一元函数积分学练习题

数学

§1 定积分的概念、性质和微积分基本定理

1. 试用定积分表示下列各个极限：

1n3

（1）lim4 k；

n nk 1

1nk

（3）lim ；

22n nk 1n k2. 证明下列不等式： 1

1dx （1） 2dx ；

0261 x315

（2）2 1 x6dx 。

12

3．计算下列导数：

dtan2x

t2dt； （1） dx0

4. 求下列极限： （1）lim

x 0

1nnk

（2）lim 2； 2n nk 1n k

1

（4）limn(n 1)(n 2) (2n)。

n n

dln(1 x)

ln(1 t2)dt。 （2） dx x

x0

sintdt

；

（2）lim

x 0

2

sin2x0

(e 1)dt

t2

xln(1 x)

5. 计算下列定积分：

2

x2sinx

。

（1） 4sin2xdx；

（2）

20

cosx

dx；

1 sinx

（3）

10

xdx x2

；

（4） (1 lnx)dx。

1

e

a 1

6. 设函数f在 ,a 上非负连续（a 0），且 1xf(x)dx 0，证明：

a a

a 1

a

xf(x)dx

1 1

2

a1a

f(x)dx。

7. 设函数f在[ 1,1]上非负连续，且 xf(x)dx 0。证明：

1 1

x2f(x)dx f(x)dx。

1

1

8. 设f在[0, )上连续递增，证明：对于任意给定的b a 0，成立

ba1 b

b f(x)dx a f(x)dx 。 axf(x)dx 2 0 0

bbdx

9. 设函数f在[a,b]上连续，且f(x) 0。证明： f(x)dx (b a)2。

aaf(x)

10．设函数f在[a,b]上导数连续，且f(a) f(b) 0，f (x) 4。证明：

4(b a)2

ba

f(x)dx maxf (x)。

a x b

数学

．设函数f在[0,1]上导数连续，且f(0) f(1) 0。证明

11122

f(x)dx [f(x)]dx。 0

4 0

12．设函数f在[0,1]上连续， f(x)dx 0， xf(x)dx 1，证明：

1

1

（1）存在a [0,1]，使得 f(a) 4； （2）存在b [0,1]，使得 f(b) 4。

13. 设函数f在[ a,a]上非负连续(a 0)，且

a a

a

f(x)dx x2f(x)dx 1，

a

a a

xf(x)dx 0。证明：对于任意给定的u [ a,0]，成立

u a

f(x)dx

1

。 2

1 u

§2 不定积分的计算

1．计算下列不定积分： （1） 2x3 xdx; （3）

（2） (x2 x 1)xdx; （4） （6） （2） （4）

3

(x 1）

dx; 2

xx3(cos2 )dx。 2

21 x

(1 x) 11 x

2

2

32

dx;

（5） tanx(tanx secx)dx; 2．计算下列不定积分：

xdx

; （1）

2x2 5(x 1)dx

; （3） 2

x 4ex 1

（5） dx; x

1 3e

2

（7） x 2sin;

xdx

; （9） 2x

e 1sin2x

dx; （11） 2

4 sinxx 1

（13） dx;

x(x lnx)（15）

4x 3

dx;

x2 2x 2arcsinx

； 2

1 x

（6） x1 x2dx; （8）

dx

;

sinxcosx

xdx

（10） （12） （14）

x 1 xdx

x

2

2

;

;

4x 11

dx;

x(x3 1)

dxx x 1

;

（16）

x 11 x

dx。

数学

17） （19）

1 x

dx; 1 xarctanx

dx; 22

x(1 x)

（18） （20）

dxx x

x

2

;

(x 1)1 x

2

。

3．计算下列不定积分： （1） sin4xdx； （3）

tanx

dx； 2

tanx 1cosx

dx； （4）

1 cosx

dx

（6） ；

sinx 3cosx 2

1

dx； （8） 44

sinxcosx

（2）

dx

；

1 2tanxcos2x

dx ； （5）

1 sin2x

1

dx； （7） 3

sinxcosxsinxcosx

dx； （9）

sinx cosx

dx

（10） （a k ,k 1,2, ）。

cosx cosa

4．计算下列不定积分：

（1） x2xdx；

（2） arctanxdx； （4） （6）

arcsinx

dx； 2

xxdx

； 2

tanx

（3） x3lnxdx； （5） x2cos2xdx； （7）

ln(lnx)

dx； x

（8） ln(ex e2x)dx； （10）

xarcsinx

dx； 22

(1 x)

