热力学统计物理_第四版_汪志诚__答案

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第一章 热力学的基本规律

1.1 试求理想气体的体胀系数 ,压强系数 和等温压缩系数 。 解:已知理想气体的物态方程为

pV nRT, (1)

由此易得

1 V nR1

, (2)

V T ppVT

1 p nR1

, (3)

p T VpVT

T . (4) V p T V p2 p

1 V 1 nRT 1

1.2 证明任何一种具有两个独立参量T,p的物质,其物态方程可由实验测得的体胀系数 及等温压缩系数 ,根据下述积分求得:

lnV= αdT κTdp

如果 , T

1

T1

,试求物态方程。 p

解:以T,p为自变量,物质的物态方程为

V V T,p ,

其全微分为

V V

dV dT dp. (1)

T p p T

全式除以V,有

dV1 V 1 V dT dp. VV T pV p T

根据体胀系数 和等温压缩系数 T的定义,可将上式改写为

1

dV

dT Tdp. (2) V

上式是以T,p为自变量的完整微分,沿一任意的积分路线积分,有

lnV dT Tdp . (3)

若 , T ,式(3)可表为

11

lnV dT dp . (4)

p T

1

T1p

选择图示的积分路线,从(T0,p0)积分到 T,p0 ,再积分到(T,p),相应地体

积由V0最终变到V,有

ln

VTp

=ln ln, V0T0p0

pVp0V0

, C(常量)

TT0

pV

1T

1p

C. T (5)

式(5)就是由所给 , T 求得的物态方程。 确定常量C需要进一步的实验数据。

2

1.3 在0oC和1pn下,测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为今使铜块加热至10oC。 4.85 10 5K 1和 T 7.8 10 7pn 1. 和 T可近似看作常量,问:

(a)压强要增加多少pn才能使铜块的体积维持不变?(b)若压强增加100pn,铜块的体积改变多少?

a)根据1.2题式(2),有

dV

dT Tdp. (1) V

上式给出,在邻近的两个平衡态,系统的体积差dV,温度差dT和压强差dp之间的关系。如果系统的体积不变,dp与dT的关系为

dp

dT. (2) T

在 和 T可以看作常量的情形下,将式(2)积分可得

p2 p1

T T . (3) T21

将式(2)积分得到式(3)首先意味着,经准静态等容过程后,系统在初态和终态的压强差和温度差满足式(3)。 但是应当强调,只要初态 V,T1 和终态 V,T2 是平衡态,两态间的压强差和温度差就满足式(3)。 这是因为,平衡状态的状态参量给定后,状态函数就具有确定值,与系统到达该状态的历史无关。 本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。 在加热过程中,铜块各处的温度可以不等,铜块与热源可以存在温差等等,但是只要铜块的初态和终态是平衡态,两态的压强和温度差就满足式(3)。

将所给数据代入,可得

4.85 10 5

p2 p1 10 622pn. 7

7.8 10

因此,将铜块由0oC加热到10oC,要使铜块体积保持不变,压强要增强622pn

(b)1.2题式(4)可改写为

V

T2 T1 T p2 p1 . (4) V1

将所给数据代入,有

3

V

4.85 10 5 10 7.8 10 7 100V1 4.07 10 4.

因此,将铜块由0oC加热至10oC,压强由1pn增加100pn,铜块体积将增加原体积的4.07 10 4倍。

1.4 简单固体和液体的体胀系数 和等温压缩系数 T数值都很小,在一定温度范围内可以把 和 T看作常量. 试证明简单固体和液体的物态方程可近似为

V(T,p) V0 T0,0 1 T T0 Tp .

解: 以T,p为状态参量,物质的物态方程为

V V T,p .

根据习题1.2式(2),有

dV

dT Tdp. (1) V

将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分,在 和 T可以看作常量的情形下,有

ln

V

T T0 T p p0 , (2) V0

V T,p V T0,p0 e

T T0 T p p0

. (3)

考虑到 和 T的数值很小,将指数函数展开,准确到 和 T的线性项,有

V T,p V T0,p0 1 T T0 T p p0 . (4)

如果取p0 0,即有

V T,p V T0,0 1 T T0 Tp . (5)

1.5 描述金属丝的几何参量是长度L,力学参量是张力J,物态方程是

f J,L,T 0

实验通常在1pn下进行,其体积变化可以忽略。

线胀系数定义为

4

1 L L T J

等温杨氏模量定义为

Y

L J A L T

其中A是金属丝的截面积,一般来说, 和Y是T的函数,对J仅有微弱的依赖关系,如果温度变化范围不大,可以看作常量,假设金属丝两端固定。试证明,当温度由 1降至 2时,其张力的增加为

J YA T2 T1

解:由物态方程

f J,L,T 0 (1)

知偏导数间存在以下关系:

L T J

1. (2) T J J L L T

所以,有

J L J

T L T J L T

A

L Y (3)

L

AY.

