医用物理习题集（第五章 波动）

第五章 波动

一．目的要求：

掌握波的传播规律，理解波函数的物理意义；掌握波的干涉现象和规律；了解声学的基本概念，了解声强级和响度级，了解超声的性质及其医学应用。

二．要点：

1．振动在介质中的传播过程称为波动或波，它是一个能量传递的过程。了解横波，纵波，简谐波，机械波，波线，波前，波阵面，平面波，球面波等概念。

波速u是波在介质中传播的速度，机械波的速度决定于介质的弹性模量，密度等因素。

波长?是同一波线上两个相（位）差为2?的点之间的距离（即波线上两个相邻的同相点之间的距离）。一个完整波通过波线上某点所需的时间称为波的周期T，周期的倒数称为波的频率?。

u?????T

2．波函数给出了任一质点振动的位移y、质点的位置x和时间t之间的关系。若

(t??)处于坐标原点的质点的振动方程为： y0?Acos?则沿X轴正向传播的波，其波函数为：y?Acos??(t?当x一定时，波函数变为距原点为x的质点的振动方程； 当t一定时，波函数是t时刻波线上各质点位移分布图像。

??x?)??? u?波函数除了上面的表达形式外，还常用以下几种表达形式： y?Acos?2?(??tx??)??? T??x?)??? ?? y?Acos?2?(?t??? y?Acos?(?t?kx)???，其中k?2??，称为波数。

可以根据需要选用不同的形式。注意：当波动沿x轴负方向传播时，含x的项前面取正号。

3．在波传播方向上x处体积元?V中t时刻所具有的动能和势能之和为：

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E???VA?sin??(t?)???

u??其中动能和势能相等：EK?EP?222?x?1x????VA2?2sin2??(t?)??? 2u??能量密度： w?Ex?????2A2sin2??(t?)??? ?Vu??平均能量密度w是w在一个周期内的平均值，w?1?A2?2 24．波的强度I定义为单位时间内通过与波线垂直的单位面积的平均能量，可导出： I?wu?1?uA2?2 单位：W/m2 2I实际上是垂直于波线方向上的单位面积内波传播的功率。

5．机械波在介质中传播时，波的能量随传播距离的增加因扩散、散射或因介质的粘滞性和其他原因转化为其他形式的能量而减少，波的强度随之减弱、振幅随之减小，这种现象称为波的衰减。其中后一种情况称为介质对波的吸收。

??x平面波的吸收规律为： I?I0e

式中，?是介质的吸收系数，与介质的性质和波的频率都有关。此式表明：平面波的强度在传播过程中按指数规律衰减。

在均匀介质中传播的球面波，如果不考虑吸收，波的能量因分布在越来越大的球面上，强度随距球心的距离增加而按平方反比关系衰减。

ArI1r22 ?2 或 1?2

A2r1I2r16．惠更斯原理：介质中波前上每一点都可以看作新波源，它向各个方向发出子波，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就是该时刻的新波前。

用惠更斯原理可以定性地解释波的衍射、反射、折射等波的传播问题。

7．波的叠加原理：不同波源发出的波在同一介质中相遇后仍按自己原来的传播方向继续传播，不受其他波的影响。在相遇处（即叠加区），质点的振动是各波在该点引起的振动的合成。

8．波的干涉：两个振动方向相同、频率相同、初相相同或相差恒定的波源所发出的波，在介质中叠加时，叠加区内的质点参与了两个分振动，有些地方振动始终加强，

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有的地方振动始终减弱，形成稳定的干涉图样。这种现象称为波的干涉。满足振动方向相同、且同频率、同相或相差不变的波称为相干波。相应的波源称为相干波源。

9．波的干涉中，振幅最大和最小的条件 由于两波叠加处振幅A?2A12?A2?2A1A2cos??

