2015-2016年第一学期高二理科数学试题
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专题十 立体几何
1.【2015高考安徽,理5】已知m,n是两条不同直线, , 是两个不同平面,则下列命题正确的是( )
(A)若 , 垂直于同一平面,则 与 平行 (B)若m,n平行于同一平面,则m与n平行
(C)若 , 不平行,则在 内不存在与 平行的直线 (D)若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面 【答案】D
2.【2015高考北京,理4】过点(0,1),且与直线2x y 3 0垂直的直线方程是( )
A.2x y 1 0 C.2x y 1 0
B.x 2y 2 0 D.x 2y 2 0
3.【2015高考新课标1,理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有( )
- 1 -
(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛 【答案】B
4.【2015高考陕西,理5】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A.3 B.4 C.2 4 D.3 4
【答案】D
5.【2015高考新课标1,理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20 ,则r=( )
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8 【答案】B
6.【2015高考重庆,理5】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
- 2 -
A、1 B、
2
33
C、 1 2 2
3 D、
3
2 【答案】A
7.【2015高考北京,理5】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是(
A
.2 B
.4 C
.2 .5 【答案】
C
- 3 -
)
8.【2015高考安徽,理7】一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( (A
)1(B
)2 (C
)1 (D
)
【答案】B
9.【2015高考新课标2,理9】已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C
- 4 -
)
10.【2015高考山东,理7】在梯形ABCD中, ABC
2
AD//BC,BC 2AD 2AB 2 .将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成
的曲面所围成的几何体的体积为( )
(A)
2 4 5 (B) (C) (D)2 333
【答案】C
11.【2015高考湖南,理10】某工件的三视图如图3所示,现将该工件通过切割,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=
新工件的体积
)( )
原工件的体积
816
A. B.
9 9
12.【2015高考浙江,理2】某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )
A.8cm3 B. 12cm3 C.
32340
cm D. cm
3 33
- 5 -
【答案】C.
13.【2015高考新课标2,理6】一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A.
1111 B. C. D. 8765
【答案】D
14.【2015高考上海,理6】若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2 ,则其母线与轴的夹角的大小为
【答案】
3
【
- 6 -
15.【2015高考上海,理4】若正三棱柱的所有棱长均为a
,且其体积为,则
a .
【答案】4
16.【2015高考天津,理10】一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为
m3 .
【答案】
83
17.【2015高考浙江,理13】如图,三棱锥A BCD中,
AB AC BD CD 3,AD BC 2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线
AN,CM所成的角的余弦值是
- 7 -
【答案】
7. 8
18.【2015江苏高考,9】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为
19.【2015江苏高考,16】(本题满分14分)
如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,已知AC BC,BC CC1,设AB1的中点为D,B1C BC1 E.求证:(1)DE//平面AA1C1C; (2)BC1 AB1.
A
A1
1
【解析】
C
1
试题分析(1)由三棱锥性质知侧面BB1C1C为平行四边形,因此点E为B1C的中点,从而由三角
- 8 -
形中位线性又因为 C C,CC1 平面 CC1 1, C 平面 CC1 1,
C CC1 C,
所以 C 平面 CC1 1.
又因为 C1 平面 CC1 1,所以 C1 C.
因为 C CC1,所以矩形 CC1 1是正方形,因此 C1 1C. 因为 C, 1C 平面 1 C, C 1C C,所以 C1 平面 1 C. 又因为 1 平面 1 C,所以 C1 1.
20.【2015高考浙江,理17】如图,在三棱柱ABC A1B1C1-中, BAC 90 ,
AB AC 2,A1A 4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D为B1C1的中点.
(1)证明:A1D 平面A1BC;
(2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.
- 9 -
【答案】(1)详见解析;(2) .
18
试题分析:(1)根据条件首先证得AE 平面A1BC,再证明A1D//AE,即可得证;
(2)
作A1F BD,且A1F BD F,可证明 A1FB1为二面角A1 BD B1的平面角,再由
余弦定理即可求得cos A1FB1 ,从而求解.
试题解析:(1)设E为BC的中点,由题意得A1E 平面ABC,∴A1E AE,∵
18
AB AC,
∴AE BC,故AE 平面A1BC,由D,E分别B1C1,BC的中点,得DE//B1B且
DE B1B,从而DE//A1A,∴四边形A1AED为平行四边形,故A1D//AE,又∵AE
平面A1BC1,∴A1D 平面A1BC1;(2)作A1F BD,且A1F BD F,连结B1F,
由AE EB A1EA A1EB 90 ,得A1B A1A 4,由A1D B1D,
A1B B1B,得 A1DB B1DB,由A1F BD,得B1F BD,因此 A1FB1为二面角
- 10 -
A1 BD
B1的平面角,由A1D A1B 4, DA1B 90
,得BD ,
A1F B1F
41,由余弦定理得,cos A1FB1 . 38
21.【2015高考山东,理17】如图,在三棱台DEF ABC中,AB 2DE,G,H分别为
AC,BC的中点.
