸）对话框。为了完成部件定义，你必须指定横截面拉伸的距离。 c. 在对话框中，输入拉伸深度1.0 m。

3．将模型保存到名为Bar.cae的模型数据库文件中。 定义材料和截面性质

创建一个单一线弹性材料，命名为Steel，采用密度7800 kg/m3，杨氏模量为207E9 Pa和泊松比0.3。

创建一个均匀的实体截面定义，命名为BarSection，接受Steel作为材料，接受Plane stress/strain thickness为1。

将截面定义BarSection赋予整个部件。

创建装配件

进入Assembly模块，并创建一个部件Bar的实体。模型按照默认方向放置，整体的3轴位于棒的长度方向。 创建几何集合和面

创建几何集合TOP、BOT、FRONT、BACK、FIX和OUT，如图9-4所示（集合OUT包含楞边，在图9-4中如黑粗线所示）。创建面命名LOAD，如图9-5所示。这些区域将用于施加载荷和边界条件，以及定义需要的输出变量。

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图9-4 集合

图9-5 面

定义分析步

创建一个单一的动态、显式分析步，命名为BlastLoad。键入Apply pressure load pulse作为分析步的描述，并设置Time period为2.0E-4 s。在Edit Step对话框中，点击Other页。为了保持应力波尽可能的尖锐，将Quadrastic bulk viscosity parameter（二次体积粘性参数，将在第9.5.1节“体积粘性”中讨论）设置为0。 设置输出要求

编辑默认的场变量输出要求，这样在分析步BlastLoad中，将预先选择的场变量数据以四个相等的空间间隔写入输出数据库。

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删除已存在的默认的历史变量输出请求，而创建一个新的历史变量输出请求的集合。在Create History Output（创建历史变量输出）对话框中，接受默认的名称H-Output-1和选择的分析步BlastLoad，点击Continue。点击在Domain（范围）选项框旁边的箭头，选择Set name（集合名称），然后选择OUT。在Output Varables（输出变量）列表中，点击在Stresses左边的三角形，点击在S, Stress components and invariants（应力分量与不变量）左边的三角形，并选中S33变量，它是在棒的轴向的应力分量，指定在每1.0E-6 s保存一次输出。 定义边界条件

创建一个边界条件，命名为Fix right end，并在所有三个方向上约束棒的右端面（几何集合FIX）（见图9-1）。创建其他的边界条件，在这些面的法线方向约束顶面、底面、前面和后面（集合FRONT和BACK为1方向，集合TOP和BOT为2方向）。 定义载荷历史

爆炸载荷将以它的最大值瞬时地施加并保持为常数，持续时间为3.88×10-5 s。然后载荷突然全部去除并保持为零值。创建一个幅值定义，命名为Blast，采用在图9-6中所示的数据。在本问题中在任意给定时刻的压力载荷值是指压力载荷的给定量级乘以由幅值曲线插值的值。

创建压力载荷，命名为Blast load，并选择BlastLoad作为载荷施加的分析步。将载荷施加在LOAD面上。选择Uniform（均匀）分布，指定值为1.0E5 Pa作为载荷量级，并选择幅值为Blast。

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图9-6 定义爆炸载荷幅值的数据

创建网格

利用材料性质（忽略了泊松比），我们可以应用前面介绍的公式计算材料的波速

cd?E??207?109MPa7800kg/m3?5.15?103m/s

我们感兴趣的是随着时间应力沿着棒长度方向的传播；所以，需要一个足够精细的网格来精确捕捉应力波。看起来使爆炸载荷发生在10个单元的跨度内是适合的。因为爆炸是持续了3.88×10-5 s，这意味着我们希望爆炸持续时间乘以波速等于10个单元的长度：

L10el?(3.88?10?5s)cd

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波以这个速度在1.94×10-4 s时通过棒的固定端。10个单元的长度为0.2 m。因为棒的长度为1.0 m，这意味着我们要在长度方向上划分50个单元。为了保持网格均匀，在每个横向上也划分了10个单元，使得网格为50×10×10，这个网格如图9-7所示。

