三角形中位线训练试题解答题

三角形中位线训练试题

一．解答题（共30小题） 1．（2013?常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．

（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF； （2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长； （3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．

2．（2010?顺义区）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点．

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明； （2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．

3．（2008?黄石）如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．

（1）求证：BF=FD；

（2）∠A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；

（3）∠A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DG=DA，并说明理由．

第1页（共39页）

4．（2008?延庆县二模）（1）如图所示，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么？ 即：FG= （AB+BC+AC） （直接写出结果即可）

（2）如图，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与△ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．

（3）如图，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可．不需要证明．答：线段FG与△ABC三边之间数量关系是 ．

5．（2013春?西城区期末）如图，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，联结GD，判断△AGD的形状并证明．

6．如图所示，已知AB=CD，AN=ND，BM=CM，求证：∠1=∠2．

7．已知：如图，△ABC中，∠A＞∠B，CR是∠ACB的平分线且交AB于R，AQ⊥CR，垂足为Q，P为AB的中点，求证：PQ=（BC﹣AC）．

第2页（共39页）

8．如图所示．在四边形ABCD中，CD＞AB，AB与CD不平行，E，F分别是AC，BD的中点．求证：

．

9．如图，在△ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF，BE、CF交于点O．过点O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q为垂足．求证：DP=DQ．

10．如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD，分别过C，D两点，作边BC，AD的垂线，设两条垂线的交点为P． 求证：∠PAD=∠PBC．

11．如图，某房地产开发公司购得一块三角形地块，在靠近∠B的内部有一千年的古樟树要加以保护，市政府规定要过P点划一三角形的保护区，你怎样划这条线才能使被划去的△BDE的面积最小？为什么？

第3页（共39页）

12．已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM为BC边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE．

13．操作1：如图1，一三角形纸片ABC，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，沿DE将纸片剪开，并将其中的△ADE纸片绕点E旋转180°后可拼合（无重叠无缝隙）成平行四边形纸片BCFD．

操作2：如图2，一平行四边形纸片ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD边的中点，沿EF剪开并将其中的△BFE纸片绕点E旋转180°到△AF1E位置；沿HG剪开并将其中的△DGH纸片绕点H旋转180°到△AG1H位置；沿FG剪开并将△CFG纸片放置于△AF1G1的位置，此时四张纸片恰好拼合（无重叠无缝隙）成四边形FF1G1G．则四边形FF1G1G的形状是 ．

操作、思考并探究：

（1）如图3，如果四边形ABCD是任意四边形（不是梯形或平行四边形）的纸片，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点．依次沿EF、FG、GH、HE剪开得到四边形纸片EFGH．请判断四边形纸片EFGH的形状，并说明理由．

（2）你能将上述四边形纸片ABCD经过恰当地剪切后拼合（无重叠无缝隙）成一个平行四边形纸片？请在图4上画出对应的示意图．

（3）如图5，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，若△AEH、△BEF、△CFG、△DGH的面积分别为S1、S2、S3、S4，且S1=2，S3=5，则四边形ABCD是面积是 ．（不要求说明理由） 14．（2014春?张家港市校级期末）如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点． （1）求∠FGH度数；

（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD=8，CE=6，求GM的长．

第4页（共39页）

15．（2014春?团风县校级期中）如图所示．△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H． （1）求证：GH∥BC；

（2）若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．

16．（2012春?萍乡校级期中）已知：如图，AB=AC，AD⊥BC于D，DF∥AE．求证：CE=2DF．

17．（2011秋?江都市期末）如图（1），BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N．

（1）试说明：FG=（AB+BC+AC）；

（2）①如图（2），BD、CE分别是△ABC的内角平分线；②如图（3），BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线． 则在图（2）、图（3）两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由．

18．（2010秋?茶陵县校级期末）如图，已知在?ABCD中，EF∥BC，分别交AB、CD于E、F两点，DE、AF交于M，CE、BF交于N．求证：MN=AB．

第5页（共39页）

19．（2010秋?仪征市校级期末）如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N．

（1）试说明：FG=（AB+BC+AC）；

（2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，则线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由；

（3）如图3，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，则线段FG与△ABC三边的数量关系是 ．

20．（2007?江苏）如图，已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F． （1）求证：CD∥AB；