????2??1?上式中 ??x2?x1 ， 称为波程差。

当满足 ???2k?2??(x2?x1)?(?2??1)?2?? ??2??2??1?? （k?0,1,2,3??）时， A最大； ?2?2?当满足 ???(2k?1)?2??1?? （k?0,1,2,3??）时， A最小。 ?2当两个相干波源为同相相干波源，即?1??2时，则： ???2k?2 （k?0,1,2,3??） A最大；

???(2k?1)?2 （k?0,1,2,3??） A最小。

10．了解声压、声压幅、声阻抗、声强、声强级、响度级等声学基本概念。理解人耳等响曲线。注意声波在两种介质界面处发生的反射和透射现象与声阻的关系。

强度反射系数 ?ir?IrZ?Z12?(2) ， IiZ2?Z1It4Z1Z2? ， 且有：?ir??it?1 。 Ii(Z2?Z1)2强度透射系数 ?it?若Z1?Z2 ， 则 ?ir?0，（不反射）；此时?it?1，（全透射）。

注意：声阻抗相差较大时，反射强、透射弱；声阻抗相近时，透射强反射弱。 11．多普勒效应：由于波源或观测者相对于介质运动而使观测者接收到的频率与波源的频率不同，这种现象称为多普勒效应。基本公式为：

???u?v0?

u?vs— 23 —

?为波源的频率，??为观察者测到的频率。

u为波在介质中的传播速度。

vs为波源相对于介质的速度，趋向观察者运动时取正，反之取负。 v0为观察者相对于介质的速度，趋向波源运动时取正，反之取负。

由多普勒效应基本式导出超声多普勒血流仪测血流速度的公式为： v???u

2?cos?式中，??称多普勒频移，?是波源的频率，u是波在介质中的速度，?是超声波传播方向与血流方向之间的夹角。

12．超声波相对于一般声波而言，其传播特性是：方向性好，有特殊的穿透本领，在不同介质界面处产生反射。超声与介质的相互作用有：机械作用、空化作用、热作用、化学作用、生物作用等。

13．常用超声换能器来实现超声电脉冲和超声波之间的转换。通常利用压电晶体的逆压电效应来产生和发射超声波，而利用正压电效应来接收和检测超声。

三．习题解答：

5—1．机械波在通过不同介质时，它的波长、频率和速度中哪些会发生变化？哪些不会改变？

答：波动在通过不同介质时，频率不会发生变化，波速和波长都会发生变化，三者之间满足关系式 ??u? 。

5—2．振动和波动有何区别和联系？

答：媒质的质点在其平衡位置附近来回往复的运动称为机械振动，简称振动。波动是振动在媒质中的传播过程。先要有作为波源的振动，然后才有波动；波动是振动的运动形态的传播过程，同时是一种能量传播过程。广义地说，任何一个物理量（如位移﹑电流﹑电压﹑磁场强度或电场强度﹑压力等）在某个定值附近反复变化，都可以称为振动；例如电场强度和磁场强度的交替变化形成的电磁振荡也是一种振动，电磁能量的传播过程称为电磁波。

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5—3．波动表达式y?Acos??(t???xx?)???中，表示什么？?表示什么？uu?若把上式改写成y?Acos?(?t????x?x?表示什么？ )???，则

uu?xx?)???中，表示位于坐标原点的质点的运uu?答：波动表达式y?Acos??(t???动状态沿x轴正方向传播到与原点距离为x的点所经历的时间，?表示坐标原点的质点的初相。若把上式改写成y?Acos?(?t????x?x?)???，则表示沿x轴正方向与原uu?点距离为x的点的振动比坐标原点的质点滞后的相角。

5—4．已知波函数式为y?Acos(bt?cx)，试求波的振幅、波速、频率和波长。

解：将原式与波函数标准形式

?(t? y?Acos?xx)?Acos?(t?) 比较得： uu?b?， 2?2?振幅 A?A，圆频率 ??b，故：频率 ??由于 c??u，故： 波速 u??c?b ， c所以 波长

??u?T?b2?b2?2????? c?cbc5—5．有一列平面简谐波，坐标原点按y?Acos(?t??)的规律振动。已知A=0.10m，T=0.50s，λ=10m。试求：（1）波函数表达式；（2）波线上相距2.5m的两点的相位差；（3）假如t=0时处于坐标原点的质点的振动位移为y0=+0.050m，且向平衡位置运动，求初相位并写出波函数。

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解：（１）由波函数y?Acos[2?(tx?)??]得： T?tx?)??] （m） 0.510tx或 y?0.10cos2[?(?)??] （m） [向X轴负向传播的情况]

0.510y?0.10cos[2?(（2）设Ａ﹑Ｂ两点相距2.5m，因 yA?0.10cos[2?(2t?xA)??] 10yB?0.10cos[2?(xt?B)??] 。故Ａ﹑Ｂ两点的相位差为： 0.510xAxt)??]?[2?(?B)??]100.510

???[2?(2t?

