计算方法复习题

1．31.4159的四位有效数字为 ． 2．为避免失去有效数字，为 ．

3．求方程x?f(x)根的牛顿迭代格式是 ． 4．设A?(aij)n?n，已知Ax2?1?x(x??1)的一个等价计算公式

??max?aij1?i?nj?1n?12?，则矩阵B???11??的条件数

??Cond?(B)? ．

5．满足f(0)?1,f?(0)?1,f(1)?1的Newton形式的二次插值多项式N2(x)计算中

f[0,0]? ，Newton形式的二次插值多项式为N2(x)? ．

6．记h?b?a,xi?a?ih,i?0,1,?,n. 计算n?baf(x)dx 的复化梯形公式为

_______________ , 代数精度为____________．

?a?12?7．A???,当a满足条件 时，A可作LU分解，当a满足条件

21??时，必有分解式A?LL，其中L是对角元素为正的下三角阵．

*二．（15分）设3?3x?2sinx?0在[0, 1]内的根为x，若采用如下迭代公式

T2xn?1?1?sinxn，

3（1）证明?x0?(??,??)，均有limxn?x(x为方程的根)；

n??*?6（2）取x0?0，要迭代多少次能保证误差xk?x?10？

**（3）此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论 （4）写出Aitken加速收敛的算法．

三．（15分）用Jacobi, Gauss-Seidel迭代法解下列方程组??x1?2x2?3是否收敛?为什么?

?3x1?2x2?4若将方程组变为??3x1?2x2?4再用上述两种迭代法求解是否收敛?为什么?

?x1?2x2?3x100121144169四．（15分）已知函数表如下

x10111213试用Lagrange型的二次插值多项式L2(x)求115的近似值，并估计截断误差．

五．（15分）常微分方程组的初值问题为

?dx?dt?f(t,x,y)??dy ? ?g(t,x,y)dt??x(t0)?x0,y(t0)?y0??（1） 取步长为h，写出一个求初值问题数值解的二阶Runge-Kutta公式；

?x???tx??1? 0 （2） 用二阶Runge-Kutta公式求?，取h?0.2，近似计算

?x(0)?1,x(0)?2?x(0.2),x?(0.2)．

1．2.71828的三位有效数字为 ，相对误差约为 ．

1?x)?lnx2．为避免失去有效数字，ln(

为 ．

(x??1)的一个等价计算公式

1xn?5In, dx，有I0?ln1.2?0.1823, In?1?3．设In??0x?5n?11则计算I20的可行的算法为 ． 4．求方程x?2?x实根的牛顿迭代格式是

．

5．取步长为h，以f(x0?h)，f(x0)，f(x0?h)近似计算f?(x0)的三

点公式为 ，误差表达式 ． 6．用函数f(x)?ax?b拟合数据组(xi,yi),i?1,2,?,N，为简化问题讨论，可选用指标

cx?d为?(a,b,c,d)? ．

b?a,xi?a?ih，复合中点公式7．记h?n____________．

?baf(x)dx?h?f(xk?0n?1i?12)的代数精度为

?x2?x?10?x?18．设S(x)??是区间[0,2]上的样条函数，则32?(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?31?x?2a?_____,b?______．

四

9．对A???32?进行LU分解，其中L是对角元素为1的下三角阵，则 ??31?L?_______,U?_________．

?y??f(x,y)10．求解初值问题?数值解的中点公式为________________ (取步长为h)，它

y(x)?y0?0是___阶方法．

二．（10分）分别讨论方程组?三．（15分）已知函数表为

?x1?2x2?3的Jacobi, Gauss-Seidel迭代算法的收敛性．

?3x1?2x2?4xlnx111213

2.39792.48492.5649试用Lagrange型的二次插值多项式L2(x)求ln11.7的近似值，并估计截断误差．

*四 15分）设3x?2cosx?0在[0, 1]内的根为x，若采用如下迭代公式xn?1?2cosxn，3（1）证明?x0?(??,??)，均有limxn?x(x为方程的根）

n??**

*?3（2）取x0?0，至少要迭代多少次能保证误差xk?x?10？3）此迭代的收敛阶是多少，

并说明理由；

（3）此迭代的收敛阶是多少，并说明理由 （4）写出Aitken加速收敛的算法．

3五．（7分）求方程x?1?0近似解的一个迭代算法为xk?1?xk?c(xk?1)，

3（1）求出使得迭代算法局部收敛的常数c的取值范围； （2）求使得收敛速度最快的c．

六．（8分）取h?0.5，用有限差分方法在x?[0,1]上求解边值问题

?y???6x． ??y(0)?0,y(1)?01.设 3.14159 是π的近似值，则该近似值具有_____位有效数字；

2.为避免有效数字位数的损失，ln(1?x)?lnx应改用等价算式________；

1xn?4In，I0?0.2231，dx有递推公式In?1?3.积分In??则计算I20正确的算法

04?xn?11为____________________________________________； 4.矩阵A???21??的LU分解为L?____,U?_______； ?43?f?(0)?1,f(1)??1的Newton形式的二次插值多项式N2(x)计算中

5.满足f(0)?2,f[0,0]? ，Newton形式的二次插值多项式为N2(x)? ；

6. 记h?bb?a,xi?a?ih， 用2n?1个点函数值计算?f(x)dx 的复合Simpson公式为

an_______________________________ , 代数精度为_____； 7. 设函数内积为(f,g)?_________________； 8. 用计算

