上海市16区2018届九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编：押轴题专题

上海市16区2018届九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编

押轴题专题

宝山区

25．（本题共14分，其中（1）（2）小题各3分，第（3）小题8分）

如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD＝7，AB＝CD＝15，BC＝25，E为腰AB上一点且AE：BE＝1：2，F为BC一动点，∠FEG＝∠B，EG交射线BC于G，直线EG交射线CA于H． （1）求sin∠ABC； （2）求∠BAC的度数；

（3）设BF＝x，CH＝y，求y与x的函数关系式及其定义域．

长宁区

25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）

已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4. P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F. 联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E. 设PD=x，EF=y．

（1）当点A、P、F在一条直线上时，求?ABF的面积；

（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； （3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．

ADA P

DADBE图1

FCB备用图

CB备用图

C

崇明区

25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题5分） 如图，已知△ABC中，?ACB?90?，AC?8，cosA?结DE，过点D作DF?DE交BC边于点F，联结EF． （1）如图1，当DE?AC时，求EF的长；

（2）如图2，当点E在AC边上移动时，?DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如

果保持不变，请求出?DFE的正切值；

（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出．．．．BF的长． D

A

E

（第25题图1）

D

A

E （第25题图2） D

A

E

（第25题图3）

4，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联5B

F

C

B

F C

B

F C

奉贤区

25.（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分6分）

已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AD=CD=2，点E在边AD上（不与点A、D重合），∠CEB=45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE=x. （1）用含x的代数式表示线段CF的长；

C△CAE?y，求y关于x的函数关系（2）如果把△CAE的周长记作C△CAE,△BAF的周长记作C△BAF，设

C△BAF式，并写出它的定义域；

（3）当∠ABE的正切值是时，求AB的长.

35

虹口区

25．（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分4分）

3已知AB=5，AD=4，AD∥BM，cosB?（如图），点C、E分别为射线BM上的动点（点C、E都不与点B

5重合），联结AC、AE，使得∠DAE=∠BAC，射线EA交射线CD于点F．设BC=x，（1）如图1，当x=4时，求AF的长；

（2）当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）联结BD交AE于点P，若△ADP是等腰三角形，直接写出x的值．

AF?y． AC

黄浦区

25．（本题满分14分）

如图，线段AB=5，AD=4，∠A=90°，DP∥AB，点C为射线DP上一点，BE平分∠ABC交线段AD于点E（不与端点A、D重合）.

（1）当∠ABC为锐角，且tan∠ABC=2时，求四边形ABCD的面积； （2）当△ABE与△BCE相似时，求线段CD的长；

（3）设CD=x，DE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域.

A

B A

B

E D C P D P 嘉定区

25. 在正方形ABCD中，AB=8，点P在边CD上，tan∠PBC=

3，点Q是在射线BP上的一个动点，过点Q4作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直。 （1）如图8，当点R与点D重合时，求PQ的长； （2）如图9，试探索：化，请求出它的比值；

（3）如图10，若点Q在线段BP上，设PQ=x，RM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域。

RM的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变MQ

金山区

25．（本题满分14分，第（1）题3分，第（2）题5分，第（3）题6分） 如图，已知在△ABC中，AB=AC=5，cosB=的另一个交点为D，联结PD、AD．

（1）求△ABC的面积；

（2）设PB=x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）如果△APD是直角三角形，求PB的长．

4，P是边AB上一点，以P为圆心，PB为半径的⊙P与边BC5

静安区 25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）

已知：如图，四边形ABCD中，0°＜∠BAD ≤90°，AD=DC，AB=BC，AC平分∠BAD． （1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）如果点E在对角线AC上，联结BE并延长，交边DC于点G，交线段AD的延长线于点F（点F可与点D重合），∠AFB =∠ACB，设AB长度是a（a是常数，且a?0），AC=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3）在第（2）小题的条件下，当△CGE是等腰三角形时， F 求AC的长．（计算结果用含a的代数式表示）

D

C D

B A A 第25题图①

G

C

E B

第25题图②

闵行区

25．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分，满分14分）

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD是斜边上中线，点E在边AC上，点F在边BC上，且∠EDA=∠FDB，联结EF、DC交于点G． （1）当∠EDF=90°时，求AE的长；

（2）CE = x，CF = y，求y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围； （3）如果△CFG是等腰三角形，求CF与CE的比值．

C A

G E F

C D

（第25题图）

B A D

（备用图）

B 浦东新区

25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）

如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G． （1）求证：△EFG∽△AEG；

（2）设FG=x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域； （3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度． ．．

25．（本题满分14分）

A A A E F B D C B C B C G （第25题图） （第25题备用图） （第25题备用图）

普陀区

如图11，?BAC的余切值为2，AB?25，点D是线段AB上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧．联结