图9-7 50×10×10网格

我们使用整体单元尺寸0.02为播撒种子的目标。选择C3D8R作为单元类型，并剖分网格。 创建、运行和监控作业

创建一个作业，命名为Bar，并键入Stress wave propagation in a bar (SI units) 作为作业的描述。提交作业，并监控分析结果。如果遇到了任何错误，必须修改模型和重新运行模拟。必须调查任何警告信息的来源和采取适当的措施；回顾到某些警告信息可以安全地忽略，而其他的警告信息需要采取纠正的措施。 状态文件（.sta）

你也可以观察状态文件Bar.sta来监控作业的进程，其中的信息包括关于

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惯性矩，接着是关注稳定极限的信息。按照顺序列出了10个具有最低稳定时间极限的单元。

在状态文件中继续给出求解过程的信息。下面的信息也显示在Job Monitor 中。

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9.4.2 后处理

在Job Manager，点击Results进入ABAQUS/CAE的Visulization模块，并自动地打开由这个作业创建的输出数据库（.odb）文件。另一种方法，从位于工具栏下面的Module列表中，选择Visulization进入Visulization模块；从主菜单栏中，通过选择File-->Open打开.odb文件并双点击合适的文件。 沿路径（path）绘制应力

我们希望观察沿着棒长度方向的应力分布是如何随着时间变化的。为此，我们将观察在整个分析过程中的三个不同时刻的应力分布。

对于输出数据库文件的前三个框图的每一个图，创建一条沿着棒的中心线3方向应力（S33）变化的曲线。为了创建这些绘图，你首先需要定义沿着棒的中心的直线路径。

沿着棒的中心创建一条由点构成的路径（point list path）： 1．在主菜单栏中，选择Tools-->Path-->Create。 显示Create Path（创建路径）对话框。

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2． 命名路径为Center，选择Point list（点列）作为路径类型，并点击Continue。 显示Edit Point List Path（编辑点列路径）对话框。

3．在Point Coordinates（点坐标）列表中，输入棒两端中心的坐标。例如，如果应用我们前述的方法生成了几何和网格，那么在列表输入中是0, 0, 1和0, 0, 0。（这个输入指定了从（0,0,1）到（0,0,0）的一条路径，如在模型的整体坐标系中所定义的。）

4．当完成后，点击OK关闭Edit Point List Path对话框。 保存在三个不同时刻沿此路径的应力的X-Y曲线图： 1．在主菜单栏中，选择Tools-->XY Data-->Manager。 2．在XY Data Manager（XY数据管理器）中，点击Create。 显示Create XY Data（创建XY数据）对话框。

3．选择Path（路径）作为XY数据的来源，并点击Continue。

显示XY Data from Path（从路径中获取XY数据）对话框，以及你已经创建的在路径列表中可以找到的路径。如果当前显示的是未变形的模型形状，在视图中高亮度显示你所选择的路径。

4．在Point loaction（点位置），选中Include intersection（包括交叉点）。 5．在对话框的X Values（X值）部分中，接受True distance（真实距离）作为选择。

6．在对话框的Y Values（Y值）部分中，点击Field Output（场变量输出）以打开Field Output对话框。 7．选择S33应力分量，并点击OK。

在XY Data from Path对话框中的场输出变量发生变化，表示将创建在3方向的应力数据。

注意：ABAQUS/CAE可能警告你场输出变量将不会影响当前的图像，保留绘图模式为As is，并点击OK继续。

8．在XY Data from Path对话框中的Y Values部分，点击Step/Frame。 9．在弹出的Step/Frame对话框中，选择frame 1，它是5个记录框图的第2个图。（列出的第1个框图为frame 0，它是模型在分析步开始时的基本状态。）点击OK。

在XY Data from Path对话框中的Y Values部分发生改变，表示将从第一个

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分析步的frame 1创建数据。 10．保存X－Y数据，点击Save as。 显示Save XY Data as对话框。

