南师大12月考

江苏南京师大附中2015届高三12月段考试卷

数学 2014.12.30

注意事项：

本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．

．．．．．．．．1．在复平面内，复数－3＋i和1－i对应的点间的距离为 ▲ ．

2．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是 ▲ ．

3．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：

花期(天) 个数 11～13 20 14～16 40 17～19 30 20～22 10 则这种花卉的平均花期为 ▲ 天．

ππ5π3

－，?，则cos?α＋?＝ ▲ ． 4．若sin α＝，α∈?4??22??5

5．直线xcos α＋3y＋2＝0(α∈R)的倾斜角的范围是 ▲ ．

6．设函数f(x)是奇函数且周期为3，f(－1)＝－1， 则f(2014)＝ ▲

7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 则输出i的值为 ▲ ．

8．若等边三角形ABC的边长为23，平面内一点M满足

12CM?CB?CA，则MA?MB＝ ▲ ．

63

南师附中高三12月段考数学试卷 总 4 页第 1 页

9．有下面四个判断：

①命题“设a、b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题； ②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题；

③命题“?a、b∈R，a2＋b2≥2(a－b－1)”的否定是“?a、b∈R，a2＋b2≤2(a－b－1)”； 2

④若函数f(x)＝ln?a＋x＋1?的图象关于原点对称，则a＝3．

??

其中正确的有 ▲ 个．

x2y2

10．若双曲线2－＝1的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的

a3实轴长为 ▲ ．

11135

11．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，

23n22

观察上述结果，可推测一般的结论为 ▲ ．

12．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，

SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为 ▲ ．

13．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为 ▲ ．

14．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x) 成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2．则数列的通项公式an＝ ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．．

说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

1

设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且b2＝ac．

23

(1)求证：cos B≥；

4

(2)若cos(A－C)＋cos B＝1，求角B的大小．

南师附中高三12月段考数学试卷 总 4 页第 2 页

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知∠ACB＝90°，BC＝CC1，E，F分别为AB，AA1的中点．

(1)求证：直线EF∥平面BC1A1； (2)求证：EF⊥B1C．

17．(本小题满分14分)

经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f(t)（万人）．．与时间t（天）的函数关系近似满足f(t)?4?，人均消费g(t)（元）与时间t（天）的．函数关系近似满足g(t)?115?|t?15|．

（Ⅰ）求该城市的旅游日收益w(t)（万元）与时间t(1?t?30,t?N)的函数关系式； ．．

（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）． ．．

18.（本小题满分16分）

1tx2y2

已知抛物线D的顶点是椭圆C：＋＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．

1615

（1）求抛物线D的方程；

（2）过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点． ① 若直线l的斜率为1，求MN的长；

② 是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如 果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．

南师附中高三12月段考数学试卷 总 4 页第 3 页

19．（本小题满分16分） 设函数f(x)?x?1?alnx(a?R). x（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k?2?a?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分16分）

记数列?an?的前n项和为Sn（n?N*），若存在实常数A，B，C，对于任意正整数n，都有an?Sn?An2?Bn?C成立．

（1）已知A?B?0，a1?0，求证：数列?an?（n?N*）是等比数列；

（2）已知数列?an?（n?N*）是等差数列，求证：3A?C?B； （3）已知a1?1，B?0且B?1，B?C?2．设?为实数，若?n?N*，

求?的取值范围．

an??， an?1

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南京师大附中2015届高三12月段考试卷

数 学 2014.12.30

注意事项：

本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．

．．．．．．．．1．在复平面内，复数－3＋i和1－i对应的点间的距离为 ▲ ． 解析 －3＋i－1＋i|＝|－4＋2i|＝(－4)2＋22＝20＝25. 答案 25

2．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是 ▲ ．

解析 设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中1π×122π

的概率为＝.

48π

答案 8

3．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：

花期(天) 个数 11～13 20 14～16 40 17～19 30 20～22 10 则这种花卉的平均花期为 ▲ 天． 1

解析 x＝(12×20＋15×40＋18×30＋21×10)＝15.9(天)．

100答案 15.9

ππ5π3

－，?，则cos?α＋?＝ ▲ ． 4．若sin α＝，α∈?4??22??5ππ34－，?，sin α＝，所以cos α＝， 解析 因为α∈??22?555π22

