数学毕业论文 定积分在物理学中的应用 - 图文

2014届本科毕业论文

题目：定积分在物理学中的应用

学 院：数学科学学院

专业班级：数学与应用数学09-3班 学生姓名：阿依夏·阿不都克力木 指导教师：哈米旦

答辩日期：2014年5月6日

新疆师范大学教务处

目 录

摘要 ................................................................ 3 引言 ................................................................ 1 1.定积分的定义: ..................................................... 1 3.定积分在物理上的应用 .............................................. 1

3.1功 .......................................................... 2

3.1.1变力作功 ............................................... 2 3.1.2抽水做功 ............................................... 3 3.2 液体静压力的计算 ........................................... 4 3.3引力 ......................................................... 5 3.4 转动惯量 ................................................... 6 3.5 质量,质心 ................................................... 7 3.8 高中物理常用例子 ............................................ 9

3.8.1 降落伞原理 ............................................. 9 3.8.2 第二宇宙速度 .......................................... 10 3.8.3 缆绳的工作原理 ........................................ 10

4. 结论 ............................................................ 11 参考文献: .......................................................... 12 致谢 ............................................................... 13

定积分在物理中的应用

摘要：定积分是高等数学中的重要组成部分,在物理学中也有广泛的应用.正是由于微积分的发展，使得物理学中精确测量，计算成为可能，从而使物理学得到长足发展. 本文首先写了有关定积分的定义，从而给应用定积分解决实际问题打下基础，然后讨论了定积分在物理学中的基本应用.研究了解决物理问题主要应用的方法是“微元法”.

关键字: 定积分；

微元法；功 ；液体静压力 ；引力 ；转动惯量 ；质量 ；质心 .

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引言: 物理学中定积分法解决实际问题是广泛而重要的,运用”数学微元”的思想抽象成定积分去求解物理学相关的问题.“微积分思想”丰富了我们处理问题的手段，拓展了我们的思维.我们在学习的时候，要学会这种研究问题的思想方法，只有这样，在紧张的学习中，我们才能做到事半功倍.

1.定积分的定义:

设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点

a?x0?x1?????xn?1?xn?b把区间[a，b]分成n个小区间 [x0,x1],,[xn?1,xn]在每个小

区间[xi?1,xi]上任取一点?i(xi?1??i?xi)，作函数值f(?i)与小区间长度的乘积

f(?i)?xi，并作出和

S??i?1nf??i??xi

如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点?i怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，

记作： ?既：

baf?x?dx

?baf?x?dx?I??lim??1i?1nf??i??xi

2.微元法

微元法是把几何,物理和科学技术中出现的大量积累问题化为定积分问题的一种方法,它提供了用定积分方法解决各种积累问题的一般框架.

用微元法解决实际问题的具体步骤如下:

1) 根据实际问题,适当选择坐标系,画草图,并确定定积分变量级其变化区间

[a,b];

2) 在区间[a,b]上取一点x , 其增量dx (这里dx应理解为在x处”长”或”宽”或”厚”等) , 求整体量的微元表达式dQ?f(x)dx;

3) 对dQ??f?x?dx从a到b积分,便得Q?ab?badQ??baf?x?dx.

3.定积分在物理上的应用

定积分在物理中的应用相当广泛.列如,已知变速运动的速度求路程,计算变力所做的功,液体静压力，引力，转动惯量，质量，质心等.在下面我们看看几个例子.

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3.1功

??若恒力F作用于某物体,使物体的方向上移动距离为S,则F对物体所做的功??为W?F?S.

由于所求的功是一个整体量,且对于区间具有可加性,所以可以用微元法来求这个量.

3.1.1变力作功

在实际问题中,物体在发生位移的过程中所受到的力常常是变化的,这就需要考虑变力作功的问题.