积分得

J YA T2 T1 . (4)

与1.3题类似,上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过程,只要金属丝的初态是平衡态,两态的张力差

J J L,T2 J L,T1

就满足式(4),与经历的过程无关。

1.6一理想弹性线的物态方程为

LL2 0

J bT 2 , LL 0

5

其中L是长度,它只是温度T的函数,b是常量. 试L0是张力J为零时的L值,证明:

(a)等温扬氏模量为

bT L2L20

Y . A L0L2

在张力为零时,Y0

3bT

.其中A是弹性线的截面面积。 A

(b)线胀系数为

L3

11L30

0 , 3

TL

23L0

其中 0

1dL0

. L0dT

(c)上述物态方程适用于橡皮带,设T 300K,b 1.33 10 3N K 1,

A 1 10 6m2, 0 5 10 4K 1,试计算当

L

分别为0.5,1.0,1.5和2.0时的J,Y, 值,L0

并画出J,Y, 对

L

的曲线. L0

解:(a)根据题设,理想弹性物质的物态方程为

LL2 0

J bT 2 , (1) LL 0

由此可得等温杨氏模量为

bT L2L2 L J L 12L200

Y bT 2 . (2) 2 A L TA L0L A L0L

张力为零时,L L0,Y0

3bT

. A

1 L . L T J

(b)线胀系数的定义为

由链式关系知

6

, (3)

L T L J T

1 J L

LL2 L2L0 dL0 J 0 b bT, 2 2 2

T L L0L L0L dT

2

12L0 J bT 3 , L T L0L

所以

LL2 L2L0 dL0L30

b 2 bT 2 2 13

LLdTdLL1 L0L 11 0 00

. (4) 32

LL0dTTL 12L

2bT 30 3L0

L0L

(c)根据题给的数据,J,Y, 对

L

的曲线分别如图1-2(a),(b),(c)L0

所示。

7

1.7 抽成真空的小匣带有活门,打开活门让气体冲入,当压强达到外界压强p0时将活门关上,试证明:小匣内的空气在没有与外界交换热量之前,它的内能U与原来在大气中的内能U0之差为U U0 p0V0,其中V0是它原来在大气中的体积,若气体是理想气体,求它的温度与体积。

解:将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能U与其原来在大气中的内能U0由式(1.5.3)

U U0 W Q (1)

确定。由于过程进行得很迅速,过程中系统与外界没有热量交换,Q 0. 过程中外界对系统所做的功可以分为W1和W2两部分来考虑。一方面,大气将系统压入小匣,使其在大气中的体积由V0变为零。由于小匣很小,在将气体压入小匣的过程中大气压强p0可以认为没有变化,即过程是等压的(但不是准静态的)。过程中大气对系统所做的功为

W1 p0 V p0V0.

另一方面,小匣既抽为真空,系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力,与外界也就没有功交换,则

W2 0.

因此式(1)可表为

U U0 p0V0. (2)

如果气体是理想气体,根据式(1.3.11)和(1.7.10),有

p0V0 nRT, (3)

U0 U CV(T T0)

nR

(T T0) (4) 1

式中n是系统所含物质的量。代入式(2)即有

T T0. (5)

活门是在系统的压强达到p0时关上的,所以气体在小匣内的压强也可看作p0,其物态方程为

p0V nR T0. (6)

与式(3)比较,知

V V0. (7)

1.8 满足pVn C的过程称为多方过程,其中常数n名为多方指数。试证

8

明:理想气体在多方过程中的热容量Cn为

Cn

n

CV n 1

解:根据式(1.6.1),多方过程中的热容量

Q U V

Cn lim p . (1) T 0 T n T n T n

对于理想气体,内能U只是温度T的函数,

U

CV, T n

所以

V Cn CV p . (2) T n

将多方过程的过程方程式pVn C与理想气体的物态方程联立,消去压强p可得

。 (3) TVn 1 C1(常量)

