扩频通信第3章2

?1?f4(x)?x5f3???1?x?x2?x3?x5

?x?其结构逻辑图见图3-5(d)。

八进制数67用二进制数表示为110111，对应的本原多项式为

其逻辑图见图3-5(e)。根据互反多项式的定义，f5(x)f5(x)?x5?x4?x2?x?1，

的互反多项式为

?1?f6(x)?x5f5???1?x?x3?x4?x5

?x?其结构逻辑图见图3-5(f)。

对于给定的本原多项式，根据画出的m序列的逻辑图，在给出任意的非全0初始状态条件下，依据移位寄存器的工作原理，我们可以求出具体的m序列{ai}来。在某些情况下，我们并不关心产生m序列移位寄存器的具体结构，而只关心m序列{ai}，即移位寄存器的输出序列。这可以通过求输出序列多项式G(x)的方法得到，输出序列多项式G(x)的系数就是我们所求的输出序列。多项式G(x)称为序列{ai}的生成多项式或序列多项式。事实上，在给定特征多项式和移位寄存

器初始状态的情况下，移位寄存器的输出序列被唯一的确定了。

为简单计，我们假设线性移位寄存器的初始状态为00?01，即除最后一级外，线性移位寄存器的各级存数都为0。这样的假设对于产生m序列的线性移位寄存器是合理的，因为对于产生m序列的线性移位寄存器来说，除00?0这一个全0状态外，其余所有的2r?1个非0状态在其一个周期N?2r?1内各出现一次。这样，移位寄存器的序列多项式G(x)和特征多项式f(x)的关系为

1 (3-63) G(x)?f(x)例10 求 r=5的特征多项式f(x)?1?x?x3?x4?x5产生的输出序列。 由例9知，f(x)?1?x?x3?x4?x5是本原多项式，产生的输出序列是m序列。事实上，序列多项式G(x)可以采用长除法来获得（长除过程参见图3-6）

1G(x)? 1?x?x3?x4?x5?1?x?x2?x5?x6?x8?x9?x10?x11???由输出序列多项式G(x)的系数可写出输出序列

{ai}=1110011011111?

在进行长除的过程中，当余式为一单项式xN时即可，这是因为

1?xN?a0?a1x?a2x2???aN?1xN?1 (3-64) f(x)满足式(3-64)的最小正整数N即为输出序列的周期，这时序列多项式G(x)为

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G(x)?1f(x)?a0?a1x?a2x2???aN?1xN?1?xN?(a0?a1x?a2x2???aN?1xN?1) (3-65) ?x2N?(a0?a1x?a2x2???aN?1xN?1)???对应的输出序列为

{ai}?a0a1a2?aN?1a0a1a2?aN?1a0a1a2?aN?1?? (3-66)

1+x+x3+x4+x5

1+x+x2 +x5+x6 +x8+x9+x10+x11 ? +x26 1

1+x +x3+x4+x5

345x 2 +x+x+x 6

45

x+x +x+x+x x2+x3 +x6 x2+x3 +x5+x6+x7

x5 +x7

x5+x6 +x8+x9+x10 x6+x7 +x8+x9+x10 x6+x7 +x9+x10+x11

x8 +x11

x8+x9 +x11+x12+x13 x9 +x12+x13 x9+x10 +x12+x13+x14

x10 +x14 x10 +x11 +x13+x14+x15

x11 +x13 +x15 x11+x12 +x14+x15+x16 x12+x13 +x14 +x16

? ?

x26+x27 +x29 +x30 x26+x27 +x29 +x30+x31

x31 图3-6 G(x)=1/(1+x+x3+x4+x5)的长除过程

(5) m序列的个数

对于r级线性移位寄存器，可以证明能产生周期为N?2r?1的m序列的总数是

?(2r?1)?(N)mr?? (3-67)

rr其中?(N)为欧拉(Euler)?函数，它等于所有小于N的正整数中和N互素的数的个数。欧拉(Euler)?函数的计算方法请参见附录1。

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3.5 Gold序列

上一节我们讨论了m序列，并指出m序列是具有双值自相关特性的序列，有优良的自相关特性。但是m序列的互相关特性不是很好，特别是使用m序列作为码分多址通信的地址码时，由m序列组成的互相关特性好的互为优选的序列集很小。

