3-2-11校本课程数学竞赛讲义1- 副本

3-2-⑾

惠东中学校本课程

——数学竞赛讲义

惠东县惠东中学数学科组

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目录

第一章 第二章

集合????????????????2 函数????????????????15

§2.1 函数及其性质?????????15 §2.2 二次函数 ?????????21 §2.3 函数迭代 ?????????28 §2.4 抽象函数 ?????????32

第三章 数列????????????????37

§3.1 等差数列与等比数列????????37 §3.2 递归数列通项公式的求法 ??????44 §3.3 递推法解题????????????48

第四章 三角 平面向量 复数?????????51 第五章 直线、圆、圆锥曲线?????????60 第六章 空间向量 简单几何体?????????68 第七章 二项式定理与多项式?????????75 第八章 联赛二试选讲 ?????????82

§8.1 平几名定理、名题与竞赛题 ??82 §8.2 数学归纳法 ?????????99 §8.3 排序不等式 ?????????103

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第一章 集合

集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛和高校自主招生中出现的问题.

§1.1 集合的概念与运算

【基础知识】

一．集合的有关概念

1．集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素.

2．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.

3．集合的分类：无限集、有限集、空集?.

4. 集合间的关系： 二．集合的运算

1．交集、并集、补集和差集

差集：记A、B是两个集合，则所有属于A且不属于B的元素构成的集合记作A\\B.即A\\B?{x?A且x?B}.

2.集合的运算性质

(1)A?A?A,A?A?A(幂等律);

(2)A?B?B?A, A?B?B?A(交换律);

(3)(A?B)?C?A?(B?C), (A?B)?C?A?(B?C)(结合律);

(4)A?(B?C)?(A?B)?(A?C),A?(B?C)?(A?B)?(A?C)(分配律); (5)A?(B?A)?A,A?(A?B)?A(吸收律); (6)CU(CUA)?A(对合律);

(7)CU(A?B)?(CUA)?(CUB), CU(A?B)?(CUA)?(CUB)(摩根律) (8)A\\(B?C)?(A\\B)?(A\\C),A\\(B?C)?(A\\B)?(A\\C).

3.集合的相等

(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等; (2)利用定义,证明两个集合互为子集;

(3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价;

(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件.

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【典例精析】

【例1】在集合{1,2,?,n}中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 .

〖分析〗已知{1,2,?,n}的所有的子集共有2n个.而对于?i?{1,2,?,n},显然{1,2,?,n}中包含i的子集与集合{1,2,?,i?1,i?1,?,n}的子集个数相等.这就说明i在集合

{1,2,?,n}的所有子集中一共出现2n?1次,即对所有的i求和,可得Sn?2n?1(?i).

i?1n【解】集合{1,2,?,n}的所有子集的元素之和为2n?1(1?2???n)?2n?1?=n?(n?1)?2.

n?1n(n?1) 2〖说明〗本题的关键在于得出{1,2,?,n}中包含i的子集与集合{1,2,?,i?1,i?1,?,n}的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛. 【例2】已知集合A?{x|x?3x?2?0},B?{x|x?4ax?3a?0}且A?B,求参数a的取值范围.

〖分析〗首先确定集合A、B,再利用A?B的关系进行分类讨论. 【解】由已知易求得A?{x|?2?x??1},B?{x|(x?a)(x?3a)?0} 当a?0时,B?{x|a?x?3a},由A?B知无解; 当a?0时,B??,显然无解;

当a?0时, B?{x|3a?x?a},由A?B解得?1?a?综上知,参数a的取值范围是[?1,].

〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.

【例3】已知x?R,y?R,集合A?{x?x?1,?x,?x?1},B?{?y,?则x?y的值是( )

A.5 B.4 C.25 D.10

【解】?(x?1)?0,?x?x?1??x,且?x?x?1?0及集合中元素的互异性知

222?2222. 3232y,y?1}.若A?B,222x2?x?1??x,即x??1,此时应有x2?x?1??x??x?1.

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而y?R,从而在集合B中,y?1???y??y. 2?x2?x?1?y?1(1)?y?由A?B,得??x??(2)

2?(3)???x?1??y由(2)(3)解得x?1,y?2,代入(1)式知x?1,y?2也满足(1)式.

?x2?y2?12?22?5.

〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中

对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.

【例4】已知集合A?{x,y,lg(xy)},B?{0,|x|,y}.若A?B,求(x?11)?(x2?2)???yy+(x2008?1y2008)的值.

〖分析〗从集合A=B的关系入手,则易于解决. 【解】?A?B,???x?xy?lg(xy)?|x|?y,根据元素的互异性,由B知x?0,y?0.

?x?xy?lg(xy)?0?0?B且A?B,?0?A,故只有lg(xy)?0,从而xy?1.

又由1?A及A?B,得1?B. 所以??xy?1?xy?1或?,其中x?y?1与元素的互异性矛盾!

?|x|?1?y?1所以x?y?1,代入得:

111(x?)?(x2?2)???+(x2008?2008)=(?2)+2+(?2)+2+??+(?2)+2=0.

yyy〖说明〗本题是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.

【例5】已知A为有限集,且A?N,满足集合A中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.

【解】设集合A={a1,a2,?,an}(n?1)且1?a1?a2??an,由a1?a2???an?a1?a2???an,

*an?n(n?N*),得nan?a1?a2???an?a1?a2???an?an(n?1)!,即n?(n?1)!

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?n?2或n?3(事实上,当n?3时,有(n?1)!?(n?1)(n?2)?(n?1)?2?n).

当n?2时,a1?a2?a1?a2?2a2,?a1?2,?a1?1,而1?a2?1?a2,?n?2. 当n?3时,a1?a2?a3?a1?a2?a3?3a3,?a1?a2?3,?a1?1,a2?2. 由2a3?3?a3,解得a3?3. 综上可知,A?{1,2,3}.

〖说明〗本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.

【例6】已知集合P?{x|x?3x?2?0},S?{x|x?2ax?a?0},若S?P,求实数a的取值组成的集合A.

【解】P?{x|1?x?2},设f(x)?x?2ax?a.

①当??(?2a)?4a?0,即0?a?1时,S??,满足S?P; ②当??(?2a)?4a?0,即a?0或a?1时, 若a?0,则S?{0},不满足S?P,故舍去; 若a?1时,则S?{1},满足S?P.

③当??(?2a)?4a?0时,满足S?P等价于方程x?2ax?a?0的根介于1和2之间.

2222222??0??a?0或a?1(?2a)??1???2??1?a?22即??a??. ??f(1)?0??1?a?0?f(2)?0??4?3a?0?综合①②③得0?a?1,即所求集合A?{a|0?a?1}.

〖说明〗先讨论特殊情形(S=?),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对?分类讨论,确定

a的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论??0.

22【例7】(2005年江苏预赛)已知平面上两个点集 M?{(x,y)||x?y?1|?2(x?y),x,y?R},

N?{(x,y)||x?a|?|y?1|?1,x,y?R}. 若 M?N??, 则 a 的取值范围是

．

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【解】由题意知 M 是以原点为焦点、直线 x?y?1?0 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N 是以 (a,1) 为中

y心的正方形及其内部的点集(如图)．

考察 M?N?? 时, a 的取值范围:

令 y?1, 代入方程|x?y?1|?2321-22(x?y) ,

-322-1O-11234567x得 x?4x?2?0，解出得 x?2?6． 所以，

当 a?2?6?1?1?6 时, M?N??． ???? ③

令 y?2，代入方程 |x?y?1|?2(x2?y2), 得 x2?6x?1?0. 解出得

x?3?10．所以，当 a?3?10 时, M?N??． ???? ④

因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当 1?6?a?3?10，即 a?[1?6,3?10] 时,

M?N??．故填 [1?6,3?10].

【例8】已知集合A?{a1,a2,a3,a4},B?{a1,a2,a3,a4},其中a1?a2?a3?a4,

2222a1,a2,a3,a4?N.若A?B?{a1,a4},a1?a4?10.且A?B中的所有元素之和为124,求

集合A、B.

【解】?a1?a2?a3?a4,且A?B?{a1,a4},?a1?a1,又a1?N,所以a1?1. 又a1?a4?10,可得a4?9,并且a2?a4或a3?a4.

若a2?9,即a2?3,则有1?3?a3?9?a3?81?124,解得a3?5或a3??6(舍) 此时有A?{1,3,5,9},B?{1,9,25,81}.

若a3?9,即a3?3,此时应有a2?2,则A?B中的所有元素之和为100?124.不合题意. 综上可得, A?{1,3,5,9},B?{1,9,25,81}.

〖说明〗本题的难点在于依据已知条件推断集合A、B中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.

【例9】满足条件|g(x1)?g(x2)|?4|x1?x2|的函数g(x)形成了一个集合M,其中

2?1,求函数y?f(x)?x2?3x?2(x?R)与集合M的关系. x1,x2?R,并且x12,x2222222第6页

〖分析〗求函数f(x)?x?3x?2集合M的关系,即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M的属性.

