10-13四年全国高考数学真题分类汇编 不等式

2010不等式

?2x?y?6?0,?1.（2010·安徽高考文科·Ｔ8）设x,y满足约束条件?x?2y?6?0,则目标函数z=x+y的最大值是（ ）

?y?0,?（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8 【命题立意】本题主要考查线性规划问题，考查考生的作图、运算求解能力。

【思路点拨】由约束条件画可行域?确定目标函数的最大值点?计算目标函数的最大值 【规范解答】选C．约束条件

?2x?y?6?0,??x?2y?6?0,?y?0,?表示的可行域是一个三角形区域，3个顶点分别

是(3,0),(6,0),(2,2)，目标函数z?x?y在(6,0)取最大值6，故C正确．

【方法技巧】解决线性规划问题，首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域），则区域中的某个端点使目标函数取得最大或最小值．

?x?1?2.（2010·福建高考文科·Ｔ5）若x,y?R，且?x?2y?3?0，则z?x?2y的最小值等于（ ）

?y?x?A.2 B.3 C.5 D.9

【命题立意】本题考查利用线性规划的方法求最值．

【思路点拨】先画出不等式组表示的线性区域，再作出直线l0:x?2y?0，平移l0，当其截距越小，z的值越小．

【规范解答】选B．不等式组所表示的平面区域如图阴影所示： 作

l0:x?2y?0，平移l0至A?1,1?点位置时，z取得最小值，?zmin?3．

【方法技巧】本题可以采用多种解法，有些解法一反常规， 颠覆视觉．

方法1（特殊点法）：因为直线x?1,x?2y?3?0,y?x分别 交于A?1,1?,B?3,3?,C?1,2?，当x?1,y?1时，z?x?2y?3； 当x?3,y?3时，z?x?2y?9；当x?1,y?2时，z?x?2y?5； 所以当x?1,y?1时，zmin?3，所以选 B．

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?x?1?方法2（反代入法）：z?x?2y，?x?z?2y，把x?z?2y代入?x?2y?3?0得：

?y?x???y??z?2y?1???z?2y?2y?3?0???y??y?z?2y????y??z?12?zz?1??z?3?32，??，?3?z?9，

zz?34???z4?33[来源:gkstkgkstk]

所以z?x?2y有最小值3．

方法3（向量法）：设Q(x,y),C(1,2),O(0,0)，则

z?OC?OQ?OCOQcos?POQ?5OQcos?POQ，OQcos?POQ表示的是OQ在

OC方向上的投影，所以当OQ在OA位置时取得最小值，

所以当x?1,y?1时，z?x?2y?3为最小值．故应选Ｂ． 3.（2010·浙江高考文科·Ｔ7）若实数x,y满足不等式组

?x?3y?3?0?合?2x?y?3?0，则x+y的最大值为（ ） ?x?y?1?0?（A）9 （B）

157 （C）1 （D） 715【命题立意】本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想， 属中档题．

【思路点拨】画出不等式组表示的平面区域，再利用图象求x?y的最大值． 【规范解答】选A．令

z?x?y，则y??x?z，z表示过可行

域内点斜率为-1的直线在y轴上的截距．由图可知当向上平移使它过A(4,5)时，

l0[来源:gkstk.Com]

zmax?9．

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yx?y?1?0A(4,5)2x?y?3?0xOx?3y?3?0l0:x?y?0 【方法技巧】（1）画可行域时：“直线定界、特殊点定域”；

（2）寻找目标函数的最值时，应先指明它的几何意义，这样才能找到相应的最值．

?x?y?3,4.（2010·天津高考文科·Ｔ2）设变量x，y满足约束条件??x?y??1,则目标函数z=4x+2y的最大值

??y?1,为（ ）

（A）12 （B）10 （C）8 （D）2

【命题立意】考查线性规划的意义，二元一次不等式的最值问题以及数形结合思想的应用． 【思路点拨】应用数形结合，画图分析求得最值．

【规范解答】选B．在同一个坐标系中，画出直线x?y??1,x?y?3,y?1的图像，作出可行域可知 直线y??2x平行移动到直线x?y?3与y?1的交点（2，1）处，目标函数z=4x+2y取的最大值10. 【方法技巧】 线性规划问题的关键是找准最优点，画图失误或求点失误是常见的失误点，解决最优解问题也将各个边界点代入验证，然后寻找合适点．

5.（2010·山东高考理科·Ｔ10）设变量x、y满足约束条件

??x?y?2?o,?x?5y?10?0,,则目标函数z=3x-4y的最大值和最小值分??x?y?8?0,别为（ ） （A）3，－11

（B）－3, －11 （C ）11, －3

（D）11,3

【命题立意】本题考查不等式中的线性规划知识及数形结合的数学思想、考查了考生的推理论证能力和运算求解能力.

