第14讲 面积问题

第十四讲 面积问题

我们已经学过的面积公式有：

(2)S平行四边形=ah(其中h表示a边上的高)．

平行边之间的距离)．

的长，h表示

由于多边形可以分割为若干个三角形，多边形的面积等于各三角形面积和，因此，三角形的面积是面积问题的基础．

等积变形是面积问题中富于思考性的有趣问题，它是数学课外活动的重要内容，这一讲中我们将花较多的篇幅来研究多边形的等积变形． 等积变形是指保持面积不变的多边形的变形．

三角形的等积变形是多边形等积变形的基础，关于三角形的等积变形有以下几个主要事实：

(1)等底等高的两个三角形面积相等．

(2)两个三角形面积之比，等于它们的底高乘积之比． (3)两个等底三角形面积之比，等于它们的高之比． (4)两个等高三角形面积之比等于它们的底之比．

例1 已知△ABC中三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为ha=4，hb=5，hc=3．求a∶b∶c．

解 设△ABC的面积为S，则

所以

说明 同一个三角形依面积公式可以有三种不同的表示法，由此获得三边之比．

例2 如图1－51，ABCD的面积为64平方厘米(cm2)，E，F分别为AB，AD的中点，求△CEF的面积．

分析 由于△CEF的底与高难以从平行四边行的面积中求出，因此，应设法将四边形分割为三角形，利用面积比与底(高)比来解决．

解 连接AC．E为AB中点，所以

同理可得

S△cDF=16(平方厘米)．

连接DE，DB，F为AD中点，所以

从而

S△cEF=SaBCD-S△aEF-S△bCE-S△cDF =64-16-16-8=24(平方厘米)．

说明 (1) E，F是所在边的中点启发我们添加辅助线BD，DE．

(2)平行四边形的对角线将平行四边形分成两个三角形的面积相等是由平行四边形对边相等及平行线间的距离处处相等，从而这两个三角形的底、高相等获知的．

分析 直接求△DEF面积有困难，观察图形，发现△DEF与△DCF有共同的顶点D，其底边在同一条直线上，因而，高相同．所以

于是，求△DEF的面积就转化为求△DCF的面积．用同样的办法可将△DCF的面积转化为△ADC的面积，进而转化为△ABC的面积．

边EF，CF在 同一条直线上，

点D，且底

EF∶CF=2∶3，

同理，△DCF与△DCA有共同的顶点C，且底边DF，DA在同一条直线上，由已知DF∶DA=2∶3， 所以

例4 用面积方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边．

分析与解 如图1－53所示．设E，F分别是AB，AC的中点，可求得△EBC与△FBC的面积相等(均为△ABC面积的一半)．由于这两个三角形同底BC，因而这两个三角形的顶点E，F在一条与底边BC平行的直线上，所以EF∥BC． 说明 (1)从证题过程看出，条件“E，F是所在边的中点”可

从而 S△cBE=S△bCF．

这两个三角形同底BC，因此，它们的顶点E，F的连线与底边平行． (2)同样用面积的方法可以证明如下事实：三角形ABC中，若EF∥BC且AE∶EB=m，则AF∶FC=m(请同学们自己证明)．

例5 如图1－54．在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上的一点，且AD∶DC=2∶3，BD与CE交于F， S△ABC=40，求SAEFD．

分析 四边形 AEFD可分割为△AED与△DEF．从E是AB中点及D分AC为2∶3的条件看，△AED的面积不难推知，关键是如何推求△DEF的面积．为此，需通过添加辅助线的办法，寻求△DEF的面积与已知面积的关系．

解 取AD的中点G，并连接EG，在△ABD中，E是AB的中点，由例3知EG∥BD．又CD∶DG=3∶1，从而，在△CEG中，

CF∶FE=CD∶DG=3∶1(例3说明(2))， 所以 S△DFC∶S△DFE=3∶1．

设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x．由于

AD∶DC=2∶3，

所以

S△EAD∶S△ECD=2∶3，

又因为E是AB中点，所以

S

aEFD

=S△aDE+S△DEF=8+3=11．

说明 在三角形中，利用平行线实行比的转移，再利用等积变形，得到相应的面积的比，从而将欲求的△DEF的面积与已知的△ABC的面积“挂上了钩”．这里取AD的中点G，得到BD的平行线EG是关键．

例6 如图1-55所示．E，F分别是ABCD的边AD，AB上的点，且BE=DF，BE与DF交于O．求证：C点到BE的距离等于它到DF的距离．

分析 过C作CG⊥BE于G，CH⊥FD于H，则CG，CH分别是C到BE，DF的距离，问题就是要证明CG=CH．结合已知，BE=DF，可以断言，△BCE的面积等于△CDF的面积．由于这两个三角形的面积都等于ABCD面积的一半，因此它们等积，问题获解．

解 连接CF，CE．因为

所以 S△bCE=S△cDF． 因为BE=DF，所以

CG=CH(CG，CH分别表示BE，DF上的高)，

即C点到BE和DF的距离相等．

说明(1)△BCE与△CDF是两个形状及位置完全不同的三角形，它们面积相等正是通过等积变形——都等于同一平行四边形的面积之半． (2)通过等积变形可以证明线段的相等．

练习十四

1．如图1－56所示．在△ABC中，EF∥BC，且AE∶EB=m，求证：AF∶FC=m．

2．如图 1－57所示．在梯形 ABCD中， AB∥CD．若△DC

之几？

的几分

3．如图1－58所示．已知P为△ABC内一点，AP，BP，CP分别与对边交于D，E，F，把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．

4．如图1－59所示．P为△ABC内任意一点，三边a，b，c的高分别为ha，hb，hc，且P到a，b，c的距离分别为ta，tb，tc．

求

5．如图1－60所示．在梯形ABCD中，两腰BA，CD的延长线相交于O，OE∥DB，OF∥AC且分别交直线BC于E，F．求证：BE=CF．

6．如图1－61所示．P是△ABC的AC边的中点，PQ⊥AC交AB延长线于Q，BR⊥AC于R．

求证：

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