（2）求证：△BDE≌△ACE；

（3）若O为AB中点，求证：OF=BE．

21．（2014春?江汉区期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，连接FC，AD，DE∥FC，EF∥DC

（1）若D，F分别是BC，AB的中点，连接FD，求证：EF=FD； （2）连接AE，若BF=CD，求证：△AED是等边三角形．

第6页（共39页）

22．（2013春?富顺县校级月考）如图，M、N分别为AD、BC的中点，且AB=CD，求证：∠1=∠2．

23．（2016春?梅河口市校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB=DC，P是对角线AC的中点，M是AD的中点，N是BC的中点． （1）若AB=6，求PM的长；

（2）若∠PMN=20°，求∠MPN的度数．

24．（2014?宿迁）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．

（1）求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）求证：∠DHF=∠DEF．

25．（2014?鞍山一模）（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）

（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．

第7页（共39页）

26．（2011秋?武汉月考）两只大小不同的含45°角的三角板ABC和DBE如图摆放，直角顶点重合，连接AE，CD，F，M，N，G分别为线段AC，CD，ED，AE的中点． （1）如图，若三角形的两直角重合，判断四边形FMNG的形状，并证明你的结论； （2）从（1）开始，三角板绕B点顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°）时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，画出一种情形，给出证明；若不成立，请说明理由．（若画出α=180°的情形，并正确答题得2分； 若画出α=90°的情形，并正确答题得4分； 若画出其它的情形并正确答题得6分．请自主选择．）

27．已知：如图，梯形ABCD，AB∥CD，以AC、AD为边向外作?ACED，联结BE，点F是BE的中点，联结CF．求证：CF∥AB．

28．在四边形ABCD中，ACBD相交于O点，AC=BD，E、F分别是AB，CD的中点，连接EF分别交AC、BD于M、N，判断三角形MON的形状，并说明理由．

29．如图，四边形ABCD中，AB=CD，M、N、E、F分别是BD、AC，BC、MN的中点，求证：EF⊥MN．

第8页（共39页）

30．如图，在△ABC中，BC=a．若D1，E1分别是AB，AC的中点，则D1E1=E2分别是D1B，E1C的中点，则D2E2=点，则

；若D2，

；若D3，E3分别是D2B，E2C的中

…若DnEn分别是Dn﹣1B，En﹣1C的中点，则DnEn

的长是多少（n＞1，且n为整数，结果用含a，n的代数式表示）？

第9页（共39页）

2016年05月30日wx98wx的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题） 1．（2013?常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．

（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF； （2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长； （3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．

【解答】（1）证法一：

如答图1a，延长AB交CF于点D，

则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形， ∴AB=BC=BD，

∴点B为线段AD的中点， 又∵点M为线段AF的中点， ∴BM为△ADF的中位线， ∴BM∥CF．

证法二：

如答图1b，延长BM交EF于D， ∵∠ABC=∠CEF=90°， ∴AB⊥CE，EF⊥CE， ∴AB∥EF，

∴∠BAM=∠DFM， ∵M是AF的中点， ∴AM=MF，

在△ABM和△FDM中，

，

∴△ABM≌△FDM（ASA）， ∴AB=DF，

∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF， ∴BE=DE，

第10页（共39页）

∴△BDE是等腰直角三角形， ∴∠EBM=45°，

∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°， ∴∠EBM=∠ECF， ∴MB∥CF；

（2）解法一：

如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=BC=BD=a，AC=CD=a，

∴点B为AD中点，又点M为AF中点， ∴BM=DF．

分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形， ∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，

∴点E为FG中点，又点M为AF中点， ∴ME=AG． ∵CG=CF=∴AG=DF=

a，CA=CD=a，

a=

a．

a，

∴BM=ME=×

解法二：如答图1b． ∵CB=a，CE=2a，

∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a， ∵△ABM≌△FDM， ∴BM=DM，

又∵△BED是等腰直角三角形， ∴△BEM是等腰直角三角形， ∴BM=ME=

BE=

a；

（3）证法一： 如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形， ∴AB=BC=BD，AC=CD，

∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．

延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形， ∴CE=EF=EG，CF=CG，

∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG． 在△ACG与△DCF中，

第11页（共39页）

，

∴△ACG≌△DCF（SAS）， ∴DF=AG， ∴BM=ME．

证法二：

如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE， ∵∠BCE=45°，

∴∠ACD=45°×2+45°=135°

∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°， ∴AB∥CF，

∴∠BAM=∠DFM， ∵M是AF的中点， ∴AM=FM，

在△ABM和△FDM中，

，

∴△ABM≌△FDM（ASA）， ∴AB=DF，BM=DM， ∴AB=BC=DF，

在△BCE和△DFE中，

，

∴△BCE≌△DFE（SAS）， ∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，

∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°， ∴△BDE是等腰直角三角形， 又∵BM=DM， ∴BM=ME=BD， 故BM=ME．

第12页（共39页）

第13页（共39页）

2．（2010?顺义区）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点．

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明； （2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．

【解答】解：（1）FH与FC的数量关系是：FH=FC． 证明如下：延长DF交AB于点G，

由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF， ∴DG∥CB，

∵点D为AC的中点， ∴点G为AB的中点，且∴DG为△ABC的中位线， ∴

．

，

∵AC=BC， ∴DC=DG，

∴DC﹣DE=DG﹣DF， 即EC=FG．

∵∠EDF=90°，FH⊥FC，

∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°， ∴∠1=∠2．

∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形， ∴∠DEF=∠DGA=45°，

第14页（共39页）

∴∠CEF=∠FGH=135°， ∴△CEF≌△FGH， ∴CF=FH．

（2）FH与FC仍然相等．

理由：由题意可得出：DF=DE， ∴∠DFE=∠DEF=45°， ∵AC=BC，

∴∠A=∠CBA=45°， ∵DF∥BC，

∴∠CBA=∠FGB=45°， ∴∠FGH=∠CEF=45°，

∵点D为AC的中点，DF∥BC， ∴DG=BC，DC=AC， ∴DG=DC， ∴EC=GF，

∵∠DFC=∠FCB， ∴∠GFH=∠FCE， 在△FCE和△HFG中

，

∴△FCE≌△HFG（ASA）， ∴HF=FC．

3．（2008?黄石）如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．

（1）求证：BF=FD；

（2）∠A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；

（3）∠A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DG=DA，并说明理由．

第15页（共39页）

【解答】（1）证明：在Rt△AEB中， ∵AC=BC， ∴CE=AB，

∴CB=CE，

∴∠CEB=∠CBE． ∵∠CEF=∠CBF=90°， ∴∠BEF=∠EBF， ∴EF=BF．

∵∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°， ∴∠FED=∠EDF． ∴BF=FD；

（2）解：由（1）BF=FD，而BC=CA， ∴CF∥AD，即AE∥CF． 若AC∥EF，则AC=EF，

∴BC=BF．∴BA=BD，∠A=45°．

∴0°＜∠A＜90°且∠A≠45°时，四边形ACFE为梯形；

（3）解：作GH⊥BD，垂足为H，则GH∥AB． ∵DG=DA， ∴DH=DB．

又F为BD中点， ∴H为DF的中点． ∴GH为DF的中垂线． ∴∠GDF=∠GFD． ∵点G在ED上， ∴∠EFD≥∠GFD．

∵∠EFD+∠FDE+∠DEF=180°， ∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180度． ∴3∠EDF≤180度． ∴∠EDF≤60度． 又∠A+∠EDF=90°， ∴30°≤∠A＜90°．

∴当30°≤∠A＜90°时，

第16页（共39页）

DE上存在点G，满足条件DG=DA．

4．（2008?延庆县二模）（1）如图所示，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么？ 即：FG=

（AB+BC+AC）

（直接写出结果即可）

（2）如图，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与△ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．

（3）如图，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可．不需要证明．答：线段FG与△ABC三边之间数量关系是 GF=（AC+BC﹣AB） ．

