L-2007广州一模官方权威分析(非常详细,共22页)

2007年广州市高中毕业班综合测试（一）数学试卷分析

广州市教育局教研室 陈镇民 广州市教育局教研室 曾辛金

一、统计分析 1．成绩统计

全市一模文平均分85.41分（一卷：38.81分 二卷：46. 60分）, 难度: 0.57. 全市一模理平均分93.29分（一卷：32.17分 二卷：61. 12分）, 难度: 0.62.

2．试题数据

一模成绩(由市招考办提供) 文科各题得分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 填空题 解答题 13.35 33.25 得分 4.57 4.26 4.11 4.51 4.28 3.32 4.64 3.71 2.49 2.42 理科各题得分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 填空题 解答题 22.42 38.72 得分 4.47 4.72 4.43 4.71 4.03 3.69 3.13 2.84 3．数学成绩前十名

一模（由市招考办提供）

理科 文科

姓名 成绩 姓名 成绩 学校 吴洋 144 叶键民 147 华附 王妍 143 简必希 145 省实 江宝灿 141 谢龙 145 执信

佘纲正 141 颜晖皓 145 仲元

刘俊生 141 杨永铿 145 3中

卢晓丹 141 程家豪 144 广雅

戴浩斌 141 黎丹 144 省实 谭丽琼 140 李浩麟 144 7中 张影岚 140 潘文 144 执信 周浩杰 140 黄浩斌 143 广雅 李文姗 140 陈腾泓 143 华附 李倩华 140

伍锦标 140

肖妍琳 140

刘芷艺 140

唐敏 140

刘惠花 140

1

学校 番禺中学 省实 广雅 2中 5中 6中 6中 省实 省实 2中 2中 6中 华附 华附 47中 其他 从化中学 二、试卷分析

1．依据考试大纲要求，适当关注不同版本教材特点

一模命题以《2007年普通高等学校招生全国统一考试(文、理科)考试大纲的说明（广东卷）》为依据，适当关注经全国中小学教材审定委员会初审通过的各版本普通高中课程标准实验教科书的特点.从知识点的层面上，是严格按照新课标的范围命题的，如在新大纲中，对解析几何的要求明显降低，并且在解析几何的教学要求上偏重于直线与圆的方程（要求“理解”，“掌握”），而对圆锥曲线，即使理科，除了掌握椭圆、抛物线的意义及简单性质外，其余只作了“了解”的要求，这次一模就显著地体现了这一演化精神，文、理科第20题就是这一背景的体现；又如立体几何的教学要求上，文科侧重于空间直线、平面的位置关系及特殊几何体（柱、锥、台、球）的表面积和体积的计算，而空间角和距离的计算问题不作要求，空间向量的应用文科也不作要求，这次一模严格按照新课标的要求来命立体几何题（如文9、文17）.考虑到不同版本教材的特点，文6（理5）题把不同的算法语言都作了说明，体现了人文关怀.从试题的结构上，严格遵照《2007年普通高等学校招生全国统一考试(文、理科)考试大纲的说明（广东卷）》的要求.

2．降低总体难度，确保送分

近三年，广东的高考数学卷在难度总体上逐年降低，全省平均分逐年提高，为了有利于新课改的顺利进行，预计2007年广东高考数学卷的难度还会进一步降低，基于这样的考虑，2007年广州市的一模试题在降低总体难度上作了较大的努力，主要表现在：

（1）增加基础题（得分题）的数量，如文科选择题中的1～8题、填空题（11、12题，选做题14、15题）、解答题的16题和17题；理科选择题中的1～5题、填空题（9～11题，选做题13～15题）、解答题的16题和17题等都是送分题，从考试的数据统计的结果来看，送分的目的达到了.

（2）整份试卷都由易到难来排列，不仅整卷有基本送分点，而且每道解答题都有基本的得分点.如文、理的第20、21两道题的第一个设问都属于基本知识的考查，容易得分.