??xB?xA?2.5????? 552。

(3) 当t = 0时，处于坐标原点的质点的振动位移为y0??0.05m，且向平衡位置运动，即：在波函数中 t?0,x?0时，y?y0??0.050m，且v0?0。

由坐标原点处质点的振动的初始条件A?2v0???A2?y0，

y?202v0?2 ，??arctg?v0 得：?y02?A2?y0?v0??arctan?arctan?arctan?y0?y0A2?12y0

0.102??arctan?1?arctan3?0.05023故波函数为：y?0.10cos[2?(tx??)?]（m） 0.5103或：y?0.10cos[2?(tx??)?](m) [向X轴负向传播的情况] 0.5103— 26 —

5—6． P和Q是两个同方向、同频率、同相、同振幅的波源所在处。设它们在介质中产生的波列波长为λ，PQ之间的距离为1.5λ。R是PQ连线上Q点外侧的任意一点。试求：

（1）P、Q两点发出的波到达R时的相差； （2）R点的振幅。

解：?PQ?1.5?，yP、yQ为同方向、同频率、同相位、同振幅的相干波源，设 yP?yQ?Acos(?t??0)，令QR?x，则PR?PQ?QR?1.5??x ， 故P、Q两波源发出的波的波函数可写为：

yPR?Acos[?t??0?2??(1.5??x)]和 yQR?Acos(?t??0?2??x)

因此 P、Q两波源发出的波到达R点时的相位差为： ????2??2??2?x???(1.5??x)???1.5??3? ?????由于该相位差满足 ???(2k?1)? （k=1）

故R点两分振动反相，且因同振幅，所以R点振幅为0。

答：P、Q两波源发出的波到达R点时的相差为3?，R点振幅为0。 （本题计算??时，也可以为 ????3?）

5—7．沿绳子行进的横波波函数为y0?0.10cos(0.01?x?2?t)m。试求（1）波的振幅、频率、传播速度和波长；（2）绳上某质点的最大横向振动速度。

解：(1) 将y?0.10cos(0.01?x?2?t)?0.10cos(2?t?0.01?x)

x?0.10cos[2?(t?0.01)]

2与标准波函数y?Acos[?(t?x)??]比较可得： u波的振幅A=0.10m ， 角频率??2?(rad/s)， 波速u?200(m/s)， ∴波的频率 ???2?u??1(Hz)， 波长 ???200(m) 2?2??(2) 绳上所有质点的都在做简谐振动，其最大振动速度为：

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vmax??A?2??0.10?0.2??0.63(m/s)

5—8．设y为球面波各质点振动的位移，r为离开波源的距离，A0为距波源单位距离处波的振幅。试利用波的强度的概念求出球面波的波函数表达式。

解：设波源的振动方程为y?Acos(?t??) 。假定距波源单位距离处波的强度为I1，质点的振幅为A1(?A0)；与波源相距r处波的强度为I2，质点的振幅为A2，则： I1?11?u?2A02 ， I2??u?2A22 22假设波的传播过程中没有能量损失，则波在距波源为1个单位距离处的球面上总功率与距波源为r处球面上的总功率相等，即：

4??12?I1?4??r2I2

∴4??1112 则： A2?A0 ?u?2A02?4?r2??u?2A222r因此球面波的波函数为：y?

A0rcos[?(t?)??] ru5—9．弦线上驻波相邻波节的距离为65cm，弦的振动频率为2.3?10Hz，求波的波长?和传播速度u。

解：由于驻波相邻两波节或相邻两波腹间的距离为

2??，所以?65cm，故

22??130cm?1.3m。 因此，波的传播速度为：

u????1.3?2.3?102?299(m/s)

5—10．人耳对1000Hz的声波产生听觉的最小声强约为1?10求空气分子的相应的振幅。

解：因为I??12?2 W?m，试

1?u?2A2 ， 其中空气密度??1.21?kg/m3，空气中的声速取2为u?344m/s， 则空气分子的相应振幅为：

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A?2I?2?u?