【解答】（1）FG=（AB+BC+AC）；

（2）答：FG=（AB+AC﹣BC）；

证明：延长AG交BC于N，延长AF交BC于M ∵AF⊥BD，AG⊥CE，

∴∠AGC=∠CGN=90°，∠AFB=∠BFM=90°

第17页（共39页）

在Rt△AGC和Rt△CGN中

∠AGC=∠CGN=90°，CG=CG，∠ACG=∠NCG ∴△AGC≌Rt△NGC ∴AC=CN，AG=NG

同理可证：AF=FM，AB=BM． ∴GF是△AMN的中位线 ∴GF=MN．

∵AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM ∴AB+AC﹣BC=MN

∴GF=MN=（AB+AC﹣BC）；

（3）线段FG与△ABC三边之间数量关系是：GF=（AC+BC﹣AB）．

5．（2013春?西城区期末）如图，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，联结GD，判断△AGD的形状并证明．

【解答】解：判断：△AGD是直角三角形．

证明：连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE， ∵F是AD的中点， ∴HF∥AB，HF=AB， ∴∠1=∠3，

同理，HE∥CD，HE=CD， ∴∠2=∠EFC， ∵AB=CD， ∴HF=HE， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠EFC， ∵∠EFC=60°，

∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，

第18页（共39页）

∴△AGF是等边三角形， ∴AF=FG， ∵AF=FD， ∴GF=FD，

∴∠FGD=∠FDG=30°， ∴∠AGD=90°，

即△AGD是直角三角形．

6．如图所示，已知AB=CD，AN=ND，BM=CM，求证：∠1=∠2．

【解答】解：连接BD，取BD的中点G，连接MG，NG ∵G、N、M均为中点，

∴GN是△ADB的AB对的中位线，GM是△BCD的CD对的中位线， ∴NG∥AB，NG=AB，GM∥CD，GM=CD， ∴∠1=∠GNM，∠2=∠GME， 又∵AB=CD， ∴MG=NG．

∴∠GNM=∠GME． ∴∠1=∠2．

7．已知：如图，△ABC中，∠A＞∠B，CR是∠ACB的平分线且交AB于R，AQ⊥CR，垂足为Q，P为AB的中点，求证：PQ=（BC﹣AC）．

第19页（共39页）

【解答】解：延长AQ与BC交于D． ∵CR是∠ACB的平分线， ∴∠ACQ=∠DCQ．

∵∠AQC=∠DQC=90°，CQ=CQ， ∴△ACQ≌△DCQ．（ASA） ∴AQ=QD，AC=CD，

∴BC﹣CD=BC﹣AC=BD．

∵P是AB的中点，且AQ=QD， ∴PQ是三角形ABD的中位线． ∴PQ=BD． ∴PQ=（BC﹣AC）．

8．如图所示．在四边形ABCD中，CD＞AB，AB与CD不平行，E，F分别是AC，BD的中点．求证：

．

【解答】证明：取AD中点G，连接EG，FG，

在△ACD中，EG是它的中位线（已知E是AC的中点）， 所以EG=CD①

第20页（共39页）

同理，由F，G分别是BD和AD的中点，从而，FG是△ABD的中位线， 所以FG=AB②

在△EFG中，EF＞EG﹣FG．由①，②，得EF＞（CD﹣AB）

9．如图，在△ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF，BE、CF交于点O．过点O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q为垂足．求证：DP=DQ．

【解答】证明：如图，取OB中点M，OC中点N，连接MD，MQ，DN，PN． ∵D为BC的中点

∴DM∥OC，DM=OC，DN∥OB，DN=OB． ∵在Rt△BOQ和Rt△OCP中，QM=OB，PN=OC．

∴DM=PN，QM=DN．∠QMD=∠QMO+∠OMD=2∠ABO+∠FOB， ∠PND=∠PNO+∠OND=2∠ACO+∠EOC． ∵∠ABO=∠ACO，∠FOB=∠EOC， ∴∠QMD=∠PND． ∴△QMD≌△DNP， ∴DQ=DP．

第21页（共39页）

10．如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD，分别过C，D两点，作边BC，AD的垂线，设两条垂线的交点为P． 求证：∠PAD=∠PBC．

【解答】证明：如图：取AP，BP的中点分别为F，E；并连接DF，MF，EC，ME； 根据三角形的中位线定理得：MF=BP=PE，ME=AP=PF， ∴四边形MFPE为平行四边形 ∴∠MFP=∠MEP， ∵PD⊥AD，PC⊥BC， ∴∠ADP=∠BCP=90°，