?设物体在变力F?f(x)的作用下,沿x轴由点a移动到点b,如图3.1.1所示,且变

F(x) 力方向与x轴方向一致.取x为积分变量,

x?[a,b].在区间[a,b]上任取一小区

间[x,x?dx],该区间上各点处的力可 以用点x处的力F(x)近似代替. 因此功的微元为dW?F(x)dx，

因此,从a到b这一段位移上变力F(x)所作的功为

W??F(x)dx.

aba x x+dx b x 图3.1.1

例1 在原点O 有一个带电量为?q的点电荷, 它所产生的电场对周围电荷有作用力.现有一单位正电荷从距原点a处沿射线方向移至距O 点为b(a? b)的地方, 求电场力做功? 又如果把该单位电荷移至无穷远处, 电场力做了多少功?

?q解 取电荷移动的射线方向为x 轴正方向, 那么电场力为F?k2( k为常数), 这

xKq是一个变力.在x,x?dx上, 以”常代变”得功的微元为dW?2dx.

xbkq1b11W?dx?kq[?]?kq(?)

?ax2xaab若移至无穷远处, 则做功为

???akq1??kqdx??kq?2axxa

物理学中, 把上述移至无穷远处所做的功叫做电场在a 处的电位, 于是知电场在a 处的电位为 V?kq.

a?例2 弹簧在拉伸过程中,所需要的力与弹簧的伸长量成正比,即F?kx,(k为比例系数).已知弹簧拉长0.01m时,需力10N,要使弹簧伸长0.05m,计算外力所做的功.

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?解 由题设,x?0.01m时,F?10N.代入F?kx,得k?1000Nm.从而变力为F?1000x,由上述公式所求的功为

0.050W??1000xdx?500x20.050?1.25(J)

3.1.2抽水做功

例3 一圆锥形水池.池口直径30米,深10米,池中盛满了水.式求将全部池水抽出池外需作的功.

解 为方便起见,取坐标如图3-1 所示.由于抽出相同深度处单位体积的水需作相同的功(等于水的比重?深度),因此首先考虑将池中深度为x到x??x的一薄层水??抽至池口需作的功?W.当?x很小时,把这一薄层水的深度都看作x,并取??的体积

??x?? ?V???15?1????x10????2图3-1

??x??这时有?W?dW???x?15?1???dx

??10??2从而将全部池水抽出外需作的功为

W?225???1875???100x??x?1??dx 10??2例4 修建一座大桥的桥墩时要先下围囹, 并且抽尽其中的水以便施工.已知围囹的直径为20 米, 水深27米, 围囹高出水面3 米, 求抽尽围囹中的水所做的功.

解 建立如图4-1所示的坐标系.取x 为积分变量, 积分区间为[3,30].在区间[3,30] 上任取子区间, 与之对应的一薄层(圆柱)水的重量为9.8???102dx?

其中??103千克/立方米为水的密度.因把这一薄层水抽出围囹所做的功近似于克服这一薄层水的重量所做的功, 所以功微元为dW?9.8???102dx?x?9.8?105?xdx

303图4-1

以9.8?105?xdx为被积表达式, 在区间[3,30]上做定积分, 得所求功为

W??

3039.8?105?xdx?49?105?x2?137?109 (焦耳)

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3.2 液体静压力的计算

物体侵没在液体中,液体对物体的表面就会产生静压力.单位面积上所承受的

?静压力称为压强,以?表示.比重为?的液体在液深为h处对物体表面产生的压强为P??h.如果物体表面所承受的压强是均匀的,则物体在面积为A的表面上所承

??受的静压力为F?AP;如果物体表面所承受的压强是不均匀,则物体所承受的静压力多用定积分来表示.

例5 如图5-1所示为一管道的圆形闸门(半径为3米).问水平面齐及直径时,闸门所受到的水的静压力为多大?