（9） x2x2 1dx ； （11）

x

x

x 1dx；

5．计算下列不定积分：

dx

（1） ；

(x 1)(x 3)

（12） (x 1)x2 x 1dx。 （2） （4） （6） （8）

x

dx； 4

x 1

（3） （5） （7）

xdx

； 42

x 4x 3

xdx

；

(x 1)(x 2)(x 3)

(x 1)3

dx； 22

(x 1)(x 1)dx

； 22

(x 2x 5)

2(x 1)dx

。

(x 1)(x2 1)2

x2dx

；

(x 1)(x 2)(x2 1)

数学

3 定积分的计算

1．计算下列定积分：

（1） xsinxdx;

20

2

（2） xsin3xdx;

（3） esinxdx;

201

2x

（4） xarcsinxdx;

1

（5） xarctanxdx;

0（6） ln(1 x2)dx;

1

（7） 4xtan2xdx;

0（8） x21 x2dx。

1

2．计算下列定积分：

21

（1） dx;

1x(1 lnx)1(x 1)dx

; （3）

12 x2

1

（2）

2(x 2)dx

2

2

xx 11arctanxdx

; （4） 0(1 x2)3/2

;

ex 1

dx; （5）

0ex

1

（7） 4d ;

0cos4 sin4 3．计算下列定积分：

（6）

20

sin3x

dx;

sinx cosx

（8） x3 x2dx。

1

（1） max(x,x)dx;

2

2

（2） x exdx;

2

（3）

1

dx1 2

1x

1

dx;

（4）

2

2

cosx cos3xdx;

（5） sin2xcos3xdx;

（6） xx2dx。

2

4．计算定积分In

sin2nx

dx。 sinx

x0

5．设f是( , )上的连续函数，F(x) (x 2t)f(t)dt，证明： （1）若f为偶函数，则F(x)也是偶函数； （2）若f为递减函数，则F(x)是递增函数。

2

3 1 x,x 0,

6．设f(x) x ，计算I f(x 1)dx。

x 0. e,

7. 设[0, ]上的连续函数f满足f(x) sinx 2 f(x)dx，求f(x)。

8. 设函数f在(1, )上连续且单调减少，证明

n 1

1

f(x)dx f(k) f(1) f(x)dx。

k 1

n

n

1

数学

．设函数f，g在[a,b]上连续，且g(x) 0。证明：存在 (a,b)，使得

baba

f(x)dx

g(x)dx

f( )

。 g( )

10．设函数f在[0,1]上具有二阶连续导数，且f(0) f(1) 0。证明：

111

（1） f(x)dx x(x 1)f (x)dx；

02011

max|f (x)|。 （2） f(x)dx

0120 x 1

11．设函数f在[0,1]上二阶导数连续，且f (0) f (1) 0，证明存在x0 (0,1)，使得

1f(0) f(1)f (x0)

。 f(x)dx 0

26

2

12．设函数f在[0, ]上连续，证明：lim |sinnx|f(x)dx f(x)dx。

x 0 013. 设函数f在[a,b]上二阶可导，f (x) 0，f(a) f(b) 0，且有x0 (a,b)，使y0 f(x0) 0，f (x0) 0。证明：

（1）存在x1 (a,x0)和x2 (x0,b)，使得f(x1) f(x2) （2） f(x)dx y0(x2 x1)。

ab

y0

； 2

§4 定积分的应用

1．求抛物线y x2与直线y 2x 3所围图形的面积。

1

2．求由曲线y x2，y x2和直线y = 1所围图形的面积。

4

3．求旋轮线x a(t sint)，y a(1 cost)（a 0，0 t 2 ）与x轴所围图形的面积。

4．求r 2cos 与r 2sin 所围公共部分图形的面积。 5. 求r 1 cos 与r 3cos 所围公共部分图形的面积。

6．求由圆盘(x 2)2 (y 3)2 1分别绕x轴和y轴旋转一周，所得旋转体的体积。

7. 求旋轮线x a(t sint)，y a(1 cost)（a 0，0 t 2π）与x轴所围图形绕x轴旋转所成旋转体的体积。

8．求r 1 cos 所围图形绕极轴旋转一周所得旋转体体积。

9．求抛物线y2 4ax(a 0)与过焦点的弦所围图形的面积的最小值，并求出这时的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。 10．求下列曲线段的弧长：

