聚合物流变学全套公式

???1(i?j)??eiej??1克罗内克尔符号 ij?0(i?j)

九个分量

?11?12?13??100? ??????010???2223? ?21?? ???31?32?33????001??

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??e1?e2?e3?ei2、哈密顿算符 ?x1?x2?x3?xi

用于矢量运算时

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???iei

其中，?i???xi

3、应力张量

应力张量是应力状态的数学表示。数学上应力为二阶张量，三维空间中需九个分量（三个正应力分量和六个剪应力分量）来确定。

?F ??lim?s?0?s

??xx?xy?xz???用应力张量形式表示为 ??yx?yy?yz???zx?zy?zz???

其中， 第一个下标表示力的作用面的法线方向，第二个下标表示力作用的方向，如σxy 表示作用在与x垂直的平面上的应力分量，方向指向y。当i=j时，表示应力方向与外法线方向相同，称为应力张量的法向分量， σxx σyy σzz 分别垂直于与x、y、z垂直的平面上。当i≠j时，表示应力分量作用在相应面的切线方向上，称为剪切分量，如σxy σyz σzx。

按照Caucky应力定律，在平衡时物体受的合外力和合外力矩等于0，所以平衡时应力张量为对称张量，只有6个独立分量。三个法向应力分量和三个剪切应力分量。

???xy?xz?xx?? ?..?yy?yz??....?zz?? ?

4、全导数形式的连续性方程

d? ??.V???divV????.V???.V???.V?? dt

流体的质量散度，反映了流动场中某一瞬间区的流量发散程度

D??????v?v?5、 Dt?t?xx?yy?zvz(4?10)为全微分-偏微分关系算符,也叫实质微分算符.

其中, 左边表示的函数称:随体导数,指物理量随着流体质元一起运动时所发生的变化率,或者是当流体的微元体积上的一点在dt时间内从进入微元体积的空间位置(x,y,z)移动到离开微元体积的的空间位置(x+dx,y+dy,z+dz)时,物理量随时间的变化率. 它由两部分组成,一是物理量的局部变化,即在空间一个固定点上随时间的变化,由场的不稳定性引起;二是物理量的对流变化,即由于流体质点的运动,从一点转移到另一点时所发生的变化,由空间位置变化引起的变化,为对流导数,由场的不均匀性引起. 适用于牛顿或非牛顿\\可压缩或不可压缩流体 6、动量方程

dv???.???g(2?28) dt其他形式的动量方程

（1）? dv??.(?P???)??gdt ???.P???.???g??gradP?div???g(2?29)

dvx?P???xx??yx??zx??????????gx（2）? dt?x??x?y?z?

dvy?P???xy??yy??zy???????????gy

dt?y??x?y?z?

?dvz?P???xz??yz??zz??????????gzdt?z??x?y?z? （3） 在x方向

????vx?v?v?v??P???xx??yx??zx??vxx?vyx?vzx??????????gx ??t?x?y?z??x??x?y?z?在y方向

?vy?vy?vy??P???xy??yt??zy? ??vy???vx?vy?vz??????????gy?t?x?y?z?y?x?y?z??? ?在z方向

?vz?vz?vz??P???xz??yz??zz? ??vz???vx?vy?vz???????gz????t?x?y?z?z?x?y?z??? ?式中左边括号中是流场中某微团的加速度,即随流导数,由两部分组成,第一项是表示速度随时间的变化率,是局部加速度,其余三项是随空间坐标变化,是迁移加速度. 由于ρ是单位体积的质量,所以左边相当于力,是惯性力项,反映单位时间单位体积内流体动量的增量.

? 右边第一项是静压力项,反映静压力对动量的影响; ? 第二项是粘性力项,反映流体粘性对动量的影响; ? 第三项是重力项,反映重力对动量的影响. ? 可见, 惯性力=静压力+粘性力+重力. ? 任何流体都适用.

? 由于高分子流体的粘度很大,重力常忽略不计.影响流体的流动主要是压力和粘弹力.流动形式可区分为:压力流和拖曳流. 7、能量方程

??E???.?Ev??.q??.(?.v)??g.v ?t流动场中普通的能量守恒方程

???P?? dT?cv???T??P???.v???.q??：?v?P??.v??dt?????T???

???P?? ???T????.v????.q??：?v(2?32)?T???????

用于求温度分布的能量守恒方程

??qx?qy?qz????P????T?T?T?T??c?vx?vy?vz?????T??????? v??t?x?y?z?x?y?z?T??????????????vx?vy??vx?vy???vz???????????xx???yyzz?xy??x?y?z?y?x???? ??vx??vy??vz?????(4?54)?????vy?vz???x?y?z????vx?vz?? ????????yz?xz????z?y????z?x??式中左边是单位时间内某一点温度的变化,对于不可压缩高聚物流体,此项可忽略

不计.第二项是由热传导引起的温度变化,第三项是由机械功变为热能引起的温度变化.

8、牛顿流体的本构方程 ????vx??r?yx?y

9、幂律流体的本构方程

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