解 为方便起见,取x轴和y轴如图,此时圆的方程为

x2?y2?9

由于在相同深处水的静压强相同.其值等于水的比重(?)与深度(x)的乘积,故当?x很小时,闸门上深度x到x??x这一狭条?A上所受的静压力为?P?dP?2?x9?x2dx

从而闸门上所受的总压力为P??2?x9?x2dx?18?

03图5-1

例6 有一低为a,高为h的三角形片垂直侵没在比重为?的液体中,设底BC 与水平面平行,顶点A 与水面的距离为b,求此三角形片的一面所承受的静压力F.

?解 建立坐标系如图5,显然可将F视为

一个展布在区间?b,b?h?上的量,任取微小区间?x,x??x???b,b?h?,三角形在x点处

a的宽度为?x?b?,

h?F所以在?x,x??x?上的值?F可近似地表示为?F??x?a?x?b???x?a?x?x?b??x.

hh由于阴影区域的面积介于

图6-1

a?x?b??x与ha?x??x?b??x之间,在其上的压强介于?xh与??x??x?之间,所以

aa?x?x?b??x??F???x??x??x??x?b??x. hhaa因为lim?x?x?b??lim??x??x??x??x?b??a?x?x?b?

?x?0h?x?0hha所以由微元判别法B知dF??x?x?b?dx,所以

h

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F??b?hba1?x?x?b?dx?ah??3b?2h? h6例7 修建一道梯形闸门，它的两条底边各长6m和4m，高为6m,较长的底边与水面平齐，要计算闸门一侧所受水的压力.

解 根据题设条件.建立如图7-1所示的坐标系，AB的方

1程为y??x?3

6取x为积分变量,x?[0,6],在x?[0,6]上任一小区间

[x,x?dx]的压力微元为

1dF?2?gxydx ?2?9.8?103x(?x?3)dx，

661从而所求的压力为F??9.8?103(?x2?6x)dx

03图7-1

?1??9.8?103??x3?3x2??8.23?105N.

?9?063.3引力

1m2? 由物理学知道：质量为m1,m2，相距为的两质点间的引力大小为F?k?m?2?rk为引力系数.引力的方向沿着两质点的连线方向.

如果要计算一根细棒对一个质点的引力，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，便不能简单地用上述公式来作计算了.

例8 一根长为 l 的均匀细杆, 质量为 M, 在其中垂线上相距细杆为 a 处有一质量为 m 的质点,试求细杆对质点的万有引力.

ll解 建立直角坐标系如图8-1所示.细杆位于 x 轴上的[?,],

22ll质点位于 y 轴上点 a . 任取[x,x??x]?[?,]则其质量微元为

22MdM?dx 于是它对质点 m 的引力为

lkmdMkmMdF???dx

r2a2?x2l图8-1

由于细杆上各点对质点m的引力方向各不相同,因此不能直接对dF进行积分(不符合代数可加的条件).为此,将dF分解到x轴和y轴两个方向上,得

dFx?dFsin?,dFy?dFcos?

由于质点m位于细杆的中垂线上,必使水平合力为零,既

Fx??l2l?2dF

x5

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又由cos??aa?x22,得垂直方向合力为

dFydx??2?1a2l20?3kmMa22(a?x)2lFy??l2l?22kmMa??l??2kmMa4a2?lxa2?x2l20

2负号表示合力方向与y轴方向相反.

例9 设有一半径为R,中心角为?的圆弧形细棒,其线密度为常数,在圆心处有一质量为?ds的质点,试求这细棒对质点的引力.

解 决这类问题，一般来说，应选择一个适当的坐标系.建立如图9-1所示的坐标系，质点位于坐标原点，该圆弧的参方程为

?x?Rcos???(????) ?22?y?Rsin?在圆弧细棒上截取一小段，其长度为ds，它的质量为?ds，

?到原点的距离为R，其夹角为?，它对质点M的引力?F的大小约为

m?ds?Fx?k?cos? 2R图9-1

?m?ds ?F在水平方向(即x轴)上的分力?Fx的近似值为?F?k?2R而ds??dx?2??dy?2?Rd?,于是,我们得到了细棒对质点的引力在水平方向的分力Fx的元素, dFx?km?cos?d?

