2012学年第二学期徐汇区高三学业水平考试数学学科试卷

2012学年第二学期徐汇区高三学业水平考试

数学学科试卷

（考试时间：90分钟，满分120分） 2013.3

一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.

1、已知集合A?2、若复数

?xx?2?,B??xx2?4x?3?0，则A?B? . ??1?bi??3?i?是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b?_________．

f?x??x?1?，则f?1???____________. 3?x?5?3、已知函数

4、已知线性方程组的增广矩阵为?5、已知圆x2?4??116? ?，若该线性方程组解为??，则实数a?_______. ?0a2??2??4x?4?y2?0的圆心是点P，则点P到直线x?y?1?0的距离是 .

??????????6、若向量a、b满足|a|?1,|b|?2，且a与b的夹角为，则a?(a?b)=______________.

37、二项式?1?2x?的展开式中，含x3项的系数为____________.

78、?ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若A?60?,a?21,b?4，则边c? .

9、已知圆锥的母线长为5，侧面积为15?，则此圆锥的体积为__________． 10、从集合?1，，，，2345?中任取两数，其乘积大于10的概率为 . （结果用最简分数表示） 11、已知抛物线C:y2?8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上且AK?2AF，

则?AFK的面积为__________.

12、将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数，记作

ai，j(i,j?N*)，如第2行第4列的数是15，记作a2,4?15，则a12,14? ．

1 4 5 16 17 36 …… 2 3 6 15 18 35 …… 9 8 7 14 19 34 …… 10 11 12 13 20 33 …… 25 24 23 22 21 32 …… 26 27 28 29 30 31 …… …… …… …… …… ……

二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.

13、在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 （ ） ．．

第1页

????????????????????（A）AB?DC （B）AD?AB?AC ?????????????????????（C）AB?AD?BD （D）AD?CB?0

14、某中学高一年级有540人，高二年级有440人，高三年级有420人.分层抽样的方式抽取样本容量为70的样本，则高一、高二、高三这三个年级应分别抽取 （ ） （A）28人 24人 18人 （B）25人 24人 21人 （C）26人 24人 20人 （D）27人 22人 21人 15、已知直线l经过点P（A） （C）

??1,2?，且与直线2x?3y?4?0垂直，直线l的方程是 （ ）

3x?2y?7?0 （B）2x?3y?5?0 3x?2y?1?0 （D）2x?3y?8?0

?0,y?0”是“x?y?2xy”的 （ ）

16、设x,y?R，则“x（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）非充分非必要条件

17、已知命题：①过与平面?平行的直线l有且仅有一个平面与?平行；

②过与平面?垂直的直线l有且仅有一个平面与?垂直．

则上述命题中（ ）

（A）①正确，②不正确 （B）①不正确，②正确 （C）①②都正确 （D）①②都不正确 18、对于函数

f?x???cos2x，下列选项中正确的是 （ ）

（A）

?3??f?x?在??,?上是递增的 （B）f?x?的图象关于原点对称

?24?f?x?的最小正周期为2? （D）f?x?的最大值是1

（C）

19、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是 ( ) （A）4 （B）5 （C）6 （D）7

20、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴长与虚轴长相等，一个焦点到一条渐近线的距离为此双曲线方程为 （ ） （A）x

22，则

?y2?2 （B）x2?y2?2

第2页

1 221、下列函数既是奇函数，又在区间??1,1?上单调递减的是 （ ） ．．．．．．．

（C）x2?y2?1 （D）x2?y2? （A）（C）

f(x)?sinx （B）f(x)??|x?1|

f(x)?lg2?x2?x （D）f(x)? 2?x2?x22、设等差数列

?an?的前n项和为Sn.当首项a1,公差d变化时，若a5?a8?a11是一个定值，则下列各数

中为定值的是 （ ） （A）

S16 （B）S15 （C）S7 （D）S8

2an23、若lim?r，且r?1，则常数a的取值范围是 （ ）

n??1?an?1（A）a??1 （B）1?a?2 （C）a?1 （D）1?a?2

24、已知函数（A）

f?x??lgx. 若0?a?b，且f?a??f?b?，则a?2b的取值范围是（ ）

?22，?? （B）??22,?? （C）?3，??? （D）?3，???