3．突出能力考查

能力是指空间想像能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.

（1）加强对空间想象能力的考查

《考试大纲》指出：能根据条件作出正确的图形，根据图形想像出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.

空间想像能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力.主要表现为识图、画图和对图形的想像能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换.对图形的想像主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想像能力高层次的标志.

2004年广东卷试题中有4幅图形，2005年和2006年广东卷试题中都有5幅图形，2007年广州市一模试题中文科试题有7幅图，理科试题有6幅图，注重对空间想象能力的考查. 如理1、和文8等题虽然题目之中没有图形出现，但只要把题目中的文字语言和符号 语言转化为图形语言就可以很快的找出准确的答案；而理科第7题需要学生依据题目的条 件想象出函数f?x?的大致图像才能较快的作答，理12（文13）必须准确的画出平面区域D 的图形才能进行作答.

（理1）已知集合A???x,y?x?y?0,x,y?R?,B???x,y?x?y?0,x,y?R?,

则集合A?B的元素个数是

A．0 B. 1 C. 2 D. 3

2

(文8) 下列函数中，既是偶函数又在?0,???上单调递增的是

A. y?x B. y?cosx C. y?31x2 D. y?lnx

3（理7） 若函数f?x??x?3x?a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是

A．??2,2? B. ??2,2? C. ???,?1? D. ?1,???

?x?y?2?0,?（理12、文13）不等式组?x?y?2?0,所确定的平面区域记为D.若点?x,y?

?2x?y?2?0,?是区域D上的点，则2x?y的最大值是 ; 若圆O:x?y?r上的所有点都在区域D上,则圆O的面积的最大值是 .

又如理6（文9）要求考生应准确地把几何体的三视图还原成立体图形，即二维与三维之间的互化，同时应关注数量的变化情况，才能保证计算的准确性. （理6、文9）如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度： cm），

则此几何体的表面积是

A．80?162cm2 B. 96 cm2

22C. 96?162cm D. 112 cm

222????

理8（文10）看似考查学生的合情推理能力，实质上是考查学生对图形进行合理变 换的掌握程度，此题主要考查割补法的思想.图形变换的内涵很丰富，如图形的平移伸缩变换、对称变换、旋转变换（利用向量工具）、折叠、组合与分解等等各种变换，都值得大家关注的.理科第19题得分非常低，除了学生计算能力差之外，更主要的原因是学生对图形的组合与分解能力比较薄弱.

（理8、文10）如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为

ai?i?1,2,3,4?，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi?i?1,2,3,4?，

若

a11?a22?a33?a44则??ihi???k，

i?142Sk.类比以上性质,体积为V的三棱锥的第i个面的

面积记为Si?i?1,2,3,4?, 此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi?i?1,2,3,4?,

3

若

S11?4VKS22?S33?S44?K, 则??iHi??

i?14A.

B.

3VK C.

2VK D.

VK

（理19）

2如图所示，已知曲线C1:y?x与曲线C2:y??x?2ax?a?1?交于点O、A，

2直线x?t?0?t?1?与曲线C1、C2分别相交于点D、B，连结OD,DA,AB. （Ⅰ）写出曲边四边形 ABOD（阴影部分）的面积S与t的函数关系式S?f?t?； ．．．．．（Ⅱ）求函数S?f?t?在区间?0,1?上的最大值.

（2）注重理性思维能力的考查

数学中的理性思维能力是根据正确思维规律和形式对数学对象的属性进行分析综合、抽象概括和推理证明的能力.抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某一观点或作出某项结论.在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或作出新的判断.这就要求对数学规律进行观察、比较、分析与综合，要求会用合情推理进行猜想和归纳，再运用演绎推理进行证明，并能准确、清晰、有条理地进行表达.