R??故 Fx?2?dFx?2?km?cos?d??2km?sin?

???2?2RR2类似地,

??Fy??2??2dFy??2??2km?sin?d??0 R因此，引力的大小为2km?sin?，而方向指向圆弧的中心.

R2图3.4

3.4 转动惯量

质量为m的质点关于轴l的转动惯量为I?mr2

与轴l的距离为ri，质量为mi?i?1,2,3,????的质点系关于轴l的转动惯量为

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I??mi?lniri

若考虑物体的转动惯量，则需用积分解决. 例10 设有一个半径为R,质量为M的均匀圆盘，(1)求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量.

(2)求圆盘对直径所在轴的转动惯量.

解：（1）建立坐标系如图.设圆盘面积为?.对应于[x,x?dx]的小圆环对轴l的转动惯量为

dI?2??x3dx

故圆盘对轴l的转动惯量为

11MI??2??x3dx???R4?MR2,(??) 222?R转动惯量元素为dIy?2?yx2dx?2?x2故圆盘对y轴的转动惯量为

Iy?2??4??4??14图10-1

(2)取旋转轴为y轴，建立坐标系如图.对应?x,x?dx?的平行y轴的细条关于y轴的

R2?x2dx

?R?RR2?x2dxR2?x2dx2??R0x2

?20R4sintcos2tdt??R4?1MR24 (令x?Rsint,??M?R2)

图10-2

3.5 质量,质心

设区间?a,b?上分布着质量,M表示?a,b?的总质量, m(x)表示?a,x?的质量,显然,

m(a)?0,m(b)?M.在[x,x??x]上的质量为?m?m(x??x)?m(x).

?m?m??(x)称为点x处的质量线密比值称为点x处的平均质量线密度.极限lim?x?0?x?x度.由此可见,当m(x)连续可微时?(x)?m'(x)存在,从而M???(x)dx.

ab设在平面上有n个质点pi(xi,yi),质量分别为mi,i?1,2,???,n.力学表明,该质点系的质心(xc,yc)可由下面两试来表示:

xc??mi?1nnixi,yc??mi?1ni?1niyii. (1)

?i?1mi?m

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其中?mi?M是质点系的总质量.

i?1n如果在x轴的区间[a,b]上分布着质量,其线密度为?(x),现来求[a,b]的质心xc.在[a,b]中引入分划P?{x0,x1,???,xn}.小区间[xi?1,xi]上的质量为mi??(xi)?xi,当

P?0时,可将它视为集中在xi的一个质点.根据(1)试,有

xc???(x)?x?x. ??(x)?xiiiii令p?0,得xc的精确表达式: xc???bax?(x)dxb.

a?(x)dx3.6 平均值

在物理和工程等实际问题中,有时需要求出某个函数y?f(x)在某个区间中连续变化时的平均值,例如平均速度,平均压强,平均功率等.

考察连续函数y?f(x)在区间[a,b]上的平均值.对于区间[a,b]上的任一分划

T:a?x0?x1?????xn?b，取?k?[xk?1,xk],k?1,2,???,n,并用f(?1),f(?2),???,f(?n)

n加权平均值 y(T)??k?1f(?k)?xk??xk?1nn1?f(?k)?xk ?b?ak?ik来作为f(x)在[a,b]上的平均值得近似值.令T?0取极限,既得f(x)在[a,b]上的平均值

y?1b?aba?f(x)dx

例11 求交流电I(t)?I0sin?t的平均功率,其中I0表示电流的最大值. 解 显然,只须计算在一个周期上的平均功率.这时,周期T?2??,功率

2P(t)?I2R?I0Rsin2?t,其中R是用电器的电阻.于是所求平均值等于

1P?T2I0 ?R2??T02I0R?P(t)dt?2?2???0sin2?tdt

12 I0R2?2?02I0Rsintdt?2?2?2?012?1?cos2t?dt?3.7 变速直线运动的路程

设物体运动的速度???(t),(?(t)?0))，则此物体在时间区间[a,b]内运动的路程s为

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s??ba??t?dt

u(m/s3例12 一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求汽车在这1min行驶的路程.