11．命名X－Y数据为S33_T1，并点击OK。 在XY Data Manager中，显示出S33_T1。

12．重复步骤8到步骤10，创建frame 2和frame 3的X－Y数据，并分别命名数据集合为S33_T2和S33_T3。

13．关闭XY Data from Path对话框，点击Cancel。 绘制应力曲线：

1．在XY Data Manager对话框中，拖动光标高亮度显示所有3组XY数据集。 2．点击Plot。

ABAQUS/CAE绘制出沿着棒中心3方向上对应于frame 1、2和3的应力，它们对应于近似的模拟时刻分别为5×10-5 s、1×10-4 s和1.5×10-4 s。 设置XY曲线图：

1．从主菜单栏中，选择Options-->XY Plot。 显示XY Plot Options（XY图选项）对话框。 2．点击Tick Marks（刻度）页。 使Tick Marks选项可以工作。

3．指定Y轴的主要刻度出现在20E3 s增量（increments）。

4．对于X轴和Y轴的次要刻度选项，在每个主要刻度间隔之间指定次要刻度为0。 你也可以设置每个轴的标题。

5．点击Titles（标题）页，使标题选项可以工作。

6．在X-Axis（X轴）域，选择标题来源为User-specified（自定义）。在Title Text（标题内容）域，输入Distance along bar (m)。 7．在Y-Axis域，指定Stress-S33 (Pa) 为Y轴的标题。

8．点击OK确认用户选择的X－Y绘图参数，并关闭XY Plot Options对话框。 设置在X－Y绘图中曲线的显示：

1．从主菜单栏中，选择Options-->XY Curve。 显示XY Curve Options（XY曲线选项）对话框。 2．在XY Data数据域中，选择S33_T2。

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3．对于S33_T2曲线，选择点线类型，并点击Apply。 S33_T2曲线变成为点线。

4．重复步骤2与3，使S33_T3成为虚线。 5．点击Dismiss关闭XY Curve Options对话框。 所设置的绘图显示在图9-8中。

图9-8 在3个不同时刻沿着棒的应力（S33）

我们能够看到，在三条曲线的每一条中应力波在棒的长度上的影响是近似为0.2 m。这个距离应该对应于爆炸波在作用时间内传播的距离，这可以通过简单的计算来验证。如果波前的长度为0.2 m和波速为5.15×103 m/s，那么波传播0.2 m所用的时间为3.88×10-5 m/s。正如所预料的，这就是我们所施加的爆炸荷载的作用时间。当应力波沿着棒传播时它并不是严格的方波。特别是在应力突然改变之后有回复或者摆动。在本章后面将要讨论的线性体粘性，减缓了这种回复，因此并未对结果有负面的影响。 创建历史曲线图

另一种研究结果的方法是观察在棒中的三个不同点的应力的时间历史；例如，距离棒的加载端为0.25 m、0.50 m和0.75 m的三个点。为此，我们必须首先确定位于这

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些位置处的单元编号。确定这些单元编号的一种容易的方法是在包含沿着棒边界的单元（集合OUT）的显示组中查询这些单元。

创建和绘出显示组并查询单元编号：

1．从主菜单栏中，选择Tools-->Display Group-->Create。ABAQUS/CAE显示Create Display Group（创建显示组）对话框。

2．选择Elements作为Item，和Elements Sets（单元集）作为Seletion Method（选择方式）。从几何集合列表中，选择OUT，点击Save Selection As（保存选择内容为）。

3．在Save Selection As对话框中，命名显示组为History plot。点击OK。4．点击Dismiss关闭Create Display Group对话框。

5．从主菜单栏中，选择Plot-->Undeformed Shape，绘制未变形形状。 6．从主菜单栏中，选择Tools-->Display Group-->Plot-->History plot，绘制所创建的显示组。

7．从主菜单栏中，选择Tools-->Query。

8．在弹出的Query（查询）对话框中，选择Probe Values（探测），并点击OK。 显示Probe Values对话框。

9．点击在图9-9中的阴影单元（在棒中的每第13个单元）。单元的ID（编号）显示在Probe Values对话框中。标记这三个阴影单元的编号。 10．点击Cancel关闭Probe Values对话框。