∴在Rt△APD与Rt△BPC中， DF=AF=PF=PA，CE=BE=PE=BP， ∴DF=EM=PF，FM=PE=CE， ∵MC=MD，

∴△MDF≌△CME（SSS）， ∴∠DFM=∠MEC， ∴∠DFP=∠CEP， ∴FA=FD，CE=BE，

∴∠DAF=∠FDA，∠ECB=∠CBE， ∴∠DFP=2∠DAP，∠CEP=2∠CBP， ∵∠DFP=∠CEP， ∴∠PAD=∠PBC．

第22页（共39页）

11．如图，某房地产开发公司购得一块三角形地块，在靠近∠B的内部有一千年的古樟树要加以保护，市政府规定要过P点划一三角形的保护区，你怎样划这条线才能使被划去的△BDE的面积最小？为什么？

【解答】解：过P作直线GF∥AB，交BC于G，交AC于F，在BC上取点E， 使GE=BG，延长EP交AB于点D，则△BDE的面积最小． 若过P任作一直线，交BC于M，交AB于N， 过D作DK∥BC，交MN于K， ∵GP∥AB，BG=GE， ∴DP：PE=BG：GE， ∴PD=PE， 又∵DK∥BC，

∴∠KDP=∠MEP，∠PKD=∠PME， ∴△MPF≌△KPG， ∴S△NPG＞S△MPF， ∴S△BMN＞S△BFG， ∴△BDE的面积最小．

12．已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM为BC边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE．

【解答】证明：在△ABC中，∵DE∥BC ∴△ADN∽△ABM，且△AEN∽△ACM， ∴

，且

，

第23页（共39页）

∴，

∵M是BC的中点，所以BM=CM， ∴DN=NE．

13．操作1：如图1，一三角形纸片ABC，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，沿DE将纸片剪开，并将其中的△ADE纸片绕点E旋转180°后可拼合（无重叠无缝隙）成平行四边形纸片BCFD．

操作2：如图2，一平行四边形纸片ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD边的中点，沿EF剪开并将其中的△BFE纸片绕点E旋转180°到△AF1E位置；沿HG剪开并将其中的△DGH纸片绕点H旋转180°到△AG1H位置；沿FG剪开并将△CFG纸片放置于△AF1G1的位置，此时四张纸片恰好拼合（无重叠无缝隙）成四边形FF1G1G．则四边形FF1G1G的形状是 平行四边形 ．

操作、思考并探究：

（1）如图3，如果四边形ABCD是任意四边形（不是梯形或平行四边形）的纸片，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点．依次沿EF、FG、GH、HE剪开得到四边形纸片EFGH．请判断四边形纸片EFGH的形状，并说明理由．

（2）你能将上述四边形纸片ABCD经过恰当地剪切后拼合（无重叠无缝隙）成一个平行四边形纸片？请在图4上画出对应的示意图．

（3）如图5，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，若△AEH、△BEF、△CFG、△DGH的面积分别为S1、S2、S3、S4，且S1=2，S3=5，则四边形ABCD是面积是 28 ．（不要求说明理由）

【解答】

第24页（共39页）

解：操作2：连接BD．

根据三角形的中位线定理，得

EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD， 根据旋转的性质，得F1G1∥EH，F1G1=EH． 所以F1G1∥FG，F1G1=FG，

所以四边形FF1G1G的形状是平行四边形．

（1）连接BD．

根据三角形的中位线定理，得

EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，

则EH∥FG，EH=FG，

则四边形纸片EFGH的形状是平行四边形． （2）见上述操作2； （3）28． 14．（2014春?张家港市校级期末）如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点． （1）求∠FGH度数；

（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD=8，CE=6，求GM的长．

【解答】解：（1）∵F、G、H分别是DE、BE、BC的中点， ∴FG∥DB，GH∥EC．

∴∠DBE=∠FGE，∠EHG=∠AEG．

∠FGH=∠FGE+∠EGH=∠ABE+∠BEA=180°﹣∠A=180°﹣90°=90°． （2）如图所示：连接FM、HM．

第25页（共39页）

∵M、H分别是BC和DC的中点， ∴MN∥BD，MN=同理：GF∥BD，GF=

． ．

∴四边形FGHM为平行四边形．

∵G、H、M分别是BE、BC、DC的中点， ∴GH=

=3，

，

由（1）可知：∠FGH=90°， ∴四边形FGHM为矩形． ∴∠GHM=90°． ∴GM=

=5．

15．（2014春?团风县校级期中）如图所示．△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H． （1）求证：GH∥BC；