将上式微分,有

Vn 1dT (n 1)Vn 2TdV 0,

所以

V V

. (4) T(n 1)T n

代入式(2),即得

Cn CV

pVn

CV, (5) T(n 1)n 1

其中用了式(1.7.8)和(1.7.9)。

1.9 试证明:理想气体在某一过程中的热容量Cn如果是常数,该过程一定是多方过程,多方指数n 常量。

解:根据热力学第一定律,有

9

Cn CpCn CV

。假设气体的定压热容量和定容热容量是

dU Q W. (1)

对于准静态过程有

W pdV,

对理想气体有

dU CVdT,

气体在过程中吸收的热量为

Q CndT,

因此式(1)可表为

(Cn CV)dT pdV. (2)

用理想气体的物态方程pV vRT除上式,并注意Cp CV vR,可得

(Cn CV)

dTdV (Cp CV). (3) TV

将理想气体的物态方程全式求微分,有

dpdVdT . (4) pVT

式(3)与式(4)联立,消去

dT

,有 T

(Cn CV)

Cn CpCn CV

dpdV (Cn Cp) 0. (5) pV

令n ,可将式(5)表为

dpdV n 0. (6) pV

如果Cp,CV和Cn都是常量,将上式积分即得

pVn C(常量)。 (7)

式(7)表明,过程是多方过程。

1.10 声波在气体中的传播速度为

假设气体是理想气体,其定压和定容热容量是常量,试证明气体单位质量的内能u和焓h可由声速及 给出:

10

a2

u u,

10

a2

h h -10

其中u0,h0为常量。

解:根据式(1.8.9),声速a的平方为

a2 pv, (1)

其中v是单位质量的气体体积。理想气体的物态方程可表为

pV

m

RT, m

1

RT, (2) m

式中m是气体的质量,m 是气体的摩尔质量。 对于单位质量的气体,有

pv

代入式(1)得

a2

m

RT. (3)

以u,h表示理想气体的比内能和比焓(单位质量的内能和焓)。 由式(1.7.10)—(1.7.12)知

m u

RT

m u0, 1

m h

RT

m h0. (4) 1

将式(3)代入,即有

a2

u u0, ( 1)

a2

h h. (5) 10

式(5)表明,如果气体可以看作理想气体,测定气体中的声速和 即可确定气体的比内能和比焓。

1.11大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中的低处与高处之间空气不断发生对流,由于气压随高度而降低,空气上升时膨胀,下降时收缩,空气的导热率很小,膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程,试计算大气温 度随高度的变化率

dT

,并给出数值结果。 dz

11

解:取z轴沿竖直方向(向上)。以p(z)和p(z dz)分别表示在竖直高度为

z和z dz处的大气压强。 二者之关等于两个高度之间由大气重量产生的压

强,即

p(z) p(z dz) (z)gdz, (1)

式中 (z)是高度为z处的大气密度,g是重力加速度。 将p(z dz)展开,有

p(z dz) p(z)

d

p(z)dz, dz

代入式(1),得

d

p(z) (z)g. (2) dz

式(2)给出由于重力的存在导致的大气压强随高度的变化率。

m

以m表大气的平均摩尔质量。 在高度为z处,大气的摩尔体积为,

(z)

则物态方程为

m

p(z) RT(z), (3)

(z)

,消去 (z)得 T(z)是竖直高度为z处的温度。 代入式(2)

dm g

p(z) p(z). (4) dzRT(z)

由式(1.8.6)易得气体在绝热过程中温度随压强的变化率为

T 1T

. (5)

p p S

综合式(4)和式(5),有

T dd 1m g

T(z) p z . (6) dz R p Sdz

大气的 1.41(大气的主要成分是氮和氧,都是双原子分子),平均摩尔质量为m 29 10 3kg mol 1,g 9.8m s 2,代入式(6)得

d

T z 10K km 1. (7) dz

式(7)表明,每升高1km,温度降低10K。 这结果是粗略的。由于各种没有考虑的因素,实际每升高1km,大气温度降低6K左右。

12

1.12 假设理想气体的Cp和CV之比 是温度的函数,试求在准静态绝热过程中T和V的关系,该关系式中要用到一个函数F T ,其表达式为

lnF(T)

dT

1T解:根据式(1.8.1),理想气体在准静态绝热过程中满足

CVdT pdV 0. (1)

用物态方程pV nRT除上式,第一项用nRT除,第二项用pV除,可得

CVdTdV 0. (2) nRTV

利用式(1.7.8)和(1.7.9),

Cp CV nR,CpCV

,

可将式(2)改定为

1dTdV

0. (3)