图9-9 History plot显示组

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当提示你是否将结果写入到一个文件时，点击No。 绘制应力历史：

1．从主菜单栏中，选择Result-->History Output。

ABAQUS/CAE显示History Output对话框。在Output Varialbes域中包含了在输出数据库的历史变量部分中的所有变量的列表；这些也是你能够绘制的所有变量。为了观察变量选择的完整描述，拖动对话框的左边或右边框，增加History Output对话框的宽度。

2．应用[Ctrl]+点击，选择多组X－Y数据集合，对于已经标识的三个单元（每第13个单元），选择在3方向上的应力（S33）数据。 3．在History Output对话框的底部，点击Plot。

ABAQUS/CAE绘制出在每个单元中的应力（纵轴）随时间变化的X－Y图。 4．点击Dismiss关闭对话框。 如前所述，你可以设置图的显示。 设置X-Y图：

1．从主菜单栏中，选择Options--> XY Plot。 显示XY Plot Options对话框。 2．点击Title页。 标题选项可以工作。

3．在X-axis域，指定X轴标题为Total time (s)。 4．点击OK确认所设置的X－Y曲线图选项，并关闭对话框。 设置在X-Y图中曲线的显示：

1．从主菜单栏中，选择Options--> XY Curve。 显示XY Curve Options对话框。

2．在XY Data域中，选择对应于最接近于棒自由端的单元的临时的X－Y数据编号。（在这个集合中的单元最先受到应力波的影响。） 3．选择User-specified图标来源。

4．在Legend text（图标文本）域中，键入S33-0.25。 5．点击Apply。

6．在XY Data域中，选择对应于在棒中间的单元的临时的X－Y数据编号。（这是下一个受应力波影响的单元。）

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7．指定S33-0.5作为曲线的图标文本，并改变曲线类型为点线（dotted）。 8．点击Apply。

9．在XY Data域中，选择对应于最接近于棒固定端的单元的临时的X－Y数据编号。（这是最后一个受应力波影响的单元。）

10．指定S33-0.75作为曲线的图标文本，并改变曲线类型为虚线（dashed）。 11．点击OK，确认你的设置并关闭对话框。

设置后的图显示在图9-10中。

图9-10 在沿着棒的长度上三个点（0.25m，0.5m，0.75m）的应力（S33）的时间历史。

我们从历史图上可以看到，当应力波通过所给出的点时应力开始增加。一旦应力波完全地通过了该点，该点的应力值在零的附近振荡。

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在模型中任何点的任何运动都能引起阻尼力。合理的质量比例阻尼不会明显地降低稳定极限。 刚度比例阻尼

?R因子定义了一个与弹性材料刚度成比例的阻尼。“阻尼应力”?d与引入的总

体应变速率成比例，应用如下公式：

?el??， ?d??RD?~?为应变速率。对于超弹性（hyperelastic）和泡沫（hyperfoam）材料，定义Del式中，?~作为初始弹性刚度。对于所有其它材料，Del是材料的当前弹性刚度。这一阻尼应力添加到当形成动平衡方程时在积分点处由本构响应引起的应力上，但是在应力输出中

并不包括它。对于任何非线性分析，都可以引入阻尼，而对于线性分析，提供了标准的Rayleigh阻尼。对于一个线性分析，刚度比例阻尼与定义一个阻尼矩阵是完全相同的，它等于?R乘以刚度矩阵。必须慎重地使用刚度比例阻尼，因为它可能明显地降低了稳定极限。为了避免大幅度地降低稳定时间增量，刚度比例阻尼因子?R应该小于或者相同于未考虑阻尼时的初始时间增量的量级。

9.5.4 离散减振器

另外一种选择是定义单独的减振器单元。每个减振器单元提供了一个与它的两个节点之间的相对速度成正比的阻尼力。这种方法的优点是使你能够把阻尼只施加在你认为有必要施加的节点上。减振器应当总是与其它单元并行使用，例如弹簧或者桁架，因此，它们不会引起稳定极限的明显下降。