【解】?|f(x1)?f(x2)|?|(x1?3x1?2)?(x2?3x2?2)|?|x1?x2|?|x1?x2?3| 取x1?222459,x2?时, |f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|?4|x1?x2|. 662由此可见,f(x)?M.

〖说明〗本题中M是一个关于函数的集合.判断一个函数f(x)是否属于M,只要找至一个或几个特殊的xi使得f(xi)不符合M中的条件即可证明f(x)?M.

【例10】对集合{1,2,?,2008}及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如{1,2,4,6,9}的“交替和”是

9?6?4?2?1?6,集合{7,10}的“交替和”是10－7=3,集合{5}的“交替和”是5等等.

试求A的所有的“交替和”的总和.并针对于集合{1,2,?,n}求出所有的“交替和”. 〖分析〗集合A的非空子集共有22008?1个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可

能的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共

有15个,共“交替和”分别为:{1} 1;{2} 2 ;{3} 3;{4} 4;{1,2} 2-1; {1,3} 3-1; {1,4} 4-1;{2,3} 3-2;{2,4} 4-2;{3,4} 4-3;{1,2,3} 3-2+1;{1,2,4} 4-2+1; {1,3,4} 4-3=1;{2,3,4} 4-3+2;{1,2,3,4} 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除{4}以外,可以把{1,2,3,4}的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设Ai是{1,2,3,4}中一个不含有的子集,令Ai与{4}?Ai相对应,显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7对,再加上{4}的“交替和”为4,即{1,2,3.4}的所有子集的“交替和”为32.

【解】集合{1,2,?,2008}的子集中,除了集合{2008},还有22008?2个非空子集.将其分为两

类:第一类是含2008的子集,第二类是不含2008的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果

Ai是第二类的,则必有Ai?{2008}是第一类的集合;如果Bj是第一类中的集合,则Bj中除

2008外,还应用1,2,??,2007中的数做其元素,即Bj中去掉2008后不是空集,且是第二类中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有2008,从而可得A的所有子集的“交替和”为

12008(2?2)?2008?2008?22007?2008. 2n同样可以分析{1,2,?,n},因为n个元素集合的子集总数为2个(含?,定义其“交替和”

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为0),其中包括最大元素n的子集有2n?1个,不包括n的子集的个数也是2n?1个,将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素n),设不含n的子集“交替和”为S,则对应的含n子集的“交替和”为n?S,两者相加和为n.故所有子集的“交替和”为2n?1?n.

〖说明〗本题中＂退到最简＂,从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化.

【例11】一支人数是5的倍数的且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人，求这支游行队伍的人数最少是多少？

〖分析〗已知游行队伍的总人数是5的倍数，那么可设总人数为5n.“按每横排4人编队，最后差3人”，从它的反面去考虑，可理解为多1人，同样按3人、2人编队都可理解为“多1人”，显然问题转化为同余问题.5n被4、3、2除时都余地，即5n?1是12的倍数，再由总人数不少于1000人的条件，即可求得问题的解.

【解】设游行队伍的总人数为5n(n?N)，则由题意知5n分别被4、3、2除时均余1，即

?于是可令5n?1?12m(m?N)，由此可得：n?5n?1是4、3、2的公倍数，

?12m?1 ①5要使游行队伍人数最少，则式①中的m应为最少正整数且12m?1为5的倍数，应为2.于是可令m?5q?2(p?N)，由此可得：n?[12?(5p?2)?1]?12p?5，5n?60p?25 ② 所以60p?25?1000，p?16?151. 4取p?17代入②式，得5n?60?17?25?1045

故游行队伍的人数最少是1045人. 〖说明〗本题利用了补集思想进行求解，对于题目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等词语，可以根据补集思想方法，从词义气反面（反义词）考虑，对原命题做部分或全部的否定，用这种方法转化命题，常常能起到化繁为简、化难为易的作用，使之寻求到解题思想或方法，实现解题的目的.

【例12】设n?N且n≥15，A,B都是{1，2，3，?，n}真子集，A?B??，且A?B={1，2，3，?，n}.证明：A或者B中必有两个不同数的和为完全平方数.

【证明】由题设，{1，2，3，…，n}的任何元素必属于且只属于它的真子集A,B之一. 假设结论不真，则存在如题设的{1，2，3，…，n}的真子集A,B，使得无论是A还是B中的任两个不同的数的和都不是完全平方数.

不妨设1∈A，则3?A，否则1+3=2，与假设矛盾，所以3∈B.同样6?B，所以6∈A，这时10?A，，即10∈B.因n≥15，而15或者在A中，或者在B中，但当15∈A时，因1∈A，1+15=4，矛盾；当15∈B时，因10∈B，于是有10+15=5，仍然矛盾.因此假设不真,即结论成立.

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222【赛向点拨】

1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的基础.因此，深刻理解集合的概念,熟练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要.

2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用.

3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质?这是解决集合问题的前提.

4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.

【针对练习】

(A 组)

1.(2006年江苏预赛) 设在xOy平面上，0?y?x，0?x?1所围成图形的面积为

221，3则集合M?{(x,y)y?x?1},N?{(x,y)y?x?1}的交集M?N所表示的图形面积为( )

124 B. C.1 D.

333b2. (2006年陕西预赛)a,b为实数,集合M={,1},P?{a,0},f:x?x表示把集合M中的元

a素x映射到集合P中仍为x,则a?b的值等于( ) A.?1 B.0 C.1 D.?1

A.

3. (2004年全国联赛)已知M=(x,y)|x?2y?3，N=?(x,y)|y?mx?b?，若对于所有

22??的m?R，均有M?N??,则b的取值范围是

A．[?666623232323,,,,] B.（?）C.（?） D.[?] 222233334. (2005年全国联赛) 记集合T?{0,1,2,3,4,5,6},M?{a1a2a3a4?2?3?4|ai?T,i?1,2,3,4}, 7777将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）

55635562?2?3?4 B．?2?3?4 7777777711041103 C．?2?3?4 D．?2?3?4

77777777A．

5. 集合A,B的并集A∪B={a1,a2,a3}，当且仅当A≠B时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有( )

A.27 B.28. C.26 D.25

6.设A={n|100≤n≤600,n∈N}，则集合A中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________.

1?x227. 已知A?{xx?4x?3?0,x?R},B?{x2?a≤0,且x?2(a?7)x?5≤0,x?R}.若

A?B,则实数a的取值范围是 .

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8. 设M={1,2,3,…,1995}，A是M的子集且满足条件: 当x∈A时,15x?A，则A中元素的个数最多是_______________.

9. (2006年集训试题)设n是正整数，集合M={1，2，…，2n}．求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于 10. 设A＝{a|a＝x?y,x,y?Z}，

求证：⑴2k?1∈A(k?Z)； ⑵4k?2?A (k?Z). 11.（2006年江苏）设集合A??xlog1?3?x???2?，B??x22?????????22a??1?．若A?B??，

?x?a?求实数a的取值范围．

12. 以某些整数为元素的集合P具有下列性质：①P中的元素有正数，有负数；②P中的元素有奇数,有偶数；③－1?P；④若x，y∈P,则x＋y∈P试判断实数0和2与集合P的关系.

(B 组)

1. 设S为满足下列条件的有理数的集合：①若a∈S，b∈S，则a+b∈S，

ab?S；②对任一个有理数r，三个关系r∈S，－r∈S，r＝0有且仅有一个成立.证明：S是由全体正有理数组成的集合.

S1,S2,S3为非空集合，2．对于1，2，3的任意一个排列i,j,k，若x?Si,y?Sj，则x?y?Sk

（1）证明：三个集合中至少有两个相等.

（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？

3．已知集合：A?{(x,y)|ax?y?1},B?{(x,y)|x?ay?1},C?{(x,y)|x?y?1}问 （1）当a取何值时，(A?B)?C为含有两个元素的集合？ （2）当a取何值时，(A?B)?C为含有三个元素的集合？

224．已知A?(x,y)x?y?4x?4y?7?0,x,y?R,

22??B??(x,y)xy??10,x,y?R?.

⑴请根据自己对点到直线的距离,两条异面直线的距离中 “距离”的认识,给集合A与B的距离定义;

⑵依据⑴中的定义求出A与B的距离.

5.设集合P?｛不小于３的正整数｝，定义Ｐ上的函数如下：若n?P，定义f(n)为不是n的约数的最小正整数，例如f(7)?2,f(12)?5.记函数f的值域为Ｍ.证明：

19?M,99?M.

6．为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P(P?N?)条建议.已知有些班级提出了相同

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的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于2P?1个.

【参考答案】

A组

1.解： M?N在xOy平面上的图形关于x轴与y轴均对称，由此M?N的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得.为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了.由题意可得，M?N的图形在第一象限的面积为A＝所以选B. 2.解:由M=P,从而

1112??.因此M?N的图形面积为. 2363b?0,a?1,即a?1,b?0,故a?b?1.从而选C. a223. 解：M?N??相当于点（0，b）在椭圆x?2y?3上或它的内部

2b266??1,???b?.故选A.

