晋冀鲁豫名校2018-2019年度高三上学期期末联考数学理试题（精品

2018～2019年度晋冀鲁豫名校联考 高三上学期期末考试数学（理）试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A?{x|2?4},B?{x|x?x}，则AA．(??,0) 答案：D

解析：A?{x|x?2},B?{x|x?0或x?1},?A2．若i为虚数单位，则A．1?B．(??,0)x2B?（ ）

(1,4)

D．R

(1,2) C．(??,0)B?R．

1i 21?2i?（ ） 2i1B．1?i

2

C．?1?1i 2D．?1?1i 2答案：B 解析：

1?2i(1?2i)i?2?i1???1?i． 22i2i?22223．若直线l:4x?ay?1?0平分圆C:(x?2)?(y?2)?4，则实数a的值为（ ） A．?7 2B．

28 15C．

7 2D．

287或 152答案：A

解析：当直线经过圆心时平分圆，所以，圆心C(?2,2)在直线l:4x?ay?1?0上， 所以4?(?2)?a?2?1?0，解得a??7． 24．2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如

图所示，则该样本的中位数是（ ） A．45 B．47

1 2 2 0 3 1 2 4 4 5 5 5 7 5 0 0 6 1 3

答案：A

解析：各数据为：12 20 31 32 34 45 45 最中间的数为：45，所以，中位数为45．

C．48 7 8

D．63

45 47 47 48 50 50 61 63，

x2y25??1的离心率为；q:关于x的方程x2?ax?a?2?0（a?R）有两个不相等的5．已知p:双曲线

9164实数根，则下列为假命题的是（ ） A．(?p)?q 答案：C

解析：双曲线中，a?3,b?4，所以，c?a2?b2?5，离心率为e?222B．p?q C．p?q D．(?p)?q

5,?p为假命题； 32对于命题q:??(?a)?4(a?2)?a?4a?8?(a?2)?4?0，所以方程x?ax?a?2?0（a?R）有两

个不相等的实数根，?q为真命题，故选C． 6．若sin???A．

??3?22019??3???cos??，且是第三象限角，则??2?5?B．????（ ） ?D．?3 5??3?23 5C．

4 54 5答案：D 解析：sin???334???cos??,?cos???,?是第三象限角，所以， sin????555?

2019??cos???2?3????cos1008??????2??4??sin???． ?5?7．若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ） A．

1007 2015B．

1008 2017C．

1009 2019D．

1010 2021

答案：C 解析：

11(n?2)?n1?11???????，

n(n?2)2n(n?2)2?nn?2??S?111???1?33?55?7?11??1??11??11????1???????????2017?20192??3??35??57?1???1??????20172019??1?1?1009??1???2?2019?2019

8．我国南北朝时期的数学著作《张邱建算经》有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三金，持出，中间三人未到者，亦等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两个人所得金相差数额绝对值的最小值是（ ） A．

6斤 78B．

7斤 39C．

7斤 78D．

1斤 11

答案：C

?3a1?3d?4377解析：设首项为a1，公差为d，则根据题意可得?，解得a1??,d??．

2678?4a1?30d?39．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．

4 3B．

2 3C．2 D．4

答案：A

解析：据三视图分析知，该几何体是如图所示的棱长为2的正方体被平面解得的三棱锥C?ADE，且D是正方体所在棱的中点，所以该几何体的体积V?1?14????2?2??2?． 3?23?

222????a?ba?b??2x10．已知函数f(x)?xe，若a?0,b?0,p?f?,r?f(ab)，则下列关系式中?,q?f??????22??????正确的是（ ） A．q≤r≤p 答案：D

B．q≤p≤r

C．r≤p≤q

D．r≤q≤p

a2?b2?a?b?2a2?2b2a2?b2?2ab(a?b)2解析：因为a?0,b?0，所以????≥0， ??2444?2?a?ba2?b2?a?b??a?b?，又，≥ab?≥??≥ab，又因为函数f(x)?x2ex在区间(0,??)上单调递???22?2??2???a?b?2?≤增，所以f(ab)≤f?????2?????2222?a2?b2?f??，即r≤q≤p．

2??3的直线交抛物线于A、B两点，分别过点A、B作311．已知过抛物线C:x?2py(p?0)的焦点F作斜率为x轴的垂线，垂足分别为A1,B1，若四边形AA1B1B的面积是33，则抛物线C的方程是（ ）

