2009中考数学基础热点专题--热点13 图形的相似（含答案）

2009中考数学基础热点专题

热点13 图形的相似

（时间：100分钟 总分：100分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．已知：线段a=5cm，b=2cm，则 A．

14ab=（ ）

25 B．4 C．

52 D．

2．把mn=pq（mn≠0）写成比例式，写错的是（ ） A．

mp?qn B．

pm?nq C．

qm?np D．

mn?pq

3．某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m，影长是1m，旗杆的影长是8m，则旗村的高度是（ ） A．12m B．11m C．10m D．9m 4．下列说法正确的是（ ）

A．矩形都是相似图形； B．菱形都是相似图形

C．各边对应成比例的多边形是相似多边形； D．等边三角形都是相似三角形 5．两个等腰直角三角形斜边的比是1：2，那么它们对应的面积比是（ ） A．1：2 B．1：2 B．1：4 D．1：1

6．如图1，由下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）

A．

AEAD?ACAB B．∠B=∠ADE C．

AEAC?DEBC D．∠C=∠AED

（1） (2) (3) 7．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，?已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架乙共有（ ）种

A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图2，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=2，BC=3，则CD的长是（ ）

A．

83 B．

23 C．

43 D．

53

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9．若

3a?b12?ab?c?ba?c=k，则k的值为（ ）

12 A． B．1 C．-1 D．或-1

10．如图3，若∠1=∠2=∠3，则图中相似的三角形有（ ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．若

a2?b3?c5（abc≠0），则

a?b?ca?b?c=_________．

12．把长度为20cm的线段进行黄金分割，则较短线段的长是________cm． 13．△ABC的三条边之比为2：5：6，与其相似的另一个△A?′B?′C?′最大边长为15cm，则另两边长的和为_______．

14．两个相似三角形的一对对应边长分别为20cm，25cm，它们的周长差为63cm，则这两个三角形的周长分别是________． 15．如图4，点D是Rt△ABC的斜边AB上一点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，若AF=?15，BE=10，则四边形DECF的面积是__________．

(4) (5) (6)

16．如图5，BD平分∠ABC，且AB=4，BC=6，则当BD=_______时，△ABD∽△DBC． 17．已知a、b、c为△ABC的三条边，且a：b：c=2：3：4，则△ABC?各边上的高之比为______．

18．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=60，CD=15，E、F分别为AD、BC上一点，且EF∥AB，?若梯形DEFC∽梯形EABF，那么EF=_________．

三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．如图6，△ABC中，

AGAH?DEBC，且DE=12，BC=15，GH=4，求AH．

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20．为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和点C，使AB⊥BC，然后再选点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点为D，?如图，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？

21．如图，在ABCD中，AE：EB=2：3．

（1）求△AEF和△CDF的周长比；（2）若S△AEF=8cm2，求S△CDF．

22．如图，△ABC是一个锐角三角形的余料，边BC=120mm，高AD=80mm，?要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，?这个正方形零件的边长是多少？

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23．以长为2的线段为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示． （1）求AM、DM的长；（2）求证：AM2=AD·DM．

24．如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．

（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系式时，△ACP∽△PDB．

（2）当△PDB∽△ACP时，试求∠APB的度数．

25．如图15-12，△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，?CE?⊥BD，E为垂足，连结AE．

（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明．

（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由． （3）求△BEC与△BEA的面积比．

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答案： 一、选择题

1．C 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C 7．C 8．D 9．D 10．D 二、填空题

11．

52 12．7.64 13．

352cm 14．252cm，315cm

15．150 16．26 17．6：4：3 18．30 三、解答题 19．解：∵ ∴

45?AGAH?DEBC=

1215?45，

AGAG?4，∴AG=16，∴AH=AG+GH=16+4=20．

20．解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠ABD=∠ECD=90°， 而∠ADB=∠EDC，∴Rt△ABD≌Rt△ECD． ∴

ABBD?CECD?AB120?5060?AB=100m．

21．解：（1）在?ABCD中，易得△AEF∽△CDF， ∴C△AEF：C△CDF=AE：CD=AE：AB=2：5． （2）∵△AEF∽△CDF，

∴S△CDF：S△AEF=25：4=S△CDF：8，∴S△CDF=50cm2． 22．解：设正方形零件的边长是xmm， ∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC． ∴

PNBC?AEAD?x120?80?x80?x=48．

23．（1）解：在正方形ABCD中，P为中点，∴AP=1，而AD=2． ∴由勾股定理可得DP=5．∴PF=5，∴AF=5-1． ∴AM=5-1，DM=3-5．

（2）证明：∵AM2=（5-1）2=6-25，

AD·DM=2×（3-5）=6-25，∴AM2=AD·DM． 24．解：（1）在△ACP与△PDB中，∠ACP=∠PDB，PC=PD． 要想△ACP∽△PDB，则 ①

BDPC?PDAC? DB·AC=PC·PD=CD

2

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②

BDAC?PDPC=1，即BD=AC，

即满足CD2=AC·DB或BD=AC时，△ACP∽△PDB． （2）∵△PDB∽△ACP?∠APC=∠PBD．

∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠DPB=∠PBD+60°+∠DPB=60°+60°=120°． 25．解：（1）Rt△CED中，∠CDE=60°?∠ECD=30°， ∴DE=

12CD=DA，EC=EA．

又∵∠BAC=45°，∠BDC=60°，∴∠DBA=15°． 又∵∠BDA=120°，DE=DA，∴∠DAE=∠DEA=30°． ∴∠EAB=15°，∴BE=EA=EC，DE=DA．

（2）在△ADE与△AEC中，∠DAE=∠DAE，∠AED=∠ACE． ∴△ADE∽△AEC．

（3）在Rt△CED中，设DE=a，CD=2a，由勾股定理得CE=3a，

12 ∴S△CEB=·BE·3a=32aBE．过点A作AF⊥BD于F，

则在△ADF中，∠ADF=60°，∴AF=AD·sin60°=32a．

∴S△BEA=

12BE·AF=

34BE·a．∴S△BEC：S△BEA=2．

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②

BDAC?PDPC=1，即BD=AC，

即满足CD2=AC·DB或BD=AC时，△ACP∽△PDB． （2）∵△PDB∽△ACP?∠APC=∠PBD．

∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠DPB=∠PBD+60°+∠DPB=60°+60°=120°． 25．解：（1）Rt△CED中，∠CDE=60°?∠ECD=30°， ∴DE=

12CD=DA，EC=EA．

又∵∠BAC=45°，∠BDC=60°，∴∠DBA=15°． 又∵∠BDA=120°，DE=DA，∴∠DAE=∠DEA=30°． ∴∠EAB=15°，∴BE=EA=EC，DE=DA．

（2）在△ADE与△AEC中，∠DAE=∠DAE，∠AED=∠ACE． ∴△ADE∽△AEC．

（3）在Rt△CED中，设DE=a，CD=2a，由勾股定理得CE=3a，

12 ∴S△CEB=·BE·3a=32aBE．过点A作AF⊥BD于F，

则在△ADF中，∠ADF=60°，∴AF=AD·sin60°=32a．

∴S△BEA=

12BE·AF=

34BE·a．∴S△BEC：S△BEA=2．

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