3224.解: 用[a1a2?ak]p表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以7，得

4M??{a1?73?a2?72?a3?7?a4|ai?T,i?1,2,3,4}?{[a1a2a3a4]7|ai?T,i?1,2,3,4}.

M? 中的最大数为[6666]7?[2400]10.在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第

2005个数是2400－2004=396.而[396]10?[1104]7将此数除以7，便得M中的数

41104?2?3?4.故选C. 77775.解：A=φ时，有1种可能；A为一元集时，B必须含有其余2元，共有6种可能；A为二元集时，B必须含有另一元.共有12种可能；A为三元集时，B可为其任一子集.共8种可能.故共有1+6+12+8=27个.从而选A.

6．解：被7除余2的数可写为7k+2. 由100≤7k+2≤600.知14≤k≤85. 又若某个k使7k+2能被57整除，则可设7k+2=57n. 即k?57n?27?56n?n?272?8n?n?7.

即n－2应为7的倍数. 设n=7m+2代入，得k=57m+16. ∴14≤57m+16≤85. ∴m=0,1.于是

所求的个数为85－(14－1)－2=70．

７．解：依题意可得A?{x1?x?3},设f(x)?21?x?a,g(x)?x2?2(a?7)x?5

要使A?B,只需f(x),g(x)在(1,3)上的图象均在x轴的下方,则f(1)≤0,f(3)≤0,

g(1)≤0,g(3)≤0,由此可解得结果.

8．解：由于1995=15?133，所以，只要n>133，就有15n>1995.故取出所有大于133而不超过1995的整数. 由于这时己取出了15?9=135, ? 15?133=1995. 故9至133的整数都不能再取，还可取1至8这8个数，即共取出1995—133+8=1870个数, 这说明所求数≥1870.

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另一方面，把k与15k配对，（k不是15的倍数，且1≤k≤133）共得133—8=125对，每对数中至多能取1个数为A的元素，这说明所求数≤1870，综上可知应填1870.

9.解：考虑M的n+2元子集P={n－l，n，n+1，…，2n}．P中任何4个不同元素之和不小于(n－1)+n+( n +1)+( n +2)=4 n +2，所以k≥n +3．将M的元配为n对，Bi=(i，2 n +1－i)，1≤i≤n． 对M的任一n+3元子集A，必有三对Bi1,Bi2,Bi3同属于A(i1、I 2、I 3两两不同)．又将M的元配为n－1对，C I (i，2n－i)，1≤i≤n－1．对M的任一n+3元子集A，必有一对Ci4同属于A，这一对Ci4必与Bi1,Bi2,Bi3中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为2 n +1+2 n =4 n +1,最小的正整数k= n +310．

10.解: ⑴∵k,k?1∈Z且2k?1＝k?(k?1),∴2k?1∈A；

⑵假设4k?2?A (k?Z),则存在x,y?Z,使4k?2＝x?y即(x?y)(x?y)?2(2k?1) (*) 由于x?y与x?y具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立.由此，

22224k?2?A(k?Z).

11.解：A?x?1?x?3，B?x?x?a??x?3a??0．

??????当a?0时，B??x3a?x?a?0?，由A?B??得a??1；

当a?0时，B?xx?0??，与A?B??不符． 综上所述，a???1,0???0,3?．

当a?0时，B?x0?a?x?3a，由A?B??得0?a?3；

?2?12．解：由④若x，y∈P,则x＋y∈P可知，若x∈P，则kx?P (k?N) （1）由①可设x，y∈P，且x＞0，y＜0，则－yx＝|y|x (|y|∈N) 故xy,－yx∈P,由④,0＝(－yx)+xy∈P.

（2）2?P.若2∈P，则P中的负数全为偶数，不然的话，当－（2k?1）∈P（k?N）时，－1＝（－2k?1）＋2k∈P，与③矛盾.于是，由②知P中必有正奇数.设

?2m,2n?1?P (m,n?N)，我们取适当正整数q，使 q?|?2m|?2n?1，则负奇数?2qm?(2n?1)?P.前后矛盾

B组

1．证明：设任意的r∈Q，r≠0,由②知r∈S，或－r∈S之一成立.再由①，若∈S，则r?S；若－r∈S，则r?(?r)?(?r)?S.总之，r?S.

取r=1，则1∈S.再由①，2=1+1∈S，3=1+2∈S，?，可知全体正整数都属于S.

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22r2设p,q?S，由①pq?S，又由前证知

p11?pq?，所以∈S.因此，S含有全?S22qqq体正有理数.再由①知，0及全体负有理数不属于S.即S是由全体正有理数组成的集合. 2．证明：（1）若x?Si,y?Sj，则y?x?Sk,(y?x)?y??x?Si，所以每个集合中均有非负元素.

当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立.

否则，设S1,S2,S3中的最小正元素为a，不妨设a?S1，设b为S2,S3中最小的非负元素，不妨设b?S2,则b－a∈S3.

若b＞0,则0≤b－a＜b，与b的取法矛盾.所以b=0.

任取x?S1,因0∈S2,故x－0＝x∈S3.所以S1?S3，同理S3?S1. 所以S1=S3.

（２）可能.例如S1=S2={奇数}，S3={偶数}显然满足条件，S1和S2与S3都无公共元素. 3．解：(A?B)?C=(A?C)?(B?C).A?C与B?C分别为方程组

（Ⅰ）??ax?y?1?x?ay?1 （Ⅱ）?x2?y2?1 22x?y?1??1?a22a的解集.由（Ⅰ）解得（x,y）=（0，1）=（，）；由（Ⅱ）解得 221?a1?a1?a22a（x,y）=（1，0），（，） 221?a1?a（1）使(A?B)?C恰有两个元素的情况只有两种可能：

?2a?2a?0?1???1?a2?1?a2①? ②? 221?a1?a???1?022???1?a?1?a由①解得a=0；由②解得a=1.

故a=0或1时，(A?B)?C恰有两个元素.

2a1?a2（2）使(A?B)?C恰有三个元素的情况是：= 221?a1?a解得a??1?2，故当a??1?2时，(A?B)?C恰有三个元素.

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4．解: (1)设d?P1?A,P2?BminP1P2(即集合A中的点与集合B中的点的距离的最小值),

则称d为A与B的距离.

⑵解法一：∵A中点的集合为圆(x?2)?(y?2)?1,圆心为M(?2,?2),令P(x,y)是双曲线上的任一点,则MP2222?(x?2)2?(y?2)2=x2?y2?4(x?y)?8

2=(x?y)?2xy?4(x?y)+8=(x?y)?4(x?y)?28

22令t?x?y,则MP=t?4t?28?(t?2)?24

2当t??2时,即??xy??10有解，∴MPmin?26∴d?26?1

x?y??2?22解法二：如图,P是双曲线上的任一点, Q为圆(x?2)?(y?2)?1上任一点,圆心为M.显然,PQ?MQ≥MP(当P、Q、M三点共线时取等号)∴d?MPmin?1.

5．解：记n?18!时，由于1，2，??18都是n的约数，故此时f(n)?19.从而19?M. 若存在n?P，使f(n)?99，则对于小于99的正整数k，均有k|n，从而9|n,11|n，但是(9,11)?1，由整数理论中的性质9×11=99是n的一个约数，这是一个矛盾！从而99?M. 6．证明：假设该校共有m个班级，他们的建议分别组成集合A1,A2,?,Am。这些集合中没有两个相同（因为没有两个班级提出全部相同的建议），而任何两个集合都有相同的元素，因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在A1,A2,?,Am中至多有A（所有P条建议所组成的集合）的

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1P?2?2P?1个子集，所以m?2P?1. 2

第二章 函数

§2.1 函数及其性质

一、函数的基本性质：

1. 函数图像的对称性

（1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意x?D，都有f(?x)??f(x)成立；

偶函数的图像关于y轴对称，对于任意x?D，都有f(?x)?f(x)成立。

（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y?x对称。 若某一函数与其反函数表

示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y?x对称。

（3） 若函数满足f(x)?f(2a?x)，则f(x)的图像就关于直线x?a对称；若函数满足

f(x)??f(2a?x)，则f(x)的图像就关于点(a,0)对称。

（4） 互对称知识：函数y?f(x?a)与y?f(a?x)的图像关于直线x?a对称。 2．函数的单调性

函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导

数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）

特别提示：函数y?x?3．函数的周期性

对于函数y?f(x)，若存在一个非零常数T，使得当x为定义域中的每一个值时，都有

a(a?0)的图像和单调区间。 xf(x?T)?f(x)成立，则称y?f(x)是周期函数，T称为该函数的一个周期。若在所有的周期中

存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。

（1） 若T是y?f(x)的周期，那么nT(n?Z)也是它的周期。

T的周期函数。 a（3） 若函数y?f(x)的图像关于直线x?a和x?b对称，则y?f(x)是周期为2(a?b)的函数。

（2） 若y?f(x)是周期为T的函数，则y?f(ax?b)(a?0)是周期为

（4） 若函数y?f(x)满足f(x?a)??f(x)(a?0)，则y?f(x)是周期为2a的函数。 4.函数的最值：

常规求法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、构造法 5．Gauss(高斯)函数

对于任意实数x，我们记不超过x的最大整数为[x]，通常称函数y?[x]为取整函数。又称高斯函数。又记{x}?x?[x]，则函数y?{x}称为小数部分函数，它表示的是x的小数部分。