Gold序列具有良好的自、互相关特性，可以用作地址码的数量远大于m序列，而且易于实现、结构简单，在工程上得到了广泛的应用。

3.5.1 m序列优选对

m序列优选对，是指在m序列集中，其互相关函数绝对值的最大值(称为峰值互相关函数) R(τ)max最接近或达到互相关值下限(最小值)的一对m序列。

设?ai?是对应于r次本原多项式F1(x)所产生的m序列，?bi?是对应于r次本原多项式F2(x)所产生的另一m序列，当峰值互相关函数(非归一化)Rab(τ)max满足下列关系

?1?r2?2?1??r?2?22?1?Rab(τ)maxr为奇数r为偶数但不是4的整倍数 (3-68)

则F1(x)和F2(x)所产生的m序列?ai?和?bi?构成m序列优选对。

例如，r?6的本原多项式F1(x)?x6?x?1和F2(x)?x6?x5?x2?x?1所产生的m序列?ai?和?bi?，其峰值互相关函数Rab(τ)max=17，满足式(3-68)，故?ai?和?bi?构成m序列优选对。而本原多项式F3(x)?x6?x5?x3?x2?1所产生的m序列?ci?，和本原多项式F1(x)?x6?x?1所产生的m序列?ai?的峰值互相关函数

Rac(τ)max=23＞17，不满足式(3-68)，故?ai?和?ci?不是m序列优选对。

3.5.2 Gold序列族

1967年Gold指出：“给定移位寄存器级数r时，总可以找到一对互相关函数值是最小的码序列，采用移位相加的方法构成新码组，其互相关旁瓣都很小，而且自相关函数和互相关函数均是有界的”。Gold序列是m序列的复合码序列，它是由两个码长相等、码时钟速率相同的m序列优选对的模2加序列构成。每改变两个m序列相对位移就可得到一个新的Gold序列。当相对位移2r?1个比特时，就可得到一族2r?1个Gold序列，加上原来的两个m序列，共有2r?1个Gold序列，即

Gr?2r?1 (3-69)

产生Gold序列的结构有两种形式。一种是乘积型，是将m序列优选对的两个特征多项式的乘积多项式作为新的特征多项式，根据此2r次特征多项式构成新的线性移位寄存器，参见图3-7；另一种是模2加型，是直接求两m序列优选对输出序列的模2加序列，参见图3-8。

图3-7中的特征多项式为F(x)?x6?x?1，G(x)?x6?x5?x2?x?1，其乘积多项式F(x)G(x)?x12?x11?x8?x6?x5?x3?x?1 。

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x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 r=12 F(x)G(x)=x12+x11+x8+x6+x5+x3+1

图3-7 码长为N=63的乘积型Gold码发生器

x1 x2 x3 x4 x5 x6 F(x)=x6+x+1 G(x)=x6+x5+x2+x+1 x7 x8 x9 x10 x11 x12 图3-8 码长为N=63的模2加型Gold码发生器

理论上可以证明，这两种结构是完全等效的。它们产生的Gold码序列的周期都是N?2r?1。虽然对于乘积型Gold码序列发生器的特征多项式F(x)G(x)?x12?x11?x8?x6?x5?x3?1的最高次幂数是12，但是由于F(x)G(x)不是不可约多项式（当然更不是本原多项式了），所以不能产生码长N?22r?1的序列。可以证明，复码的周期是组成复码的子码周期的最小公倍数，由于组成复码Gold序列的子码的周期都是2r?1，所以Gold序列的周期是2r?1。