2I2?1?10?12?22?u4??1.21?344?4?3.142?10002

?1.1?10?11(m)5—11．两种声音的声强级相差1dB，求它们的强度之比。

解：设两种声音的声强级分别为L1和L2 ，其对应的声强为I1和I2 ，依题意有：

L1?L2?10lgI1I?10lg2?1dB ， I0I0所以：

I1?100.1?1.26 。 I2

5—12．用多普勒效应来测量心脏运动时，以5MHz的超声波直射心脏壁（即入射角为0o），测出接收与发出

的波频差为500Hz。已知声波在软组织中的速度为1500m/s，求此时心壁的运动速度。 解：条件：?=5MHz=5?106Hz ， 直射心脏壁，

???500Hz ， 波速u?1500(m?s?1) ，

超声波垂直射向心脏壁，设心脏壁以速度v运动如题图5—12所示。当超声波射向心脏壁时，心脏壁相当于运动着的观测者，接收的超声频率为 ???u?v0?，式中

u?vsv0?v,则： ???vs?0 ，

u?v? （1） u心脏壁反射这一频率的超声射向探头，心脏壁是运动着的声源，探头是静止的观测者，其接收到的超声频率为????u?v0??，式中v0?0,u?vsvs?v，

则：????u?v0u????? （2）

u?vsu?v超声探头接收和发出的频率的波频差：

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?????????uuu?v2v?u?v?????????????1?????∴ u?vu?vuu?vu?v?????u ————（3）

2??????考虑到2????? ，（3）式可为：v??u ————（4）

2?v?故心脏壁的运动速度为：

v???500?2?u??1500?7.5?10(m/s)?7.5cm/s 。 62?2?5?10u???直接求解）

2vcos? （本题可引用教材上导出的公式??

第七章之第五节 液体的表面现象

一．目的要求：掌握液体表面的基本性质和弯曲液面下的附加压强。了解表面活性物质对肺呼吸的作用。

二．要点：

1．液体与空气接触的表面层中的分子处于特殊的受力状态，来自液体内部的分子对它们的吸引力大于外部气体分子对它们的吸引力，所以表面层中的分子有进入液体内部的趋势，使液体有收缩表面的趋势，同时也表明液体分子处于表面层中时的势能比处于液体内部时要大。

2．液体有将其表面收缩到最小的这一特点，从力的角度出发来描述，可将液体表面看作象张紧的弹性膜一样具有作用于表面内的张力，称为表面张力，它的大小与其作用的分界线长度线成正比，即F??L。表面张力系数?决定于液体的性能，并随温度升高而减小，且与液体中的杂质有关。此力作用于液体表面或表面的切面内并垂直于分界线。

3．从能的角度来描述这一特点，把增加单位液面所必需补充给液体的势能称为表面能，即???A 或 ?A????S。（由此可知，?的单位除了N/m外,也可以是J/m2。） ?S2? ， 在研究液泡时，要注意存在两个表面，当液膜很薄时： R4．弯曲的液面由于表面张力的存在而产生指向曲率中心的附加压强。由拉普拉斯公式可得： ?P??P?

4? R— 30 —

5．液体与接触处的表面层中，分子受力情况由于固体、液体的不同会出现两种情况：

O内聚力大于附着力?表面有收缩趋势 ?接触角??90?液体不润湿固体 o ?接触角??180?液体完全不润湿固体 o内聚力小于附着力?表面有扩大趋势 ?接触角??90?液体润湿固体 o ?接触角??0?液体完全润湿固体

6．将毛细管一端插入液体中，在毛细管中液面上升或下降的现象称为毛细现象。若毛细管半径为r，管内弯曲液面的曲率半径为R，则管内液面与管外液面的高度差h为：

h?2?2???cos? ?gR?gr式中：?是液体密度，?是接触角。

液体润湿管子时，?小于90度，h必为正，表示管内液面升高；液体完全润湿管子时，?等于0度，毛细管内液面呈半球形，液面上升的高度为 h?2? 。 ?gr液体不润湿管子时，?大于90度，h必为负，表示管内液面下降；液体完全不润湿管子时，?等于180度，毛细管内液面高度为 h??降。