BG，并延长BG，交射线EC于点P．

（1）在点D运动时，下列的线段和角中， ▲ 是始终保持不变的量（填序号）；

①AF；②FP； ③BP； ④?BDG； ⑤?GAC； ⑥?BPA．

（2）设正方形的边长为x，线段AP的长度为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如果△PFG与△AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．

B B

D

G

A

E

图11

F P C

A

备用图

C

青浦区

25．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分） 如图10，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P不与点A、点 D重合），点Q是边CD上一点，联结PB、PQ，且∠PBC＝∠BPQ． （1）当QD＝QC时，求∠ABP的正切值； （2）设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式；

（3）联结BQ，在△PBQ中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．

APDQADB图10

CB备用图

C

松江区

25. （本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）

如图，已知?ABC中，?ACB?90?，AC=1，BC=2，CD平分?ACB交边AB于点D，P是射线CD上一点，联结AP.

（1）求线段CD的长；

（2）当点P在CD的延长线上，且∠PAB=45°时，求CP的长；

（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的长. P A A D D M B C C B （第25题图） （备用图）

徐汇区

25．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分，第（3）小题满分4分）

已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N（点N在点M的左侧）． （1）当BM的长为10时，求证：BD⊥DM； （2）如图（1），当点N在线段BC上时，设BN?x，BM?y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）当?DMN是等腰三角形时，求BN的长．

ADADBN图（1）

CM第25题

B（备用图）

C

杨浦区

25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）

已知：矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上. （1）如图1，当EP⊥BC时，求CN的长； （2）如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；

（3）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长.

A A D A D D

N

E E M N M B C B C P P B C （图1） （图2） （备用图）

（第25题图）

参考答案宝山区

长宁区

25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分） 解：（1）∵矩形ABCD ∴?BAD??ABF?90?

∴?ABD??ADB?90? ∵A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD ∴?BPA?90? ∴?ABD??BAF?90? ∴?ADB??BAF ∵tan?ADB?∴tan?BAF?AB21?? AD42BF1? ∴BF?1 （2分） AB211∴S?ABF?AB?BF??2?1?1 （1分）

22（2）∵PF⊥BP ∴?BPF?90?

∴?PFB??PBF?90? ∵?ABF?90? ∴?PBF??ABP?90? ∴?ABP??PFB 又∵∠BAP =∠FPE

ABBP? （2分） PFEF∵AD//BC ∴?ADB??PBF

∴?BAP∽?FPE ∴

1PF1? 即

2BP21∵BP?25?x ∴PF?(25?x) （2分）

2∴tan?PBF?tan?ADB?∴

225?x ?y25?x2(25?x)225∴y?(?x?25) （1分+1分）

45（3）5?1（3分） 或

75?145（2分）

5崇明区

25、（1）∵∠ACB?90?，cosA?4 5 ∴

AC4? ∵AC?8 ∴AB?10 ……………………………1分 AB51∵D是AB边的中点 ∴AD?AB?5

2∵DE?AC ∴∠DEA?∠DEC?90?

∴cosA?AE4? ∴AE?4 ∴CE?8?4?4 AD5222∵在Rt△AED中，AE?DE?AD ∴DE?3 ……………………1分 ∵DF?DE ∴∠FDE?90? 又∵∠ACB?90? ∴四边形DECF是矩形

∴DF?EC?4 ………………………………………………………………1分

222∵在Rt△EDF中，DF?DE?EF ∴EF?5 …………………1分

（2）不变 ……………………………………………………………………………1分

过点D作DH?AC，DG?BC，垂足分别为点H、G 由（1）可得DH?3，DG?4 ∵DH?AC，DG?BC

∴∠DHC?∠DGC?90?

又∵∠ACB?90? ∴四边形DHCG是矩形 ∴∠HDG?90? ∵∠FDE?90?

∴∠HDG?∠HDF?∠EDF?∠HDF 即∠EDH?∠FDG ……1分 又∵∠DHE?∠DGF?90?

∴△EDH∽△FDG ……………………………………………………1分 ∴

DEDH3?? …………………………………………………………1分 DFDG4DE3? ……………………1分 DF4∵∠FDE?90? ∴tan∠DFE?（3）1° 当QF?QC时，易证∠DFE?∠QFC?90?，即∠DFC?90? 又∵∠ACB?90?，D是AB的中点 ∴CD?BD?1AB?5 21BC?3 …………………………………………………1分 2 ∴BF?CF?