由m序列优选对模2加产生的Gold族中2r?1个序列已不再是m序列，所以也不再具有m序列的特性。Gold码族中任意两序列之间的互相关函数都满足式(3-68)。由于Gold码的这一特性，使得码族中任一码序列都可作为地址码。这样，采用Gold码族作地址码，其地址数大大超过了用m序列作地址码的数量。所以Gold序列在多址技术中得到了广泛的应用。

Gold码具有三值互相关函数的特性。当r为奇数时，码族中约有50%的码序列有很低的互相关函数值(-1)；当r为偶数时(r不是4的整倍数)，码族中约有75%的码序列有很低的互相关函数值(-1)。其三值互相关函数特性见表3-3。

表3-3 Gold码的三值互相关函数特性 码长N=2r-1 r为奇数 互相关函数值 -1 出现概率 ≈0.5 ≈0.5 ≈0.75 ?(2r?12?1) 2r为偶数，但不 是4的整倍数 r?12?1 ?1) -1 ?(2r?222r?22≈0.25 ?1

Gold码的自相关函数值的旁瓣也和互相关函数值一样取三值，只是出现的位置不同。Gold码族同族内互相关函数取值已有理论结果，但不同族之间的互

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相关函数取值尚无理论结果。目前已发现，不同的Gold码族之间的互相关函数取值已不是三值而是多值，并且互相关值已大大超过优选对的互相关值。

3.5.3 m序列优选对的寻找

前面我们在介绍Gold码序列的构造时曾指出，Gold码序列可由m序列的优选对来构成，也就是说要想构造出或求出Gold码序列，我们必须要知道m序列的优选对。下面我们介绍一种寻找m序列优选对的方法。

若a是2r阶有限域GF(2)的一个本原元，f1(x)和ft(x)是2r阶有限域GF(2)上的r次本原多项式，a是f1(x)的首根，取

?1?r2? (3-70) t??2r?2?1r为奇数2?4的倍数?2?1r为偶数，但不是使at为r次本原多项式ft(t)的一个根，则以r次本原多项式f1(x)和ft(x)为特征多项式所产生的m序列就构成m序列优选对。

例11 对于r?7，N?2r?1?127，设a是27阶有限域GF(2)的一个本原元， 以a作为首根的本原多项式为

f1(x)?x7?x3?1 (附录2表中的r?7 1 211 E)

根据式(3-70)可求出

t?2?1?2?1?17

以a17为根的本原多项式ft(x)所产生的m序列和f1(x)所产生的m序列构成m

r?127?12序列优选对。

a17是本原多项式ft(x)的一个根，但可能不是ft(x)的首根，根据有限域的理论，若a是r次不可约多项式ft(x)的一个根，那么at21t，ar22t，?，a2r?1t是ft(x)其余的r?1个根。在计算多项式ft(x)的根时，需要注意a2?1?1。这是因为a是

2r阶有限域的本原元，a一定是2r?1阶元素。

据此，我们可以求出以a17为根的本原多项式ft(x)的所有根：

a17?1?a17； a17?2?a34；

9a1817?2217?25?a68； ?a544?a36；

a17?236?a136?a； a17?247?a272?a；

a17?2?a1088?a72； a17?2?a2176?a17

按幂次的大小排列为a9，a17，a18，a34，a36，a68，a72，其中a9为ft(x)的首根。通过附录2可查(求)出

ft(t)?x7?x5?x4?x3?x2?x?1 (附录2中的r?7 9 277 E) 上面介绍的方法有一个最大的局限，这就是该方法只能求出附录2中第一个多项式对应的m序列优选对。事实上求解m序列优选对的方法很多，下面我们再介绍一种。

若a是2r阶有限域GF(2)的一个本原元，f1(x)和ft(x)是2r阶有限域GF(2)上的r次本原多项式，ak是f1(x)的首根，t按照(3-70)式取值，令kt的共轭类首元[kt]r为r次本原多项式ft(x)首根的幂指数，即ft(x)的首根为a[kt]r，那么，以本原多项式ft(x)和f1(x)为特征多项式产生的m序列构成m序列优选对。

70

a

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