A．x?y 答案：B

2B．x?2330y 5C．x?4y

2D．x?236y 2?3px?3p23?y?2x?．由?x?px?p2?0． 解析：据题意，得直线AB的方程为y? ，得32323?x2?2py?设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2?23p,x1x2??p2． 3

所以x2?x1?(x1?x2)2?4x1x2?4243325p?4p2?p，y1?y2?(x1?x2)?p?p?p?p 33333所以

115p43p330?(y1?y2)?x2?x1????33，解得p?， 2233102所以抛物线C的方程为x?330y． 5ABB1FOA1 3??x?3x?t,x≥012．已知函数f(x)??2?x?1有且只有3个零点，则实数t的取值范围是（ ）

?t,x?0??2A．(?2,0] 答案：C B．(0,2) C．(2,4) D．(?2,4)

33???x?3x,x≥0?x?3x,x≥0解析：令f(x得t??2?x?1，作出函数y??2?x?1的图象，据题设分析可知，函数y?t)?0，

,x?0,x?0???2?23??x?3x,x≥0的图象与函数y??2?x?1的图象有且只有三个交点，则实数t的取值范围是(2,4)．

,x?0??2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．已知a?2,b?3,a?b?4，则向量a与b夹角的正弦值为 ．

答案：15 4222?a?b?解析：a?b?a?2a?b?b?13?2a?b?16，3a?b115，cosa,b??,?sina,b?． 244a?b?x≤1?14．已知实数x,y满足不等式组?4x?y?2≥0，则4x?8y?1的最小值是 ．

?2x?y?2≥0?答案：?43

解析：作可行域为如图所示的△ABC，其中A(1,0),B(0,2),C(1,6)，由z?4x?8y?1，可知

zA?5,zB??15,zC??43，所以4x?8y?1的最小值是?43．

?1?15．??x?2?的展开式中的常数项为 ．

?x?答案：?76

解析：三项式(a?b?c)展开式的通项公式为CC12nxnyn?x6abcxyn?x?y?1?，所以??x?2?的展开式中的常数项为

?x?6?1??1?11?1?． 26?C6C5???(?x)1?24?C62C42???(?x)2?22?C63???(?x)3?64?480?360?20??76xxx??????n?16．已知数列{an}的前n项和为Sn,a1?a,an?1?Sn?3，若an?1≥an对?n?N成立，则实数a的取值范围

3是 ． 答案：[?9,??)

nnn?1n1解析：据题意，得：Sn?1?Sn?Sn?3,?Sn?1?2Sn?3,?Sn?1?3?2(Sn?3)．又S1?3?a?3，

?Sn?3n?(a?3)?2n?1．当n?1时，a1?a；当n≥2时，

an?Sn?Sn?1?3n?(a?3)?2n?1?3n?1?(a?3)?2n?2?2?3n?1?(a?3)?2n?1，

?an?1?an?4?3n?1?(a?3)?2n?2．

?3?又当n≥2时，an?1≥an恒成立，?a≥3?12????2?n?2对?n?N，且n≥2成立，?a≥?9．

?又a2?a1?3,?a2≥a1成立．综上，所求实数a的取值范围是[?9,??)．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分） 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanC(bsinB?asinA)?bcosB?acosA． （1）求证：A?B；

3，求△ABC的周长． 417．解析：（1）由题得bsinBsinC?asinAsinC?bcosBcosC?acosAcosC，

（2）若c?3,cosC?所以acos(A?C)?bcos(B?C)．…………………………………………………………………………2分 又因为A?B?C??，所以?acosB??bcosA，………………………………………………………3分 所以?sinAcosB??sinBcosA，…………………………………………………………………………4分 所以sin(A?B)?0，…………………………………………………………………………………………5分 所以A?B?k?(k?Z)，又因为A、B为△ABC的角，所以A?B．………………………………6分 （2）据（1）可知，A?B，所以a?b，又因为c?3,cosC?3， 43a2?a2?(3)22a2?3?所以?，……………………………………………………………………9分 2242a2a所以a?b?6．…………………………………………………………………………………………10分

22

所以△ABC的周长l?a?b?c?26?3．…………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分）