1TV

将上式积分,如果 是温度的函数,定义

lnF(T)

1dT

, (4) 1T

可得

, (5) lnF(T) lnV C1(常量)

。 (6) F(T)V C(常量)

式(6)给出当 是温度的函数时,理想气体在准静态绝热过程中T和V的关系。

1.13 利用上题的结果证明:当 为温度的函数时,理想气体卡诺循环的效率仍为 1

T2

. T1

解:在 是温度的函数的情形下,§1.9就理想气体卡诺循环得到的式

13

(1.9.4)—(1.9.6)仍然成立,即仍有

Q1 RT1ln

V2

, (1) V1

V3

, (2) V4

VV2

RT2ln3. (3) V1V4

Q2 RT2ln

W Q1 Q2 RT1ln

根据1.13题式(6),对于§1.9中的准静态绝热过程(二)和(四),有

F(T1)V2 F(T2)V3, (4) F(T2)V4 F(T1)V1, (5)

从这两个方程消去F(T1)和F(T2),得

V2V3

, (6) V1V4

W R(T1 T2)ln

V2

, (7) V1

所以在 是温度的函数的情形下,理想气体卡诺循环的效率仍为

TW

1 2. (8) Q1T1

1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。

解:假设在p V图中两条绝热线交于C点,如图所示。设想一等温线与

两条绝热线分别交于A点和B点(因为等温线的斜率小于绝热线的斜率,这样

14

的等温线总是存在的),则在循环过程ABCA中,系统在等温过程AB中从外界吸取热量Q,而在循环过程中对外做功W,其数值等于三条线所围面积(正值)。循环过程完成后,系统回到原来的状态。根据热力学第一定律,有

W Q。

这样一来,系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了, 这违背了热力学第二定律的开尔文说法,是不可能的。 因此两条绝热线不可能相交。

1.15 热机在循环中与多个热源交换热量,在热机从其中吸收热量的热源中,热源的最高温度为T1,在热机向其放出热量的热源中,热源的最低温度 为T2,试根据克氏不等式证明,热机的效率不超过1

解:根据克劳修斯不等式(式(1.13.4)),有

Qi

0, (1) Tii

T2

. T1

式中Qi是热机从温度为Ti的热源吸取的热量(吸热Qi为正,放热Qi为负)。 将热量重新定义,可将式(1)改写为

T

j

Qj

j

k

Qk

0, (2) Tk

Qj,式中Qj是热机从热源Tj吸取的热量,Qk是热机在热源Tk放出的热量,Qk恒

正。 将式(2)改写为

T

j

Qj

j

k

Qk

. (3) Tk

假设热机从其中吸取热量的热源中,热源的最高温度为T1,在热机向其放出热量的热源中,热源的最低温度为T2,必有

Qj1

Q , j

T1jjTjQk1

T2kTk

Q,

kk

故由式(3)得

15

11

Q jTT1j2

Q.

kk

(4)

定义Q1 Qj为热机在过程中吸取的总热量,Q2 Qk为热机放出的总热量,则式(4)可表为

j

k

Q1Q2

, (5) T1T2

T2T Q2

Q. 11

根据热力学第一定律,热机在循环过程中所做的功为

W Q1 Q2.

热机的效率为

W

Q 1 Q2Q 1 T2. 1T1

1.16 理想气体分别经等压过程和等容过程,温度由T1升至T2。常数,试证明前者的熵增加值为后者的 倍。

解:根据式(1.15.8),理想气体的熵函数可表达为

S CplnT nRlnp S0. 在等压过程中温度由T1升到T2时,熵增加值 Sp为

Sp Cpln

T2

T. 1

根据式(1.15.8),理想气体的熵函数也可表达为

S CVlnT nRlnV S0. 在等容过程中温度由T1升到T2时,熵增加值 SV为

ST2

V CVln

T. 1

所以

Spp S CV

C . V

16

(6) (7) 假设 是(1)

(2) (3)

(4) (5)

1.17 温度为0oC的1kg水与温度为100oC的恒温热源接触后,水温达到

100oC。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使参与过程的整

个系统的熵保持不变,应如何使水温从0oC升至100oC?已知水的比热容为

4.18J g 1 K 1.