??三．解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规

定区域内写出必要的步骤.

25、（本题满分8分）

4已知tanx??，求3 26、（本题满分8分）

cos4x?sin4x的值.

???2cos??x??sinx?4?A B

C

D

如图所示：ABCD?A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，?AD1A1?60o，

. A1 P AD1?4，点P是AD1的中点，求异面直线AA1与B1P所成角的大小.

（结果用反三角函数值表示）

第3页

D1

C1

B1 27、（本题满分8分）

??x2y2已知直线l经过点(1,0)且一个方向向量d?(1,1).椭圆C:??1?m?1?的左焦点为F1.若直线

mm?1????????l与椭圆C交于A,B两点，满足F1A?F1B?0，求实数m的值.

28、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 已知等差数列（1）求数列

?an?的首项a1?1，公差d?0，数列?bn?是等比数列，且满足a1?b1,a2?b2,a5?b3.

?an?和?bn?的通项公式；

?cn?对n?N*均有c1?c2???cnb1b2bn?an?1，求c1?c2???c2013的值.

（2）设数列

29、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题5分，第2小题7分．

已知函数f(x)，当x?[m,n]时，若f(x)的值域中既有正数又有负数，则称函数是区间[m,n]上的“T函数”．

f(x)

1是不是区间[1,2]上的“T函数”，请说明理由； x（2）若函数f(x)?kx?1是区间[?2,3]上的“T函数”，求f(2)的取值范围.

（1）判断函数

f(x)?

参考答案： 一、 填空题 1、

?x|1?x?2? 2、?3 3、

21 4、 1 5、 6、 2 223 11、 8 12、 185 107、280 8、 5 9、 12? 10、

二、选择题

13、 C 14、D 15、C 16、A 17、A 18、D 19、 A 20、A 21、C 22、B 23、D 24、C

第4页

三、解答题

cos4x?sin4xcos2x?sin2xcosx?sinx25、解：因为???cotx?1

?cosx?sinx??sinxsinx???2cos??x??sinx?4?（4分）

由tanx??43 ，得cotx?? （6分） 34cos2x?sin2x1则（8分） ?cotx?1??4 ??2cos??x??sinx?4?

26、解：过点P作PE垂足为E，连结B1E（如图），则PE∥AA1，?A1D1，

BP?AC??B1PED是异面直线AA1与B1P所成的角． （2分）

在Rt△AA1D1中 ∵?AD1A1?60 ∴?A1AD1?30

A1EB1C1?

D111A1B1?A1D1?AD1?2,A1E?A1D1?1，

221?B1E?B1A12?A1E2?5．又PE?AA1?3．（5分）

2?在Rt△B1PE中，tan?B1PE?B1E515（7分） ??PE3315． （8分） 3?异面直线AA1与B1P所成的角为arctan

27、解：由已知可得直线l的方程：y? 设点Ax?1,点F1??1,0? （2分）

?x1,y1?,B?x2,y2?

?y?x?1?22 ?x2 整理得：?2m?1?x?2mx?2m?m?0 （3分） y2??1??mm?1 当m?1时 ??4m?2m2?4m?2??0恒成立 （4分）

因为F1A? 因为y1

?x1?1,y1?,F1B??x2?1,y2? 所以 ?x1?1??x2?1??y1y2?0 （*）

第5页

?x1?1,y2?x2?1 所以（*）式化简得：x1x2?1?0 （6分）

2m?m2 由此可得 ?1?0,(m?1) 由此解得 m?2?3 （8分）

2m?128、解：（1）由已知可得：a1所以?1?d?因为b22?1,a2?1?d,a5?1?4d

?1??1?4d?,d?0 由此解得d?2 因此an?2n?1 （3分）

?a2?3,b3?a5?9 所以数列?bn?以1为首项，3为公比的等比数列

bn?3n?1 （5分）

由此解得 （2） 当n?1时

c1?a2 所以 c1?3 （6分） b1cn?an?1?an?2 所以 cn?2?3n?1 （8分） bn 当n?2,n?N*时

?3,n?1 所以 cn?? （9分） n?1?2?3,n?2,n?N*

c1?c2???c2013f(x)?61?32012?3??32013 （12分）

1?3??29、解：（1）因为

1?1?在[1,2]上单调递减，所以f(x)的值域为?,1?，………4分 x?2?因此这个函数不是“T函数”．………………………………………………………………5分

