高一数学第四章三角函数同步辅导讲义(2)

中慧课外辅导中心试题教案

高一数学第四章三角函数同步辅导讲义

第3讲同角三角函数的基本关系和正弦、余弦的诱导公式

一、学习指导

1．同角三角函数的基本关系

（1）同角三角函数的基本关系中，sin??cos??1也称为平方关系.在三角式恒等

221?sin??cos?，变形时，该关系式常常用以对1进行代换，有时也要用到其变形的形式：1?cos2??sin2?.

sin??tan?也称为商数关系.在恒等变形时应熟cos?sin?sin?sin??tan??cos?，cos???tan?也可以看出，悉等式：.由当cos??0，

tan?cos?（2）同角三角函数的基本关系中，即??22?2?k?(k?Z)时tan?不存在.

（3）同角三角函数的基本关系中，tan??cot??1也称为倒数关系，由此还可以推出

cot??1cos??，cos??cot??sin?. tan?sin?（4）根据上述几个基本关系式，还可以得出两个倒数关系：sec??cos??1，csc??sin??1，和两个平方关系：

sin2?sin2??cos2?12tan??1??1???sec?， 222cos?cos?cos?2cos2?1cot??1??1??csc2?. 22sin?sin?2（5）上述几个基本关系中，必须注意：①它们都是同一个角的三角函数，因此②这几个恒等式都是在所取的角?使等式两边都有意义的sin2??cos2??1不一定成立；

前提下成立.

（6）同角三角函数的基本关系常用于：①已知角?的某个三角函数值，求角?的其他三角函数值；②化简三角函数式；③证明三角恒等式.

2．正弦、余弦的诱导公式

（1）正弦、余弦的诱导公式（公式二——公式五）可以概括为“函数名不变，符号看象限”，即公式前后函数的名称都相同，公式中的符号是把角?看成锐角时原函数值的符号.

（2）利用诱导公式一——公式五可以把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.

任意角的三角函数可以用公式一转化为0到360角?的三角函数.若?为第二象限角，用公式四可以转化为锐角三角函数；若?为第三象限角，用公式二可以转化为锐角三角函数；若?为第四象限角，用公式五可以转化为锐角三角函数.这些都体现了数学中将未知的问题转化为已知问题的化归思想.

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例1 已知sin??a?b(a?b?0)，求cos?和tan?. a?ba?b?0，?是第一象限角或第二象限角. a?b解 ∵a?b?0，∴sin?? 若?是第一象限角，cos??0， 2ab?a?b? cos??1?sin??1??， ??a?b?a?b?22a?b tan??sin?a?ba?b??ab. cos?2ab2ab 若?是第二象限角，cos??0， cos???1?sin2a?b α???a?b2abab. ，tan???2aba?b(a?b)2?(a?b)2?2ab 评析 （1）已知sin?由平方关系求cos?时，必须搞清?是第几象限角，以确定cos?的符号.若不能确定?的象限，应对角?进行讨论； （2）若本题为选择题或填空题，也可以用直角三角形确定cos?和tan?的绝对值，然后再根据它们的符号求出cos?和tan?的值. 1sin??2cos?2，求和sin??3sin??cos??2的值； 33sin??4cos?1 （2）已知sin??cos??，求tan?的值.

5例2 （1）已知tan???sin??2cos?1??2sin??2cos?tan??25cos?3?????； 解 （1）

3sin??4cos?3sin??4cos?3sin??49?1?3?????4cos??3? sin2??3sin??cos??2?sin2??3sin??cos??2(sin2??cos2?)

3sin2??3sin??cos??2cos2?3tan2??3tan??2? ? 22sin??cos?tan2??1?1??1?3?????3?????21?1?2?3??3? ??3?3. 21?1??1????19?3?1，两边平方，得 511222 sin??2sin??cos??cos??，sin??cos???，

2525 （2）由sin??cos??

2中慧课外辅导中心试题教案

sin??cos?12tan?12???? ，， 2222525sin??cos?tan??1432 12tan??25tan??12?0，∴tan???或tan???.

341评析 （1）若由tan???先求sin?和cos?的值再代入求值，因需讨论?的象限，

3解题过程显得比较繁琐.

（2）要注意1?sin??cos?的应用，在上述解法中，运用这个平方关系，就将

22sin2??3sin??cos??2化为关于sin?和cos?的二次式，从而变形为关于tan?的函数

式.

例3 化简：（1）

1?sin??cos?1?sin??cos??；

1?sin??cos?1?sin??cos?sin??cos?sin2?? （2）. 2sin??cos?1?tan?[(1?sin?)?cos?]2?[(1?sin?)?cos?]2解 （1）原式? 22(1?sin?)?cos?2[(1?sin?)2?cos2?]2(2?2sin?)? ? 2221?2sin??sin??cos?2sin??2sin? ?4(1?sin?)2??2csc?.