【思路点拨】先画出不等式组所表示的平面区域，再求解.

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【规范解答】选A ．画出平面区域如图所示：可知当直线z=3x-4y平移到点（5，3）时，目标函数z=3x-4y取得最大值3；当直线平移到点（3，5）时，目标函数z=3x-4y取得最小值-11，故选A.

?x?3y?3?0,?6.（2010·浙江高考理科·Ｔ7）若实数x，y满足不等式组?2x?y?3?0,且x?y的最大值为9，

?x?my?1?0,?则实数m?（ ）

（A）?2 （B）?1 （C）1 （D）2 【命题立意】本题考查线性规划的相关知识，考查数形结合思想． 【思路点拨】画出平面区域，利用x?y的最大值为9，确定区域的边界．

【规范解答】选C．令z?x?y，则y??x?z，z表示斜率为-1的直线在y轴上的截距． 当z最大值为9时，y??x?z过点A，因此x?my?1?0过点A，所以m?1．

yA(4,5)x?my?1?02x?y?3?01O32123(,)773y??xxx?3y?3?0?3

【方法技巧】画平面区域时“直线定界、特殊点定域”．

?x?y?11?0?x7.（2010·北京高考理科·Ｔ7）设不等式组?3x?y?3?0表示的平面区域为D，若指数函数y=a的图

?5x?3y?9?0?像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是（ ）

（A）(1,3] (B )[2,3] (C) (1,2] (D)[ 3, ??] 【命题立意】本题考查平面区域，指数函数的相关知识． 【思路点拨】画出平面区域D，再观察y?a的图象．

x第4页 共22页

xA(2,9)y?a【规范解答】选A．区域D如图所示，其中．当恰过点A时，a?3．

因此当1?a?3时，y?a的图像上存在区域D上的点．

y3x?y?3?0x11AD5x?3y?9?031?2?10x?y?11?011x[来源:gkstkgkstk]

【方法技巧】画区域D时可采用“直线定界、特殊点定域”的方法．

?x?1,?8.（2010·福建高考理科·Ｔ8）设不等式组?x?2y?3?0，所表示的平面区域是?1，平面区域?2与?1?y?x?关于直线3x?4y?9?0对称，对于?1中的任意A与?2中的任意点B，|AB|的最小值等于（ ） A.

2812 B.4 C. D.2 55【命题立意】本题主要考查线性可行域的表示, 并结合图像求解点到线距离的最小值. 【思路点拨】画出可行域以及直线3x?4y?9?0，要求|AB|的最小值即求A到直线3x?4y?9?0的最小值d的2倍． 【规范解答】选B．不等式组所表示的平面区域如图所示：则点平面区域

?1

?1,1? 到3x?4y?9?0的距离即为

?1中任意点A到3x?4y?9?0的最小距离d，

?d?3?1?4?1?93?422?2，

?ABmin?2d?4．

2x2x39.（2010·江苏高考·Ｔ１2）设x,y为实数，满足3≤xy≤8，4≤≤9，则4的最大值是 ．

yy【命题立意】本题考查不等式的基本性质，等价转化思想．

x3x221【思路点拨】4?()?2

yyxy第5页 共22页

111x3x221x22【规范解答】()?[16,81]，2?[,]，4?()?2?[2,27]，

xy83yyyxyx3的最大值是27． 4y【答案】27

10.（2010·浙江高考文科·Ｔ16） 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值 ． 【命题立意】本题主要考察了用一元二次不等式解决实际问题的能力，属中档题． 【思路点拨】把一到十月份的销售总额求和，列出不等式，求解．

【规范解答】七月份：500(1?x%)，八月份：500(1?x%)．所以一至十月份的销售总额为：

23860?500?2[500(1?x%)?500(1?x%)2]?7000，解得1?x%??2.2（舍）或1?x%?1.2， ?xmin?20．

【答案】20

11.（2010·浙江高考文科·Ｔ15）若正实数x,y，满足2x?y?6?xy，则xy的最小值是 ． 【命题立意】本题主要考察了用基本不等式解决最值问题的能力 ，以及换元思想和简单一元二次不等式的解法，属中档题．