2° 当FQ?FC时，易证△FQC∽△DEQ∽△DCB ∵在Rt△EDF中，tan∠DFE?DE3? DF4 ∴设DE=3k，则DF?4k，EF?5k

当FQ?FC时，易证DE?DQ?3k，∴CQ?5?3k ∵△DEQ∽△DCB ∴

187DEDC5?? ∴EQ?k ∴FQ?FC?k

55EQBC6∵△FQC∽△DCB ∴

FQDC5?? CQBC67k125712517555?∴ ∴FC?? ? 解得k?11751171175?3k6∴BF?6?175527? ……………………………………………………2分 1171173° 在BC边上截取BK=BD=5，由勾股定理得出DK?25 当CF?CQ时，易证△CFQ∽△EDQ∽△BDK ∴设DE=3k，则EQ?3k，EF?5k ∴FQ?2k ∵△EDQ∽△BDK ∴

6DEBD55k ?? ∴DQ?5DQDK25∴CQ?FC?5?65k 5∵△CQF∽△BDK ∴

CQBD5?? FQDK255?∴

65k525555? 解得k? ∴FC?

2k1111252541? ………………………………………………………2分 1111∴BF?6?

奉贤区

虹口区

黄浦区

25. 解：（1）过C作CH⊥AB与H，—————————————————（1分）

由∠A=90°，DP∥AB，得四边形ADCH为矩形.

在△BCH中，CH=AD=4，∠BHC=90°，tan∠CBH=2，得HB=CH÷2=2，（1分） 所以CD=AH=5-2=3，———————————————————————（1分）

则四边形ABCD的面积=

11?AB?CD??AD???3?5??4?16.———（1分） 22 （2）由BE平分∠ABC，得∠ABE=∠EBC， 当△ABE∽△EBC时，

① ∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA，得BC=BA=5， 于是在△BCH中，BH=BC2?CH2?52?42?3，

所以CD=AH=5-3=2. ———————————————————————（2分） ② ∠BEC=∠BAE=90°，延长CE交BA延长线于T，

由∠ABE=∠EBC，∠BEC=∠BET=90°，BE=BE，得△BEC≌△BET，得BC=BT， 且CE=TE，又CD∥AT，得AT=CD.

令CD=x，则在△BCH中，BC=BT=5+x，BH=5-x，∠BHC=90°，

2222所以BC?BH?CH，即?5?x???5?x??4，解得x?224.———（2分） 5 综上，当△ABE∽△EBC时，线段CD的长为2或

4.—————————（1分） 5 （3）延长BE交CD延长线于M，——————————————————（1分） 由AB∥CD，得∠M=∠ABE=∠CBM，所以CM=CB.

在△BCH中，BC?BH2?CH2??5?x?2?42?x2?10x?41. 则DM=CM-CD=x2?10x?41?x，

DEDMy? 又DM∥AB，得，即?EAAB4?y 解得y?x2?10x?41?x，————（2分）

54x2?10x?41?4xx?10x?41?x?52?0?x?4.1?——————————（2分）

嘉定区

25. 在正方形ABCD中，AB=8，点P在边CD上，tan∠PBC=

3，点Q是在射线BP上的一个动点，过点Q4作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直。 （1）如图8，当点R与点D重合时，求PQ的长； （2）如图9，试探索：化，请求出它的比值；

（3）如图10，若点Q在线段BP上，设PQ=x，RM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域。

RM的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变MQ

【解答】

（1）因为 AB=8，tan∠PBC=

34 所以 BC=DC=8，PCPC3BC?8?4

所以PC=6，BP=10，DP=2

当点R与点D重合时，因为PQ⊥BP，所以△BCP∽△RQP 所以

RPPQBP?PC，所以PQ?65。 （2）没有变化。

如图，设射线BP交AD的延长线于点H。 因为RQ⊥BP，QM⊥AD

所以∠RQM+∠MQH=90°，∠MHQ+∠MQH=90° 所以∠RQM=∠MHQ

因为AH∥BC，所以∠MHQ=∠PBC 所以Rt△RQM∽Rt△PBC 所以

RMMQ?PC3BC?4。 （3）如图，由（2）易得Rt△RQM∽Rt△PBC∽Rt△QHM∽PHD

因为DP=2，所以DH=8，PH=1033 所以QH=103?x，所以MQ=3?10?5??3?x??

