数字信号处理第三版西安科大出版高西全丁玉美课后答案第2章

第2章

时域离散信号和系统的频域分析

第2章 时域离散信号和系统的频域分析2.1 学习要点与重要公式 2.2 FT和ZT的逆变换 2.3 分析信号和系统的频率特性

2.4 例题2.5 习题与上机题解答

第2章

时域离散信号和系统的频域分析

2.1

学习要点与重要公式

数字信号处理中有三个重要的数学变换工具， 即傅里

叶变换(FT)、 Z变换(ZT)和离散傅里叶变换(DFT)。利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换， 这方便了对信号和系统的分析和处理。  三种变换互有联系， 但又不同。 表征一个信号和系统 的频域特性是用傅里叶变换。 Z变换是傅里叶变换的一种推 广， 单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。

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在z域进行分析问题会感到既灵活又方便。 离散傅里叶

变换是离散化的傅里叶变换， 因此用计算机分析和处理信号时， 全用离散傅里叶变换进行。 离散傅里叶变换具有快 速算法FFT, 使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。

但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换， 它将信号的时域和频域， 都进行了离散化， 这是它的优点。 但更 有它自己的特点， 只有掌握了这些特点， 才能合理正确地 使用DFT。 本章只学习前两种变换， 离散傅里叶变换及其 FFT将在下一章学习。

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2.1.1

学习要点

(1) 傅里叶变换的正变换和逆变换定义， 以及存在 条件。  (2)傅里叶变换的性质和定理： 傅里叶变换的周期性、 移位与频移性质、 时域卷积定理、 巴塞伐尔定理、 频域 卷积定理、 频域微分性质、 实序列和一般序列的傅里叶变 换的共轭对称性。  (3)周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的傅里叶 变换表示式 。 (4)Z变换的正变换和逆变换定义， 以及收敛域与序 列特性之间的关系。

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(5) Z变换的定理和性质： 移位、 反转、 z域微分、 共轭序列的Z变换、 时域卷积定理、 初

值定理、 终值定理、 巴塞伐尔定理。 (6) 系统的传输函数和系统函数的求解。 

(7) 用极点分布判断系统的因果性和稳定性。 (8) 零状态响应、 零输入响应和稳态响应的求解。

(9) 用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。

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2.1.2(1)

重要公式X (e j )

n

x(n)e j n

1 x ( n) 2

π

-π

X (e j )e j n d

这两式分别是傅里叶变换的正变换和逆变换的公式。 注意正变换存在的条件是序列服从绝对可和的条件， 即

n

x ( n)

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(2)

~ X (k ) DFS[ ~ x (n)]

n 0

N 1

~ x (n)e

j

2π kn N

k

1 ~ ~ x (n) IDFS[ X (k )] N

k

~ X (k )e

j

2π kn N

n

这两式是周期序列的离散傅里叶级数变换对， 可用以 表现周期序列的频谱特性。

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(3)

2 π 2π ~ j ~ X (e ) FT[ x (n)] X (k )δ( k) N k N

该式用以求周期序列的傅里叶变换。 如果周期序列 的周期是N, 则其频谱由N条谱线组成， 注意画图时要

用带箭头的线段表示。(4) 若y(n)=x(n)*h(n), 则

Y (e j ) X (e j ) H (e j )这是时域卷积定理。

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(5) 若y(n)=x(n)h(n), 则

1 Y (e ) H (e j ) X (e j ) 2πj

这是频域卷积定理或者称复卷积定理。 (6)

1 xe (n) [ x(n) x ( n)] 21 xo (n) [ x(n) x ( n)] 2

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式中, xe(n)和xo(n)是序列x(n)的共轭对称序列和共轭反对称序列， 常用以求序列的xe(n)和xo(n)。  (7)

X ( z)

n

n x ( n ) z

1 x ( n) X ( z ) z n 1dz 2 πj c

c ( Rx , Rx )

这两式分别是序列Z变换的正变换定义和它的逆Z变 换定义。

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(8)