9.6 能量平衡

能量输出经常是ABAQUS/Explicit分析的一个重要部分。可以应用在各种能量分量之间的比较，帮助你评估一个分析是否得到了合理的响应。

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9.6.1 能量平衡的表述

对于整体模型的能量平衡可以写出为

EI＋EV＋EFD＋EKE－EW＝Etotal?constant

其中， EI 为内能，EV为粘性耗散能，EFD是摩擦耗散能，EKE是动能，EW是外加载荷所做的功。这些能量分量的总和为Etotal，它必须是个常数。在数值模型中，Etotal只是近似的常数，一般有小于1％的误差。 内能

内能是能量的总和，它包括可恢复的弹性应变能EE；非弹性过程的能量耗散（例如塑性）EP；粘弹性或者蠕变过程的能量耗散ECD；和伪应变能EA：

EI＝EE＋EP＋ECD＋EA

伪应变能包括了储存在沙漏阻力以及在壳和梁单元的横向剪切中的能量。出现大量的伪应变能则表明必须对网格进行细划或对网格进行其它的修改。 粘性能

粘性能是由阻尼机制引起的能量耗散，包括体粘性阻尼和材料阻尼。作为一个在整体能量平衡中的基本变量，粘性能不是指在粘弹性或非弹性过程中耗散的那部分能量。

施加力的外力功

外力功是向前连续地积分，完全由节点力（力矩）和位移（转角）定义的功。指定的边界条件也对外力功作出贡献。

9.6.2 能量平衡的输出

对于整体模型、特殊的单元集合、单独的单元、或者在每个单元中的能量密度，都可以要求输出每一种能量值和绘出能量的时间历史。在表9-2中列出了在整个模型

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或者单元集上与能量值有关的变量名称。

表9-2 整个模型能量输出变量

变量名 ALLIE ALLKE ALLVD ALLFD ALLCD ALLWK ALLSE ALLPD ALLAE ETOTAL

能量值 内能，EI：ALLIE＝ALLSE＋ALLPD＋ALLCD＋ALLAE 动能，EKE 粘性耗散能，EV 摩擦耗散能，EFD 粘弹性耗散能，ECD 外力的功，EW 存储的应变能，EE 非弹性耗散能，EP 伪应变能，EA 能量平衡： ETOT?EI＋EV＋EFD＋EKE－EW 另外，ABAQUS/Explicit能够提供单元水平的能量输出和能量密度输出，如表9-3所列。

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表9-3 整个单元能量输出变量

变量名 ELSE ELPD ELCD ELVD ELASE EKEDEN ESEDEN EPDDEN EASEDEN ECDDEN EVDDEN 整个单元能量值 弹性应变能 塑性耗散能 蠕变耗散能 粘性耗散能 伪能量＝孔洞（drill）能+沙漏能 单元的动能密度 单元的弹性应变能密度 单元的塑性耗散能密度 单元的伪应变能密度 单元的蠕变应变能密度耗散 单元的粘性能密度耗散 9.7 小结

? ? ? ? ? ? ? ?

ABAQUS/Explicit应用中心差分方法对时间进行动力学显式积分。

显式方法需要许多小的时间增量。因为不必同时求解联立方程，每个增量计算成本很低。

随着模型尺寸的增加，显式方法比隐式方法能够节省大量的计算成本。

稳定极限是能够用来前推动力学状态并仍保持精度的最大时间增量。

在整个分析过程中，ABAQUS/Explicit自动地控制时间增量值以保持稳定性。 随着材料刚度增加，稳定极限降低；随着材料密度的增加，稳定极限提高。 对于单一材料的网格，稳定极限是大致与最小单元的尺寸成比例。

一般地，ABAQUS/Explicit应用质量比例阻尼来减弱低阶频率振荡，并应用刚度比例阻尼来减弱高阶频率振荡。

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