（2）法1：由题意得 函数f(x)在区间[?2,3]上是单调函数，则f(?2)?f(3)?0，…7分

11?1)(3k?1)?0，解得k?? 或k?． ………………………………………9分

32111因为f(2)?2k?1，由于k?? 或k?，所以2k?1?或2k?1?2，

3231因此f(2)的取值范围是 (??,)?(2,??)．…………………………………………12分

3法2：因为f(x)?kx?1是区间[?2,3]上的“T函数”，所以k?0．

当k?0时，f(x)?kx?1在区间[?2,3]上单调递增，所以fmin(x)?f(?2)??2k?1，

??2k?1?011fmax(x)?f(3)?3k?1，由?解得 k?，所以 k?；………………7分

22?3k?1?0当k?0时，f(x)?kx?1在区间[?2,3]上单调递减，所以fmin(x)?f(3)?3k?1，

??2k?1?011fmax(x)?f(?2)??2k?1，由? 解得 k??，所以k??．…………9分

33?3k?1?011综上 k?? 或k?．

32111因为f(2)?2k?1，由于k?? 或k?，所以2k?1?或2k?1?2，

3231因此f(2)的取值范围是 (??,)?(2,??)．…………………………………………12

3即(?2k

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2m?m2 由此可得 ?1?0,(m?1) 由此解得 m?2?3 （8分）

2m?128、解：（1）由已知可得：a1所以?1?d?因为b22?1,a2?1?d,a5?1?4d

?1??1?4d?,d?0 由此解得d?2 因此an?2n?1 （3分）

?a2?3,b3?a5?9 所以数列?bn?以1为首项，3为公比的等比数列

bn?3n?1 （5分）

由此解得 （2） 当n?1时

c1?a2 所以 c1?3 （6分） b1cn?an?1?an?2 所以 cn?2?3n?1 （8分） bn 当n?2,n?N*时

?3,n?1 所以 cn?? （9分） n?1?2?3,n?2,n?N*

c1?c2???c2013f(x)?61?32012?3??32013 （12分）

1?3??29、解：（1）因为

1?1?在[1,2]上单调递减，所以f(x)的值域为?,1?，………4分 x?2?因此这个函数不是“T函数”．………………………………………………………………5分

（2）法1：由题意得 函数f(x)在区间[?2,3]上是单调函数，则f(?2)?f(3)?0，…7分

11?1)(3k?1)?0，解得k?? 或k?． ………………………………………9分

32111因为f(2)?2k?1，由于k?? 或k?，所以2k?1?或2k?1?2，

3231因此f(2)的取值范围是 (??,)?(2,??)．…………………………………………12分

3法2：因为f(x)?kx?1是区间[?2,3]上的“T函数”，所以k?0．

当k?0时，f(x)?kx?1在区间[?2,3]上单调递增，所以fmin(x)?f(?2)??2k?1，

??2k?1?011fmax(x)?f(3)?3k?1，由?解得 k?，所以 k?；………………7分

22?3k?1?0当k?0时，f(x)?kx?1在区间[?2,3]上单调递减，所以fmin(x)?f(3)?3k?1，

??2k?1?011fmax(x)?f(?2)??2k?1，由? 解得 k??，所以k??．…………9分

33?3k?1?011综上 k?? 或k?．

32111因为f(2)?2k?1，由于k?? 或k?，所以2k?1?或2k?1?2，

3231因此f(2)的取值范围是 (??,)?(2,??)．…………………………………………12

3即(?2k

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