平面向量概念方法题型易误点及应试技巧总结6页
更新时间:2023-10-07 19:14:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
平面向量
一.向量有关概念:
1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)。如:
已知A(1,2),B(4,2),则把向量AB按向量a=(-1,3)平移后得到的向量是_____(答:(3,0))
2.零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:0,注意零向量的方向是任意的;
3.单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是 );
4.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;
5.平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量,记作:
a∥b,规定零向量和任何向量平行。 提醒:
①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;
②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;
③平行向量无传递性!(因为有0); ④三点A、B、C共线?AB、BC共线;
6.相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是-a。如 下列命题:(1)若a?b,则a?b。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,
终点相同。(3)若A则ABCD是平行四边形。(4)若ABCD是平行四边形,则AB=DC。B?DC,
,//c,(5)若则a?c。(6)若a//bb则a//c。其中正确的是_______ a?bb,c?,
(答:(4)(5))
二.向量的表示方法:
AB,注意起点在前,终点在后;1.几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如
2.符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如a,b,c等;
3.坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为
基底,则平面内的任一向量a可表示为a?xi?yj??x,y?,称?x,y?为向量a的坐标,a=
?x,y?叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐
标相同。
三.平面向量的基本定理:如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的
任一向量a,有且只有一对实数?1、?2,使a=?1e1+?2e2。如
(1)若a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2),则c?______
(答:a?b);
(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 A. e1?(0,0),e2?(1,?2) B. e1?(?1,2),e2?(5,7) C. e1?(3,5),e2?(6,10) D. e1?(2,?3),e2?(,?)12341232
(答:B);
(3)已知AD,BE分别是?ABC的边BC,AC上的中线,且AD?a,BE?b,则BC可用向量a,b表示为_____ (答:a?b);
33
24(4)已知?ABC中,点D在BC边上,且CD?2DB,CD?rAB?sAC,则r?s的值
是___ (答:0)
???????????????四.实数与向量的积:实数?与向量a的积是一个向量,记作?a,它的长度和方向规定如下:
?1??a??a,?2?当?>0时,?a的方向与a的方向相同,当?<0时,?a的方向与a的
方向相反,当?=0时,?a?0,注意:?a≠0。
五.平面向量的数量积:
a,b,作OA?a,OB?b,?AOB??1.两个向量的夹角:对于非零向量
?0?????称为向量a,b的夹角,当?=0时,a,b同向,当?=?时,a,b反向,当?=
?时,a,b垂直。 2b,2.平面向量的数量积:如果两个非零向量a,它们的夹角为?,我们把数量|a||b|cos?叫做a与b的数量积(或内积或点积),记作:a?b,即a?b=abcos?。规定:零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。如???
(1)△ABC中,|AB|?3,|AC|?4,|BC|?5,则AB?BC?_________
(答:-9);
11?(2)已知a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b,c与d的夹角为,则k等于____
224
(答:1);
(3)已知a?2,b?5,ab??3,则a?b等于____
??????
(答:23);
(4)已知a,b是两个非零向量,且a?b?a?b,则a与a?b的夹角为____
(答:30)
??
