1.1-1 正弦定理

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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章解三角形

第一章 解三角形

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本章概述

第一章 解三角形

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●课程目标 1.知识与技能目标 (1)掌握正弦定理、余弦定理. (2)能初步运用正弦定理、余弦定理解斜三角形. (3)能利用计算器解决有关解斜三角形的计算问题. (4)能够运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与 测量以及几何计算有关的实际问题.

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2.过程与方法目标 (1)使学生在已有知识的基础上， 通过对任意三角形边角关 系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关 系. (2)在探究学习和应用实习的过程中，认识到运用正弦定 理、余弦定理可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问 题，提高运用所学知识解决实际问题的能力.

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3.情感、态度与价值观目标 (1)通过对三角形边角关系的探究学习， 体验数学探究活动 的过程，培养探索精神和创新意识. (2)在运用正弦定理、 余弦定理解决一些简单的实际问题的 过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数 学的思维方式去解决问题、认识世界.

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(3)通过实习作业，体会“解三角形在测量中的应用”,提 高应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力. (4)通过学习和运用，进一步体会数学的科学价值、应用价 值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文 化素养.

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●学法探究 一、加强新旧知识的联系 三角形是最基本的几何图形.三角形中的数量关系，有着 极其广泛的应用.在初中，我们已经能够借助于锐角三角函数 解决有关直角三角形的测量问题.在实际工作中，我们还会遇 到许多其它的测量问题， 这些仅用锐角三角函数就不够了. 如： 1.怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？ 2.怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？

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3.怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高 度？ 4.怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？ 5.怎样确定航向，才能在航速一定的情况下，尽快与一 运动的物体(如轮船)相遇？等等.

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探究解决这些新问题时， 要多

与已学过的相关知识联系(如 解直角三角形、三角函数、平面向量等),通过对任意三角形边 角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量 关系，并将它们融入已有的知识体系.

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二、理清主要内容，理顺知识体系 本章主要内容是正弦定理、余弦定理及其应用和三角形面 积公式.重点是利用内角和、边角之间的关系、三角函数式的 变形公式去判断三角形的形状、求解三角形以及利用它们解决 一些实际问题. 学习本章内容，首先要弄清正弦定理、余弦定理的内容、 原理、用途.其次要清楚解三角形主要在什么条件下运用什么 原理解决些什么问题，有哪些实际用途.

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1.正弦定理、余弦定理 这两个定理揭示了三角形的边与角之间的数量关系，是研 究三角形有关问题的主要的常用工具. 从两个定理的推导过程中要掌握从特殊到一般和数形结 合的思维方法.掌握运用两个定理的关键是从其结构特征上充 分理解，注意针对不同类型问题选取恰当形式予以解决.

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2.解三角形 (1)解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一边) 求出其它元素的过程.三角形中的基本元素(边和角)与非基本 元素(如中线、高、角平分线、外接圆半径、内切圆半径 )之间 的联系要通过有关的概念与公式(周长、面积、射影定理、勾股 定理、内角和定理、全等关系、正余弦定理等)的掌握来实现

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(2)解斜三角形分以下四种类型. ①已知三角形的两角和任一边， 主要用 求三角形的其它边与角； 正弦定 ②已知三角形的两边和其中一边的对 理解决 角，求三角形的其它边与角. ③已知三边，求三个角； 主要用 ④已知两边和它们的夹角，求第三边和 余弦定 理解决 其它两个角.

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(3)理解已知两边和其中一边的对角解斜三角形时，有一 解、二解或无解三种情况，并会判断哪些条件使解三角形有一 解、二解或无解. (4)关于三角形的已学过的一些结论：如边角不等关系：两 边之和大于第三边；两边之差小于第三边；大边对大角等；全 等关系；三角形的两积公式等等.在解三角形过程中可能要用 到.

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(5)要注意归纳总结学习过程中的一些共性和结论. 如常见 的三角形边角关系恒等式.三角形面积的公式等

. (6)注意三角公式的灵活运用， 主要是利用两角和与差的三 角函数.二倍角的三角函数，诱导公式等进行三角函数变换. (7)由正弦定理可推得非常有用的一个结论，在△ABC 中， A>B sinA>sinB,要熟记.

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三、注重数学思想方法的运用 解三角形作为几何度量问题，应注意数形结合方法的运 用，注意将实际问题数学化，抽象出其数学模型，转化为数学 问题.注意边角互化中“化异为同”策略运用——化边为角、 化角为边，将已知条件和待求问题归结到一个三角形中等.

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●教法点津 1.讲本章前注意引导学生阅读章始引言，并结合工农业 生产、生活及科学中的一些实例，引导学生通过天文测量、航 海测量、地理测量等实际应用问题的思考，产生探索三角形边 角关系的愿望、激发学生学习本章的兴趣，也可以就地取材， 提出一些实际问题，如不爬上树如何在地面上测得树高等.

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2.本章教学要集中突破：(一)如何应用正、余弦定理解决 三角形的边角关系，怎样选择应用两个定理.(二)如何分析科 研、生产、生活中的一些实际具体测量情景，将问题转化为解 三角形的的问题. 3.注意与初中学习的解直角三角形知识的衔接.

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