高斯函数的常用性质：

（1） 对任意x?R,均有x?1?[x]?x?[x]?1 （2） 对任意x?R，函数y?{x}的值域为[0,1) （3） 高斯函数是一个不减函数，即对于任意x1,x2?R,若x1?x2,则[x1]?[x2]

（4） 若n?Z,x?R,则有[x?n]?n?[x],{n?x}?{x}，后一个式子表明y?{x}是周期为1的函数。 （5） 若x,y?R,则[x]?[y]?[x?y]?[x]?[y]?1 （6） 若n?N*,x?R,则[nx]?n[x]

二、应用举例：

例1．已知f(x)是一次函数，且f10(x)?1024x?1023．求f(x)的解析式．

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例2．已知f(x)?

n?1000?n?3例3．函数f(n)??，求f(84)

f(f(n?5)),n?1000?bx?11k(a,b是常数，ab?2),且f(x)f()?k.(1)求k;(2)若f(f(1))?,求a,b. 2x?ax2

函数迭代中的”穿脱”技巧 设函数y=f(x),并记fn(x)=f(f(f?(fx)?),其中n是正整数, fn(x)叫做函数f(x)的n次迭代,函数迭代是一种特殊的函数复合形式,在现代数学中占有很重要的地位,尤其是近年来在国内外数学竞赛屡次出现,成为热点问题之一,以引起广在数学爱好者的关注.由f(x)(或fn(x)的表达式”穿上”或”脱去”n-1个函数符号得出fn(x)(或f(x))的函数迭代问题,这里我们对数学竞赛中穿脱问题的解题技巧作简单介绍和粗浅的探索. 1程序化穿脱 “穿”,”脱”函数符号是一种有序的过程,由内至外一层层穿上f,或从外至内一层层脱去f,往往是一种程序化的模式,

例 已知f(x)=

x1?x2 ,求fn(x).

2实验法穿脱 许多情况下,求解穿脱问题并非只是一种程序化的操作,还需要用敏锐的思维和眼光去发现穿脱过程所蕴含的规律性,实验是发现的源泉,是发现规律的金钥匙.

例函数定义在整数集上,且满足 f(n)= n-3 (n≥1000)

f[f(n+5)](n＜1000求f(84)

例21 对任意的正整数k,令f1(k)定义为k的各位数字和的平方.对于n≥2令fn(k)=f1(fn-1(k)),求f1988(11). 3周期性穿脱 在求解函数迭代问题时我们经常要借助于函数的周期性,利用周期性穿脱要能达到进退自如,做到需穿插则穿,需脱则脱,从而优化解题过程. 例定义域为正整数的函数,满足: f(n)= n-3 (n≥1000)

f[f(n+7)](n＜1000. 试求f(90) 练习

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1.设n是自然数,f(n)为n2+1(十进制)的数字之和,f1(n)=f(n),求的f100(1990)值. 2.已知f(x)=

例4．求函数y?x?2x?1.设f35(x)=f5(x),求f28(x). x?1x2?3x?2的值域。

y?x?x2?3x?2?x2?3x?2?y?x?0

y2?23两边平方得(2y?3)x?y?2，从而y?且x?。

2y?322y2?2y2?3y?23由y?x?y??0??0?1?y?或y≥2。

2y?32y?32y2?2任取y≥2，由x?，易知x≥2，于是x2?3x?2?0。

2y?3y2?23任取1?y?，同样由x?，易知x≤1。

2y?32于是x2?3x?2?0。

因此，所求函数的值域为[1,)?[2,??)。

3??(x?1)?2004(x?1)??1例5（1）设x,y是实数，且满足?，求x+y的值 3??(y?1)?2004(y?1)?132（2） 若方程x?2asin(cosx)?a?0有唯一解，求a

例6：解方程、不等式：（1）x?log2(2x?31)?5 （2）(x＋8)2007＋x2007＋2x＋8＝0 （3）(x2?20x?38)3?4x2?152?x3?84x

Ex1.求y?(3x?1)(9x?6x?5?1)?(2x?3)(4x?12x?13?1)的图象与x轴交点坐

标。

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222222 解：y?(3x?1)((3x?1)?4?1)?(2x?3)((2x?3)?4?1) 令f(t)?t(t2?4?1)，可知f(t)是奇函数，且严格单调，所以 y?f(3x?1)?f(2x?3)，当y?0时，f(3x?1)??f(2x?3)?f(3?2x)， 所以3x?1?3?2x，故x?44，即图象和x轴交点坐标为(,0) 55若函数f(x)为单调的奇函数，且f(x1)?f(x2)?0，则x1?x2?0。若遇两个式子结构相同，不妨依此构造函数，若刚好函数能满足上述性质，则可解之。 Ex2. 设函数f(x)?x?log2(x?3x2?1)，则对任意实数a,b,a?b?0是

f(a)?f(b)?0的（ ）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

探求讨论函数的有关性质，历年来都是数学竞赛的命题热点之一，例如探求函数的周期性，函数的不等式证明，以及解反函数的不等式等问题。而解决这类问题 的办法就是要“穿脱”函数符号“f”，下面我们从具体的例子谈一谈“穿脱”的技巧与方法. 1.单调性穿脱法

对于特殊函数的单调性,我们可以根据函数值相等或函数的单调性对函数“f”进行“穿脱”,进而达到化简的目的,由此使问题获得解答.

已知函数f(x)在区间(-?,+?)上是增函数,a和b是实数.试证: ⑴证明命题:如果a+b≥0那么f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). ⑵判断⑴中的逆命题是否正确,并证明你的结论. 2 反函数穿脱法

灵活自如地处理原函数f(x)与反函数f-1(x),并能熟练地运用 f-1 (f(x))=x,f(f-1(x))=x进行穿脱函数符号“f”，这是极为常用而又重要的方法. 引理 若f(x),g(x)互为反函数,且f(a+b)=f(a) f(b),则g(mn)=g(m)+g(n)

1例 已知函数f(x)满足:①f(2)=1;②函数的值域为[-1,1];③严格递减; ④f(xy)= f(x)+f(y).

111试求:⑴求证: 4不在f(x)的定义域内⑵求不等式f-1(x)f-1()≤的解集

1?x23定义探求法

在求解有关函数方程的问题时,我们经常会遇到要证明某函数为周期性函数,此时我们一般采用周期函数的定义来求解,探求函数的有关性质.

例 设a>0, f(x)是定义在实数集上的一个实值函数,且对每一实数x,有

1f(x+a)=2+

f(x)?[f(x)]2

⑴证明: f(x)是周期函数;

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⑵对a=1,具体给出一个这样的非常数的函数f(x)

例7．设a?1，a,?均为实数，试求当?变化时，函数y?

例8．设f(x)是定义在Z上的一个实值函数，f(x)满足?求证：f(x)是周期为4的周期函数。

例9．已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－ 三、练习

1．集合M由满足如下条件的函数f?x?组成：当x1, x2???1, 1 ?时，有

?f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y)?f(1)?0①②(a?sin?)(4?sin?)的最小值。

1?sin?，

1?f(x),求证f(x)是周期函数

1?f(x)f?x1??f?x2??4x1?x2，对于两个函数f1?x??x2?2x?5,f2?x??中成立的是（ ）

x，以下关系

A. f1?M,f2?M; B. f1?M,f2?M; C. f1?M,f2?M; D. f1?M,f2?M;

2．设f(x)＝1?x＝（ ） ，记f1?x??f?x?，若fn?1(x)?f(fn(x))， 则f2006(x)1?x11?xx?1 A、x B、- C、 D、

x1?xx?1?y3．若(log23)x?(log53)x≥(log23)

?(log53)

?y，则( )

(A)x?y≥0 (B)x+y≥0 (C)x?y≤0 (D)x+y≤0

4．定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.

303305 C.152 D. 22第19页

5．已知f(x)?asinx?b3x?4（a、b；实数）且f(lglog310)?5，则f(lglg3)的值是 （ ） （A） ?5 （B） ?3 （C） 3 （D） 随a、b取不同值而取不同值

lg(1?x2)6．函数f(x)?的奇偶性是:

|x?2|?2A.奇函数 B.偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D.不是奇函数又不是偶函数 7．已知函数f?x??loga?ax?x?2??1??在[1,2]上恒正，则实数a的取值范围是 2?( )

（A）?,?

?15??28?（B）??15??3??3?,??? （C）?,???,???

?28??2??2?

