武汉大学2009年攻读硕士学位研究生入学考-高代答案

武汉大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试

《线性代数（A卷）》试题答案

一、解：利用升阶法

1D=

a1a2a1?ana1?an00a2a1a2?ana2??ana1ana2an?ri?1?ai?r1(i?1,2,?n)0a12??0?01?a1?a2?a1a2??0?0????0na22????an2??e1?aj??ej?1(j?1,2,?n)

?0????2an1??i?1?00a1a2?ann0nn?1=(?1)?(???ai2) 0i?1??0?0????0?0?0????二、解：选项（A）、(C)正确，（B）（D）不正确。证明或举例如下：

（1） 因为rank（A）

?n线性相关

（2） 矩阵A=??10??10??1??0??1??0?，B=满足rank（A）

（3） 易知（A+B,A-B）=(A,B)?所以??EE?。由（1）知，（A,B）的列?是可逆矩阵，故rank（A,B）=rank（A+B,A-B）

E?E??向量组线性相关，因此（A+B,A-B）得列向量组是线性相关。

（4） 利用（2）的例子，可说明（D）不正确

三、因为A=8≠0，所以rank（A）=3，从而rank（A）=3，故rank（B）=rank(AQA)=rank

*

*1??121??12????0?1a?3（Q）=2而B=?35a?r2?3r,r?2r131?2?r3?r???????????????????????257??01?5????1??12??0?1a?3??，因?00a?2???此，a=-2。

四、解：（1）由题设，l≤n-rank(A),m≤n-rank(B),而rank(AB) ≤min(rankA,rankB),su所以

n-rank(AB)≥max(n-rank(A),n-rank(B)) ≥max(l-m).

另一方面，方程组（AB）X=0有n-rank(AB)个线性无关的向量，故所证结论成立。

（2）因l+m>n,所以rank(A+B)≤ rank(A)+ rank(B) ≤(n-l)+(n-m)

（3）设AX=0和BX=0的解空间分别为V1和V2,则dimV1≥l,dimV2≥m.根据设

V1?V2=0，所以V1与V2的和是直和，故dim(V1+V2)=dimV1+dimV2≥l+m=n=dimK*又

dim(V1+V2)≤dimK，所以dim(V1+V2)=dimK。从而有K=V1?V2，所证结论成立。 五、（1）据题设条件（Ⅰ）可知，Aα=α,其中α=(1,1,?1)T.现在令n?s矩阵B=(α, α,…，α)，则有B≠0，且AB=B。

（2）由（1）知（E-A）B=0且B≠0,所以rank(E-A)< rank(E-A)+rank(B) ≤n (3)用反证法。假设

，因为?>1.令?=(b,b,?b)T，并设b1=max（b1，b2，…，bn）

n***?≠0，所以bk>0.取A?=??的第k个等式，得?akjbj=?bk。于是，有

j?1bk

?≤1。

六、解：（1）设?1,?2,??n是A的特征值，用1+?，是E+A的特征值，因为A是正定矩阵，所以?i>0,i=1,2,…，n.故 det(E+A)=(1+?1)(1+?2)…(1+?n)>1

TTTTTT(2)设B?=??,其中?≠0，则?(A?BAB)?=?A?-(B?)A(B?)=(1??)?A? TTTT因为A和A-BAB都是正定矩阵 ，所以?A?>0，且?(A?BAB)?>0，故1-?>0

T即

?<1

七、解：矩阵A与B不一定相似，例如：

?2?0A=??0??0120000200??2??0?0，B=??00???2??0120000200??0? ?1?2?显然，A与B的特征多项式同为(??2)4，最小多项式(??2)3。但由于A由3个Jordan块构成，B由2个Jordan块构成，是两个不同的Jordan标准形，所以A与B不相似。 （2）必要性：因为A与B的相似，所以?0E?A与?0E?B。从而rank（?0E?A）=rank（?0E?B），故dimV?0?A??3?rank(?0E?A)?3?rank??0E?B??dimV?0?B?. 充分性，记A,B是Jordan标准形分别为Jn和Jm，因为A,B都只有一个特征值?0，所以Jn??0?和Jm都只能有以下3种可能性：???1?0???0??1?，???0???1?0???0???，???0????0???。 ?0??现在，由于dimV?0?A??dimV?0?B?，所以rank(?0E?A)?rank??0E?B?， 从而Jn?Jm，故A与B相似。 八、解：（1）??,?,??V，有(?,???)??????????,???????,?? ?????,????? =于是，有????????????????

??,????????,????????,??????????

同理可证：???R,???V，有???????????。因此r是V的线性变换。 （2）欲证Im???ker??，可等价地证明ker???Im??。

?????ker?,??Im?，则?????0，且存在??V，使得??????，所以

??,?????,???????????,???0

故??Im?，即???Im??，因此ker???Im??。 另一方面，????Im??，记????????????，则??Im?，故有??,???0因为

???????,????????,???????????,???0

所以?????0，??ker?，故?Im???ker?，因此ker???Im??。

九、解：（1）易知W的一个基为C1???10??01??00?，，C?C?23?????。

?0?1??00??10?（2）任取X???x11?x21Tx12???W，由于 x22?0???X??BX?XB???x11?x22?x12Tx12?x11?x21???W，所以W是A的不变子空间。

0?（3）经计算知??C1????0?1??01?，??C?C?C???232????C2?C3，

?10???10??0?1???C3??????C2?C3，所以，对于A在W上的限制变换?|W，有

10???000????|W?C1,C2,C3???C1,C2,C3???11?1???C1,C2,C3?A

?1?11????2???1,0,1?，矩阵A的特征值λ=0（二重），2属于λ=0的线性无关的特征向量为?1??1,1,0?，

属于λ=2的线性无关的特征向量为?3??0,?1,1?，令P???1,?2,?3?，则

TTTP?1AP?diag?0,0,2??A是对角矩阵，故由基变换公式?D1,D2,D3???C1,C2,C3?P可得 ?11???10??0?1?D1?C1?C2???，D2??C1?C3???，D3??C2?C3???，于是A在

0?11110??????基D1,D2,D3下的矩阵为对角矩阵A。 十、解：（1）取?n?m的自然基Eij,i,j?1,2,?,n，其中Eij是（i,j）元等于1，其它元均为0的

n?mn阶矩阵，则?A??，有A在这个基下的坐标恰好就是A的全部元素。

（2）令cij?fEij，则C?cij?? f??nj?1??ni?1n?m，?A?aij????n?m，有

fE?A????aij?i?j???i?1j?1nna?ijcijCC1??n?m，使f?A??Tr?AC1?，则 ?Tr? A，若

TrA??C?1C???0，利用A的任意性即得C?C1。

n?m（3）设W是?中全体迹为零的矩阵构成的线性子空间，易知dimW=n?1，且

2,i,?j1,?2, Eij,i?j?n,iiE?nnE?,i1?,2,?n,W1 是的一个基。注意到题设条件

?A,B??n?m，f?AB??f?BA?，以及Eij?EiiEjj?EjjEii,i?j

Eii?Enn?EinEni?EniEin,i?1,2,?,n?1 可知?B?W，有f?B??0。因此，?A??n?m，由于A?其中??1Tr?A?E?W，所以n1f?E???。 n11??f?A?Tr?A?E??0，即f?A??TrA?f?E?nn??Tr?A??， ??

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