解 由速度－时间曲线可知

?0?t?10?3t????t???30 ?10?t?40?

??1.5t?90?40?t?60??s??3tdt??30dt?0101040t(s) 0 10图11-1

4060 6?6040(?1.5t?90)dt?3210340 t|0?30t|10?(?t2?90t)|604024=1350(m)

例13 A、B两站相距7.2km,一辆电车从A站开往B站,电车开出t1s后到达途中C点,这一段的速度为1.2t(m/s),到C点的速度为24m/s,从C点到B点前的D点以等速行驶,从D点开始刹车,经t2s后,速度为(24-1.2t)m/s,在B点恰好停车.试求:（1）A、C间的距离;（2）B、D间的距离;（3）电车从A站到B站所需的时间.

解 (1)设A到C的时间为t1则1.2t1?24，t1?20(s),则

AC??200201.2tdt?0.6t2|0?240(m)

(2)设D到B的时间为t2则24-1.2t2?0, t2?20(s),则

BD??20+280+20=320（s）

20020(24?1.2t)dt?0.6t2|0?240(m)

(3)CD=7200-2?240=6720(m),则从C到D的时间为280(s),则所求时间为

3.8 高中物理常用例子

在高中物理中有很多例子，比如我们学过的降落伞原理,第二宇宙速度,缆绳的工作原理,等都用到了微积分思想，所有这些例子都有它的共性.作为大学知识在高中的应用，虽然微积分高中不要求，但他的思想无不贯穿整个高中物理.

3.8.1 降落伞原理

质量为m的物体在重力作用下自由下落,下落时所受空气阻力与下落速度成正比,比例常数为k,则由牛顿定律,

mg?k??md?dt

其中,g为重力加速度,?为物体的速度,我们选择指向地心的坐标.上面的方程等价于

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kkttdmm (e?)?gedt假设初速度为零,则

ektm??g?0etksmktmgds?(em?1)

kk?tmgm既 ?(t)?(1?e)

k特别的,t??时?(t)?mg,既速度不会增加到无限大. k3.8.2 第二宇宙速度

从地球表面发射火箭,如果要求火箭无限飞离地球,问:火箭的初速度至少为多少?这里主要考虑火箭摆脱地球引力的问题,因此我们忽略空气阻力以及太阳的引力.根据万有引力定律,在距地心x处火箭所受地球引力为F?GMmx?2.其中,G为万有引力常数,M为地球质量,m为火箭质量.在地球表面,有GMmR?2?mg.其中R为地球半径.火箭从地面升到距地心r(r?0)处需要做的功为

GMmx?2dx??rRmgR2x?2dx?mgR2(11?) Rr因此,火箭无限飞离地球需要做功

W?limmgR2(r??11?)?mgR Rr由能量守恒原理,火箭的初速度至少为

?0,则

12m?0?mgR 2因而?0?2gR?2?9.81?6.371?106?11.2(km/s)

3.8.3 缆绳的工作原理

绳索在日常生活中应用十分广泛,例如在码头上经常用来系住船舶.为什么绳索能拉住大型船舶?下面我们就来作一个力学分析,它揭示了绳索产生巨大拉力的原理.

设一段绳索缠住一圆柱体上,绳索一端施以拉力f.绳索与圆柱体之间的摩擦系数为k,如果绳索共绕了n圈,在绳索的另一端产生的拉力为F,我们来求F的值.