(Ⅰ)求证:BD//平面FGH;
(Ⅱ)若CF 平面ABC,AB BC,CF DE , BAC 45 ,求平面FGH与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小
.
- 11 -
试题解析:
(I)证法一:连接DG,CD,设CD GF O,连接OH, 在三棱台DEF ABC中,
AB 2DE,G为AC的中点
可得DF//GC,DF GC 所以四边形DFCG为平行四边形 则O为CD的中点 又H为BC的中点 所以OH//BD
又OH 平面FGH, BD 平面FGH, 所以BD//平面FGH.
证法二:
在三棱台DEF ABC中,
- 12 -
由BC 2EF,H为BC的中点
因为 BD 平面 ABED 所以 BD//平面FGH (II) 解法二:
作HM AC 于点M ,作MN GF 于点N ,连接NH 由FC 平面ABC ,得HM FC 又FC AC C 所以HM 平面ACFD 因此GF NH
所以 MNH 即为所求的角
- 13 -
所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60 .
22.【2015高考四川,理18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N (1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由) (2)证明:直线MN//平面BDH (3)求二面角A EG M的余弦值
.
- 14 -
【答案】(1)点F、G、H的位置如图所示.
【解析】(1)点F、G、H的位置如图所示
.
- 15 -
所以OM//CD,且OM
1
CD, 2
1
NH//CD,且NH CD,
2
所以OM//NH,OM NH, 所以MNHO是平行四边形, 从而MN//OH,
又MN 平面BDH,OH 平面BDH, 所以MN//平面BDH.
(3)连结AC,过M作MP AC于P.
- 16 -
在正方形ABCD EFGH中,AC//EG, 所以MP EG.
过P作PK EG于K,连结KM, 所以EG 平面PKM, 从而KM EG.
所以 PKM是二面角A EG M的平面角. 设AD 2,则CM 1,PK 2, 在Rt
CMP中,PM CMsin45 在Rt
KMP中,KM 所以cos PKM
PK . KM. 即二面角A EG
M23.【2015高考湖北,理19】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马
P ABCD中,侧棱PD 底面ABCD,且PD CD,过棱PC的中点E,作EF PB交
PB于点F,连接DE,DF,BD,BE
.
- 17 -
(Ⅰ)证明:PB 平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写
出结论);若不是,说明理由;
(Ⅱ)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
πDC,求的值. 3BC
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)
2
. 2
故 BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角, 设PD DC 1,BC
,有BD ,
- 18 -
在Rt△PDB中, 由DF PB, 得 DPF FDB
π, 3
则
tan
πBD tan DPF ,
解得 .
3PD
所以
DC1 BC DCπ
时,
BC3
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
24.【2015高考广东,理18】如图2,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F、G分别在线段AB、BC上,且AF=2FB,CG=2GB. (1)证明:PE FG;
(2)求二面角P-AD-C的正切值; (3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.
【解析】(1)证明:∵ PD PC且点E为CD的中点,
∴ PE DC,又平面PDC 平面ABCD,且平面PDC 平面ABCD CD,PE 平面PDC,
∴ PE 平面ABCD,又FG 平面ABCD,
- 19 -
∴ PE FG;
(2)∵ ABCD是矩形,
∴ AD DC,又平面PDC 平面ABCD,且平面PDC 平面ABCD CD,AD 平面ABCD,
∴ AD 平面PCD,又CD、PD 平面PDC, ∴ AD DC,AD PD,
∴ PDC即为二面角P AD C的平面角,
在Rt PDE中,PD 4,DE
1
AB
3,PE , 2
∴
tan PDC
PE即二面角P AD
C;
DE(3)如下图所示,连接AC,
∵ AF 2FB,CG 2GB即
AFCG
2, FBGB
∴ AC//FG,
∴ PAC为直线PA与直线FG所成角或其补角,
- 20 -
在
PAC中,PA
5,AC
由余弦定理可得
cos PAC
PA AC PC
2PA AC
222
, ∴ 直线PA与直线
FG. 25.【2015高考湖南,理19】如图,已知四棱台ABCD A1B1C1D1上、下底面分别是边
长为3和6的正方形,AA1 6,且
AA1 底面ABCD,点P,Q分别在棱DD1,BC上.
(1)若P是DD1的中点,证明:AB1 PQ;
(2)若PQ//平面ABB1A1,二面角P QD A的余弦值为
积.
3
,求四面体ADPQ的体7
- 21 -
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