7．液体在细管中流动时，如果管中有气泡，液体的流动将受到阻碍，气泡多时会发生阻塞，这种现象叫气体栓塞。

8．溶液的表面张力系数随溶质而变，能使溶液的?变大的溶质称为液体的表面非活性物质，能使溶液的?变小的溶质称为液体的表面活性物质。

表面活性物质分子常可聚集于表面层并伸展成薄膜，这一现象称为表面吸附。 肺泡内所分泌的一种表面活性物质在使肺泡维持正常呼吸功能中起着十分重要的作用。

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2? 。负号表示管内液面下?gr三．习题解答：

7—14．吹一个直径为 10cm的肥皂泡，设肥皂液的表面张力系数

??40?10?3N?m-1。试求吹此肥皂泡所做的功，以及泡内外的压强差。

解：球形液膜的内外压强差即附加压强为：

4?8? （注意：这种情况下液膜有内外两个面） ?RD8?附加压力 F??P?S???D2?8??D

D?P?在肥皂泡吹大过程中，D逐渐增大，故F为变力。将泡由半径为0吹大到半径为R，相当于用力F沿径向做功，故有：

dA?FdR?Fd(A?D1)?FdD?4??DdD 22

?D2D1dA??4??DdD?2??D20D3?2??40?10?3?0.12?2.51?10?（J）8?8?40?10?3??3.2（Pa）肥皂泡内外压强差为： ?P? D0.1注意：若由表面能??

7—15．一U形玻璃管的两竖直管的直径分别为1mm和3mm。试求两管内水面的高度差。（水的表面张力系数??73?10?3N?m-1）

解：将两竖直管视为毛细管，各物理量字母设定如题图5—9所示。弯曲液面的附加压强分别为：

?P1??A概念出发来考虑，解本题会十分简单，试一试如何？ ?S2?4?2?4??? ?P2? R2d2R1d1对于A处液片，上下压强必相等，故：

P0??gh??P1?P0??P2 即： ?gh??P1??P2

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∴ h??P1??P2??g4?(11?)d1d2

?g4?73?10?311?(?)?1.9?10?2(m)?2cm 3?3?31?10?9.81?103?10注意：本题应将毛细管中的液体完全润湿玻璃作为条件给出。

7—16．在内半径r?0.30mm的毛细管中注入水，在管的下端形成一个半径为

R?3.0mm的水滴，求管中水柱的高度。

解：? 细管半径r?0.30mm，球形水滴半径R?3.0mm ∴ 球形水滴内部压强P内?P0??gh?2?，球形水滴外部压强P外?P0，球形r水滴附加压强ΔP等于其内外压强差， 即：

2?2? ?P内?P外??gh?Rr2?2?所以 ?gh? ， 故： ?Rr?P?2?112?73?10?311h?(?)?(?)g?Rr9.8?1?1033?10?30.3?10?3 ?5.46?10?2(m)?5.5cm（注：图中R应远小于h ）

注意：本题应将毛细管中的液体完全润湿玻璃作为条件给出。

7—17．有一个毛细管长L?20cm,内直径d?1.5mm，水平地浸在水银中，其中空气全部留在管中，如果管子浸在深度h?10cm处，问管中空气柱的长度L1是多

?1少？（设大气压强P0?76cmHg，已知水银表面张力系数??0.49N?m，与玻璃

的接触角???）。

解：玻璃管处在空气中时，其内部充满空气，体积为V1?L??d，压强为

142 — 33 —

P0?76cmHg?13.6?103?9.8?76?10?2?1.013?105(Pa)。

浸入水银后，水银进入玻璃管将其中的空气压缩，由于水银与玻璃的接触角???，管中空气与水银的界面是半球型，如图7—17的下半部所示，这一球面产生的附加压强?P?2?4?。 ?Rd设浸入水银后的玻璃管中空气柱长度为L1，则其体积为V2?L1?12?d，设管中空气为P2，若玻璃管由4空气浸入水银过程中温度不变，则根据气态方程有：

P0V1?P2V2 即：P0L?P2L1 ——（1）

由于P2??P?P0??gh，故P2?P0??gh??P ——（2）

（P0??gh??P）L1 故： 将（2）式代入（1）式得：P0L?L1?P0P0?L??L4?P0??gh??PP0??gh?d

1.013?105??0.20?0.179(m)4?0.491.013?105?13.6?103?9.80?0.10?1.5?10?3答：管中空气柱的长度L1是0.179m。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/otw2.html