取角度为??的一小段绳索,研究其受力状况,设这一段绳索承受圆柱体的正压力为

?N,则摩擦力为k?N.这一段绳索两端所受拉力分别为F,F??F,则考虑圆柱体外法

向和切向这两个方向绳索的受力,得到方程

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??????N?(F??F)sin?Fsin??22 ??(F??F)cos???Fcos???k?N??22

从方程中消去?N,令???0,得积分解得F(?)?fek?

当??2n?时, F?fe2kn?. 1

例如:设摩擦系数k?,n?6,f?10kg,则F?10e3?kg?100000kg.

4

dF?F?lim?kF d????0??4.结论

在上面的一些定积分在物理上的应用中我们可以理解到在物理的众多类型中，有方向，有大小的矢量才能用定积分来计算.因为这些矢量在某个区间上连续运动，运动足迹的面积就是我们需要的值.如：功,液体静压力，引力，转动惯量，质量，质心等.

关于定积分的物理应用三点说明: ( 1)选择合适的坐标系;

( 2) 善于根据问题的性质和要求构造积分元素, 主要是选择好变量, 并能正确地确定出积分上下限;

( 3) 具体计算积分时, 要特别注意对称性及等量关系以简化定积分的计算, 对此, 熟悉区域或曲线的形状, 对于解决问题是十分有益的.

关于定积分在物理方面的应用, 除了应熟记各个公式的结果外, 还须了解其推导过程, 尤其是如何在具体问题中取“ 微元”微功、微压力、微引力等.

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参考文献:

[1] 华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2001年(2009年重印).第3版. 255～259.

[2] 程其襄等.数学分析[M]. 华东师范大学出版社, 1993年(2005年重印) . 378～388 [3] 严子谦等.数学分析(第一册)[M]. 北京:高等教育出版社, 2004年 239～242 [4] 梅加强.数学分析[M]. 北京:高等教育出版社, 2011年 252～254 [5] 欧阳光中等.数学分析(上册)[M].复旦大学出版社,2002年 285～286

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新疆师范大学2014届本科毕业生毕业论文（设计）

致谢

大学五年很快就要结束了，在这宝贵的五年学习过程中，我认识了数学系的各级领导、老师和我亲爱的同学们，得到了他们热心的帮助和关心，使我能够顺利的完成学业，同时我的道德修养在身边优秀的老师和同学的感染下得到了很大的提高，在此向他们表示我最衷心的感谢！

感谢我的指导老师，感谢对我毕业论文的细心指导，哈米旦老师严谨细致、认真负责的工作态度是我学习的典范，这对我以后走上工作岗位有很大的帮助.

同时我要感谢我大学五年认识的所有好朋友，有了他们的陪伴、支持、鼓励，我的大学生活才有意义，从他们身上我学到了很多我没有的品质，我将永远珍惜这难得的友谊.

到论文的顺利完成，有很多的可敬的老师、同学、朋友给了我真挚的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对哈米旦老师表示最诚挚的谢意和祝福！

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致谢

大学五年很快就要结束了，在这宝贵的五年学习过程中，我认识了数学系的各级领导、老师和我亲爱的同学们，得到了他们热心的帮助和关心，使我能够顺利的完成学业，同时我的道德修养在身边优秀的老师和同学的感染下得到了很大的提高，在此向他们表示我最衷心的感谢！

感谢我的指导老师，感谢对我毕业论文的细心指导，哈米旦老师严谨细致、认真负责的工作态度是我学习的典范，这对我以后走上工作岗位有很大的帮助.

同时我要感谢我大学五年认识的所有好朋友，有了他们的陪伴、支持、鼓励，我的大学生活才有意义，从他们身上我学到了很多我没有的品质，我将永远珍惜这难得的友谊.

到论文的顺利完成，有很多的可敬的老师、同学、朋友给了我真挚的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对哈米旦老师表示最诚挚的谢意和祝福！

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ou6r.html