3.b在a上的投影为|b|cos?,它是一个实数,但不一定大于0。如
????已知|a|?3,|b|?5,且a?b?12,则向量a在向量b上的投影为______
12(答:)
5a?b的几何意义:4.数量积a?b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。 5.向量数量积的性质:设两个非零向量a,b,其夹角为?,则:①a?b?a?b?0;
②当a,b同向时,a?b=ab,特别地,a?a?a?a,a?a;当a与b反向时,a?b=-ab;当?为锐角时,a?b>0,且a、 b不同向,a?b?0是?为锐角的必要非充分a?b<0,且a、 b不反向,a?b?0是?为钝角的必要非充分条件;条件;当?为钝角时,
222③非零向量a,b夹角?的计算公式:cos??a?bab?;④|a?b|?|a||b|。如
??(1)已知a?(? ,2?),b?(3?,2),如果a与b的夹角为锐角,则?的取值范围是______
?41(答:???或??0且??);
33????????????13(2)已知?OFQ的面积为S,且OF?FQ?1,若?S?,则OF,FQ夹角?的取值
22范围是_________
(答:(,));
43(3)已知a?(cosx,sinx),b?(cosy,siny),a与b之间有关系式ka?b?3a?kb,其中k?0,
??①用k表示a?b;②求a?b的最小值,并求此时a与b的夹角?的大小
1k2?1(答:①a?b? (k?0);②最小值为,??60)
4k2六.向量的运算:
1.几何运算:
①向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量,如此之外,向量加法还可利用“三角形法则”:设AB?a,BC?b,那么向量AC叫做a与b的和,即a?b?AB?BC?AC;
②向量的减法:用“三角形法则”:设AB?a,AC?b,那么a?b?AB?AC?CA,由减向量的终点指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。如
(1)化简:①AB②AB?AD?DC?____;③(AB?CD)?(AC?BD)?_____ ?BC?CD?___;
(答:①AD;②CB;③0);(2)若正方形ABCD的边长为1,AB?a,BC?b,AC?c,则|a?b?c|=_____
(答:22);
(3)若O是ABC所在平面内一点,且满足OB?OC?OB?OC?2OA,则ABC的形状为____
(答:直角三角形); (4)若D为?ABC的边BC的中点,?ABC所在平面内有一点P,满足PA?BP?CP?0,|AP|设 ??,则?的值为___|PD|(答:2);
(5若点O是△ABC的外心,且OA?OB?CO?0,则△ABC的内角C为____ )
(答:120);
2.坐标运算:设a?(x1,y1),b?(x2,y2),则:
①向量的加减法运算:a?b?(x1?x2,y1?y2)。如
(1)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP?AB??AC(??R),则当?=____时,点P在第一、三象限的角平分线上
(答:);
12
1??(2)已知A(2,3),B(1,4),且AB?(sinx,cosy),x,y?(?,),则x?y? 222
??(答:或?);
62(3)已知作用在点A(1,1)的三个力F1?(3,4),F2?(2,?5),F3?(3,1),则合力F?F1?F2?F3的
终点坐标是
(答:(9,1))
②实数与向量的积:?a???x1,y1????x1,?y1?。③若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB??x2?x1y,2?y1有向线段的终点坐标减去起点坐标。如
1?,即一个向量的坐标等于表示这个向量的
设A(2,3),B(?1,5),且AC?AB,AD?3AB,则C、D的坐标分别是__________
3
(答:(1,),(?7,9));
④平面向量数量积:a?b?x1x2?y1y2。如
113
已知向量a=(sinx,cosx), b=(sinx,sinx), c=(-1,0)。(1)若x=
3??1量a、c的夹角;(2)若x∈[?,],函数f(x)??a?b的最大值为,求?的值
842
1(答:(1)150;(2)或?2?1);
2?,求向3
⑤向量的模:|a|?x?y,a?|a|2?x2?y2。如
222
已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60,那么|a?3b|=_____
2(答:13);
⑥两点间的距离:若Ax,则|AB|??x2?x1???y2?y1?。如y,1B,xy????12,2
如图,在平面斜坐标系xOy中,?xOy?60,平面上任一点P
2关别点P心,
于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若OP?xe1?ye2,其中e1,e2分为与x轴、y轴同方向的单位向量,则P点斜坐标为(x,y)。(1)若的斜坐标为(2,-2),求P到O的距离|PO|;(2)求以O为圆1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。
(答:(1)2;(2)x2?y2?xy?1?0);
七.向量的运算律:
??2.结合律:a?b?c??a?b??c,a?b?c?a??b?c?,??a??b???a?b??a???b?;
3.分配律:?????a??a??a,??a?b???a??b,?a?b??c?a?c?b?c。
1.交换律:a?b?b?a,??a?????a,a?b?b?a;
如
???????????????2?2a?(b?c)?a?b?a?ca?(b?c)?(a?b)?c(a?b)?|a|下列命题中:① ;② ;③
??2?2|a|?|b|?|b|;④ 若a?b?0,则a?0或b?0;⑤若a?b?c?b,则a?c;⑥a?a;
?????22⑦
a?ba
2?ba;⑧(a?b)2?a?b;⑨(a?b)2?a?2a?b?b。其中正确的是______
2222(答:①⑥⑨)
提醒:(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约);(2)向量的“乘法”不
满足结合律,即a(b?c)?(a?b)c,为什么?
