2013-2014学年高中数学北师大版必修一示范教案_2.1生活中的变量关系

2013-2014学年高中数学北师大版必修一示范教案_2.1生活中的变量关系

第二章 函 数

通过本章的学习，使学生关注现实，了解函数、映射等知识产生的背景．发展对变量的认识，了解现实世界充满变量间的相互依赖关系．通过操作和思考，感受抽象出函数概念的过程和方法．理解函数和映射等概念的本质，并掌握函数的单调性等性质．在初中学习的基础上，能熟练地说出二次函数图像的大小、位置和单调性、最大(小)值等性质．对幂函数和函数的奇偶性有所了解．使学生能借助图像想象出函数的单调性、奇偶性等性质，也能用解析式的特点抽象地得出函数的性质，能熟练地对二次函数配方，会用解析式证明函数的单调性和奇偶性，能根据需要对各种函数的解析式作变形，会对一些有关函数的应用题求解，会对有关数据作相应的处理．培养学生提出、分析、解决问题的能力，表达交流的能力，独立获取数学知识的能力，同时发展学生的应用意识、创新意识和数学地思考问题的意识．引导学生形成批判性、崇尚理性的思维习惯，体会数学美，树立辩证唯物主义的世界观．引导学生热爱数学，帮助他们建立学好数学的信心，并具有一定的数学视野；使其树立坚韧不拔的态度和崇尚科学的理性精神，强化对真善美的追求．

在中学，函数的学习大致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图像、性质等．本章学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段．第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高．

在章头语里，把函数的地位和意义作了简单说明．有作为背景的意图，也是想让学生在无形中想到曲线、图像和函数．本书从高速公路的里程和加油站的思考引入，一方面，让学生认识现实中处处充满变量间的依赖关系，另一方面，希望学生能由此及彼想到邮局、机场等实例．函数概念从实际引入，让学生在现实情境中体验和理解数学．函数是核心概念，初中讲了，高中还要深化．它将贯穿整个高中阶段，希望使学生遇到问题的时候，马上会有一种想到函数的潜意识产生．这种意识和函数观点是至关重要的．教材对函数概念，努力改变过去把因变量叫作自变量的函数的做法，而明确提出把对应关系f叫作函数．只是为了与学生过去的认识接轨，才又补充说：习惯上我们称y是x的函数．教材中，提到函数的时候，必须要说明函数的定义域．但是，教材有意弱化了求定义域和值域的技巧，不在这里浪费学生过多时间．本教材力图突出本质，而不在技巧上下更多工夫．考虑到分段函数在实际中会经常出现，明确给出了“分段函数”的概念．一般到特殊、特殊到一般，都是人类创造的重要思维方法，都很重要，只是要根据所遇到的具体情况而决定选用哪一种．考虑到与初中知识的衔接，同时又考虑到学生的认知次序，在函数概念和映射概念的处理上，特意先给出函数的概念再引出映射概念，从特殊到一般地安排了这段教材．在函数性质中，教材突出了更具本质的单调性，而弱化了函数的奇偶性．如前所说，我们没有把奇偶性专门列出一节，而是把它和幂函数放在了一起．有意把幂函数留了个尾巴到下一章，意在顺理成章．因为，此前学生只有整数幂，而分数指数幂、无理数指数幂在下章出现，所以，到下一章再重复一下幂函数，也十分自然．

整体设计

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教学分析 在学生学习用集合语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系．生活中的变量关系一节，从高速公路的实例引入，“思考交流”则引导学生对类似的情境，如邮局、机场等进行思考并与同伴交流．安排了函数关系与非函数关系的对比．教学中一定要注意以人为本，要尊重学生，为了学生，调动学生参与到教学中．

值得注意的是在本节的教学中，一定要给学生“留白”，即为学生留下必要的时间和空间让其自主地活动．当然，学生的数学活动必须以学生的思维为基础，可以是动手实践，也可以是平静的思考．思维，必须以学生独立的悟为前提，在独立思考的前提下，再强调必须与同伴的交流与合作；思维，必须以抓住知识的本质为目的，不能只求热闹．对教材中的“思考交流”应该组织学生进行讨论，不能一说而过．

三维目标

1．通过公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而使学生认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．