如（文18）很多学生在解答第（Ⅱ）、（Ⅲ）问时不知如何说理，其主要原因是没有把握住问题的本质，如不善于把两个函数的交点问题与方程的解的问题进行等价转化. 又如（文21、理21）实质上是对数列是一种特殊函数这一特性的揭示. （文18）函数f(x)?2和g(x)?x的图像的示意图如图所示， 设两函数的图像交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x1?x2． （Ⅰ）请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数? （Ⅱ）若x1?[a,a?1]，x2?[b,b?1]，且

x3a,b??1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12?，

指出a，b的值，并说明理由； （Ⅲ）结合函数图像的示意图，判断f(6)，g(6)，f(2007)，

g(2007)的大小，并按从小到大的顺序排列．

4

如（文21、理21）

设Sn是数列?an?的前n项和，对任意n?N*总有Sn?qan?1?q?0,q?1?，m,k?N*,且m?k．

（Ⅰ）求数列?an? 的通项公式an； （Ⅱ）试比较Sm?k与

12?S2m?S2k?的大小；

2Sm?k与

（Ⅲ）当q?1时，试比较

1S2m?1S2k的大小．

（3）注重对运算求解能力的考查

《考试大纲》对数学运算能力的考查主要体现为：①会根据概念、法则和公式对数、式和方程进行正确运算、变形和数据处理；② 能根据问题的条件和结论，寻找与设计合理、简捷的运算途径；③ 能根据要求对数据进行估计和近似计算.

运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.

如（理19）为了求出曲边四边形ABOD的面积需要用到微积分和定积分基本定理以及对图形进行合理的组合，在计算S?f?t?在区间?0,1?上的最大值的时候，又需根据导函数的零点与给定的自变量t的取值范围通过比较才能确定最值，因而需要进行分类讨论. 又如（文、理20）第（Ⅱ）问的求解过程中，在得出k,b的关系式

?1?k??1?k212?kb?2?1?k?1?k2?b2?0之后，若善于把变量k与b分离出来

即

2k?1?k?1?k2?b2?1b?b?1b，则可以找到运算的方向，大部分学生没有掌握.

此题若采用方程的实根的分布来解答将比较复杂，也容易产生分类不全的弊病.

（文、理20）已知圆C：x?y?2x?2y?1?0，直线l：y?kx，且l与C相交于P、

22Q两点，点M?0,b?，且MP?MQ.

（Ⅰ）当b?1时，求k的值； （Ⅱ）当b??1,?，求k的取值范围.

再如（文19）题在化简函数的解析式时，若善于利用整体意识将可以大大降低运算量，提高运算的准确性.

?3??2? 5

（Ⅱ）求cos2?的值．

【考查目标】本小题主要考查三角函数的诱导公式及和(差)角公式等基础知识，

考查运算能力.

【命题溯源】《第三册》（选修Ⅱ）P125．练习1（1）改编． 【本题别解主要有】

别解一: cos2??cos??sin? ?别解二:?tan??2，?tan2??又tan??2,可知 k??22cos2??sin2?cos??sin?22?1?tan2?1?tan?2?1?41?4??35

2tan?1?tan?2?41?4??43

?4???k????35?2(k?Z)， 从2k???2?2??2k???(k?Z)

∴cos2???11?tan2?2．

【答卷分析】 平均分：9.55 难度：0.80 标准差：3.71 【本题出现的典型错误有】

① tan??2?sin??4cos??1?cos??4cos??cos?? 从而cos2??2cos??1?2?()?1??22222215

122325??5（重复平方）

② 由tan??2，则:tan2??, 知2?可在第二或四象限.

1?tan2?4333当2?在第二：cos2???; 当2?在第四：cos2??.

552tan??1?44

文17.（本小题满分14分）

如图6所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，

AB?BC?1,BB1?2，连结A1C 、BD.