α＋?＝－(cos α－sin α)＝－. 所以cos?4??210答案 －

2

10

5．直线xcos α＋3y＋2＝0(α∈R)的倾斜角的范围是 ▲ ． 解析:由xcos α＋3y＋2＝0得直线斜率k＝－3

cos α. 3

南师附中高三12月段考数学试卷 总 4 页第 5 页

∵－1≤cos α≤1，∴－33≤k≤. 33

33

≤tan θ≤. 33

设直线的倾斜角为θ，则－

πππ5π

0，?∪?，π?上的图象可知，0≤θ≤或≤θ<π. 结合正切函数在??2??2?66

6．设函数f(x)是奇函数且周期为3，f(－1)＝－1，则f(2014)＝ ▲ ． 解析 因为f(－x)＝－f(x)，f(x＋3)＝f(x)，f(－1)＝－1，所以f(1)＝1，f(2 014)＝f(3×671＋1)＝f(1)＝1. 答案 1

7．阅读下面的程序框图，运行相应的程序， 则输出i的值为 ▲ ． 解析 第一次运行结束：i＝1，a＝2； 第二次运行结束：i＝2，a＝5； 第三次运行结束：i＝3，a＝16；

第四次运行结束：i＝4，a＝65，故输出i＝4. 答案 4

8．若等边三角形ABC的边长为23，平面内一点M满足CM?＝ ▲ ．

解析 建立直角坐标，由题意，设C(0,0)，A(23，0)，B(3，3)，则M?＝?

31??35?

，－·－，＝－2.

2??22??2

331?

，MA?MB?2，2?

12CB?CA，AM?B则M63答案 －2

9．有下面四个判断：

①命题“设a、b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题； ②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题；

③命题“?a、b∈R，a2＋b2≥2(a－b－1)”的否定是“?a、b∈R，a2＋b2≤2(a－b－1)”； 2??a＋④若函数f(x)＝ln

?x＋1?的图象关于原点对称，则a＝3． 其中正确的有 ▲ 个．

南师附中高三12月段考数学试卷 总 4 页第 6 页

解析 对于①：此命题的逆否命题为“设a、b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，①错误；“p或q”为真，则p、q至少有一个为真命题，②错误；“?a、b∈R，a2＋b2≥2(a－b－1)”的否定是“?a、b∈R，a2＋b2<2(a－b－1)”，③错误；对于④：若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数，则f(0)＝ln(a＋2)＝0，解得a＝－1，④错误． 答案 0

x2y2

10．若双曲线2－＝1的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的

a3实轴长为 ▲ ． 答案 2

x2y23

解析 双曲线2－＝1的渐近线方程为y＝±x，即3x±ay＝

a3a0，圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2,0)，半径为r＝2，如图，由 圆的弦长公式得弦心距|CD|＝22－12＝3，另一方面，圆心 x2y2

C(2,0)到双曲线2－＝1的渐近线3x－ay＝0的距离为d＝

a3|3×2－a×0|23232

＝22，所以2＝3，解得a＝1，即a 3＋a3＋a3＋a＝1，该双曲线的实轴长为2a＝2.

11135

11．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，

23n22

观察上述结果，可推测一般的结论为 ▲ ．

n＋2

解析 由前四个式子可得，第n个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为，即可得

2n＋2

一般的结论为f(2n)≥. 2n＋2

答案 f(2n)≥ 2

12．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为 ▲ ． 答案

2 6

解析 由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，

南师附中高三12月段考数学试卷 总 4 页第 7 页

所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍. 在三棱锥O－ABC中，其棱长都是1，如图所示， S△ABC＝

33×AB2＝，高OD＝44

12－?

63?2

＝， ?3?3

1362

∴VS－ABC＝2VO－ABC＝2×××＝.

3436

13．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为 ▲ ．

解析 若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；

3131

当x>0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥2－3.设g(x)＝2－3，则g′(x)＝

xxxx3(1－2x)

， x4111

0，?上单调递增，在区间?，1?上单调递减，因此g(x)max＝g??＝4，所以g(x)在区间??2??2??2?从而a≥4.

31

当x<0，即x∈[－1,0)时，同理a≤2－3. xxg(x)在区间[－1,0)上单调递增， ∴g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4， 综上可知a＝4. 答案 4

14．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x) 成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2．则数列的通项公式an＝ ▲ ． an＋1an?an?＋＋

解析 由an＋1＝f(2n1)＝2f(2n)＋2nf(2)＝2an＋2n1，得n＋1＝n＋1，所以?2n?是首项为1，

2??2an公差为1的等差数列，所以n＝n，an＝n·2n.

2答案 n·2n

南师附中高三12月段考数学试卷 总 4 页第 8 页

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．．

说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

1 设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且b2＝ac.