2．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．培养学生广泛的联想能力，树立热爱数学的态度．

重点难点

区分生活中的变量关系是否为函数关系．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.现实世界中充满了变化，静止是相对的，运动是永恒的．我们的生活中存在着各种各样的变量关系，其中函数关系是描述这种变化的重要数学模型，也是数学的基本概念，函数思想是研究问题的重要数学思想之一．今天我们学习如何确定函数关系，教师引出课题．

思路2.人的体重和身高是函数关系吗？小麦的亩产量与亩施肥量是函数关系吗？正方体的体积和棱长是函数关系吗？如何判断呢？这就是本节课学习的内容，教师引出课题．

推进新课

新知探究

提出问题

1说出初中所学函数定义？

2如何确定两个变量之间是函数关系？

讨论结果：(1)函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，y是因变量．

(2)定义法：当且仅当变量x每取一个值，另一个变量y总有唯一确定的值与之对应时，变量x，y之间具有函数关系，并且，y是x的函数．

应用示例

思路1

例1 我国自1998年开始建设高速公路，全国高速公路通车总里程，于1998年底，位居世界第八；1999年底，位居世界第四；2000年底，位居世界第三；2001年底，超过了加拿大，跃居世界第二位．(如下表)

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问：

(1)高速公路里程数是年度的函数吗？

(2)高速公路里程数与年度的变化有什么特点？

活动：学生回顾函数的定义及确定函数关系的方法，教师适当提示或点拨．

解：不难看出：

(1)高速公路里程数随年度的变化而变化．所以，高速公路里程数可以看成因变量，年度看成自变量，从而高速公路里程数是年度的函数．

(2)从1988年到2001年，里程数是不断增加的，其中从1999年到2000年增长得最快． 点评：本题主要考查函数的定义.

变式训练

一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，请指出哪些变量是时间的函数．

解：一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，每个时刻都有唯一的行驶路程与它对应．行驶路程(因变量)随时间(自变量)的变化而变化，故行驶路程是时间的函数．同样，汽车的速度、耗油量也是时间的函数.

例2 图2是某高速公路加油站的图片，加油站常用圆柱体储油罐储存汽油．储油罐的长度d、截面半径r是常量；油面高度h、油面宽度ω、储油量v是变量．这些变量中，请指出哪两个具有依赖关系，哪两个变量具有函数关系．

图2

活动：学生结合生活经验思考．教师可提示，也可介绍相关知识．

解：储油量v与油面高度h存在着依赖关系，储油量v与油面宽度ω也存在着依赖关系．

并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间有函数关系．对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量v和它对应，所以，储油量v是油面高度h的函数．而对于油面宽度ω的一个值可以有两种油面高度和它对应，于是可以有两种储油量v和它对应，所以，储油量v不是油面宽度ω的函数．

点评：本题主要考查依赖关系和函数关系及其区别．由本题可见，函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系.

变式训练

1．进一步分析上述储油罐的问题，讨论：

(1)还有哪些常量？哪些变量？

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(2)哪些变量之间存在依赖关系？ (3)哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？

解：(1)常量有圆柱底面积、油罐容积、油的密度等，变量有油的体积、圆柱底面上的弓形面积等；

(2)依赖关系有：储油量和油的体积，储油量和圆柱底面上的弓形面积，油的体积和油面宽度；

(3)储油量是油的体积的函数，油的体积也是储油量的函数，储油量是圆柱底面上的弓形面积的函数，油的体积不是油面宽度的函数．

2．请列举一些与公路交通有关的函数关系．

解：如修路中所花的费用和所修公路长度是函数关系等．

3．请思考在其他情境下存在的函数关系，例如邮局、机场等．

解：在邮局中，邮资是邮件重量的函数等．在机场，飞机票价是路程的函数等.

思路2

例1 在学校里你能发现哪些函数关系？

活动：仔细观察，联系学校中老师、学生、师生的生活、校内物品等．

解：(1)学生的学号是学生的函数；

(2)教学任务是老师的函数；

(3)学校的用电量是时间的函数，用水量也是时间的函数．

点评：本题考查观察能力及发现问题、分析问题的能力.

变式训练

1．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，集合B＝{2,4,6,8}．集合A中的元素乘2.若A中的元素为自变量，B中的元素为因变量，能形成函数吗？

答案：不能．因为A中的元素5的2倍为10，并没有在集合B中．

2．在矩形中，若面积值作为自变量，其中一边长为因变量，能形成函数吗？

答案：不能．因为面积一定时，其中一边的长不确定．

3．某人骑车的速度是20千米/时．他骑1.5小时，走的路程是多少？你能写出时间与路程的函数吗？

答案：1.5小时走的路程是20×1.5＝30(千米)．设时间为t，路程为s，则s＝20t(t≥0)．

4．由下列式子是否能确定y是x的函数？

22(1)x＋y＝2； x－1y－1＝1；

(3)yx－2＋1－x.

