中考专题第九讲几何最值及路径长

第九讲几何最值及路径长

预习

1. 如图，A，B为定点，P为直线l上一点，若点P恰好使AP+BP最短，请画出点P的位置．

B提示： A①分析定点（A，B），动点（P在直线l上动），不变特征

lP②以l为对称轴利用轴对称进行转化

③由“两点之间，线段最短”确定位置

2. 如图，A，B为定点，MN为直线l上一可以移动的线段，且MN长度固定，若点M恰好使AM+MN+BN

最短，请画出点M的位置． 提示：

①分析定点（A，B），动点（M，N在l上动，且MN长度固定），不变特征 ②先平移BN，使平移后的点N与M重合，将其转化为问题1

③以l为对称轴利用轴对称进行转化④由“两点之间，线段最短”确定位置

3. 如图，∠AOB=60°，点P在∠AOB的平分线上，OP=10cm，点E，F分别是∠AOB两边OA，OB

上的动点，当△PEF的周长最小时，点P到EF的距离是_________． 提示：①分析定点（P），动点（E在OA上动，F在OB上动），不变特征 ②分别以OA，OB为对称轴，将P对称过去，得到P1，P2

③连接P1P2，由“两点之间，线段最短”确定位置，进而求解P到EF的距离． A

P

E

OFBAMNl

B知识点

1. 几何最值问题的处理思路

①分析定点、动点，寻找不变特征；

②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；

若不属于常见模型，要结合所求目标，根据不变特征转化为基本定理或表达为函数解决问题． 转化原则：

尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢，或使用同一变量表达所求目标． 基本定理：

两点之间，线段最短（已知两个定点） 垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）

三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）

过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦 常用模型、结构示例： ①轴对称最值模型

1

BAPB'lAB'PBl求PA+PB的最小值， 使点在线异侧

B'

B

求|PA-PB|的最大值， 使点在线同侧

A

固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM+MN+BN的最小值，需平移BN（或AM），转化为AM?MB?解决． ②折叠求最值结构

MNlAMA'

求BA′的最小值，转化为求BA′+A′N+NC的最小值（利用A′N+NC为定值）． 2. 解决路径长问题的思路

①分析定点、动点，寻找不变特征； ②确定运动路径；

通过“起点、终点、特殊点”猜测运动路径，并结合不变特征进行验证． ③设计方案，求出路径长．

NCB典型题型

1. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，

13)，点C的坐标为(，0)，点P为斜边OB上一动点，则PA+PC的最小值为___________．

2yBADPOCAxEBPQC

2. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点．若P，Q为BC边上的两动点，且

PQ=2，则当BP=___________时，四边形APQE的周长最小．

2

3. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3．P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP

沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是_____．

AB'PMDCADBCA'ANBBC

第4题图 第5题图

4. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN

沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是_______．

5. 如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，

折痕所在直线同时经过边AB，AD（包括端点），设BA′=x，则x的取值范围是_______． 6. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，O为AC的中点，过O作OE⊥OF，OE，OF

分别交射线AB，BC于E，F，连接EF，则EF长度的最小值为_______．

AAOEAHEFGDEMGBDCFCB 7. 如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，且满足AE=DF．连接CF交BD于点G，BFC连接BE交AG于点H，连接DH．若正方形的边长为2，则DH长度的最小值是_______． 8. 如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC，EF的中点，直线AG，FC

相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是__________．

9. 如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E，F分别是AC，BC的中

点，直线EF与⊙O交于G，H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为___________．

COGAEFBPOHABl

第9题图 第10题图

3

10. 如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P

作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则(x-y)的最大值是__________．

11. 如图，边长为2的正方形ABCD的两条对角线交于点O，把BA与CD分别绕点B和点C逆时针

旋转相同的角度，此时正方形ABCD随之变成四边形A′BCD′．设A′C，BD′交于点O′，若旋转了60°，则点O运动到点O′所经过的路径长为_______．

NAA'PP'AA'D'O'BODB'M

12. 如图，木棒AB的长为2a，斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，且与地面的倾斜角（∠ABO）

BCO为60°．当木棒A端沿NO向下滑动到A'，B端也随之沿直线OM向右滑动到B'，若

AA'=(3?2)a，则木棒的中点P随之运动的路径长为________________．

13. 已知等边三角形ABC的边长为4，点D是边BC的中点，点E在线段BA上由点B向点A运动，

连接DE，以DE为边在DE右侧作等边三角形DEF．设△DEF的中心为O，则点E由点B向点A运动的过程中，点O运动的路径长为________．

AFEOBDC

14. 如图，点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N．若

点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是_____________．

yABOMPNCx

4

几何最值及路径长（随堂测试）

1. 如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB?230．在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的值最小，则此时AM+NB=（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 AayCyCB DBNDx bBOAxOA2. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠C=60°．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（ ） 3A． B．3 C．2 D．1?3 23. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为(2，0)，∠COA=60°，点D是线段AB上一动点，过点B作BN⊥CD于点N，当点D从点A运动到点B的过程中，点N运动的路径长为（ ） π2πA． B． C．3 D．2 33 几何最值及路径长（习题）

例题示范

例1：如图，在矩形ABCD中，AB=12，AD=3，E，F分别为AB，CD上的两个动点，则AF?FE?EC的最小值为________．

EGFDFCAEBACPDB

例2：如图，已知AB=10，点C，D在线段AB上，且AC=BD=2．

P是线段CD上的一动点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边三角形AEP和等边三角形PFB，连接EF，设EF的中点为G．当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为___________．

5

巩固练习 1. 如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（ ） A．3 B．32 C．23 D．26 APEDDQCPAEBBC 第1题图 第2题图 2. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是_____． 3. 如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A，⊙B的半径分别为2和1，P，E，F分别是边CD，⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是_________．

ABFEADPCPQOBBCA

第3题图第4题图

4. 如图，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O

的一条切线PQ（点Q为切点），则PQ长度的最小值为_________．

5. 将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示的图形，重叠部分是一个三角形，则这

个三角形面积的最小值是_______．

6. 动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的

A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为_______________．

BPA

6

A'CBCQDAD

7. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=2，点A，C分别在x轴、y轴上．当点A在x轴上

运动时，点C随之在y轴上运动，则在运动过程中，点B到原点的最大距离 为_________．

yyCPBCOAxOAxB

8. 如图，已知直线y?3x?3与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以C(0，1)为圆心，1为半径的4圆上一动点，连接PA，PB.则△PAB面积的最大值是__________．

9. 如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连

接EM，过M作EM的垂线交射线BC于点F，连接EF．若P是MF的中点，则在点E运动的过程中，点P运动的路径长为_________．

AEMPDyAEMDCEGAODFBx

10. 如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段EF的两端放在正方形的相邻两边上同时滑动．如

果点E从点A出发，按A→B→C→D→A的方向滑动到点A为止，同时点F从点B出发，按B→C→D→A→B的方向滑动到点B为止，则在这个过程中，线段EF的中点M经过的路径所围成的图形面积为_________．

11. 如图，以G(0，1)为圆心，2为半径的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为

⊙G上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为_________．

7

BCFBFC

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