数学

1）y ex (0 x 2)；

1

（2）y (ex e x)（ 1 x 1）； x

222

（3）x a(cost tsint)，y a(sint tcost)（a 0，0 t 2 ）；

（4）r a （a 0,0 2 ）。

11. 求下列曲线在指定点的曲率和曲率半径： （1）y x2，在点(1,1)；

（2）x 3t2,y 2t3，在t 1对应的点。 12. 求下列曲线的曲率和曲率半径：

1

（1） y x （x 0）；

x

（2） y x3 3x； （3） r a （a 0）；

（4） x a(t sint)，y a(1 cost)（a 0）。

13. 求曲线y lnx上曲率最大的点，并求出该点的曲率圆方程。 14．求下列旋转曲面的面积：

（1）y sinx（0 x ）绕x轴旋转一周生成的曲面；

（2） 旋轮线x a(t sint)，y a(1 cost)（a 0，0 t 2π）绕x轴一周生成的曲面；

（3）双扭线r2 a2cos2 绕极轴产生的曲面。

15. 过点(1,0)作曲线y x 2的切线，求曲线y x 2与该切线，以及x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

16．有一等腰三角形薄板，底边长为a，高为h米，薄板垂直倒立于水中，底边与水平面相齐。求水对薄板的侧压力。

17．设有一半径为R、高为H的均匀圆柱体平放在水深为2R的水池中（即圆柱体的侧面与水面相切），圆柱体的密度为 ，现将圆柱体抬出水面，需作多少功？（设水的密度为1）

18．设有一均匀的半径为r的圆形薄片，其面积为S。在圆心的正上方有一个单位质点，质点到圆心的距离为a。 （1）求薄片的边界对该质点的引力； （2）求薄片对该质点的引力；

（3）如果圆心的正上方有一条长为l、质量为m的均匀细杆垂直于薄片，下端距圆心为a，求薄片对细杆的引力。

§5 反常积分

1．计算下列无穷限的反常积分： （1）

2

1

；

(x 1)(x 2)

（2）

0

x 1

dx； 2

(x 1)(x 1)

数学

3）

0

xdx(1 x)arcsin

2

32

；

（4）

1

arctanx

dx；

1 x2

1

dx； （5）

22

xx 1

（6）

0

dx(1 x2)

32

；

（7）

1

dxx 2x 2x

2

4

；

（8）

0

arctanx(1 x2)

32

dx。

2．判别下列无穷限反常积分的收敛性： （1） （3）

1

arcsinx

dx； 2

x 1

（2） （4）

1

1x x

2

dx；

1

dx

； x ex

1

lnxx 1

3

dx；

（5）

1

1

arctan2dx；

x

（6）

1

x2 1 x

。

ln(x 1) lnx

3．计算下列反常积分： （1）

10

x1 x

dx；

（2）

10

x 1x(1 x)

dx；

（3） (x 1)lnxdx；

1

（4） x

1

1

1 x

dx。 1 x

4．判别下列反常积分的收敛性： （1） （3）

0

arctanx1 x4

；

（2） （4）

21

sinx

dx； lnxcosx

dx。 x2

0

sinxdxxx 1

；

0

5．计算下列Cauchy主值积分： （1）（CPV）

1 2

dxx

5

3

；

（2）（CPV）

xdx

。

x2 2

6．把下列积分表示为Γ函数：

数学

1）

0

xe

x3

dx ；

（2）

0

x2

dx。 x2

7．利用 函数计算下列积分： （1）

0

xe 3xdx；

12

（2）

0

x5e xdx。

3

8．利用 函数计算下列积分：

6

8

（1） 2cosxsinxdx；

0（2） 2cosxsinxdx

3

252

9．计算

0

dx

。

(1 x2)(1 xa)

10. 证明当a,b 0时，只要下式两边的反常积分有意义，就有

0

1 b

f ax dx f

a0x

x2 4abdx。

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