（Ⅰ）求证：A1C?BD；

（Ⅱ）求三棱锥A1?BCD的体积． 图6 【考查目标】本小题主要考查空间线面关系，考查空间想象能力和推理运算能力. 【答卷分析】 平均分：10.11 难度：0.73 标准差：4.75 【本题别解主要有】

① 用三垂线定理证明(略); ② 先证平面ABCD?平面A1AC

?平面ABCD?平面A1AC?AC，正方形ABCD中，AC?BD，BD?平面ABCD ?BD?平面A1AC ?A1C?平面A1AC?BD?A1C

11

③ 向量法.

以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系， 则B(1,0,0),D(0,1,0) ,A1((0,0,2),C(1,1,0) .

A1C?(1,1,2),BD?(?1,1,0)?A1C?BD?0,?A1C?BD.

【本题出现的典型错误有】

① 叙述不规范：如“?”写成“?”等;

② 建立直角坐标系，但叙述不完整，或图形上不标方向; ③ 书写不规范;

④ 用等积法求，但找错高，常把OC当作三棱锥C?A1BD的高; ⑤ 计算VA1?BCD时，将A1O作为三棱锥A1?BCD的高; ⑥ 计算出错.

理17. （本小题满分14分）

如图5所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，

A1 B1 D1 C1 AB?BC?1,BB1?2，E是棱CC1上的点， 且CE?14CC1．

（Ⅰ）求三棱锥C?BED的体积；

（Ⅱ）求证：A1C?平面BDE． A E 【考查目标】本小题主要考查空间线面关系，考查空间想象能 力和推理运算能力. B 【答卷分析】 平均分：11.60 难度：0.80 标准差：3.41. 【本题别解主要有】

别解:（Ⅰ）平面BDE的法向量n?(1,1,2)，A1C?(1,1,2),

.D C 点C到平面BDE的距离d=|CE?n||n|?66,SBDE=

64,再计算体积.

（Ⅱ）∵A1C?(1,1,2),∴A1C?n,

..∴AC//n ∴AC⊥平面BDE. 【本题出现的典型错误有】

① 第（Ⅰ）问，没有交待高CE扣1分 ；

② 第（Ⅱ）问，A1C?BD和A1C?BE的运算过程没有造成扣分；

③ 向量垂直A1C?BD, A1C?BE,没有转化为直线垂直A1C⊥BD, A1C⊥BE造成扣分.

12

④ 体积公式记错, 如V?12Sh,V?14Sh,V?16Sh等.

文18.（本小题满分14分）

函数f(x)?2和g(x)?x的图像的示意图如图7所示， 设两函数的图像交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x1?x2． （Ⅰ）请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数? （Ⅱ）若x1?[a,a?1]，x2?[b,b?1]，且

x3a,b??1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12?，

指出a，b的值，并说明理由； （Ⅲ）结合函数图像的示意图，判断f(6)，g(6)，f(2007)，

g(2007)的大小，并按从小到大的顺序排列．

【考查目标】本小题主要考查空间线面关系，考查空间想象能力和推理运算能力． 【答卷分析】 平均分：6.49 难度：0.46 标准差：3.79 【本题别解主要有】观察下表可以得到解答： x G(x) F(x) 1 1 2 2 8 4 3 17 8 4 64 16 5 125 32 6 216 64 7 343 128 8 512 256 9 729 512 10 100 1024 【本题出现的典型错误有】

(1) ?x1?[a,a?1],x2?[b,b?1], ?x2?x1?[b?a,b?a]

∴ a=1 , b=6

∵ f(x)=g(x),

即2x?x3,当a?1时，x1?[1,2],f(1)?2,f(2)?4,g(1)?1,g(2)?8,符合题意

∵ 2?x，∴ log2x?1x3x3

2∴ 当x=1时，2离等于

3312的机会较小；当x=2时，23离等于2的机会较大；

当x=3时，22离等于3的机会较大；??

1012当x=10时，23离等于10的机会较大；当x=12时，23离等于12的机会较小；

∴ 综上所述，?x1?[2,3],x2?[9,10], ∴ a=2,b=9

令F(x)=2?x, ∵x∈[1,3],根据二分法得，F(1)>0,F(2)<0, ∴a=1.