2sin?(1?sin?)sin?sin??cos?sin2?cos??sin?sin2? （2）原式? ???222cos??sin?cos??sin?cos??sin?sin?1?cos2?cos2?cos2?sin2???cos??sin?. ?cos??sin?cos??sin?评析 在化简三角函数式和证明三角恒等式时，常利用商数关系和倒数关系，将tan?、cot?、sec?、csc?全部化为sin?和cos?的式子，再进行化简和证明.

例4 求证：（1）sinx?cosx?1?3sinx?cosx； （2）

66222(sinx?cosx)sinxcosx??.

1?sinx?cosx1?cosx1?sinx224224证：（1）左边?(sinx?cosx)(sinx?sinx?cosx?cosx) ?(sinx?cosx)?3sinx?cosx?右边 ∴等式成立.

22222中慧课外辅导中心试题教案

（2）

2(sinx?cosx)?sinxcosx?????

1?sinx?cosx?1?cosx1?sinx?2(sin?cosx)sinx?sin2x?cosx?cos2x ??1?sinx?cosx(1?sinx)(1?cosx)?2(sinx?cosx)(sinx?cosx)(1?sinx?cosx) ?1?sinx?cosx(1?sinx)(1?cosx)(sinx?cosx)[2(1?sinx)(1?cosx)?(1?sinx?cosx)2] ?(1?sinx?cosx)(1?sinx)(1?cosx)(sinx?cosx)(2?2sinx?2cosx?2sinx?cosx?1?sin2x?cos2x?2sinx?2cosx?2sinx?cosx)?(1?sinx?cosx)(1?sinx)(1?cosx)?0，

∴等式成立

评析 证明三角恒等式时，既可以从左边证到右边，或从右边证到左边，也可以两边同时进行变形，有时也需要如第（2）题那样作差，证明差为零，总之，要根据具体情况灵活选用方法.

sin4ycos4ysin4xcos4x??1. 例5 已知??1，求证：

sin2xcos2xsin2ycos2y分析 若能由已知条件求出角x和y的三角函数的关系，再代入欲证的等式左边，将它化为同一个角的三角函数的式子，就可以利用同角三角函数的关系证明等式.

sin4xcos4x424222证明 ∵，∴sinx?cosy?cosx?siny?siny?cosy. ??122sinycosy sinx(1?siny)?(1?sinx)?siny?siny?(1?siny).

4222222sin4x?sin4x?sin2y?sin2y?2sin2x?sin2y?sin4x?sin2y?sin2y?sin4y，

sinx?2sinx?siny?siny?0，(sinx?siny)?0. ∴sinx?siny，1?cosx?1?cosy，cosx?cosy.

2222224224222sin4ycos4ysin4xcos4x????sin2x?cos2x?1. ∴2222sinxcosxsinxcosx例6 已知A、B、C为?ABC的内角，求证：sin(A?B)?sinC，

cos(A?B)??cosC，tan(A?B)??tanC.

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证明 在?ABC中，∵A?B?C??，∴A?B???C.

∴sin(A?B)?sin(??C)?sinC， cos(A?B)?cos(??C)??cosC，

tan(A?B)?sin(A?B)??tanC.

cos(A?B)3，求sin(6???)和cos(7???)的值. 43解 tan(??9?)?tan(????10?)?tan(???)?tan???，

4例7 已知??(0,?)，tan(??9?)?? ∵??(0,?)，∴?是第二象限角.

sin2x125?3? tan??1?， ?1????1???2216cosxcosx?4?22 ∴cos??2164?3??4?3，cos???，sin??tan??cos??????????， 255?4??5?53， 54 cos(7???)?cos(???)??cos??.

5 ∴sin(6???)?sin(??)??sin???sin2(3???)?cos2(???)例8 化简：?sin(5???)?cos(3???)

sin(5???)?cos(6???)sin2(???)?(?cos?)2解 原式??sin(???)?cos(???)

sin(???)?cos(??)sin2??cos2??sin??cos? ??sin??cos? ??(cos??sin?)?sin??cos? ??2cos?.

例9 求值：sin480?cos(?390)?sin(750)?cos420?tan(?675)?cot(?315) 解 原式?sin120?cos(?30)?sin30?cos60?tan45?cot45 ?sin60?cos30???????????????11??1?1 22

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?32?32?14?1. ?8???7??例10 已知tan(??3?sin?????2cos????5)??3，求?5??5?的值. 3sin??17??5?????2????cos??5????解 设??3?5??，则tan???3. 原式?sin(???)?2cos(??2?)?sin??2cos3sin(4???)?cos(???)???3sin??cos? ??tan??23??3tan??1?29?1?12.

巩固练习

一、选择题

1．已知

cos2??4sin??1?2，则(sin??1)(2cos??3)的值等于（ ） A．?6 B．6 C．?1 D．1 2．已知?是三角形的一个内角，且sin??cos??56，则这个三角形的形状是（ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．如果角?满足条件sin??2k?22?k?6，cos??kk?6，则角?是（ ） A．第一或第三象限角 B．第二或第四象限角

C．第二象限角 D．第三象限角

4．已知sin(36???)?1213，则sin(864???)?2sin(396???)的值等于（ ） A．?3613 B．1213

C．?123613 D．?1212或?13

5．已知(sin??cos?)2?53，则tg?的值（ ）

A．等于

3?53?2 B．等于53?52或2

） 中慧课外辅导中心试题教案

C．等于

5?75?7或 D．不存在 226．若四边形ABCD内接于圆，则下列式子中必定成立的是（ ）

A．sinA??sinD B．sinB??sinD C．cosA??cosD D．cosB??cosD 二、填空题

7．求值

：

sin(?870?)?cos930??cos(?1380?)?sin(?690?)?tan585??________________.