【思路点拨】本题可利用均值不等式构造出关于xy的不等式，解出xy的范围．

2【规范解答】运用基本不等式，xy?2x?y?6?22xy?6，令xy?t，可得t?22t?6?0，注

2意到t＞0，解得t≥32,故xy的最小值为18． 【答案】18．

【方法技巧】均值不等式有两个常用变形：（1）当和为定值时，积有最大值，即ab?(为定值时，和有最小值，即a?b?2ab．

12.（2010·山东高考文科·Ｔ１4）已知x,y?R?，且满足

a?b2)；（2）当积2xy??1，则xy的最大值为 . 34【命题立意】本题考查均值定理，考查考生运用基本不等式运算求解能力. 【思路点拨】根据x,y?R?，且

xy??1， 34第6页 共22页

【规范解答】

x,y?R?，且

xyxyxy，解得xy?3， ??1，由均值不等式有1???2343412[来源:gkstk]xy13??，即x?,y?2时，等号成立。所以xy的最大值为3 。 3422x?a恒成立，则a的取值范围13.（2010·山东高考理科·Ｔ14）若对任意x＞0，2x?3x?1当且仅当是 ．

[来源:gkstk]

【命题立意】本题考查了利用基本不等式求最值及不等式恒成立问题以及参数问题的求解，考查了考生的转化能力、和运算求解能力．

【思路点拨】将恒成立问题转化为最值问题.

【规范解答】因为x>0，所以

x+1?2x（当且仅当x=1时取等号），所以有

x111??=211x1x+3x+1x++32+35a?25 .x，即x+3x+1的最大值为5，故

1[,??) 【答案】5．

[来源:gkstk.Com]

【方法技巧】1、不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解：

c?f(x)恒成立?c?f(x)max； c?f(x)恒成立?c?f(x)min．

2、高次函数或非基本初等函数的最值问题，通常采用导数法解决.

14.（2010·安徽高考文科·Ｔ15）若a?0,b?0,a?b?2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)． ①ab?1； ②a?b?④a?b?3； ⑤

332； ③ a2?b2?2；

11??2． ab【命题立意】本题主要考查均值定理，考查考生变形转化的能力． 【思路点拨】可以利用a?b?1特值排除，结合均值定理变形转化求解． 【规范解答】令a?b?1，排除②、④； 由2?a?b?2ab?ab?1，命题①正确；

第7页 共22页

222a?b?(a?b)?2ab?4?2ab?2，命题③正确； 由

11a?b2????2ababab由，命题⑤正确．

【答案】①③⑤．

15.（2010·陕西高考文科·Ｔ１4）设x，y满足约束条件

?x?2y?4,??x?y?1,，则目标函数z＝3x－y的最大值为 . ?x?2?0,?【命题立意】本题考查不等式中的线性规划知识， 画出平面区域与正确理解目标函数的几何意义是 解答好本题的关键，属中档题．

【思路点拨】做出可行域?做出目标函数3x－y＝0?平移目标函数线?结论 【规范解答】做出可行域

3x?y?0 yx?y?1

A oxx?2y?4

x??2

?x?2y?4,由?得A(2,1)x?y?1.由?

当直线z＝3x－y过点A时，z取到最大5. 【答案】５

16.（2010·北京高考文科·Ｔ１１）若点p（m，3）到直线4x?3y?1?0的距离为4，且点p在不等式

2x?y＜3表示的平面区域内，则m= ．

【命题立意】本题考查了点到直线距离与线性规划的知识．

【思路点拨】先利用点到直线的距离求出m，再把所得点P的坐标代入到不等式中去验证．

|4m?9?1|【规范解答】点p（m，3）到直线4x?3y?1?0的距离为p在不等式2x?y＜3表示的平面区域内，所以m??3． 【答案】-3

4?322?4，解得m?7或?3．又因为点

【方法技巧】判断点是否在某平面区域内，只需把点的坐标代入到不等式中看是否成立即可．

?2x?y?2?0?17.（2010·安徽高考理科·Ｔ13）设x,y满足约束条件?8x?y?4?0，

?x?0 , y?0?第8页 共22页

若目标函数z?abx?y?a?0,b?0?的最大值为8，则a?b的最小值为________． 【命题立意】本题主要考查线性规划问题和均值定理，考查考生的作图、运算求解能力．【思路点拨】由约束条件画可行域 ?确定目标函数的最大值点?计算ab的值 [来源:gkstkgkstk]