22解：(1)由x＋y＝2，得y＝±2－x，因此由它不能确定y是x的函数；

2(2)x－1＋y－1＝1，得y＝(1x－1)＋1，

所以当x在{x|x≥1}中任取一值时，

由它可以确定一个唯一的y与之对应，

故由它可以确定y是x的函数；

(3)由{x－2≥0，1－x≥0 得x∈ ，

故x无值可取，y不是x的函数.

例2 新华网北京2006年3月24日电：中国卫生部24日通报，上海市确诊一例人感染高致病性禽流感病例，患者3月13日发病，后因病情加重，经抢救无效，于3月21日死亡．为了更好地对付禽流感病毒，某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中含药量y(毫克)与时间x(小时)之间近似满足图3所示的曲线关系．请根据图3中给出的变化曲线，试判断每毫升血液中含药量y(毫克)与时间x(小时)之间是否构成函数关系．

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图3

解：时间的变化范围是数集A＝{x|x≥0}，每毫升血液中含药量y(毫克)的变化范围是数集B＝{y|4≥y≥0}，并且，对于数集A中的每一个时间x，按照图中的曲线，数集B中都有唯一确定的y与它相对应．

所以每毫升血液中含药量y(毫克)是时间x(小时)的函数．

点评：本题主要考查实际问题中的函数关系.

变式训练

从20世纪70年代开始，我国就致力于控制人口过快增长，并逐步制定和完善了严格控制人口增长的政策措施.2002年我国颁布了第一部《人口与计划生育法》，将计划生育从一项基本国策上升为国家法律．根据国家统计局普查资料显示，我国人口再生产类型已经转入低生育、低死亡、低增长的发展阶段，进入了世界低生育水平国家行列.2005年底，我国总人口为13.075 6亿人，约占世界人口的20.12%.自实行计划生育以来，全国累计少生人口近3.1个亿．

图4

请根据图4中给出的我国人口出生率变化曲线，试判断我国人口出生率p和时间t(年)是否构成函数关系．

解：时间t的变化范围是数集A＝{t|t≥1950}，我国人口出生率p的变化范围是数集B＝{p|p≥0}，并且，对于数集A中的每一个时间t，按照图中的曲线，数集B中都有唯一确定的p与它相对应，所以我国人口的出生率p是时间t(年)的函数.

知能训练

1．自由落体运动中，有哪几个常量，哪几个变量？这些变量之间有怎样的关系？ 答案：常量有：自由落体的质量和重力加速度；

变量有：时间t、速度v和位移s，其中，速度依赖时间变化，关系是v＝gt；位移也

12依赖时间变化，关系是s＝gt. 2

2．银行的存款利息表算不算函数？

答案：是函数关系．

拓展提升

思考：字母一定是变量吗？

探究：一般地，在研究一个问题的变化过程中，变量通常是一个字母，也就是说，只有字母才可以取不同的值来表示不同的量，那就是变量．但能否这样说，在变化过程中，字母就一定是变量呢？答案是否定的．

2例如，我们所熟悉的二次函数y＝ax(a≠0)，它表示y与x之间存在依赖关系，这时，

x、y都是变量，它表示的是y关于x的函数．虽然函数随着a的变化而表示不同的函数，

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但它是二次项的系数，是一个常量．

222如果把y＝ax看作表示y与a只存在依赖关系，则y＝ax＝xa在x≠0时是一个y关

于a的一次函数，这里y，a是变量，x是常量．

课堂小结

本节课学习了：用定义法判断变量之间的函数关系．

作业

习题2—1 A组1,2.

设计感想 本节课内容比较简单，在设计过程中，注重了与下节函数概念的联系．

备课资料

[备选例题]

【例1】

答案：是函数关系．

【例2】 农业科学家研究玉米的生长过程，把生长过程分为32个时间段，通过实验得到了各时间段与植株高度之间的相关数据，如图5所示．

图5

观察上图，植株高度是时间的函数吗？

答案：是函数关系．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/otdi.html