（2）若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．

【解答】解：（1）证明：分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以△ABG≌△MBG（ASA）． 从而，G是AM的中点．同理可证△ACH≌△NCH（ASA），

从而，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG∥MN，即HG∥BC．

（2）解：由（1）知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH， 所以AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米． 又BC=18厘米，

所以BN=BC﹣CN=18﹣14=4（厘米）， MC=BC﹣BM=18﹣9=9（厘米）． 从而MN=18﹣4﹣9=5（厘米）， ∴GH=MN=cm．

第26页（共39页）

16．（2012春?萍乡校级期中）已知：如图，AB=AC，AD⊥BC于D，DF∥AE．求证：CE=2DF．

【解答】证明：∵AB=AC，AD⊥BC于D， ∴BD=CD， ∵DF∥AE， ∴BF=EF，

∴DF是△BEC的中位线， ∴CE=2DF． 17．（2011秋?江都市期末）如图（1），BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N．

（1）试说明：FG=（AB+BC+AC）；

（2）①如图（2），BD、CE分别是△ABC的内角平分线；②如图（3），BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线． 则在图（2）、图（3）两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由．

【解答】解：（1）证明：∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF， ∴∠BAF=∠BMF， ∴MB=AB， ∴AF=MF，

同理可说明：CN=AC，AG=NG ∴FG是△AMN的中位线，

∴FG=MN=（MB+BC+CN）=（AB+BC+AC）

（2）解：图（2）中，FG=（AB+AC﹣BC）

第27页（共39页）

图（3）中，FG=（AC+BC﹣AB）

①如图（2），延长AF、AG，与直线BC相交于M、N， 由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG， ∴FG=MN=（BM+CN﹣BC）=（AB+AC﹣BC），

②如图（3）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，同样由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG，

∴FG=MN=（CN+BC﹣BM）=（AC+BC﹣AB），解答正确一种即可

18．（2010秋?茶陵县校级期末）如图，已知在?ABCD中，EF∥BC，分别交AB、CD于E、F两点，DE、AF交于M，CE、BF交于N．求证：MN=AB．

【解答】证明：∵平行四边形ABCD， CD∥AB，AD∥BC， ∵EF∥BC，

∴EF∥BC∥AD，

∴四边形ADFE、CFEB是平行四边形， ∴FM=AM，FN=BN， ∴MN=AB．

第28页（共39页）

19．（2010秋?仪征市校级期末）如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N．

（1）试说明：FG=（AB+BC+AC）；

（2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，则线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由；

（3）如图3，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，则线段FG与△ABC三边的数量关系是 FG=（AC+BC﹣AB） ．

【解答】解：（1）∵BD⊥AF， ∴∠AFB=∠MFB=90°， 在△ABF和△MBF中

，

∴△ABF≌△MBF（ASA） ∴MB=AB

∴AF=MF，

同理：CN=AC，AG=NG， ∴FG是△AMN的中位线 ∴FG=MN， =（MB+BC+CN）， =（AB+BC+AC）．

（2）图（2）中，FG=（AB+AC﹣BC） 解：如图（2），

延长AF、AG，与直线BC相交于M、N， ∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF， ∴∠BAF=∠BMF， 在△ABF和△MBF中

第29页（共39页）

∵，

∴△ABF≌△MBF（ASA） ∴MB=AB，AF=MF， 同理：CN=AC，AG=NG ∴FG=MN， =（BM+CN﹣BC）， =（AB+AC﹣BC），

答：线段FG与△ABC三边的数量关系是FG=（AB+AC﹣BC）．

（3）解：FG=（AC+BC﹣AB）， 理由是：∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF， ∴∠BAF=∠BMF， 在△ABF和△MBF中 ∵