13

x3(2) 函数符号表达不清楚; (3) 得分点把握不到位:如

① 计算出f(6)与g(6)的值,但没有结论f(6)

②f(2007)与g(2007)的比较说理不清楚或者没有说理过程

(4) 对“a=1,b=9”的理解不清,不会将问题进行转化,审题缺乏灵活性.

理18. （本小题满分12分）

甲箱的产品中有5个正品和3个次品， 乙箱的产品中有4个正品和3个次品． （Ⅰ）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；

（Ⅱ）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中， 然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．

【考查目标】本小题主要考查条件概率和互斥事件的概率计算，考查运用概率知识解决实

际问题能力.

【答卷分析】 平均分：7.65 难度：0.64 标准差：3.81 【本题别解主要有】

别解1：分3类，然后相加而得，解法如下：

记“从甲箱中取出2个产品为正品放入乙箱，然后再从乙箱中取出正品”为事件A， 则P（A）=

58?47?69?5215; 375525?)??; 879843记“从甲箱中取出2个产品为一个正品和一个次品放入乙箱，然后再从乙箱中取出正品” 为事件B，则P（B）=(?8?记“从甲箱中取出2个产品为次品放入乙箱，然后再从乙箱中取出正品”为事件C， 则P（C）=?3278?49?121;

5212584121712记“从乙箱中取出的产品为正品”为事件D，则A、B、C互斥，且D=A+B+C， 所以，P（D）=P（A+B+C）=

+

+

=

别解2：设从甲箱中取了2个产品放入乙箱后，乙箱中的正品数为X，则X的取值可能为4，

5，6，其中 X=4”表示“从甲箱中取出2个产品为次品放入乙箱”，则P（X=4）=

C32C82?328;

“X=5”表示“从甲箱中取出2个产品为一个正品和一个次品放入乙箱”，

则P（X=5）=

11C5?C3C28?1528;

“X=6”表示“从甲箱中取出2个产品为2个正品放入乙箱”，则P（X=6）=

C52C82

?514;

所以，乙箱中正品数X的期望为

E（X）=4?328?5?15所以，此时从乙箱中再取出一个产品为正品的概率为P =

28E(X)9?6??514712

?14728 14

别解3:（Ⅱ）用?表示从甲箱中取出正品数,则?的分布列为: ? P

0 1 11C5C32 C32C82 C82 C52C82 ?E??0?328?1?1528?2?1028?54

5?474故从乙箱中取出一个产品是正品的概率为P=. ?2?712【本题出现的典型错误有】 (1) 概念不清晰

② 学生对条件概率,互斥事件等基本慨念不清楚;

②甚至有的学生出现

C32A28等明显问题,体现出学生基本慨念的薄弱;

③少数学生还出现C15这样的形式.

27 (2) 计算不准确

①组合数计算C8=8?7=56等低级错误; ②分数相加

2121?2584?521?3984等.

(3) 答题不规范

①没有必要的文字说明;

③ 运算结果不追求最简,如:

14749等不化简; ,25284③ 第2问很多只考虑了“乙箱中取到正品”的概率，而未注意“甲箱中取来的正品” 产生的影响；

④ 忘记作答，扣1分.

文19.（本小题满分12分）

某工厂日生产某种产品最多不超过30件，且在生产过程中次品率p与日产量x（x?N） 件间的关系为

*?x?20,0?x?15,??200 p??2x?300?,15?x?30.??3000

15

每生产一件正品盈利2900元，每出现一件次品亏损1100元． （Ⅰ）将日利润y（元）表示为日产量x(件)的函数；

（Ⅱ）该厂的日产量为多少件时,日利润最大？

次品个数（注：次品率p??100%,正品率?1?p）

产品总数【考查目标】本小题主要考查函数和导数的应用，考查综合运用数学知识分析问题与解决实

际问题的能力．

【答卷分析】 平均分：1.80 难度：0.15 标准差：2.97 【本题出现的典型错误有】 1. 最大问题是计算问题： ① 列出表达式化简错误; ② 求最大值计算不正确. 如:

（a）当在x?(0,15],y??20(x? 学生知道x?值3300元

（b）当x?(15,30]时，会求导得x=25时，y’=0，但没有明确单调性，直接在x=25时取最大值.