23

(1)求证：cos B≥；

4

(2)若cos(A－C)＋cos B＝1，求角B的大小．

a2＋c2－b2

解 (1)因为cos B＝ ……………2分

2ac11

a2＋c2－ac2ac－ac2233

＝≥＝，所以cos B≥ ……6分

2ac2ac44(2)因为cos(A－C)＋cos B＝cos(A－C)－cos(A＋C)＝2sin Asin C＝1， 1

所以sin Asin C＝ .……………8分

2111

又由b2＝ac，得sin2B＝sin Asin C＝， ……………10分

2243

又B∈(0，π)，且cos B≥>0,知B为为锐角 ……………12分

41π

故sin B＝，得B＝ .……………14分

26

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知∠ACB＝90°，BC＝CC1，E，F分别为AB，AA1的中点．

(1)求证：直线EF∥平面BC1A1； (2)求证：EF⊥B1C.

证明 (1)由题知，EF是△AA1B的中位线， 所以EF∥A1B……………2分

由于EF?平面BC1A1，A1B?平面BC1A1，所以EF∥平面BC1A1. ……………6分

(2)由题知，四边形BCC1B1是正方形，所以B1C⊥BC1. ……8分 又∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，所以A1C1⊥C1B1.

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面A1C1B1，A1C1?平面A1C1B1，从而A1C1⊥CC1， 又CC1∩C1B1＝C1，CC1，C1B1?平面BCC1B1，所以A1C1⊥平面BCC1B1 又B1C?平面BCC1B1，所以A1C1⊥B1C. . ……………10分

南师附中高三12月段考数学试卷 总 4 页第 9 页

因为A1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1?平面BC1A1，所以B1C⊥平面BC1A1. ……………12分 又A1B?平面BC1A1，所以B1C⊥A1B.

又由于EF∥A1B，所以EF⊥B1C. ……………14分

17．(本小题满分14分)

经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f(t)（万人）．．与时间t（天）的函数关系近似满足f(t)?4?，人均消费g(t)（元）与时间t（天）的．函数关系近似满足g(t)?115?|t?15|.

（Ⅰ）求该城市的旅游日收益w(t)（万元）与时间t(1?t?30,t?N)的函数关系式； ．．

（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）. ．．

解：（Ⅰ）由题意得，w(t)?f(t)?g(t)?(4?)(115?|t?15|) ………5分

1t1t1?*(4?)(t?100),(1?t?15,t?N)??t （Ⅱ）因为w(t)?? …………………7分

1?(4?)(130?t),(15?t?30,t?N*)?t?125)?401?4?225?401?441 ①当1?t?15时，w(t)?(4?)(t?100)?4(t?tt25 当且仅当t?，即t?5时取等号 …………………10分

t1130?4t)，②当15?t?30时，w(t)?(4?)(130?t)?519?(可证w(t)在t?[15,30]tt1上单调递减，所以当t?30时，w(t)取最小值为403 ……………………13分

311 由于403?441，所以该城市旅游日收益的最小值为403万元 ………14分

33

18.（本小题满分16分）

x2y2

已知抛物线D的顶点是椭圆C：＋＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．

1615

（1）求抛物线D的方程;

（2）过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点． ① 若直线l的斜率为1，求MN的长;

② 是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如 果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．

2解：(1)由题意,可设抛物线方程为y?2px?p?0?. 由a?b?4?3?1,得c?1.

22?抛物线的焦点为?1,0?,?p?2. ?抛物线D的方程为y2?4x…………… 4分

(2)设A?x1,y1?,B?x2,y2?.

?y?x?42y?x?4l① 直线的方程为：, 联立?2,整理得:x?12x?16?0

?y?4xA(6?25,2?25),A(6?25,2?25)?AB=

?x1?x2?2??y1?y2?2?4109分

南师附中高三12月段考数学试卷 总 4 页第 10 页

?x1?4y1?,?,过E作直线x?a的垂线,垂足为22??222F,设直线m与圆E的一个交点为G.可得: FG?EG?FE, ……………11分

② 设存在直线m:x?a满足题意,则圆心E?即FG2?EA?FE22222?x1?4??y1=

4?x?4???1?a? ?2?212?x?4???x1?4?=y1?1?a?x1?4??a2

44=x1?4x1?a?x1?4??a2=?a?3?x1?4a?a2……………………………… 14分

2当a?3时, FG?3,此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值23. 因此存在直线m:x?3满足题意 ……………………………………16分 19．（本小题满分16分） 设函数f(x)?x?21?alnx(a?R). x（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k?2?a?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 解：（1）f(x)的定义域为(0,??).