? 利用均值定理计算a?b的最小值 ?2x?y?2?0??8x?y?4?0?x?0 , y?0?【规范解答】 已知x,y满足约束条件

，其可行域是一个四边形，4个顶点是

1(0,0),(0,2),(,0),(1,4)z?abx?y?a?0,b?0?(1,4)2，易见目标函数在取最大值8，

所以8?ab?4，即ab?4，?a?b?2ab?4，当且仅当a?b?2时，等号成立． 所以a?b的最小值为4． 【答案】4

[来源:gkstk]

【方法技巧】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域），则目标函数的最大或最小值在区域的端点或边界处取得．

18.（2010·辽宁高考理科·Ｔ14）已知?1?x?y?4且2?x?y?3，则z?2x?3y的取值范围 是_______（答案用区间表示） 【命题立意】本题考查线性归划问题 【思路点拨】

做出可行域 找出使z取最大最小值的最优解 求出最大值、最小值 写出答案

【规范解答】做出可行域（如图），

y?将目标函数z=2x-3y变形为

22zy?xx?3平行，截距是33它表示与

?zz?3的一族平行直线，当它经过点A时，截距3最大，此是z取得最

z小值；当经过点B时，截距3最小，此时z最大．由

??x?y?2?A(3,1)?x?y?4?

?x?y??1?B(1,?2)?x?y?3由?

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?zmin?2?3?3?1?3 zmax?2?1?3?(?2)?8

∴z=2x－３y的取值范围是（3，8）．【答案】（3，8）．

【方法技巧】本题还可设2x?3y??(x?y)??(x?y)，利用不等式求解．注意：不要先分别求x、y 的范围再求2x?3y的范围，这样会将范围扩大，导致结果错误．

19.（2010·陕西高考理科·Ｔ１4）铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的co2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：

[来源:gkstkgkstk][来源:gkstk][来源:gkstk]

a 50% 70% b(万吨) 1 0．5 c（百万元） 3 6 A B 某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求co2的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用 为_ _ (百万元)．

[来源:gkstk.Com]

【命题立意】本题考查不等式中的线性规划知识的应用，画出平面区域与正确理解目标函数的几何意义是解答好本题的关键．属中档题．

【思路点拨】设购买铁矿石A、B分别为x,y万吨?线性约束条件?最优解?结论 【规范解答】设购买铁矿石A、B分别为x,y万吨，购买铁矿石的费用为z（百万元），则

?0.5x?0.7y?1.9,?x?0.5y?2,?0.5x?0.7y?1.9,?x?1,?，目标函数，z?3x?6y由得?记P(1,2)， ???x?0.5y?2,?y?2.?x?0,??y?0.画出可行域可知，当目标函数z?3x?6y过点P（1，2）时，z取到最小值15. 【答案】15．

20.（2010·广东高考文科·Ｔ19）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

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【命题立意】本题为应用题，考察简单的线性规划问题以及建立数学模型的方法. 【思路点拨】建立目标函数?列出约束条件?画出可行域?求目标函数的最值. 【规范解答】设该儿童分别预定

x,y个单位的午餐和晚餐，共需z元，则

z?2.5x?4y.

[来源:gkstkgkstk]

约束条件为

?12x?8y?64??6x?6y?42??6x?10y?54?x?0,x?N???y?0,y?N 即

?3x?2y?16??x?y?7??3x?5y?27?x?0,x?N???y?0,y?N

作出可行域如图：

z?2.5?4?4?3?22元.

所以，当x?4,y?3时，花费最少，为min答：应当为该儿童分别预定4个午餐和3个晚餐.

【方法技巧】线性规划的应用问题，应从目标函数入手，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，这样思路更清晰.

21.（2010·广东高考理科·Ｔ19） 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

【命题立意】本题为应用题，考察简单的线性规划问题以及建立数学模型的方法. 【思路点拨】建立目标函数?列出约束条件?画出可行域?求目标函数的最值. 【规范解答】设该儿童分别预定x,y个单位的午餐和晚餐，共需z元，则z?2.5x?4y.

?12x?8y?64?3x?2y?16??6x?6y?42??x?y?7??可行域为?6x?10y?54 即?3x?5y?27

?x?0,x?N?x?0,x?N?????y?0,y?N?y?0,y?N作出可行域如图：

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所以，当x?4,y?3时，花费最少，为zmin?2.5?4?4?3?22元. 答：应当为该儿童分别预定4个午餐和3个晚餐.