因为

RM3y3MQ?4，所以3?? 5?10?3?x??4?解得y?920x?3?2??0?x?26?5??。 金山区

静安

25．（1）证明：∵四边形ABCD中， AD=DC，AB=BC，

∴∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA ………………………………………………（1分）

∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，

∴∠DCA＝∠BCA， ……………………………………………………………………（1分）

F 在△ABC和△ADC中，

??DAC??BAC?∴△ABC≌△ADC …………（1分） ?AC?AC??DCA??BCA ?∴AB＝AD，BC＝DC，∴AB＝AD＝DC＝BC， …（1分） ∴四边形ABCD是菱形．

（2）解：如图②，∵四边形ABCD是菱形，

A ∴AD∥BC，∴∠FAC＝∠ACB，∠AFB＝∠FBC，

D G

C

E

B

第25题图②

∵∠AFB =∠ACB，∴∠F＝∠FAC，

又∵AC平分∠BAD，∴∠ACB＝∠FBC＝∠CAB， ∵∠ECB＝∠BCA，∴△CEB∽△CBA，∴

CECB?，………………………………（2分） CBCA∵AB长度是a（a是常数，且a?0），AC=x，AF=y，

CEaa2?， ∴CE?∴， axxa2x2?a2?∴AE?x?， ……………………………………………………………（1分） xxAFAEyx2?a2?又∵AF∥BC，∴ ∴?…………………………………………（1分） BCECaa2x2?a2∴y? ． ………………………………………………………………………（1分）

a又∵0°＜∠BAD ≤90°∴此函数定义域为（2a?x?2a）． ……………………（1分）

（3）解：∵四边形ABCD是菱形， DC∥AB，∴△CGE∽△ABE ∴当△CGE是等腰三角形时，△ABE是等腰三角形．

CBBEaBEa2?∵△CEB∽△CBA ∴， 即?，∴BE＝…………………………（1分） CAABxaxx2?a2?a，即x2?ax?a2?0， ①当AE＝AB时，

xa?5aa?5a解得x?（经检验x?是原方程的根且符合题意，负值舍去）

221?5 ∴AC＝a……………………………………………………………………………（1分）

2x2?a2a2?②当AE＝BE时，， xx解得 x??2a（经检验x?2a是原方程的根且符合题意，负值舍去）

∴AC＝2a ……………………………………………………………………………（1分）

a2③当AB＝BE时，a?，解得x?a（经检验x?a不合题意，舍去） ……………（1分）

x1?5∴AC的长为 2a或a ．

2闵行区

25．解：（1）过点E作EH⊥AB于点H，

∵∠EDF=90°，∠EDA=∠FDB，∴∠EDA=∠FDB=45°．………………（1分） 在Rt△EHD中，设DH=EH=a，

BCEH3在Rt△AEH中和Rt△ABC中，tan∠A=??，

ACAH44∴AH=a．…………………………………………………………………（1分）

3∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴AB?AC2+BC2=5．

∵CD是斜边上中线，∴CD=

5． 24515∵AH+HD=AD，∴a+a?，解得a?．……………………………（1分）

3214525∴AE=a=．……………………………………………………………（1分）

143（2）分别过点E、F作AB的垂线垂足为H、M，

∵CE=x，CF=y，∴AE=4?x，CF=3?y．

34在Rt△AEH中，EH?(4?x)，AH?(4?x)．………………………（1分）

5543同理Rt△BFM中，FM?(3?y)，BM?(3?y)．…………………（1分）

554737∴DH?x?，DM?y?．………………………………………（1分）

510510C Rt△FHD和Rt△FMD中， ∵∠EDA=∠FDB，

F G ∴tan∠EDA=tan∠FDB．……………（1分）

E 43(3?y)(4?x)55即： =3747y?x?M 510510A D B H

117x?168化简得y?．……………………………………………………（1分）

14x?4456函数定义域为?x?4．…………………………………………………（1分）

39（3）（i）当CG=CF时，

过点G作GN⊥BC于点N，CF=CG =y， C 43N Rt△HCG中，cos∠DCB=，sin∠DCB=，

55F G E 34∴CN=y，GN=y．

552∴FN=y．

5A D B

∵GN∥AC， CFFN1∴?=．………………………………………………………（2分） CEGN2（ii）当CF=GF时，

过点G作GP⊥BC于点P，CF=y，

63∵cos∠DCB=，∴CG?2?(y?cos?DCB)?y

5543C Rt△PCG中，cos∠DCB=，sin∠DCB=， 55P

1824G F ∴CP=y，GP=y， 2525E 7∴FP=y，

25∵GP∥AC，

A D B

CFPF7∴?=．…………………………………………………（2分） CEPG24（iii）CG=CF的情况不存在．

∴x?2525，即CN?. ------------------------------------------------------（2分） 99（2）∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，

∴△AME≌△PME. ∴AE=PE，AM=PM. ∵EP⊥AC，∴

EP4AE4?tan?ACB?. ∴?. CE3CE3201520，CE?.∴PE?. ---------------------（2分） 777 ∵AC=5，∴AE? ∵EP⊥AC，∴PC?PE2?EC2?(20215225)?()?. 777 ∴PB?PC?BC?254?3?. --------------------------------------（2分） 77 在Rt△PMB中，∵PM2?PB2?MB2，AM=PM. ∴AM?()?(4?AM). ∴AM?24722100. --------------------------------------（2分） 49（3）0?CP?5,当CP最大时MN=

35.--------------------------------------------------（2分） 2

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