1 x ( n) 2π n

2

X (e2

j

) d

2

1 1 dv x(n) y (n) X (v)Y ( ) 2π c v v n

1 1 max[Rx , ] v min[Rx , ] Ry Ry

Rx Ry 1 Rx Ry

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前两式均称为巴塞伐尔定理， 第一式是用序列的傅 里叶变换表示， 第二式是用序列的Z变换表示。 如果令

x(n)=y(n), 可用第二式推导出第一式。(9) 若x(n)=a|n|, 则

1 a2 X ( z) (1 az)(1 az 1 )

a z a

1

x(n)=a|n|是数字信号处理中很典型的双边序列， 一 些测试题都是用它演变出来的。

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2.2 FT和ZT的逆变换(1) FT的逆变换为

1 x(n) 2π

π

-π

X (e j )e j n d

用留数定理求其逆变换， 或将z=ejω代入X(ejω)中， 得 到X(z)函数， 再用求逆Z变换的方法求原序列。 注意收敛 域要取能包含单位圆的收敛域， 或者说封闭曲线c可取

单位圆。

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例如， 已知序列x(n)的傅里叶变换为1 X (e ) 1 ae j j

a 11 得到 X ( z ) 1 az 1

求其反变换x(n)。

将z=ejω代入X(ejω)中，

因极点z=a, 取收敛域为|z|>|a|, 由X(z)很容易得到x(n)=anu(n)。

(2) ZT的逆变换为

1 x ( n) X ( z ) z n 1dz 2 πj c

c ( Rx , Rx )

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求Z变换可以用部分分式法和围线积分法求解。 用围线积分法求逆Z变换有两个关键。 一个关键是知道

收敛域以及收敛域和序列特性之间的关系， 可以总结成几句话： ① 收敛域包含∞点， 序列是因果序列； ② 收敛域在某 圆以内， 是左序列； ③ 收敛域在某圆以外， 是右序列； ④ 收敛域在整个z面， 是有限长序列； ⑤ 以上②、 ③、 ④均未 考虑0与∞两点， 这两点可以结合问题具体考虑。另一个关键 是会求极点留数。

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2.3 分析信号和系统的频率特性求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。 但分析频 率特性使用Z变换却更方便。 我们已经知道系统函数的极、

零点分布完全决定了系统的频率特性， 因此可以用分析极、零点分布的方法分析系统的频率特性， 包括定性地画幅频 特性， 估计峰值频率或者谷值频率， 判定滤波器是高通、 低通等滤波特性， 以及设计简单的滤波器(内容在教材第5 章)等。

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根据零、 极点分布可定性画幅频特性。 当频率由0到2π

变化时， 观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化， 在极点附近会形成峰。 极点愈靠进单位圆， 峰值愈高； 零点附近形 成谷， 零点愈靠进单位圆， 谷值愈低， 零点在单位圆上则

形成幅频特性的零点。 当然， 峰值频率就在最靠近单位圆的极点附近， 谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。  滤波器是高通还是低通等滤波特性， 也可以通过分析极、

零点分布确定， 不必等画出幅度特性再确定。 一般在最靠近单位圆的极点附近是滤波器的通带； 阻带在最靠近单位圆的 零点附近， 如果没有零点， 则离极点最远的地方是阻带。 参 见下节例2.4.1。

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2.4[例2.4.1]

例

题

已知IIR数字滤波器的系统函数

1 H ( z) 1 0.9 z 1试判断滤波器的类型(低通、 高通、 带通、 带阻)。 (某

校硕士研究生入学考试题中的一个简单的填空题)解： 将系统函数写成下式:

1 z H ( z) = 1 z 0.9 1 0.9 z

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系统的零点为z=0, 极点为z=0.9, 零点在z平面的原点，不影响频率特性， 而惟一的极点在实轴的0.9处， 因此滤波 器的通带中心在ω=0处。 毫无疑问， 这是一个低通滤波器。

[例2.4.2]假设x(n)=xr(n)+jxi(n), xr(n)和xj(n)为实序列， X(z)=ZT[x(n)]在单位圆的下半部分为零。 已知

1

2 1 xr (n) 4 0 求X(ejω)=FT[x(n)]。

n 0 n 2 其它

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解： Xe(ejω)=FT[xr(n)]

X e (e j ) FT[ xr (n)] 1 1 j2 1 j2 1 e e (1 cos 2 ) 2 4 4 21 X e (e ) [ X (e j ) X (e j )] 2j

因为 所以

X(ejω)=0π≤ω≤2π

X(e-jω)=X(ej(2π-ω))=0

0≤ω≤π

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时域离散信号和系统的频域分析X e (e j ) 1 j X (e, )故 2

当0≤ω≤π时，j

1 1 j X e (e ) X (e ) (1 cos 2 ) 2 2

X (e j ) 1 cos 2 当π≤ω≤2π时， X(ejω)=0, 故

1 cos 2 X (e ) 0 j

0≤ω≤π π≤ω≤2π

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