解:0oC的水与温度为100oC的恒温热源接触后水温升为100oC,这一过程是不可逆过程。为求水、热源和整个系统的熵变,可以设想一个可逆过程,它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样变化,通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。

为求水的熵变,设想有一系列彼此温差为无穷小的热源,其温度分布在

0oC与100oC之间。令水依次从这些热源吸热,使水温由0oC升至100oC。在这可

逆过程中,水的熵变为

S水

373

mcpdTT

273

mcpln

373373

103 4.18 ln 1304.6J k 1. (1) 273273

水从0oC升温至100oC所吸收的总热量Q为

Q mcp T 103 4.18 100 4.18 105J.

为求热源的熵变,可令热源向温度为100oC的另一热源放出热量Q。在这可逆过程中,热源的熵变为

S热源

4.18 105

1120.6J K 1. (2)

373

由于热源的变化相同,式(2)给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。则整个系统的总熵变为

S总 S水 S热源 184J K 1. (3)

为使水温从0oC升至100oC而参与过程的整个系统的熵保持不变,应令水

%仍由式(1)与温度分布在0oC与100oC之间的一系列热源吸热。水的熵变 S水

给出。这一系列热源的熵变之和为

% S热源

373

mcpdTT

273

1304.6J K 1. (4)

参与过程的整个系统的总熵变为

% S% S% 0. (5) S总水热源

1.18 10A的电流通过一个25 的电阻器,历时1s。

17

(a)若电阻器保持为室温27oC,试求电阻器的熵增加值。

(b)若电阻器被一绝热壳包装起来,其初温为27oC,电阻器的质量为10g,比热容cp为0.84J g 1 K 1, 问电阻器的熵增加值为多少?

解:(a)以T,p为电阻器的状态参量。设想过程是在大气压下进行的,如果电阻器的温度也保持为室温27oC不变,则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。

(b)如果电阻器被绝热壳包装起来,电流产生的焦耳热Q将全部被电阻器吸收而使其温度由Ti升为Tf,所以有

mcp(Tf Ti) i2Rt,

i2Rt102 25 1

Tf Ti 300 2 600K. 3

mcp10 0.48 10

电阻器的熵变可参照§1.17例二的方法求出,为

S

Tf

mcpdTT

Ti

mcpln

Tf600

10 2 0.84 103ln 5.8J K 1. Ti300

1

2

1.19 均匀杆的温度一端为T1,另一端为T2,试计算达到均匀温度 T1 T2 后的熵增。

解:以L表示杆的长度。杆的初始状态是l 0端温度为T2,l L端温度为

T1 T2

(设T1 T2)。 这是一个非平衡状态。通过均匀杆中的热L

1

传导过程,最终达到具有均匀温度 T1 T2 的平衡状态。为求这一过程的熵变,

2

T1,温度梯度为

我们将杆分为长度为dl的许多小段,如图所示。位于l到l dl的小段,初温为

T T2

T1 T2

l. (1)

L

这小段由初温T变到终温 T1 T2 后的熵增加值为

12

18

dSl cpdl

T1 T22T

T1 T2

dT cpdlln, (2)

12TT2 lL

其中cp是均匀杆单位长度的定压热容量。

根据熵的可加性,整个均匀杆的熵增加值为

S dSl

L T TT T

cp ln12 ln T2 12l dl

02L

cp T1 T2T1 T2 T1 T2 T1 T2 cpLln T llnT l T l 2 2 2

T1 T2 2LLL 0 LcLT T

cpLln12 p T1lnT1 T2lnT2 T1 T2

2T1 T2 T TTlnT TlnT2

Cp ln12 112 1 .

2T1 T2

L

(3)

式中Cp cpL是杆的定压热容量。

1.20 一物质固态的摩尔热量为Cs,液态的摩尔热容量为Cl. 假设Cs和

Cl都可看作常量. 在某一压强下,该物质的熔点为T0,相变潜热为Q0. 求在

温度为T1 T1 T0 时,过冷液体与同温度下固体的摩尔熵差. 假设过冷液体的摩尔热容量亦为Cl.

解: 我们用熵函数的表达式进行计算.以T,p为状态参量. 在讨论固定压强下过冷液体与固体的熵差时不必考虑压强参量的变化.以a态表示温度为b, a两态的摩尔熵差为(略去摩尔熵SmT1的固态,b态表示在熔点T0的固态. 的下标m不写)

Sba

T0T1

CsdTT

Csln0. (1) TT1

以c态表示在熔点T0的液相,c,b两态的摩尔熵差为

Scb

Q0

. (2) T0

以d态表示温度为T1的过冷液态,d,c两态的摩尔熵差为

19

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《热力学统计物理_第四版_汪志诚__答案.doc》
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