?10，则函数x的最佳平方逼近一次多项式为f(x)g(x)dx?1011f(x)dx的梯形公式T?[f(0)?f(1)]，中点公式M?f()得到代数精度

22更高的公式S，则S?_______；

9. 设f(x)具有四阶连续导函数，积分近似计算公式

?1011f(x)dx?[f(0)?f(1)]?[f?(0)?f?(1)]的代数精度为 ，误差表达式为

212___________________；

10.设A为对称正定矩阵，则求解方程组Ax=b的最速下降算法为 二．（15分）求方程cosx?4x?2?0解的迭代格式为xn?1?11?cosxn。 24?1. 证明对任意初值x0，上述迭代格式收敛于cosx?4x?2?0的解x；

??32.求最小的n，使得xn?x?10；

3.讨论迭代格式的收敛阶，并给出Aiteken加速算法；

4.对上述方程的解构造 Newton 迭代格式，判断它对任意初值是否也收敛。

?1?x1?ax2??0 三（15分）设线性方程组为?ax1?2x2?x?x3?1?11. 当a?1时，写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代格式，讨论其收敛性； 22. 求出求解方程组的Jacobi迭代格式收敛的a得取值范围。

.；

四（15分）已知函数函数f(x)?x的函数表格为

144 12 169 13 x x 100 10 121 11 分别用线性插值和抛物插值近似计算132的近似值并估计截断误差界。

?y??f(x,y)求解初值问题?的Runge-Kutta公式如下

y(a)?y0?．

??yk?1?yk?h[(1??)K1??K2]? ?K1?f(xk,yk)?hh?K2?f(xk?,yk?K1)2?2??证明对任意的参数??0，局部截断误差为O(h3)；

?y??x?y2?11取??，h?0.1，对微分方程?用该方法迭代一步。

4?y(0)?1180?6. （10分）由nsin作为?的近似值，试利用n?2，n?4，n?8时

n?的三个近似值2，2.8284，3.0615构造?的近似计算方法得到?的更精确计算结果，并

给出算法优化的理论分析过程。

1. 设 31. 4 是31.4159的近似值，则该近似值具有_____位有效数字；

2.设x?0,为避免有效数字位数的损失，2+x?2应改用等价算式________；

1xn?2In，I0?0.4055，则计算I20正确的算dx有递推公式In?1?3.积分In??02?xn?11法为_________________________________；

?123???4.矩阵A??231?的LU分解为L?____,U?_______；

?115???5.满足f(0)?1,6.计算

f(1)?3,f?(1)?2的二次插值多项式为N2(x)? ；

?baf(x)dx 的Simpson公式为_________________ , 代数精度为_____；

x x

7. 设函数内积为(f,g)?_________________ 8. 计算

100 4.6052 110 4.7005 120 4.7875 130 4.8675 1 ?10f(x)g(x)dx，则函数x2的最佳平方逼近一次多项式为

?101f(x)dx的梯形公式为T?[f(0)?f(1)]，其余项表达式为——————

2109. 用f(0),f?(0),f(1)的值近似计算?f(x)dx的公式为__________.

10.用f(x0),f(x0?h),f(x0?h)近似计算导数f?(x0)的三点公式为__________, 余项表达式为__________.

二．（15分）已知函数函数f(x)?lnx的函数表格为

分别用线性插值和抛物插值计算ln118的近似值并估计截断误差.

?9?10x1?x2?三（15分）设线性方程组为??x1?10x2?2x3??5,

??2x2?5x3?12?3. 写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代格式，讨论其收敛性；

2. 讨论求解方程组的Jacobi迭代格式的收敛性。 3. 对上述收敛格式的速度进行评价,说明理由.

四.（15分）设迭代函数g(x)满足条件: 对任意x?[a,b],有g(x)?[a,b]且g?(x)?L?1.证明

(1) 对任意初始值x0?[a,b],由xk?1?g(xk)产生的迭代序列{xk}都收敛于方程x?g(x)在[a,b]上的惟一实根x; (2) xk?x?***1xk?1?xk; 1?LLkx1?x0 (3) xk?x?1?L五．（15

分）求解初值问题??y??f(x,y)的改进Euler公式为

?y(a)?y0??K1?f(xk,yk)??K2?f(xk?h,yk?hK1), ?11?yk?1?yk?h[K1?K2]?221. 证明局部截断误差为O(h)；

3

?y??x2?y?12. 取h?0.2，对微分方程?用该方法迭代一步。

?y(0)?1180?六（10分）由圆的外接正n边形周长作为圆的周长近似,得到?的近似值ntan试利用

nn?4，n?8，n?16时?的三个近似值4.00000，3.31371，3.18260,构造一个?的近

似计算方法,得到?的更精确计算结果，并给出算法优化的理论分析过程。 5.满足

的Newton形式的二次插值多项式

，Newton形式的二次插值多项式为

；

计算中

6. 记， 用个点函数值计算 的复合Simpson公式为

_______________________________ , 代数精度为_____；

7. 设函数内积为_________________；

，则函数的最佳平方逼近一次多项式为

8. 用计算更高的公式9. 设

，则

的梯形公式

；

，中点公式得到代数精度

具有四阶连续导函数，积分近似计算公式

的

代数精度为 ，误差表达式为___________________；

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