如图，矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，EP?3,BP?2,AD?AE?1，

AE?EP,AE//BP,G,F分别是BP,BC的中点．

（1）求证：平面AFG//平面PCE； （2）求二面角D?BE?A的正切值．

DCFAEPGB1BP?1．…………………………1分 2又因为AE?1， AE//BP，所以AE//PG，且AE?PG，………………………………………2分 所以四边形AEPG是平行四边形，所以AG//EP．……………………………………………………3分

18．解析：（1）因为G是BP的中点，BP?2，所以PG?又因为AG?平面PCE,EP?平面PCE，所以AG//平面PCE．………………………………4分 因为G、F分别是BP、BC的中点，所以FG//PC．………………………………………………5分 又因为PC?平面PCE,FG?平面PCE，所以FG//面PCE．……………………………………6分 又因为AG

FG?G,AG?平面AFG,FG?平面AFG，所以平面AFG//平面PCE．…………7分

（2）以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则E(1,0,0),D(0,0,1),B(?1,3,0)，

所以ED?(?1,0,1),EB?(?2,3,0)．……………………………………………………………………8分

??n?ED??x?z?0设平面BDE的一个法向量为n?(x,y,z)，则?，令x?3，得y?2,z?3，

??n?EB??2x?3y?0所以n?(3,2,3)．…………………………………………………………………………………………9分 易知平面ABE的一个法向量为m?(0,0,1)．………………………………………………………………10分 所以cosm,n?m?nm?n?330?．………………………………………………………………11分 1010又因为二面角D?BE?A的平面角为锐角，所以二面角D?BE?A的正切值?7021．……12分 ?330zDCFAExPGy

19．（本小题满分12分）

“共享单车”的操控企业无论是从经济效益，还是从惠及民生都给人们带来一定方便，可是，国人的整体素养待提高，伤痕累累等不文明行为也遍及大江南北．某市建立了共享单车服务系统，初次交押金时个人积分为100

B

分，当积分低于60分时，借车卡将自动锁定，禁止借车．共享单车管理部门按相关规定扣分，且扣分规定三条如下：

i．共享单车在封闭式小区、大楼、停车场、车库等区域乱停乱放，扣1分； ii．闯红灯、逆行、在机动车道内骑行，扣2分； iii．损坏共享单车、私自上锁、私藏，扣5分．

已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次：甲、乙扣1分的概率分别是0.4和0.5；甲、乙扣2分的概率分别是0.4和0.3；租用共享单车人均触规定三条中一条，且触规定三条中任一条就归还车． （1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；

（2）若甲、乙两人在初次租用共享单车一次后所剩下的积分之和为X，求随机变量X的数学期望． 19．解析：（1）记“甲扣1分”为事件A1，“甲扣2分”为事件A2，“甲扣5分”为事件A3，

P(A1)?0.4,P(A2)?0.4,P(A3)?0.2．………………………………………………………………1分

记“乙扣1分”为事件B1，“乙扣2分”为事件B2，“乙扣5分”为事件B3，

P(B1)?0.5,P(B2)?0.3,P(B3)?0.2．………………………………………………………………2分

据题设知，A1,A2,A3,B1,B2,B3彼此相互独立．

记“甲、乙两人所扣积分相同”为事件M，则P(M)?0.4?0.5?0.4?0.3?0.2?0.2?0.36．…4分 （2）设甲、乙两人在各租用共享单车一次之后所扣积分之和为?，

则?的可能取值为2，3，4，6，7，10．………………………………………………………………5分

P(??2)?0.4?0.5?0.2,P(??3)?0.4?0.3?0.4?0.5?0.32,P(??4)?0.4?0.3?0.12,所

P(??6)?0.4?0.2?0.2?0.5?0.18,P(??7)?0.4?0.2?0.2?0.3?0.14,P(??10)?0.2?0.2?0.04以?的分布列为：

? 2 3 4 6 7 10

P 0.2 0.32 0.12 0.18 0.14 0.04 …………………………………………………………………………………………………………………10分

E(?)?2?0.2?3?0.32?4?0.12?6?0.18?7?0.14?10?0.04?4.3…………………………11分

故E(X)?200?E(?)?200?4.3?195.7．…………………………………………………………12分 （2）解法2：甲在租用共享单车一次之后所扣积分的期望值为1?0.4?2?0.4?5?0.2?2.2， 乙在租用共享单车一次之后所扣积分的期望值为1?0.5?2?0.3?5?0.2?2.1， 所以E(X)?200?2.2?2.1?195.7． 20．（本小题满分12分）

x2y21已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，短轴长为23．

ab2（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若椭圆C的左焦点为F1，过点F1的直线l与椭圆C交于D,E两点，则在x轴上是否存在一个定点M使得直线MD,ME的斜率互为相反数？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，也请说明理由．