8．已知0????2g?(si?)n?m，lg，且l11?n，则

1?sin?lgco??s_______________.

1，sin(???)??1，则sin(??2?)?______________. 410．已知tan??3，则sin??cos??_______________.

9．已知sin??三、解答题

11．化简：

（1）sin??tan??cos??cot??2sin??cos?；

22sin2??cos4??sin4??cos2?（2）.

1?sin4??cos4? 12．

（1） 已知：cos?

（2） 已知：sin(???)?cos(???)?x，tanx?cotx?y，求x和y满足的关系

式.

21?????4???????a(a?1)，求cos????和cos?????的值.

5??5??5??中慧课外辅导中心试题教案

13．

（1） 求证：[(1?sin2?)2?cos4?]?[(1?cos2?)2?sin4?]?16sin2??cos2?；

2222（2） 已知：asin??bcos??c，acos??bsin??d，求证：a?b?c?d.

14．已知sinx?cosx?sinx?cosx?1，求：sinx?cosx和sinx?cosx的值.

参考答案

[答案]

一、1．A 2．B 3．B 4．C 5．B 6．D 二、7．

m?n15?310 8． 9． 10．?

4245三、11．（1）sec??csc?；（2）

12．（1）cos?1 2221??4???2（2）x?1? ?????a，cos??????a；

y5??5??13．略

14．sinx?cosx?1，sinx?cosx?0. [提示]

22一、1．1?sin??4?2sin??2，sin??2sin??3?0，sin??1或?3，

22∵sin??1?cos??1，?1?sin??1，∴sin??1，cos??0.

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25112?0，∵0????，sin??0， 2．(sin??cos?)?，2sin??co???3636∴cos??0，?为钝角.

223．由sin??cos??1，推出k??1或k?7.

5．(sin??cos?)?251tan?1?，sin??cos??，， 233tan??13tan2??3tan??1?0，tan??3?5. 26．由四边形内接于圆，B?D??. 二、8．m?n?lg(1?sin?)?lg1?lgcos2?.

1?sin?9．由sin(???)??1，??????2?2k?(k?Z)，

sin(??2?)?sin[2(???)??]?sin(4k?????)?sin(???)?sin?.

10．由tan??3，可得sin??310110，cos??110，

或sin???310，cos???.

sin3?cos3?sin4??cos4???2sin??cos???2sin??cos? 三、11．（1）原式?cos?sin?sin??cos?

(sin2??cos2?)2?2sin2??cos2?1??2sin??cos???sec??csc?.

sin??cos?sin??cos?sin2??cos2?(cos2??sin2?)sin2??cos2?1 （2）原式?. ??2224422(sin??cos?)?sin??cos?2sin??cos?212．（1）cos???4?????????????cos??????????cos??????a， ?5??5???5???21????21????????cos?????cos??????cos?4????????cos?????a.

5???5??5???5?? （2）y?tan??cot??sin?cos?1??， cos?sin?sin??cos?x2?(?sin??cos?)2?1?2sin??cos??1?2. y

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13．（1） 左

边

2?(1?sin2??cos2?)(1?sin2??cos2?)(1?cos2??sin2?)(1?c ?2?2sin??2?2cos??16sin??cos? （2）c2?d2?(asin??bcos?)2?(acos??bsin?)2 ?a2(sin2??cos2?)?b2(cos2??sin2?)?a2?b2

2222??s2?)

t2?114．设sinx?cosx?t，则1?2sinx?cosx?t，sinx?cosx?，

22t2?1t??1，t2?2t?3?0，t?1或t??3，∵sinx??1，cosx??1，

2∴t?sinx?cosx??2，∴t?1，即sinx?cosx?1，sinx?cosx?0

第4讲两角和与差的正弦、余弦、正切

一、学习指导

1．两角和与差的余弦

（1）两角和与差的余弦公式：

cos(???)?cos??cos??sin??sin?(C???) cos(???)?cos??cos??sin??sin?(C???)

它们的特点是：左边为两角和与差的余弦，右边含有单角的余弦和正弦同名函数的积；左边两个角之间的符号与右边两项间的符号相反.

（2）不仅要会从左边到右边运用公式，也要熟悉从右边到左边运用公式.在运用公式时，，也可以是“复角”，应根据题中的具体情况选定. ?和?不一定是“单角”

（3）应用公式C???可以将初中时学过的诱导公式sin????????cos?和?2????cos?????sin?中角?只能为锐角的条件限制取消，推广到?可以是任意角.

?2?2．两角和与差的正弦

（1）两角和与差的正弦公式

sin(???)?sin??cos??cos??sin?，(S???)

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