，

∴△ABF≌△MBF（ASA） ∴MB=AB，AF=MF， 同理：CN=AC，AG=NG ∴FG=MN， =（CN+BC﹣BM）， =（AC+BC﹣AB）． 故答案为：FG=（AC+BC﹣

AB）． 20．（2007?江苏）如图，已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．

第30页（共39页）

（1）求证：CD∥AB；

（2）求证：△BDE≌△ACE；

（3）若O为AB中点，求证：OF=BE．

【解答】证明：（1）∵BD=CD， ∴∠BCD=∠1； ∵∠1=∠2， ∴∠BCD=∠2； ∴CD∥AB．

（2）∵CD∥AB，∴∠CDA=∠3． ∵∠BCD=∠2=∠3， ∴BE=AE．

且∠CDA=∠BCD， ∴DE=CE．

在△BDE和△ACE中， ∵

．

∴△BDE≌△ACE（SAS）；

（3）∵△BDE≌△ACE，

∴∠4=∠1，∠ACE=∠BDE=90° ∴∠ACH=90°﹣∠BCH； 又∵CH⊥AB，

∴∠2=90°﹣∠BCH； ∴∠ACH=∠2=∠1=∠4， ∴AF=CF；

∵∠AEC=90°﹣∠4，∠ECF=90°﹣∠ACH， 又∵∠ACH=∠4， ∴∠AEC=∠ECF； ∴CF=EF； ∴EF=AF；

∵O为AB中点，

∴OF为△ABE的中位线； ∴OF=BE．

第31页（共39页）

21．（2014春?江汉区期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，连接FC，AD，DE∥FC，EF∥DC

（1）若D，F分别是BC，AB的中点，连接FD，求证：EF=FD； （2）连接AE，若BF=CD，求证：△AED是等边三角形．

【解答】（1）证明：∵DE∥FC，EF∥DC， ∴四边形CDEF是平行四边形， ∴EF=CD，

∵D，F分别是BC，AB的中点， ∴AD⊥BC，CF⊥AB，BF=CD=AB， 又∵FD=BF=AB，

∴FD=CD， ∴EF=FD；

（2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠ACD=60°，BC=AC， 在△BCF和△ACD中，

，

∴△BCF≌△ACD（SAS）， ∴CF=AD，∠CAD=∠BCF， ∵∵DE∥FC，EF∥DC，

∴四边形CDEF是平行四边形， ∴CF=DE， ∵DE∥FC，

∴∠BCF=∠BDE，

由三角形的外角性质得，∠CAD+∠ACB=∠BDE+∠ADE， ∴∠ADE=∠ACB=60°， ∴△AED是等边三角形． 22．（2013春?富顺县校级月考）如图，M、N分别为AD、BC的中点，且AB=CD，求证：∠1=∠2．

第32页（共39页）

【解答】证明：连接AC，取AC的中点G，连接NG和MG． ∵G是AC的中点，M是BC的中点，即MG是△ABC的中位线， ∴MG=AB，且MG∥AB． ∴∠2=∠NMG，

同理，GN=CD，NG∥CD， ∴∠1=∠MNG， 又∵AB=CD， ∴MG=NG，

∴∠MNG=∠NMG， ∴∠1=∠2．

23．（2016春?梅河口市校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB=DC，P是对角线AC的中点，M是AD的中点，N是BC的中点． （1）若AB=6，求PM的长；

（2）若∠PMN=20°，求∠MPN的度数．

【解答】解：（1）∵AB=DC，AB=6，

第33页（共39页）

∴DC=6，

∵点P是AC的中点，点M是AD的中点， ∴PM=DC=×6=3；

（2）∵点P是AC的中点，点N是BC的中点， ∴PN=BC，

∵AB=DC， ∴PM=PN，

∴∠PNM=∠PMN=20°，

∴∠MPN=180°﹣∠PMN﹣∠PNM=140°． 24．（2014?宿迁）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．

（1）求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）求证：∠DHF=∠DEF．

【解答】证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴DE、EF都是△ABC的中位线， ∴EF∥AB，DE∥AC，

∴四边形ADEF是平行四边形；

（2）∵四边形ADEF是平行四边形， ∴∠DEF=∠BAC，

∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高， ∴DH=AD，FH=AF，

∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA， ∵∠DAH+∠FAH=∠BAC， ∠DHA+∠FHA=∠DHF， ∴∠DHF=∠BAC， ∴∠DHF=∠DEF． 25．（2014?鞍山一模）（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）

（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．

第34页（共39页）

【解答】（1）证明：连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH． ∵E、F分别是BC、AD的中点，

∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD， ∵∠BME=∠CNE， ∴HE=HF， ∴AB=CD；

（2）解：连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH， ∵AB=CD， ∴HO=HE，

∴∠HOE=∠OEC， ∵∠OEC=60°，

∴∠HEO=∠AGO=60°， ∴△OEH是等边三角形， ∵AB=DC=5， ∴OE=．

26．（2011秋?武汉月考）两只大小不同的含45°角的三角板ABC和DBE如图摆放，直角顶点重合，连接AE，CD，F，M，N，G分别为线段AC，CD，ED，AE的中点． （1）如图，若三角形的两直角重合，判断四边形FMNG的形状，并证明你的结论； （2）从（1）开始，三角板绕B点顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°）时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，画出一种情形，给出证明；若不成立，请说明理由．（若画出α=180°的情形，并正确答题得2分； 若画出α=90°的情形，并正确答题得4分； 若画出其它的情形并正确答题得6分．请自主选择．）

第35页（共39页）

【解答】解：（1）∵△ABC，△DBE为等腰直角三角形， ∴AC∥DE，

∵M，N为DC，DE中点， ∴MN∥CE， ∴MN∥BC，

同理可证：FG∥BC，FM∥AB，GN∥AB， ∴FGNM为平行四边形， 又∵AB⊥BC， ∴GN⊥MN，

∴FGNM为矩形， ∴AD=CE，MN=CE， ∴MN=CE=AD=GN，

∴FGNM为正方形；

（2）∵F，M，N，G分别为线段AC，CD，ED，AE的中点，

∴FG，FM，MN，NG分别为△ACE，△ACD，△DCE，△AED的中位线． ∴FG=MN=?CE，FM=NG=?AD， ∴四边形FMNG是平行四边形；

27．已知：如图，梯形ABCD，AB∥CD，以AC、AD为边向外作?ACED，联结BE，点F是BE的中点，联结CF．求证：CF∥AB．

第36页（共39页）

【解答】证明：连接AE交DC于点G． ∵四边形ACED是平行四边形， ∴G是AE的中点，

∴连接GF，则GF是△ABE的中位线， ∴GF∥AB， 又∵DC∥AB，

∴直线GF与直线CD重合． ∴CF∥AB．

28．在四边形ABCD中，ACBD相交于O点，AC=BD，E、F分别是AB，CD的中点，连接EF分别交AC、BD于M、N，判断三角形MON的形状，并说明理由．

【解答】解：如图，取BC边的中点G，连接EG，FG． ∵E、F分别是AB、CD的中点， ∴EG∥AC，EG=AC， 同理：FG∥BD，FG=BD， ∵AC=BD， ∴EG=FG，

∴∠GEF=∠GFE． ∵EG∥AC，

第37页（共39页）

∴∠OMN=∠GEF． 同理，∠ONM=∠GFE． ∴∠OMN=∠ONM，

∴OM=ON．即△MON是等腰三角形．

29．如图，四边形ABCD中，AB=CD，M、N、E、F分别是BD、AC，BC、MN的中点，求证：EF⊥MN．

【解答】证明：如图，连接EM，EN．

∵点M、E分别是AD、BC的中点，则2ME=CD． 同理，NE=AB． 又∵AB=CD， ∴ME=NE．

又∵点F是MN的中点， ∴EF⊥MN．

30．如图，在△ABC中，BC=a．若D1，E1分别是AB，AC的中点，则D1E1=E2分别是D1B，E1C的中点，则D2E2=点，则

；若D2，

；若D3，E3分别是D2B，E2C的中

…若DnEn分别是Dn﹣1B，En﹣1C的中点，则DnEn

的长是多少（n＞1，且n为整数，结果用含a，n的代数式表示）？

第38页（共39页）

【解答】解：在△ABC中、BC=a，若D1、E1分别是AB、AC的中点，根据中位线定理得D1E1=

=

a，

∵D2、E2分别是D1B、E1C的中点，∴D2E2=（

+a）=a=a，

∵D3、E3分别是D2B、E2C的中点，则D3E3=（a+a）=…

a，

根据以上可得：若Dn、En分别是Dn﹣1B、En﹣1C的中点，则DnEn=a，即DnEn的长

是

a．

第39页（共39页）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ou9w.html