?2b?23??c120．解析：（1）据题意，得??……………………………………………………………………3分

?a2?c2?a2?b2?解得a?4,b?3，…………………………………………………………………………………………4分

22x2y2??1．………………………………………………………………5分 所以椭圆C的标准方程为43（2）据题设知点F1(?1,0)，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?k(x?1)．

?y?k(x?1)?2222由?x2y2，得(4k?3)x?8kx?4k?12?0．

?1???43?8k24k2?12,x1x2?设E(x1,y1),D(x2,y2)，则x1?x2?．………………………………………7分

4k2?34k2?3设M(m,0)，则直线MD,ME的斜率分别满足kMD?又因为直线MD,ME的斜率互为相反数， 所以kME?kMD?y2y1,kME?． x2?mx1?my1y2xy?xy?m(y1?y2)??2112?0， x1?mx2?m(x1?m)(x2?m)所以x2y1?x1y2?m(y1?y2)?0，所以x2k(x1?1)?x1k(x2?1)?m[k(x1?1)?k(x2?1)]?0， 所以2kx1x2?k(x1?x2)?m[k(x1?x2)?2k]?0，

??4k2?12?8k2?8k2所以2k??k??mk??2k???0，所以k(m?4)?0．……………………9分 2224k?34k?3?4k?3?若k(m?4)?0对任意k?R恒成立，则m??4，……………………………………………………10分 当直线l的斜率k不存在时，若m??4，则点M(?4,0)满足直线MD,ME的斜率互为相反数．……11分 综上，在x轴上存在一个定点M(?4,0)，使得直线MD,ME的斜率互为相反数．……………………12分 21．（本小题满分12分）

定义：若函数f(x)的导函数f?(x)是奇函数（f?(?x)?f?(x)?0），则称函数f(x)是“双奇函数” ．函数

f(x)?x(x?a)?1(x?R)． 2x（1）若函数f(x)是“双奇函数”，求实数a的值；

（2）假设g(x)??f(x)???1?x?a1?lnx． 2?x?x?a2（i）在（1）的条件下，讨论函数g(x)的单调性； （ii）若a?R，讨论函数g(x)的极值点． 21．解析：（1）因为f(x)?x(x?a)?又因为函数f(x)?x(x?a)?所以2(?x)?a?12?，所以．………………………………1分 f(x)?2x?a?23xx1是“双奇函数”， 2x22?2x?a??0对任意x?R且x?0成立，………………………………2分 33(?x)x所以2a?0，解得a?0．………………………………………………………………………………3分 （2）（i）g(x)??f(x)???1?x?a11?lnx?xx?a?lnx（x?0，且x??a）． 2?x?x?a221??1??2?x???x??112??2?2??由（1）求解知，a?0，则g(x)?x?lnx，所以g?(x)?2x?． 2xx2令g?(x)?0，得x?故函数g(x)在区间?11；令g?(x)?0，得0?x?， 22?1??1?,???上单调递增，在区间?0,?上单调递减．………………………………5分 ?2??2?

（ii）g(x)?xx?a?21lnx(x?0且x??a)． 2114x2?2ax?1?当a≥0时，g(x)?x?ax?lnx,g?(x)?2x?a?．

22x2x?a?a2?4?a?a2?4,x2?令g?(x)?0，则x1?（舍去）．

44分析知，当x?(0,x1)时，g?(x)?0；当x?(x1,??)时，g?(x)?0， 所以g(x)在(0,x1)上单调递减，在(x1,??)上单调递增，

?a?a2?4所以g(x)的极小值点x?，不存在极大值点．…………………………………………6分

41?2x?ax?lnx,x??a,??2当a?0时，g(x)??………………………………………………7分

??x2?ax?1lnx,0?x??a??2?a?a2?4?a?a2?44x2?2ax?1,x2???a（舍）当x??a时，g?(x)?．令g?(x)?0，得x1?．