（D）?8．函数f?x???1?,??? ?2?x?3?12?3x的值域为（ ）

? B. ?1, 3? C. ?1, 3? D. ?1, 2? A. ?1, 2??????2??9．给定实数x，定义[x]为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的序号是 （ ）

①x?[x]?0②x?[x]?13③f(x)?x?[x]是周期函数④f(x)?x?[x]是偶函数

10．函数f(x)?x?x?10sinx?3,(x?[?10,10])，则fmin(x)?fmax(x)? 11。实数x，y满足x2＝2xsin(xy)－1，则x2006＋6sin5y＝______________ 12．方程ln(x?1＋x)＋ln(4x?1＋2x)＋3x＝0的解集是 3??x?sinx?2a?013．.已知x,y?[?,],a?R,且?3，则cos(x?2y)=

44??4y?sinycosy?a?022??14．下列说法正确的是

（1）函数y?f(a?x)与y?f(a?x)关于直线x?a对称； （2）函数y?f(a?x)与y?f(a?x)关于y轴对称；

（3）若函数f(x)满足f(a?x)=f(a?x)，则f(x)关于直线x?a对称； （4）若函数f(x)满足f(a?x)=f(a?x)，则f(x)关于y轴对称 15．若函数

f(x)的定义域为R，且对于x的任意值都有

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f(x?2005)?f(x?2004)?f(x?2006)，

则函数f(x)的周期为__________。

16．设方程log3x?x?3?0的根为x1,方程3?x?3?0的根为x2,则x1?x2 = 17．函数f(x)?min{4x?1,x?2,?2x?4}，则fmax(x)? 18．设x?1,y?1,S?{logx2,log2y,logy(8x)}则S的最大值为 19．设函数f0(x)?x,f1(x)?f0(x)?1,f2(x)?f1(x)?2，求函数y?f2(x)的图象与x轴所围成的封闭部分的面积．

20．k为何实数时，方程x2?2x?3?k有四个互不相等的实数根．

21．(1)若函数满足f(a?x)?f(a?x)，求证f(x)的图像就关于直线x?a对称

(2)函数f(x)?x?2x?4x?cx的图像关于某条垂直于x轴的直线对称，求实数c的值 ?x?1,0?x?1?2222．已知f(x)??，定义fn(x)?f(f(?f(x)?)),n?N*

????????2(1?x),1?x?1n个2?（１）求f2001(2)（２）设B??x|f15(x)?x,x?[0,1]?，求证：B中至少含有9个元素．

15函数f(x)的定义域关于原点对称，但不包括数0，对定义域中的任何实数x，在定义域中存

4322x在x1,x2，使得x?x1?x2,f(x1)?f(x2)，且满足以下三个条件：（１）x1,x2是定义域中的数，

f(x1)?f(x2)或0?x1?x2?2a，则f(x1?x2)?f(x1)f(x2)?1；（２）f(a)?1（a是一

f(x2)?f(x1)个正常数）；（３）当0?x?2a时，f(x)?0．求证：（１）f(x)是奇函数；（２）f(x)是周期函数，并求出其周期；（３）f(x)在(0,4a)内为减函数．

§2.2 二次函数

一、 基础知识： 1． 二次函数的解析式

（1）一般式：f(x)?ax2?bx?c(a?0)

（2）顶点式：f(x)?a(x?h)2?k，顶点为(h,k) （3）两根式：f(x)?a(x?x1)(x?x2) （4）三点式：f(x)?(x?x1)(x?x3)(x?x2)(x?x3)(x?x1)(x?x2)f(x3)?f(x2)?f(x1)

(x3?x1)(x3?x2)(x2?x1)(x2?x3)(x1?x2)(x1?x3)2．二次函数的图像和性质

b4ac?b2（1）f(x)?ax?bx?c(a?0)的图像是一条抛物线，顶点坐标是(?,)，对称轴方程为

2a4a2第21页

x??b，开口与a有关。 2abb]上为减函数，在[?,??)上为增函数；a?0时相反。 2a2a（3）奇偶性：当b?0时，f(x)为偶函数；若f(a?x)?f(a?x)对x?R恒成立，则x?a为f(x)的

（2）单调性：当a?0时，f(x)在(??,?对称轴。

4ac?b2b（4）最值：当x?R时，f(x)的最值为，当x?[m,n],??[m,n]时，f(x)的最值可从

4a2af(m),f(n),f(?bb)中选取；当x?[m,n],??[m,n]时，f(x)的最值可从f(m),f(n)中选取。常依2a2a轴与区间[m,n]的位置分类讨论。 3．三个二次之间的关联及根的分布理论：

二次方程f(x)?ax2?bx?c?0(a?0)的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。 二、 综合应用：

例1：已知f(x)?x2?ax?3?a，若x?[?2,2]时，f(x)?0恒成立，求a的取值范围。

例2．设f(x)?ax2?bx?c(a?0)满足条件：（1）当x?R时，f(x?4)?f(2?x)且f(x)?x，（2）当

?x?1? （3）f(x)在R上的最小值为0。①求f(x)的解析式；②求最大的m(m?1)x?(0,2)时,f(x)???，

?2?使得存在t?R，只要x?[1,m]就有f(x?t)?x。

设实数a、b、c满足

a2－bc－8a＋7＝0 …………① b2＋c2＋bc－6a＋6＝0 …………② 求a的取值范围.

2分析：如何将含有三个变量的两个方程组成的方程组问题，转化为只含有a的不等式，是解决本题的关键，仔细分析观察方程组的特点，发现可以利用a来表示bc及b＋c，从而用韦达定理构造出a为变量的一元二次方程，由△≥0建立a的不等式. 解：由①得：bc＝a2－8a＋7 …………③

由①②得：(b＋c)2＝a2－2a＋1 即b＋c＝±(a－1) …………④

由③④得b，c为方程x2±(a－1)x＋(a2－8a＋7)＝0的两个实数根，

由于b，c∈R，所以△≥0即：[±(a－1)]2－4(a2－8a＋7)≥0即：a2－10a＋9≤0得：1≤a≤9

例3。已知二次函数f(x)?ax?bx?c和一次函数g(x)??bx，其中a,b,c满足

2a?b?c，a?b?c?0，(a,b,c?R)．

（1）求证：两函数的图像交于不同的两点A、B； （2）求线段AB在x轴上的射影A1B1的范围。

命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力. 知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合. 错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，第22页

老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”. 技巧与方法：利用方程思想巧妙转化. ?y?ax2?bx?c(1)证明：由?消去y得ax2+2bx+c=0 ?y??bxc322222Δ=4b－4ac=4(－a－c)－4ac=4(a+ac+c)=4［(a+)2?c］ 243∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点. 42bc(2)解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－,x1x2=. aa|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2 2b24c4b2?4ac4(?a?c)2?4ac?(?)???2aaaa2 ∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0 ccc13?4[()2??1]?4[(?)2?]aaa24c1∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－) 2acccc1∵f()?4[()2??1]的对称轴方程是??. aaaa2c1∈(－2,－)时，为减函数 ∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈(3,23). 2a例4．已知二次函数f(x)=ax2+bx (a,b是常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)=f(3－x)，且方程f(x)=2x有等根。 ①求f(x)的解析式；

②是否存在实数m，n (m

∵f(x－1)=f(3－x)?f(x)=f(2-x)?图象的对称轴为x=-∴f(x)=-x2+2x

②f(x)=-(x-1)2+1≤1 ∴4n≤1?n≤b=1?a=-1 2a1 4∵抛物线y=-x2+2x的对称轴为x=1 ∴n≤1时，f(x)在[m,n]上为增函数 4若满足题设条件的m,n存在，则

?f(m)?4m?m?0或m??2?? ?f(n)?4nn?0或n??2??∵m

第23页

∴存在m=-2,n=0，满足条件。

例5．对于函数y=f(x)，若存在实数x0，满足f(x0)=x0，则称x0为f(x)的不动点。已知F1(x)=f(x), F2(x)=f[F1(x)], F3(x)=f[F2(x)], ?, Fn(x)=f[Fn-1(x)] (n∈N*,n≥2)。

①若f(x)存在不动点，试问F2(x), F3(x), ?,Fn(x)是否存在不动点？写出你的结论，并加以证明。

②设f(x)=2x-x2。求使所有Fn(x)<0 （n∈N*,n≥2）成立的所有正实数x值的集合。 ①y=f(x)存在不动点x0，则f(x0)=x0，下证x0是Fn(x)的不动点。 ∵F2(x0)=f[F1(x0)]=f[f(x0)]f(x0)=x0 ∴x0也是F2(x)的不动点。