（c）没有比较两段函数的最大值.

2. 对给定区间上的函数的最值概念不清楚 ① y??20x?2500x(0?x?15)

ymax?f(62.5)62.5?(0,15]无意义。 ymax?f(15)不讨论单调性 ② y??21252)?20?(1252)2

1252?15超出x的范围，但都没有明确交待就直接在x=15处取得最大

43x3?2500x(15?x?30)

2 y'??4x?250?0?0x? ?25 ymax?f(25)不讨论单调区间直接求最大值 ③ y??43x3?2500x(15?x?30)ymax?f(30)

3. 审题不清：不理解题意，出现的错误形式有：

??20x?2500?① y?2900(1?p)?1100p，漏乘x，化简后得：y??42

?x?2500??3② y?2900x?1100px，把正品数当成x;

③ y?[2900(1?p)?1100p]?100，对“100％”理解错，多乘100或10.

16

④ y?2900x(1?x?20200)?1100xx?20200?0.

理19. （本小题满分14分）

2如图6所示，已知曲线C1:y?x与曲线C2:y??x?2ax?a?1?交于点O、A，

2直线x?t?0?t?1?与曲线C1、C2分别相交于点D、B，连结OD,DA,AB. （Ⅰ）写出曲边四边形 ABOD（阴影部分）的面积S与t的函数关系式S?f?t?； ．．．．．（Ⅱ）求函数S?f?t?在区间?0,1?上的最大值.

【考查目标】本小题主要考查函数、微积分基

本定理和导数的应用，考查综合 运用数学知识分析和解决问题能力.

【答卷分析】 平均分：2.66 难度：0.19 标准差：3.15 【本题别解主要有】

别解：把三条直线方程求出来，然后用积分求解

SOBD?SABD?5322(?x?2ax?tx)dx??t?at?06t?at[(?t?2at?at?a22)(x?a)?t?at?a22

(x?a)]dx?t(t?a)2【本题出现的典型错误有】

① 只要算出A，D，B点的坐标就有2分，但有部分同学未能写出； ② 积分符号严重不规范：如“直接写“???x0t2?2ax”的情形经常出现，有些就干脆不写积分符号，

13x3?ax2|t0”

1212③ 有相当一部分学生将“曲边三角形OBD”看作普通三角形计算； ④ 在计算⊿ABD面积时，有很多同学没有意识到可以用“积分计算问题严重；

⑤ 在算出正确函数式的同学中，漏了“0

BD?AH”来算；

2)a与1”的关系进行讨论，而默认为

2)a<1”或“(2?2)a>1”；

2)a]时错误很多；

⑦ 计算f[(2?⑧ 在做对的同学中，要注意总结，即“综上所述，?”.

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文、理20.（本小题满分14分）

已知圆C：x?y?2x?2y?1?0，直线l：y?kx，且l与圆C相交于P、Q两点，点M?0,b?，且MP?MQ. （Ⅰ）当b?1时，求k的值； （Ⅱ）当b??1,?，求k的取值范围.

【考查目标】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查综合运用数学知识分析和解决问

题能力.

