212平面一般力系的平衡条件与方程

建筑力学建筑力学基础

等待就是浪费青春制：张启才

3.2 平面一般力系的平衡条件和平衡 3.2.1 平衡条件 方程平面一般力系平衡的必要与充分条件是：力系 的主矢和对任一点的主矩都等于零。即 FR 0 M O 0 FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 M O M O ( Fi )

3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡 3.2. 2 平衡方程 方程 由于 FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 , M O M O ( Fi )所以

Fyi 0 M O ( Fi ) 0 Fxi 0

即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各 力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分 别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。 上式称为平面任意力系的平衡方程。

例1 解：以刚架为研究对象，受力如图。 Fx 0: FAx qb 0

例1 求图示刚架的约束反力。

PA

aq b

Fy 0 : FAy P 0 M A (F ) 0 :1 2 M A Pa qb 0 2解之得： MA

PA

FAx

qFAy

FAx qb

FAy PM A Pa 1 qb2 2

例2 求图示梁的支座反力。

例2 解：以梁为研究对象，受力如图。 Fx 0 : FAx P cos 0

P m A a B

Cb

Fy 0: FAy FB P sin 0 M A (F ) 0: FB a P sin (a b) m 0解之得： P FAx

FAx P cos m Pb sin FAy a m P sin (a b) FB a

A

m

B C

FAy

FB

3.2.3 平衡方程的其它形式(1) 二矩式

Fx 0 M A ( F ) 0 M ( F ) 0 B

B

FR

Ax

其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。 由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化 为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件， 若AB连线不垂直于x 轴 (或y 轴),则力系必平衡。

(2) 三矩式

M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 M ( F ) 0 C

B

FRC

A

其中A、B、C三点不能在同一条直线上。由前面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、 B两点的一合力或处于平衡，再加第三条件，力系只能简化为过 A、 B、 C三点的一合力或处于平衡，若三点不在同一直线上， 则力系必平衡。

注意：以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数。

例3 悬臂吊车如图所示。横梁AB长l=2.5 m,重量P=1.2 kN, 拉杆CB的倾角a=30°,质量不计，载荷Q=7.5 kN。求图示位 例3 置a=2 m时拉杆的拉力和铰链A的约束反力。

例3 Fx 0

解：取横梁AB为研究对象。

FAx FT cos a 0

(1)FAx

FAyaA a E

FTH B

Fy 0 M A (F ) 0

FAy FT sin a P Q 0 (2)

P

Q

l FT sin a l P Qa 0 (3) 2 1 l FT ( P Qa) 13.2 kN 从(3)式解出 sin a l 2代入(1)式解出 代入(2)式解出

FA

x FT cos a 11.43 kN

FAy Q P FT sin a 2.1kN

例3 FAy FT sin a P Q 0 (2) l FT sin a l P Qa 0 (3) 2如果再分别取B和C为矩心列平衡方程得

FAx FT cos a 0

(1)

C

FAy

FAxA E

a

FTH B

M B (F ) 0 l P Q (l a) FAy l 0 (4) 2 M C (F ) 0l FAx tan a l P Qa 0 (5) 2

a

P Q

有效的方程组合是：1,2,3;1,2,4;1,2,5;1,3,4; 2,4,5 ;3,4,5

3.2.4 平面平行力系的平衡方程力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面 平行力系。 F3 F y n 平面平行力系作为平面任意力系 F 1 的特殊情况，当它平衡时，也应满足 平面任意力系的平衡方程，选如图的 F2 坐标，则∑Fx=0自然满足。于是平面 O x 平行力系的平衡方程为：

Fy 0; M A (F ) 0;

M O (F ) 0 M B (F ) 0

平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：

其中AB连线不能与各力的作用线平行。

[例4] 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重 量),尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平 衡块Q=? ②当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机 轮子的反力？

解：⑴ 首先考虑满载时，起重

机不向右翻倒的Q:

mB (F ) 0Q(6 2) P 2 W (12 2) N A (2 2) 0

限制条件： 解得:

N A 0Q 75 kN

②空载时，W=0 由限制条件为：

mA (F ) 0解得

Q(6 2) P 2 N B (2 2) 0

NB 0

Q 350 kN

因此保证空、满载均不倒，Q应满足如下关系：

75 kN Q 350kN

⑵求当Q=180kN,满载W=200kN时，NA ,NB为多少 由平面平行力系的平衡方程可得：

mA (F ) 0

Q(6 2) P 2 W (12 2) N B 4 0

F

yi

0

Q P W N A N B 0解得：

N A 210 kN N B 870 kN

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