【方法技巧】线性规划的应用问题，应从目标函数入手，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，这样思路更清晰.

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2011不等式

一、选择题

1.（2011·浙江高考理科·Ｔ7）若a、b为实数，则“0?ab?1”是“a?（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

【思路点拨】此题考查充要条件的判定与不等式的基本性质，要准确使用。 【精讲精析】选A.

11或b?”的 ba0?ab?1可分为两种情况:

当a?0,b?0时，由0?ab?1两边同除b可得a?∴“0?ab?1”是“a?反之，当a?11；当a?0,b?0时，两边同除以a可得b?。 ba[来源:gkstkgkstk]11

或b?”的充分条件，ba

1111或b?时，可能有ab?0，∴“0?ab?1”是“a?或b?”的不必要条件， baba1”的 a故应为充分不必要条件。

2.（2011·浙江高考文科·Ｔ6）设a,b为实数，则“0?ab?1”是“b?(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

[来源:gkstkgkstk]

[来源:gkstk.Com](C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

[来源:gkstk.Com]【思路点拨】此题考查充要条件的判定与不等式的基本性质，要准确使用.【精讲精析】选D.

0?ab?1可分为两种情况:

当a?0,b?0时，b?反之，当b?0?二、填空题

[来源:gkstk]11；当a?0,b?0时， b?,故不充分;aa[来源:gkstk]

1，有ab?0，故不必要，所以应为既不充分也不必要条件。 a

3.（2011·广东高考理科·Ｔ9）不等式x?1?x?3?0的解集是______.

【思路点拨】本题主要考查绝对值不等式的解法.先移项，然后两边平方，转化为一元一次不等式求解. 【精讲精析】由|x?1|?|x?3|?0得|x?1|?|x?3|，两边平方得x2?2x?1?x2?6x?9，即8x?8.解得x?1，所以原不等式的解集为{x|x?1}. 【答案】{x|x?1} 三、解答题

[来源:gkstkgkstk]

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4.（2011·安徽高考理科·Ｔ19）（Ⅰ）设x?1,y?1,证明

x?y?（Ⅱ）设1?111???xy xyxya?b?c，证明

logab?logbc?logca?logba?logcb?logac[来源:gkstk]【思路点拨】利用不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式的知识. 【精讲精析】证明：（1）由于x?1,y?1,

所以要证明x?y?111???xy，xyxy[来源:gkstkgkstk]

只需证xy(x?y)?1?y?x?(xy)2. 将上式中的右式减左式，得

2??y?x?(xy)????xy(x?y)?1?2??(xy)?1?????xy(x?y)?(x?y)? ?(xy?1)(xy?1)?(x?y)(xy?1)

?(xy?1)(xy?x?y?1)?(xy?1)(x?1)(y?1).（xy?1)(x?1)(y?1)?0,从而所要证明的不等式成立. 既然x?1,y?1,所以

（Ⅱ）设logab?x,logbc?y，由对数的换底公式得

logca?于是，所要证明的不等式即为

111,logba?,logcb?,logac?xy. xyxy[来源:gkstkgkstk]x?y?其中x?logab?1,y?logbc?1.

111???xy. xyxy[来源:gkstk]故由（Ⅰ）成立知logab?logbc?logca?logba?logcb?logac成立.

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2012不等式

一、选择题

[来源:gkstk.Com]

1.（2012·浙江高考理科·Ｔ9）设a>0，b>0.（ ） A.若2a+2a=2b+3b，则a＞b B.若2a+2a=2b+3b，则a

【解题指南】构造函数,利用其单调性转化为函数值之间的大小关系. 【解析】选Ａ．设f(x)?ex?2x，则f(x)?ex?2x为增函数 而?ea?2a???eb?2b??b?0 ∴a?b，故选取项Ａ正确．

2.（2012·浙江高考文科·Ｔ10）设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数（ ） A.若ea+2a=eb+3b，则a＞b B.若ea+2a=eb+3b，则a＜b C.若ea-2a=eb-3b，则a＞b D. 若ea-2a=eb-3b，则a＜b

【解题指南】构造函数,利用其单调性转化为函数值之间的大小关系.