【答卷分析】 文平均分： 2.92 难度：0.21 标准差：2.69 理平均分： 4.35 难度：0.31 标准差：2.95 【本题别解主要有】

别解1: （Ⅱ）令f(b)=(1?k)b?2bk(1?k)?(1?k)

∴当b?(1,)时,f(b)?0有解

22222?3??2?32设f(b)=0的两解为b1,b2,则b1b2=1, ∴f(b)=0的一根小于1,另一根在(1,3)上 2?f(1)?0∴??3f()?0??2?1?k2?2k(1?k)?1?k2?0? 即?9(1?k2)?3k(1?k)?1?k2?0??4∴?k?1

??k?6?23,或k?6?23?1?k?6?23或k?6?23 ?k的取值范围是(1,6-23)?(6+23,??)

别解2:

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圆的标准方程为(x?1)2?(y?1)2?1,当k?0时直线y?kx一定与圆有公共点。那么我们可以设以线段PQ为直径的圆的方程为：x2?y2?2x?2y?1??(y?kx)?0，圆心（1+k2令x?0考查此圆与y轴的交点y2?(2??)y?1?0(此y即彼b)（1）当b?y?1时，则??0,所以k?133(2)如果b?(1,),即方程y2?(2??)y?1?0在(1,)内有解222那么首先须有：（2-?)?4?0,解之有??4或??0令f(y)?y2?(2??)y?1,如果??4，那么其对称轴3此时在(1,)内必无解。2所以只有??0，其对称轴2-?3?1，如果两根均在(1,)内，那么与两根乘积为1矛盾 222-?2?0,而f(0)?0,2+?k2-?,)在直线y?kx上，所以22?=2-2k3所以在(1,)内只有一个根231有f(1)f()?0??(1?6?)?0?????02612-2k解不等式???0即可。61+k2

【本题出现的典型错误有】

① 向量的有关书写不合格； ② 判别式没考虑； ③ 由条件“圆C：…”推到“k=1”缺乏过程； ④ 斜率的计算不判断，垂直X轴的判断为0；

⑤ 对于?(b)?b?用b?1和b?1b的单调性判断没有过程，或用极端情况代替一般情况：

32来代替所有情况；

⑥ 圆C的标准方程的配方过程并不理想，很多错了; ⑦ 用一般式计算圆心和半径； ⑧ 运算能力差.

文、理21.（本小题满分14分）

* 设Sn是数列?an?的前n项和，对任意n?N总有Sn?qan?1?q?0,q?1?，m,k?N*,

且m?k．

（Ⅰ）求数列?an? 的通项公式an； （Ⅱ）试比较Sm?k与

12?S2m?S2k?的大小；

2Sm?k与

（Ⅲ）当q?1时，试比较

1S2m?1S2k的大小．

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【考查目标】本小题主要考查数列的概念和不等式等知识，考查综合运用数学知识分析和

解决问题能力.

【答卷分析】 文平均分：1.67 难度：0.12 标准差：1.97 理平均分：2.91 难度：0.21 标准差：2.55 【本题别解主要有】．

1?q???(Ⅰ)?an??1?q?q?1??n?11?q??????,q?0 q?q?1??n ?a2m?0,a2k?0. ?a2m?a2k22??a2ma2k??am?k?am?k.

?q(a2m?a2k)?2212??qam?k?1.

?(S2m?S2k)?Sm?k. 1S2m1S2k21?tm?k1?1???2m1?t2k?1?t?? ?（Ⅱ）

2Sm?k?? ?21?t2m1?t2k?1?tm?k2?t2m?t2km?k2m2k????????1?t??1?t??1?t????22k2m?

?

【本题出现的典型错误有】

?1?t??1?t??1?t?m?k?1?tm?ktm?tk??0.

①`an?Sn?Sn?1?qan?1?qan?1?1中第二个加号错了； ② 公式出错：an?Sn?1?Sn；

③ 运算目标不明确：如由a1?S1?qa1?1得q?a1?1a1;

,但得不出a1?11?q;

④ 弄错了题意：用了公式Sn?qan?1?a1(1?qn)1?q⑤ 过程不完整：在证明第（Ⅱ）问的过程中，由(Ⅰ)得到Sn?qan?1?1?(qq?1)n

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