1ax2?ax?1……………………………………2分 f'(x)?1?2??2xxx2

令g(x)?x2?ax?1,其判别式D=a-4.

当

|a|?2时,?0,f'(x)?0,故

f(x)在(0,??)上单调递

增．……………………………………3分

0,??)上，f'(x)?0， 当a??2时,>0,g(x)=0的两根都小于0，)在(0,在(故f(x单调 递增．……………………………………5分

22a?a?4a?a?4，

当a?2时,>0,g(x)=0的两根为x1?,x2?22)??上

当0?x?x1时， f'(x)?0；当x1?x?x2时， f'(x)?0；当x?x2时， f'(x)?0，故f(x)分别 在(0,x1),(x2,??)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减．………………8分 （2）由（1）知，a?2． 因为f(x1)?f(x2)?(x1?x2)?x1?x2?a(lnx1?lnx2)，所以 x1x2南师附中高三12月段考数学试卷 总 4 页第 11 页

k?f(x1)?f(x2)lnx1?lnx21?1??a

x1?x2x1x2x1?x2lnx1?lnx2……………………………………10分

x1?x2又由(1)知，x1x2?1．于是k?2?a若存在a，使得k?2?a.则

lnx1?lnx2?1．……………………………………12分

x1?x21?2lnx2?0(x2?1)(*) x2即lnx1?lnx2?x1?x2． 亦即x2?再由（1）知，函数h(t)?t??2lnt在(0,??)上单调递增，而x2?1，

1tx2?所以

11?2lnx2?1??2ln1?0.x21与(*)式矛盾．故不存在a，使得k?2?a..16分

20．（本小题满分16分）

记数列?an?的前n项和为Sn（n?N*），若存在实常数A，B，C，对于任意正整数n，都有an?Sn?An2?Bn?C成立．

（1）已知A?B?0，a1?0，求证：数列?an?（n?N*）是等比数列；

（2）已知数列?an?（n?N*）是等差数列，求证：3A?C?B； （3）已知a1?1，B?0且B?1，B?C?2．设?为实数，若?n?N*，

的取值范围．

解：（1）由A?B?0，得an?Sn?C（n?N*）， ①

从而an?1?Sn?1?C． ② ………2分 ②－①式得an?1?2an，

又a1?0，所以数列?an?为等比数列． ………4分 （2）由数列?an?是等差数列，可令公差为d，则an?a1?(n?1)d,Sn?na1? 于是由an?Sn?An2?Bn?C得

n(n?1)d． 2an??，求?an?1d2dn?(a1?)n?a1?d?An2?Bn?C． 22南师附中高三12月段考数学试卷 总 4 页第 12 页

d?A?,?2?d?由正整数n的任意性得?B?a1?, ………6分

2??C?a1?d.??从而得3A?C?3dd?a1?d?a1??B． ………8分 22（3）由a1?1，B?C?2，及an?Sn?An2?Bn?C，得2a1?A?B?C，即2?A?B?C， 则有A?0． ………9分

于是an?Sn?Bn?(2?B)，从而an?1?Sn?1?B(n?1)?(2?B)， 1相减得2an?1?an?B，an?1?B?(an?B)，

2又a1?1，B?1，则a1?B?0， 所以an?B?(a1?B)11，即a?(1?B)?B． ………12分 n2n?12n?11?Bn?1an1?B2于是． ??1?an?1(1?B)1?B(1?B)?2nB2n(1?B)由B?0且B?1，下面需分两种情形来讨论． （i）当0?B?1时，1?B?0，则式子

所以，对?n?N*,(1?B的值随n的增大而减小，

(1?B)?2nBan的最大值在n?1时取得，即an?1an1?B2)max??1??．于是，对于?n?N*, nan?1(1?B)?2B1?Bana22?，又n??，???． ………14分 an?11?Ban?11?Bn （ii）当B?1时，由(1?B)?2B?(1?B)?2B?1?B?0，2B?2B?2B?1，

n得?1?1?B?0．所以，对于?n?N*， n(1?B)?2B0?an1?B?1??1． ① an?1(1?B)?2nBan1?B?1???, an?1(1?B)?2nB假设??1，则有??0，且

得2?n(B?1)(2??)(B?1)(2??),即n?log2，

(1??)B(1??)B南师附中高三12月段考数学试卷 总 4 页第 13 页

这表明，当n取大于等于log2(B?1)(2??)a的正整数时，n??不成立，

an?1(1??)B与题设不符，矛盾．所以??1．又由①式知??1符合题意． 故B?1时，??1．

综上所述，当0?B?1时，??2；当B?1时，??1． ……16分 1?B

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