442x?a?a2?42≤?a，即a≤?若，则g?(x)≥0，所以g(x)在(?a,??)上单调递增，函数g(x)在区间

42(?a,??)上不存在极值点；

?a?a2?42??a，即??a?0，则当x?(?a,x1)时，g?(x)?0；当x?(x1,??)时，g?(x)?0， 若

42

所以g(x)在(?a,x1)上单调递减，在(x1,??)上单调递增，所以函数g(x)在区间(?a,??)上存在一个极值点．…………………………………………………………………………………………………………9分

1?4x2?2ax?1?当0?x??a时，g?(x)??2x?a?． 2x2x2令g?(x)?0，得?4x?2ax?1?0，记??4a?16(a?0)．

2若?≤0，即?2≤a?0时，g?(x)≤0，所以g(x)在(0,?a)上单调递减，函数g(x)在(0,?a)上不存在极值点；

?a?a2?4?a?a2?4,x4?,0?x3?x4??a． 若??0，即a??2时，则由g?(x)?0，得x3?44分析知，当x?(0,x3)时，g?(x)?0；当x?(x3,x4)时，g?(x)?0；当x?(x4,?a)时，g?(x)?0， 所以g(x)在(0,x3)上单调递减，在(x3,x4)上单调递增，在(x4,?a)上单调递减，

所以当a??2时，函数g(x)存在两个极值点．…………………………………………………………11分

?a?a2?4综上，当a??2时，函数g(x)存在两个极值点，且极小值点x?，极大值点

4?a?a2?4x?；

4当?2≤a≤?2时，函数g(x)无极值点； 2?a?a2?42当a??时，函数g(x)的极小值点x?，无极大值点．……………………………12分

42

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）

?x?c?bcos?在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为?（b,c?R,?为参数），以坐标原点为极点，x轴

?y?sin?的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为?cos?????????a，点A的极坐4?标为?2,?????，且点A是直线l与圆C的一个公共点． 4?（1）求实数a,b,c的值；

（2）判断直线l与圆C的位置关系． 22．解：（1）因为极坐标为?2,????4??的点A在直线l:?cos?????????a上， 4?所以a?????2cos????2．……………………………………………………………………1分

?44?所以直线l的直角坐标方程是x?y?2?0．…………………………………………………………2分

?x?c?bcos??x?c?2参数方程为?（b,c?R,?为参数）的圆C的普通方程为???y?1，………3分

?b??y?sin?所以b??1．………………………………………………………………………………………………4分 又因为极坐标为?2,2????22?的点A在圆C上，所以(1?c)?1?1，解得c?1．…………………6分 4?22（2）由（1）求解知，直线l的直角坐标方程是x?y?2?0，圆C的直角坐标方程是(x?1)?y?1， 所以圆C的圆心为(1,0)，半径r?1，………………………………………………………………………8分

圆心C(1,0)到直线l:x?y?2?0的距离d?1?0?22?2．……………………………………9分 2因为d?r，所以直线l与圆C相交．……………………………………………………………………10分 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数f(x)?2x?2?x?a(x?R)．

（1）当a?0时，求不等式f(x)≤7的解集；

（2）若f(x)≥2x?4对任意x?[?1,0]成立，求实数a的取值范围．

23．（1）当a?0时，不等式f(x)≤7可化为2x?2?x≤7．………………………………………1分

55，故0?x≤；……………………………………………2分 33当?1≤x≤0时，2x?2?x≤7，解得x≤5，故?1≤x≤0；……………………………………3分

当x?0时，2x?2?x≤7，解得x≤当x??1时，?(2x?2)?x≤7，解得x≥?3，故?3≤x??1．……………………………………4分

综上，当a?0时，不等式f(x)≤7的解集为??3,?．………………………………………………5分

3??5??（2）因为f(x)≥2x?4对任意x?[?1,0]成立，

所以2x?2?x?a≤2x?4任意x?[?1,0]成立，………………………………………………………6分 所以x?a≤2对任意x?[?1,0]成立，……………………………………………………………………7分 所以x?2≤a≤x?2对任意x?[?1,0]成立，……………………………………………………………8分 又当x?[?1,0]时，(x?2)min??1?2?1,(x?2)max??2，

故所求实数a的取值范围是[?2,1]．…………………………………………………………………………10分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/otwa.html