[来源:gkstk]xx2a?2a???2b?2b??b?0?f(x)?2?2xf(x)?22?x【解析】选A.设，则为增函数，而

∴a?b.

c3.（2012·湖南高考文科·Ｔ7）设 a＞b＞1，c?0 ，给出下列三个结论： acb ；② ac＜bc ； ③ logb(a?c)?loga(b?c)，

＞

其中所有的正确结论的序号是

A．① B.① ② C.② ③ D.① ②③

【解题指南】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中的指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质，不等关系，考查了数形结合的思想.函数概念与基本初

第15页 共22页

等函数Ⅰ是常考知识点.,由不等式的性质可得①正确，幂函数的单调性可得②正确，引入中间变量loga(a-c)可得③正确.【解析】选D. 由不等式及a＞b＞1

[来源:gkstk.Com]

c＞b，①正确;由

c11

?

知ab，又c?0，所以a指数函数的图象与性质知②正确；由a＞b＞1，c?0知a?c?b?c?1?c?1，由对数函数的图象与性质知③正确.故选D. 二、填空题

4.（2012·浙江高考理科·Ｔ17）设a∈R，若x>0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，则a=__________.

【解题指南】要使不等式成立，需两个括号中的式子同正同负．

[来源:gkstk.Com]

【解析】对a进行分类讨论，通过构造函数，利用数形结合解决.

（1）当a=1时，不等式可化为：x＞0时均有x2-x-1?0，由二次函数的图象知，显然不成立，?a?1.

（2）当a＜1时，x＞0，?(a-1)x-1＜0，不等式可化为：x＞0时均有x2-ax-1?0，

二次函数y= x2-ax-1的图象开口向上，?不等式x2-ax-1?0在x∈（0，+∞）上不能均成立，?a＜1不成立.

（3）当a＞1时，令f(x)=(a-1)x-1，g(x)= x2-ax-1，两函数的图象均过定点（0，-1），a＞1，（0，+∞）上单调递增，且与x轴交点为（?f(x)在x∈0）即当x∈（0，

1，a?111）时，f(x)＜0，当x∈（，+∞）时，f(x)＞0. a?1a?1第16页 共22页

又二次函数g(x)= x2-ax-1的对称轴为x=＞0，则只需g(x)= x2-ax-1与x

11)，0）重合，如图所示，则命题成立，即（，0）在g(xa?1a?11a3的图象上，所以有（）2--1=0，整理得2a2-3a=0，解得a=，a=0（舍

a?1a?123去）.综上可知a=.

2a2轴的右交点与点（

3【答案】2．

x2?9?0x?25.（2012·江西高考文科·Ｔ11）不等式的解集是___________.

【解题指南】将分式不等式等价转化为整式不等式，再用“穿根法”得不等式的解集。

[来源:gkstkgkstk]

x?3)?，用穿根法求得不等式的解集为0【解析】不等式可化为(x?3)(x?2)(??3,2??3,???。

【答案】??3,2??3,???.

第17页 共22页

2013不等式

一、选择题

错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设正实数

x,y,z212xy??22满足x?3xy?4y?z?0,则当z取得最大值时,xyz的最大值为

9C．4

（ ）

A．0

【答案】B

B．1 D．3

错误！未指定书签。 ．（2013年高考陕西卷（理））设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有

源:gkstk]

A．[-x] = -[x] 【答案】D

（ ）[来

B．[2x] = 2[x]

C．[x+y]≤[x]+[y] D．[x-y]≤[x]-[y]

?y?2x?错误！未指定书签。 ．（2013年高考湖南卷（理））若变量x,y满足约束条件?x?y?1,则x?2y的最大值是?y??1? A．-（ ）

5 2B．0

C．

5 3D．

5 2【答案】C

错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数

?11?f(x)?x(1?a|x|). 设关于x的不等式f(x?a)?f(x) 的解集为A, 若??,??A, 则实数a的取值

?22?范围是 （ ）

?1?5?A．??2,0??

??

【答案】A

?1?3?B．??2,0??

???1?5???,D．?? ??2??C．

?1?5??1?3??????2,0??0,2??????错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知

?x?1?a?0,x,y满足约束条件?x?y?3,若z?2x?y的最小值为1,则a?