若Fn-1(x)存在不动点x0，即Fn-1(x0)=x0

∴Fn(x0)=f[Fn-1(x0)]=f(x0)=x0? Fn(x)存在不动点x0

综上所述：对于任意n∈N*,n≥2，Fn(x)都存在不动点，并且有相同的不动点。 ②方法一：

∵f(x)<0?2x－x2<0?x<0或x>2

∵要使Fn(x)<0 (n≥2)?f[Fn-1(x)]<0?2Fn-1(x)－[Fn-1(x)]2<0?Fn-1(x)<0或Fn-1(x)>2 依此类推，要使F2(x)<0?f[F1(x)]<0?f[f(x)]<0?2f(x)－[f(x)]2<0?f(x)<0或f(x)>2?2x－x2<0或2x－x2>2?x<0(舍去)或x>2或x∈??x>2 ∴所求x的取值范围为(2,+∞)。

?例6：求实数a的取值范围，使得对于任意实数x和任意实数??[0,]，恒有

2(x?3?2sin?cos?)2?(x?asin??acos?)2?1。 818设t?sin??cos?,t?[1,2]，原不等式化为：(x?2?t2)2?(x?at)2?恒成立

(a?b)2(2?t2?at)2122记f(x)?(x?2?t)?(x?at)，则?f(x)min ， ?a?b? ,?f(x)?2282221(2?t2?at)235???2t2?2at?3?0或2t2?2at?5?0， ?a?t?或a?t? 822t2t?1?t?2,?(t?357)min?6;(t?)max?2t2t2?a?6或a?72

例7：已知函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)，方程f(x)?x的两根是x1,x2,且x2?x1?0?t?x1，试比较f(t)与x1的大小。

1，又若a解法一：设F(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋c＝a(x－x1)(x－x2)∴ f(x)＝a(x－x1)(x－x2)＋x 作差：f(t)－x1＝a(t－x1)(t－x2)＋t－x1 ＝(t－x1)[a(t－x2)＋1] ＝a(t－x1)(t－x2＋又t－x2＋1＜t－(x2－x1)－x1＝t－x1＜0∴ f(t)－x1＞0∴ f(t)＞x1 a1) a解法二：同解法一得f(x)＝a(x－x1)(x－x2)＋x

令g(x)＝a(x－x2)∵ a＞0，g(x)是增函数，且t＜x1 ? g(t)＜g(x1)＝a(x1－x2)＜－1 另一方面：f(t)＝g(t)(t－x1)＋t

第24页

∴

f(t)?t＝a(t－x2)＝g(t)＜－1∴ f(t)－t＞x1－t∴ f(t)＞x1 t?x12例8．已知函数f(x)?x?bx?c，方程f(x)?x的两个根为x1,x2，且x1?x2?2

（1） 求证：x1,x2也是方程f(f(x))?x的根；

（2） 设f(f(x))?x的另两个根是x3,x4，且x3?x4，试判断x1,x2,x3,x4的大小。 解：（1）易证。

（2）由方程f(x)?x?0的两个根为x1,x2，设f(x)?x?(x?x1)(x?x2) 所以f(f(x))?x?(f(x)?x1)(f(x)?x2)?f(x)?x

[(x?x1)(x?x2)?(x?x1)][(x?x1)(x?x2)?(x?x2)]?(x?x1)(x?x2)?(x?x1)(x?x2)[(x?x1?1)(x?x2?1)?1]记g(x)?(x?x1?1)(x?x2?1)?1，则x3,x4是g(x)?0的两根，而

g(x1)?x1?x2?2?0,g(x2)?x2?x1?2?0，且x3?x4，

故x4?x2?x3?x1。

例9．设f(x)?ax2?bx?1(a?0),方程f(x)?x?0的两个根x1,x2，若x1?2?x2?4，设y?f(x)的对称轴为x?x0，求证x0??1

?g(2)?0可以推出结论。

g(4)?0?构造g(x)?f(x)?x?ax2?(b?1)x?1,?．设f(x)?ax2?bx?c(a?0),当x?[0,1]时，|f(x)|?1，求证：适合b?A的最小实数A的值为8。

1111?f(1)?a?b?c?f(1)?a?b?c4444?11b3f(0)?c??f()?f(1)??f(0) ?2444?11b11b?f()?a??cf()?a??c?24224211?b?4f()?f(1)?3f(0)?|b|?4|f()|?|f(1)|?3|f(0)|?8，所以A的最小值为8

222例10．设f(x)?ax?bx?c(a?0),方程f(x)?x?0的两个根x1,x2满足0?x1?x2?1， a（1）当x?(0,x1)时，证明x?f(x)?x1；（2）设f(x)的图像关于直线明x0?x?x0对称，证

x1 2该题是一九九七年全国普通高考理工类数学第24题，它综合考查二次函数、二次方程和不第25页

等式的基础知识，以及灵活运用数学知识和方法分析、解决问题的能力，当年没有几个考生能完整解答此题。可以从代数与几何两个角度展开思考：

从代数角度看，f(x)是二次函数，从而方程f(x)-x=0即ax2+(b-1)x+c=0 (a＞0)是二次方程，由于x1,x2是它的两个根，且方程中x2的系数是a，因此有表达式：f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) ,进而，利用二次函数的性质和题设条件，可得第（1）问的证明。

从几何角度看，抛物线y=f(x)-x开口向上，因此在区间［x1,x2］的外部，f(x)-x＞0，（1）的左端得证。其次，抛物线y=f(x)的开口也向上，又x1=f(x1)，于是为了证得（1）的右端，相当于要求证明函数f(x)在区间［0,x1］的最大值是f(x1)，这相当于证明f(0)≤f(x1)，也即C≤x1，利用韦达定理和题设，立即可得。

至于（Ⅱ）的证明，应用配方法可得x0=?2ba，进而利用韦达定理与题设，即得证明。 证明：①欲证：x＜f(x)＜x1

只须证：0＜f(x)-x＜x1-x ①

∵方程f(x)-x=0的两根为x1,x2, ∴f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)

①式即: 0＜a(x-x1)(x-x2)＜x1-x ② ∵a＞0，x∈(0,x1)，x1-x＞0，∴ a(x1-x)＞0

1 ②式两边同除以a(x1-x)＞0，得：0＜x2-x＜1a，即：x＜x2＜a+x 11 这由已知条件：0＜x＜x1＜x2＜1a，即得：x＜x2＜a＜a+x，

故命题得证。 （2）欲证x0＜x12，因为x0=?2ba，故只须证：x0-x1?x22x12=?2ba-

x12＜0 ①

x12?1 由韦达定理，x1+x2=?ba，1b=?b2?a，代入①式，有?2a-

=

x22-21a＜0

即：x2＜1a

由已知：0＜x1＜x2＜1a，命题得证。

三、练习

1．二次函数y?ax?bx?c(a?0),若f(x1)?f(x2)(x1?x2),则f(x1?x2)等于:

24ac?b2bbA.? B. ? C.c D.

4a2aa

2．已知二次函数f?x??ax?bx?1?a?0,b?R?，设方程f?x??x 有两个实数根

2x1,x2．

①如果x1?2?x2?4，设函数f?x?的对称轴为x?x0，求证：x0??1； ②如果0?x1?2，且f?x??x的两实根的差为2，求实数b的取值范围．

第26页

（1）f(x)?x即为：g(x)?ax2?(b?1)x?1

?b?1??2?4它的两根满足x1?2?x2?4的充要条件是：??g(2)?4a?2b?1?0

?g(4)?16a?4b?3?0??

b2a?bg(4)?g(2)又x0??，所以：x0?1? ?2a2a8a因为：a?0,g(2)?0,g(4)?0，所以：x0?1?0，即：x0??1

?g(0)g(2)?0?4a?2b?1?0（1） 由题意得：? 即：2(a?0) ??(b?1)?4a22(b?1)?4a?4a??2?a??3?2b?0消去a得：2(b?1)2?1?3?2b，此不等式等价于：? 22?4?b?1??1??3?2b???1 43．已知函数f(x)=6x－6x2，设函数g1(x)=f(x), g2(x)=f[g1(x)], g3(x)=f[g2(x)], ?, gn(x)=f[gn-1(x)], ?。

①求证：如果存在一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切n∈N*, gn(x0)=x0都成立； ②若实数x0，满足gn(x0)=x0，则称x0为稳定动点，试求所有这些稳定不动点。

③设区间A=(-∞,0)，对于任意x∈A，有g1(x)=f(x)=a<0, g2(x)=f[g1(x)]=f(0)<0，且n≥2时，gn(x)<0。试问是否存在区间B (A∩B≠?)，对于区间内任意实数x，只要n≥2，都有gn(x)<0？ 解:①数学归纳法：当n=1时，g1(x0)=x0显然成立；当n=k时，在gk(x0)=x0 (k∈N*)成立，则gk+1(x0)=f[gk(x)]=f(x0)=g1(x0)=x0，即当n=k+1时，命题成立。 ∴对一切n∈N*，若g1(x0)=x0，则gn(x0)=x0。 ②由①知，稳定不动点x0只需满足f(x0)=x0，