22八.向量平行( 共线)的充要条件:a//b?a??b?(a?b)?(|a||b|)?x1y2?y1x2=0。如
(1)若向量a?(x,1),b?(4,x),当x=_____时a与b共线且方向相同
(答:2);
( 2)已知a?(1,1),b?(4,x),u?a?2b,v?2a?b,且u//v,则x=______
(答:4);
设PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k),则k=_____时,A,B,C共线 (3)
(答:-2或11)
九.向量垂直的充要条件:a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b| ?x1x2?y1y2?0.特别地
(ABAB?ACAB)?(?ACABAC)。如AC
(1)已知OA?(?1,2),OB?(3,m),若OA?OB,则m?
(答:
3);2(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,?B?90?,则点B的坐标是________
(答:(1,3)或(3,-1));
(3)已知n?(a,b),向量n?m,且n?m,则m的坐标是________
(答:(b,?a)或(?b,a))
十.线段的定比分点: 1.定比分点的概念:设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点,若存在一个实数? ,
??PP2,使PP则?叫做点P分有向线段PPP点叫做有向线段PP112所成的比,12的以定比为?的
定比分点;
2.?的符号与分点P的位置之间的关系:当P点在线段 P1P2上时??>0;当P点在线段 P1P2的延长线上时??<-1;当P点在线段P2P1的延长线上时??1???0;若点P分
1有向线段PP所成的比为,则点P分有向线段所成的比为。如 ?PP1221?若点P分AB所成的比为,则A分BP所成的比为_______
34
(答:?)
733.线段的定比分点公式:设P1(x1,y1)、P2(x2,y2),P(x,y)分有向线段PP12所成的比为?,
?x???则??y???x1?x2?x1??x2x???21???,特别地,当?=1时,就得到线段P1P2的中点公式?y1?y2。在使用定y1??y2y???21??比分点的坐标公式时,应明确(x,y),(x1,y1)、(x2,y2)的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和终点,并根据这些点确定对应的定比?。如
???1???(1)若M(-3,-2),N(6,-1),且MP??MN,则点P的坐标为_______
3
7(答:(?6,?));
3(2)已知A(a,0),B(3,2,直线y?ax与线段AB交于M,且AM?2MB,则a等于?a)_______
12
(答:2或-4)
x??x?h十一.平移公式:如果点P(x,y)按向量a??h,k?平移至P(x?,y?),则?;曲线??y??y?k(1)函数按向量平移与平常“左f(x,y)?0按向量a??h,k?平移得曲线f(x?h,y?k)?0.注意:
加右减”有何联系?(2)向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊!如(1 )按向量a把(2,?3)平移到(1,?2),则按向量a把点(?7,2)平移到点______
(答:(-8,3));
(2)函数y?sin2x的图象按向量a平移后,所得函数的解析式是y?cos2x?1,则a=
________
??(答:(??4,1))
12、向量中一些常用的结论:
(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用;
b同向或有0?|a?b|?|a|?|b|(2)|| a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|,特别地,当a、
b反向或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||a、 b不共线?||a|?|b||?|a?b|;当a、?a|?b;当|). ?a|?b?|a|?|b|(这些和实数比较类似|?||a|?|b||(3)在?ABC中,①若A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?,则其重心的坐标为?x?x?xy?y2?y3?G?123,1 ?。如33??若⊿ABC的三边的中点分别为(2,1)、(-3,4)、 (-1,-1),则⊿ABC的重心的坐标为_______
24(答:(?,));
33②PG?1(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心,特别地PA?PB?PC?0?P为?ABC3的重心;
③PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为?ABC的垂心;
④向量?(AB?AC)(??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分线所在直线);
|AB| |AC|⑤|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的内心;
1??MP1??MP2,(3)若P分有向线段PP12所成的比为?,点M为平面内的任一点,则MP?MP1?MP2;特别地P为P1P2的中点?MP?2
(4)向量PA、、B、C共线?存在实数?、?使得PA??PB??PC且 PB、 PC中三终点A????1.如
平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(?1,3),若点C满足
OC ??1OA??2OB,其中?1,?2?R且?1??2?1,则点C的轨迹是_______
(答:直线AB)
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