?y?a(x?3)?A．

（ ）

1 4B．

1 2C．1 D．2

【答案】B [来源:gkstk.Com]

第18页 共22页

错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设变量x, y满

?3x?y?6?0,?足约束条件?x?y?2?0,则目标函数z = y-2x的最小值为

?y?3?0,?（ ）

A．-7 C．1

【答案】A

B．-4[来源:gkstk] D．2

错误！未指定书签。 ．（2013年高考湖北卷（理））一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,

以速度v?t??7?3t?离(单位;m)是 A．1?25ln5

【答案】C

25(t的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距1?t（ ）

B．8?25ln11 3C．4?25ln5 D．4?50ln2

错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））已知一元二

次不等式f(x)<0的解集为?x|x<-1或x>A．?x|x<-1或x>lg2C．?x|x>-lg212?,则f(10x)>0的解集为

（ ）

? B．?x|-1

? ?

【答案】D [来源:gkstkgkstk]

错误！未指定书签。 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如果a?b?0,那么下列不等式成立的

是 A．

（ ）

11

? ab

B．ab?b

2C．?ab??a

2D．?11?? ab【答案】D

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））在平面直角坐标系

xoy中,M为不等式组

?2x?y?2?0,??x?2y?1?0,?3x?y?8?0,?所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为 （ ）

A．2

【答案】C

B．1

1C．3

?1D．2

?错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））设

a?log36,b?log510,c?log714,则

A．c?b?a

【答案】

（ ）

C．a?c?b

D．a?b?c[来源:gkstk.Com]

B．b?c?a

第19页 共22页

?2x?y?1?0,?错误！未指定书签。．（2013年高考北京卷（理））设关于x,y的不等式组?x?m?0,表示的平面区域内

?y?m?0?存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,求得m的取值范围是 源:gkstk]

[来源:gkstk]（ ）[来

A．???,?

【答案】C 二、填空题

??4?3?B．???,?

??1?3?C．???,???2?? 3?D．???,??[来源:gkstkgkstk]

??5?3?错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））记不等

?x?0,?式组?x?3y?4,所表示的平面区域为D,若直线y?a?x?1?与D公共点,则a的取值范围是

?3x?y?4,?______.

【答案】[,4]

错误！未指定书签。．（2013年高考陕西卷（理））若点(x, y)位于曲线y?|x?1|与y=2所围成的封闭区域, 则

122x-y的最小值为___-4_____. 【答案】- 4

错误！未指定书签。．（2013年高考四川卷（理））已知f(x)是定义域为

2时,f(x)?x?4x,那么,不等式f(x?2)?5的解集是____________.

R的偶函数,当x≥0【答案】(?7,3)

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））给定区域

?x?4y?4??x?y?4?x?0T?{?x0,y0??D|x0,y0?Z,?x0,y0?D:?,令点集,是z?x?y在D上取得最大值或最

小值的点},则T中的点共确定______条不同的直线.

【答案】6 [来源:gkstk.Com][来源:gkstk]

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设z?kx?y,

?x?y?2?0?其中实数x,y满足?x?2y?4?0,若z的最大值为12,则实数k?________.[来源:gkstkgkstk]

?2x?y?4?0?【答案】2

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设a + b = 2, b>0,

第20页 共22页

则当a = ______时,

【答案】?2

1|a|取得最小值. ?2|a|b错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））不等式x?x?2?02的解集为___________.

【答案】错

误

！

??2,1?

未

指

定

书

签

。．（

2013

年

高

考

湖

南

卷

（

理

））

已知

2______.a,b,?c,?a2?b则3?2c62,?a的最小值为?4b9c

【答案】12 三、解答题

错误！未指定书签。．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,某校有一块形如直角三角形ABC的

空地,其中?B为直角,AB长40米,BC长50米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩

形,且B为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积. A

B C

【答案】[解]如图,设矩形为EBFP, FP长为x米,其中0?x?40,

A

P F

C

E B 健身房占地面积为y平方米.因为?CFP∽?CBA,

FPCFx50?BF5??,,求得BF?50?x, BACB4050455252从而y?BF?FP?(50?x)x??x?50x??(x?20)?500?500,

444当且仅当x?20时,等号成立.

以

答:该健身房的最大占地面积为500平方米. 错误！未指定书签。．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品

(生产条件要求1?x?10),每小时可获得利润是100(5x?1?)元.

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.

【答案】(1)根据题意,200(5x?1?3x33)?3000?5x?14??0 xx又1?x?10,可解得3?x?10

第21页 共22页

(2)设利润为y元,则y?90031161?100(5x?1?)?9?104[?3(?)2?] xxx612故x?6时,ymax?457500元.

第22页 共22页