解得：b?∵f(x0)=x0?6x0－6x02=x0?x0=0或x0=

5。 6③∵f(x)<0?6x－2x2<0?x<0或x>1

∴gn(x)<0?f[gn-1(x)]<0? gn-1(x)<0或gn-1(x)>1

要使一切n∈N,n≥2，都有gn(x)<0，必须有g1(x)<0或g1(x)>1 ∵g1(x)<0?6x－2x2<0?x<0或x>1

g1(x)>1?6x－2x2>1?3?33?3

3?33?3,)和(1,+∞)内的任意x，只要n≥2,n∈N*，都有gn(x)<0。 66第27页

§2.3 函数迭代

知识提要

先看一个有趣的问题：李政道博士1979年4月到中国科技大学，给少年班的同学面试这样一道题：

五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡觉，明天再说．夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子吃掉后正好可以分成5份，收藏起自己的一份后又去睡觉了．第二只猴子起来后，像第一只猴子一样，先吃掉一个，剩下的又刚好分成5份，也把自己的一份收藏起来睡觉去了．第三、第四、第五只猴子也都是这样：先吃掉一个，剩下的刚好分成5份．问这堆桃子最少是多少个？

设桃子的总数为x个．第i只猴子吃掉一个并拿走一份后，剩下的桃子数目为xi个，则

4xi?(xi?1?1)，i?1,2,3,4,5

544且x0?x．设f(x)?(x?1)?(x?4)?4．于是

554x1?f(x)?(x?4)?4

54x2?f(f(x))?()2(x?4)?4

54x3?f(f(f(x)))?()3(x?4)?4

54x4?f(f(f(f(x))))?()4(x?4)?4

54x5?f(f(f(f(f(x)))))?()5(x?4)?4

5由于剩下的桃子数都是整数，所以，5|x?4．因此，最小的x为：x?5?4?3121． 上面的解法，我们利用了一个函数自身复合多次，这就叫迭代．一般地，设f:D?D是一个函数，对?x?D，记f(0)55(x)?x，f(1)(x)?f(x)，f(2)(x)?f(f(x))，?，

(n)(n)f(n?1)(x)?f(f(n)(x))，n?N?，则称函数f(x)为f(x)的n次迭代，并称n为f(x)(?n)的迭代指数．反函数记为f

(x)．

第28页

一些简单函数的n次迭代如下： （1）若f(x)?x?c，则f（3）若f(x)?x，则fa(n)(n)(x)?x?nc；

an（2）若f(x)?ax，则f（4）若f(x)?(n)(x)?anx；

(x)?x；

(n)nxx，则f(n)(x)?； 1?ax1?nax（5）若f(x)?ax?b（a?1），则f1?an(x)?ax?b；

1?af(n)(x)的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察规律并猜测表达式，证明时常用

数学归纳法．

例题讲解

1．求迭代后的函数值

例1：已知f(x)是一次函数，且f

例2：自然数k的各位数字和的平方记为f1(k)，且fn(k)?f1[fn?1(k)]，则fn(11)（n?N）的值域为（ ） （A）N

??(10)(x)?1024x?1023，求f(x)的解析式．

（B）5 （C）{4,16,49,169,256}

（D）

{2,4,7,13,16}

（第14届希望杯）

例3：设f1(x)?f(2)?12?，而fn?1(x)?f1[fn(x)]，n?N．记an?n，则

fn(2)?2x?1a99? ．

（第14届希望杯）

2．不动点法

一般地，若f(x)?ax?b，则把它写成

第29页

f(x)?a(x?因而

bb )?1?a1?af(2)(x)?a2(x?bb )?1?a1?abb f(3)(x)?a3(x?)?1?a1?a??

f(n)(x)?an(x?这里的不动点．

如果x0是函数f(x)的不动点，则x0也是fbb )?1?a1?ab就是方程ax?b?x的根．一般地，方程f(x)?x的根称为函数f(x)的1?a(n)(x)的不动点．可用数学归纳法证明．利

用不动点能较快地求得函数f(x)的n次迭代式．

(n)例4：若f(x)?19x?93，求f(x)．

2

3．相似法

若存在一个函数?(x)以及它的反函数?(x)，使得f(x)??(g(?(x)))，我们称

?1?1f(x)通过?(x)和g(x)相似，简称f(x)和g(x)相似，其中?(x)称为桥函数．

如果f(x)和g(x)相似，即f(x)??(g(?(x)))，则有：f例6：若f(x)?2x?1，求f

(n)例7：若f(x)?x?2x?1，求f(x)．

2(n)?1(n)(x)???1(g(n)(?(x)))．

(x)．

第30页

课后练习

1．若f(x)?x?1的定义域为A，f[f(x)]的定义域为B，则（ ） x?1（C）A?B

（D）AüB （第

（A）A?B?R （B）AYB 5届希望杯）

?2．在正整数集N上定义的函数f(n)???n?3 (n?1000)，则f(90)的值是

?f[f(n?7)] (n?1000)（ ）

（A）997 2届希望杯）

3．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]?4x?3，则f(x)的解析式为 ． 4．已知函数f(x?a)?|x?2|?|x?2|，且f[f(a)]?3，则a? ． （第6届希望杯）

5．设y?f(x)是定义在R上的函数，且对于任意实数a,b，有f[af(b)]?ab，则

（B）998

（C）999

（D）（第1000

|f(1999)?| ．

6．设函数f(n)?k，k是无理数??3.1415926535?的小数点后第n位数字，并且规定

f(0)?3F[f(?．令

F(n)?f(f(f(?f(n))?))?????????10重f，求证：

19?f90f?)F．( fff （第1届希望杯）

7．给定n个数：a1?0.50.5，ak?0.5ak?1（k?2,3,?,n）将这n个数由大到小地排成一

列，定义：第k位上恰是ak的数k（k?2）叫做希望数，试求n?2999时的希望数． （第11届希望杯）

8．设 f(x)?x?a．记f(x)?f(x)，f(x)?f(f21nn?1(x))（n?2,3,?），

1M?{a?R|对任意正整数n,|fn(0)|?2}．证明：M?[?2,]. （2006

4年全国联赛）

第31页

§2.4 抽象函数

知识提要

1．所谓抽象函数泛指不具体的函数，然而抽象函数又多以具体函数为背景，所以研究抽象函数很有应用价值．抽象函数也是高考、竞赛命题的热点之一．

2．抽象函数与它的代表函数

1 抽象函数满足条件 代表函数 f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) f(x)?kx（k?0） 2 f(x)?ax（a?0,a?1） f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) f(x)?logax（a?0,a?1） 3 f(4 5 x1)?f(x1)?f(x2) x2f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) f(x)?xa f(x1)?f(x2)?2f(f(x?1)?x1?x2x?x)?f(12) 221?f(x) 1?f(x)f(x)?cosx 6 f(x)?tan?x4 7 x?xf(x1)?f(x2)?f(12) 1?x1x2f(x)?loga1?x 1?x8 1 f(x)??f(x)f(x)?logax或f(x)?x?1 x3．抽象函数的性质

（1）若f(x)的定义域为R，当x?0时，f(x)?1，且对任意x,y有

f(x?y)?f(x)?f(y)，则f(x)是R上的增函数；

（2）若f(x?y)?f(x)?f(y)对任意实数x,y都成立，则f(x)是奇函数； （3）若f(a?x)??f(b?x)对任意实数x都成立，则f(x)的图像以点(a?b,0)为2第32页

中心对称；

（4）若f(x?T)??1，则2T是f(x)的一个周期． f(x)例题讲解

1．抽象函数的值（值域）

?f(x)例1：函数f(x)的值域(,4]，则g(x)?f(x)27届希望杯）

14的值域为 ．（第

例2：定义为R的函数f(x)，对任何a,b?R，都有f[af(b)?]a，b则

f2(1994?) ．

（第5届希望杯）

例3：设f(x)是[0,1]上的不减函数，即对于0?x1?x2?1有f(x1)?f(x2)，且满足：（1）f(0)?0；（2）f()?

例4：设奇函数y?f(x)的定义域为R，f(1)?2，且对任意x1,x2?R，都有

x311（3）f(1?x)?1?f(x)，则f( f(x)；)? ．

22005f(x1?x2)?f(x1)?

f(x2)，当x?0时，f(x)是增函数，则函数y??f2(x)在区间[?3,?2]上的最大值

是 ．

（第4届希望杯）

第33页

2．抽象函数的单调性

例5：奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为?1，则

2f(?6)?f(?3)? ． （第

14届希望杯）

例6：设f(x)是定义在R?上的增函数，且f(x)?f()?f(y)，若f(3)?1，则

xyf(x)?f(

1)?2成立的x的取值范围是 ． x?53．抽象函数的奇偶性

例7：f(x)是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为2，则

f(1?)f(?2)f（A）1或0 6届希望杯）

??(3)?f

( 1?9（C）0

（D）1 （第

（B）1或?1

例8：函数f(x)的定义域是R，函数g(x)?f(x)?2?f(?x)，已知g(5)??3，则

g(?5)? ．

（第4届希望杯）

4．抽象函数的周期性

例9：定义在实数集上的函数f(x)，满足f(x?1)?1?f(x?1)，

1?f(x?1)第34页

则f(1)?f(2)?f(3)?f(2000)?2000的值为 ． （第12届希望杯）

例10：定义在R上的非常数函数，满足（1）f(10?x)为偶函数；（2）

f(5?x)?f(5?x)，则f(x)一定是（ ）

（A）是偶函数，也是周期函数

（C）是奇函数，也是周期函数 12届希望杯）

（D）是奇函数，但不是周期函数 （第 （B）是偶函数，但不是周期函数

课后练习

1．函数f(x)是定义在R上的实函数，它既关于x?5对称，又关于x?7对称，那么f(x)的周期是（ ） （A）4

（B）2

（C）

? 2

（D）?

2．已知定义域为R的函数f?x?在区间?8,???上为减函数，且函数y?f?x?8?为偶函数，则（ ）

（A）f?6??f?7? （B）f?6??f?9? （C）f?7??f?9? （D）f?7??f?10? （2007年重庆高考）

3．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程

f(x)?0在闭区间??T,T?上的根的个数记为n，则n可能为（ ）

（A）0

（B）1

（C）3

（D）5 （2007

年安徽高考）

第35页

4．定义在R上的函数y?f(x)，它具有下述性质：（1）对任何x?R，都有f(x)?f(x)；（2）对任何x1,x2?R，x1?x2，都有f(x1)?f(x2)．则f(0)?f(1)?f(?1)的值为（ ） （A）0 确定

5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x?1)?f(x)?3，当x?[0,1]时，

（B）1

（C）?1

（D）不

33f(x)?2?x，则f(?2005.5)? ．

6．函数f(x)是定义域为[?1,1]的奇函数，且为增函数，f(1?a)?f(1?a)?0，则实数

2a的取值范围

是 ． （第5届希望杯）

7．定义在R上的函数f(x)，恒有f(x?y)?f(x)?f(y．)若f(16)?4，那么

f(2003)? ．

8．已知函数y?f(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2?x)?f(2?x)． （1）证明：函数y?f(x)的图像关于直线x?2对称．

（2）若f(x)又是偶函数，且x?[0,2]时，f(x)?2x?1，求x?[?4,0]时的f(x)的表达式．

9．设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)?f(3)?0． （1）试判断函数y?f(x)的奇偶性；

（2）试求方程f(x)?0在闭区间[?2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论． （2005年广东高考）

第36页

第三章：数列

§3.1 等差数列与等比数列

数列是中学数学中一个重要的课题，也是数学竞赛中经常出现的问题.

所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a1, a2, ?,an, ?通常简记为{an}.如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式.

从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式.

对于数列{an}，把Sn=a1+a2+?+an叫做数列{an}的前n项和，则有

(n?1),?S1an??

S?S(n?2).n?1?nI．等差数列与等比数列

1．等差数列

（1）定义：an?1?an?d(常量)或an?1?（2）通项公式：an=a1+(n－1)d . （3）前n项和公式：Sn?an?an?2. 2n(a1?an)n(n?1)?na1?d. 22（4）等差中项：an?1?an?an?2. 2（5）任意两项：an=am+(n－m)d. （6）性质：

①公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为n的一次函数；

②公差为非零的等差数列的充要条件是前n项和公式为n的不含常数项的二次函数； ③设{an}是等差数列，如果m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，那么am+an=ap+aq;

④设Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sm, S2m－Sm, S3m－S2m, ?, Spm－S(p－1)m(m>1,p≥3，m、p∈N*)仍成等差数列； ⑤设Sn是等差数列{an}的前n项和，则{Sn}是等差数列； n⑥设{an}是等差数列，则{λan+b}(λ,b是常数)是等差数列；

⑦设{an}与{bn}是等差数列，则{λ1an+λ2bn}（λ1，λ2是常数）也是等差数列；

⑧设{an}与{bn}是等差数列，且bn∈N*，则{abn}也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）； ⑨设{an}是等差数列，则{Cn}（c>0, c≠1）是等比数列. 2．等比数列

a第37页

（1）定义：

an?1aa?q(常量),或n?2?n?1 anan?1an－

（2）通项公式：an=a1qn1.

(q?1).?na1?（3）前n项和公式：Sn??a1(1?qn)a1?anq

?(q?1).?1?q1?q?（4）等比中项：an?1??anan?2. （5）任意两项：an=amqnm.

（6）无穷递缩等比数列各项和公式：

－

S=

?an?limSn?n?1n????a1(0?|q|?1). 1?q（7）性质：

①设{an}是等比数列，如果m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，那么am·an=ap·aq；

②设Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sm, S2m－Sm, S3m－S2m, ?， Spm－S(p－1)m(m>1, p≥3，m、n∈N*)仍为等比数列；

③设{an}是等比数列，则{λan}（λ是常数）、{an}（m∈Z*）仍成等比数列； ④设{an}与{bn}是等比数列，则{an·bn}也是等比数列；

⑤设{an}是等比数列，{bn}是等差数列，bn∈Z*，则{abn}是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；

⑥设{an}是正项等比数列，则{logcan}(c>0, c≠1)是等差数列.

m赛题精讲

例1 设数列{an}的前n项和Sn=2an－1(n=1, 2,?)，数列{bn}满足b1=3, bk+1=bk+ak(k=1,2，?)，求数列{bn}的前n项之和.

（1996年全国数学联赛二试题1）

【思路分析】欲求数列{bn}前n项和，需先求bn. 由ak=bk+1－bk, 知求ak即可，利用 ak=Sk－Sk－1(k=2, 3, 4,?)可求出ak.

【略解】由Sn=2an－1和a1=S1=2a1－1,得a1=1, 又an=Sn－Sn－1=2an－2an－1,即an=2an－1,

－

因此{an}是首项为1，公比为2的等比数列，则有an=2n1.

由ak=bk+1－bk，取k=1,2,?,n－1得

a1=b2－b1, a2=b3－b2, a3=b4－b3, ?, an－1=bn－bn－1,将上面n－1个等式相加，得bn－

－－

b1=a1+a2+?+an. 即bn=b1+a1+a2+?+an=3+(1+2+22+?+2n1)=2n1+2,所以数列{bn}的前n项和为

－

Sn′=（2+1）+（2+2）+（2+22）+?+（2+2n1）=2n+2n－1.

【评述】求数列的前n 项和，一般情况必须先研究通项，才可确定求和的方法.

例2 求证：若三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则此三角形必是正三角形.

【思路分析】由△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，知∠B=60°，三个角可设

第38页

为60°－d, 60°, 60°+d，其中d为常数；又由对应的三边a、b、c成等比数列，知b2=ac，或将三边记为a、aq、aq2，其中q为正常数，由此知要证此三角形为正三角形只须证明d=0或q=1或a=b=c.

【证】设△ABC的三个内角为A、B、C及其对边a、b、c，依题意b2=ac, ∠B=60°. 【方法1】由余弦定理，得

a2?c2?b21cosB??cos60??,所以a2?c2?ac?ac,

2ac2整理得(a－c)2=0因此a=c.

故△ABC为正三角形.

【方法2】设a、b、c三边依次为a、aq、aq2，由余弦定理有

a2?(aq)2?(aq2)21??cos60?cosB=,整理得q4－2q2+1=0,解得q=1, q=－（1舍去） 222?a?aq所以a=b=c,故此△ABC为正三角形.

【方法3】因为b2=ac, 由正弦定理：

(2RsinB)2=2RsinA·2RsinC（其中R是△ABC外接圆半径）即sin2B=sinA·sinC，把 B=60°代入得sinA·sinC=

313，整理得[cos(A－C)－cos(A+C)=，即cos(A－C)=1,424所以A=C，且∠B=60°，故此△ABC为正三角形.

【方法4】将60°－d, 60°, 60°+d代入sin2B=sinAsinC, 得sin(60°－d)·sin(60°+d)=

313，即[cos(2d)－cos120°]= . 424得cos2d=1, d=0°,所以∠A=∠B=∠C，故△ABC为正三角形.

【评述】方法1、2着眼于边，方法3、4着眼于角.

例3 各项都是正数的数列{an}中，若前n项的和Sn满足2Sn=an+

1,求此数列的通项an公式.

【思路分析】 在Sn与an的混合型中，应整理成数列{Sn}的递推式或数列{an}的递推式，然后用递推关系式先求出Sn，再求an，或直接求an.本题容易得到数列{Sn}的递推式，利用an=Sn－Sn－1先求出Sn，再求an即可.

【解】n≥2时，将an=Sn－Sn－1代入2Sn=an+

11,得2Sn=Sn－Sn－1+,整理得 anSn?Sn?1222Sn?Sn?1(n?2),且S?a?1,{S所以数列 ?111n}是首项为1，公差为1的等差数列，

即Sn?1?(n?1)?1?n,Sn?时，由2S1=a1+

2n,从而an?Sn?Sn?1?n?n?1(n?2),当n=1

1,得a1=1也满足an?n?n?1. ann?n?1.

故数列{an}的通项公式为an?第39页

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