凸函数的性质及其应用论文

凸函数性质及其应用

摘 要 本文首先给出了凸函数的几种定义，然后给出了凸函数的几种重要性质，最后举例说明了凸函数在微分学、积分学、及在证明不等式中的应用.

关键词 凸函数的积分性质;凸函数的不等式

Abstract In this article，first we list several kind of definitions for convex functions，then we give several important properties of convex functions ; finally we discuss the application of convex functions in differential calculus , integral calculus, and the proof of inequality.

Keywords integral properties of convex functions ; inequality of convex functions

凸函数是一类非常重要的函数,广泛应用于数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领域.本文先给出凸函数的几种等价定义,然后列出重要的相关性质,最后给出在微分学、积分学、以及在证明不等式中应用.

1 凸函数的定义及其相互关系 定义

1 设f(x)在区间I上有定义,f(x)在区间I称为是凸函数当且仅

当:?x1,x2?I,???(0,1),有f[?x1?(1??)x2]??f(x1)?(1??)f(x2)上式中“?”改成“<”则是严格凸函数的定义.

定义2 设f(x)在区间I上有定义, f(x)在区间I称为是凸函数当且仅当:?x1,x2?I,有

?x?x?f(x1)?f(x2)f?12??.

22?? 定义3 设f(x)在区间I上有定义, f(x)在区间I称为是凸函数当且仅当：?x1,x2,...,xn?I,有f??x1?x2?......?xn?f(x1)?f(x2)?......f(xn). ??nn??定义4 f(x)在区间I上有定义,当且仅当曲线y?f(x)的切线恒保持在曲线以下,则成

f(x)为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线f(x)为严格凸的.

引理1 定义2与定义3等价.

引理2 若f(x)连续,则定义1，2，3等价.

2 凸函数的性质

教育史一项良心工程

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定理1 设f(x)在区间I上有定义,则以下条件等价（其中各不等式要求对任意, ： x1,x2,x3?I,x1?x2?x3 保持成立）

（i）f(x)在I上为凸函数 （1）

（ii）

f(x2)?f(x1)?f(x3)?f(x1) （2）

x2?x1x3?x1(iii)

f(x3)?f(x1)f(x3)?f(x2) （3） ?x3?x1x3?x2f(x2)?f(x1)?f(x3)?f(x2) （4）

x2?x1x3?x2(iv)

推论1若f(x)在区间I上为凸函数，则I上任意三点x1?x2?x3，有

f(x2)?f(x1)f(x3)?f(x1)f(x3)?f(x2). ??x2?x1x3?x1x3?x2推论2 若f(x)在区间I上的凸函数，则?x0?I,过x0的弦的斜率k(x)? x的增函数（若f为严格凸的,则k(x)严格增）.

推论3 若f(x)是区间I上的凸函数，则I上任意四点s

f(x)?f(x0)是

x?x0f(t)?f(s)f(v)?f(u)?.

t?sv?u推论4 若f(x)是区间I上的凸函数，则对I上的任一内点x,单侧导数f??(x),f??(x)皆存在，

00皆为增函数，且f??(x)?f??(x) (?x?I)这里I表示I的全体内点组成之集合.（若f为严格凸

的，则f?'与f?'为严格递增的）.

证明 因x为内点,故?x1,x2?I,使得x1?x?x2,从而（利用推论2）,

f(x1)?f(x)f(x1)?f(x)f(x2)?f(x).再由推论2所述,当x1递增时,也递增.故由单调有?x1?xx1?xx2?x'界原理知,如下极限存在且f?(x)= lim'''x1?x?0f(x1)?f(x)f(x2)?f(x).同理,在此式中，令x2?x?x1?xx2?x''时,可知f?(x)存在,且f?(x)?f?(x).最后由推论3中的不等式重新取相应的极限,可知f?与f?皆

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为增函数.

推论5 若f(x)在区间I上为凸的，则f在任一内点x?I上连续. 事实上由推论4知f??与f??存在，所以f在x处左右都连续.

定理2 设函数f(x)在区间I上有定义，则f(x)为凸函数的充要条件是：x0?I0,??，使得?x?I,有f(x) ??(x?x0)?f(x0).

证明（必要性）因f(x)为凸函数，由上面的推论4知， ?x0?I0,f?'(x0)存在且

0f(x)?f(x0)?f?'(x0). 由此任取一??f?'(x0),则x?x0时有f(x)??(x?x0)?f(x0).

x?x0因

f?'(x0)?f?'(x0),所以对任一?:

f?'(x0)???f?'(x0),?x?I恒有

f(x)??(x?x0)?f(x0).

(充分性)设x1?x2?x3是区间

I

上的任意三点，由已知条件

?x2,??,f(x)??(x?x2)?f(x2)(?x?I),由此令x?x1和x?x3，可以得到

f(x3)?f(x2)f(x1)?f(x2),由定理1可知f(x)为凸的. ???x3?x2x1?x2 定理3 设f(x)在区间I上有导数，则f(x)在I上为凸函数的充要条件是f?(x)(x?I)递增.

（0,1）,记x??x1?(1??)x2，则 证明 （充分性）?x1,x2?I,不妨设x1?x2及??f(x)?f[?x??)x??f(1x)?(1??)f2x(,或)f(x)??f(x1)?(1??)f(x2)?0 (1) 1?(12]由于f(x)??f(x)?(1??)f(x) (1)式等价于

?[f(x)?f(x1)]?(1??)[f(x)?f(x2)]?0 (2)

应用Largrange定理，??,?:x1?????x2,使得

?[f(x)?f(x1)]?(1??)[f(x)?f(x2)]??f'(?)(x?x1)?(1??)f'(?)(x?x2)，

但x?x1?[?x1?(1??)x2]?x1?(1??)(x2?x1),

x?x2?[?x1?(1??)x2]?x2??(x1?x2).

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故（2）式左端=?[f(x)?f(x1)]?(1??)[f(x)?f(x2)]

??f'(?)(1??)(x2?x)?(1??)f'(?)?(x2?x1) ??(1??)(x2?x1)[f?(?)?f?(?)]

按已知条件f?(x)(x?I)递增，得知f?(?)?f?(?),从而上式?0,(2)式获证.

00（必要性）由定理1的推论4,f??(x)在I内为递增的，因f?(x)存在，故f?(x)?f??(x)亦在I内

为递增的，若I有右端点b,按照已知条件f在b点有左导数，?x?I易知: f(x)?f?(x)?''0f(x)?f(b)?f?'(b)?f'(b)

x?b 同理，若I有左端点a,则f?(a)?f?(x),即f?(x)在I上为递增的.

推论 若f(x)在区间I上有二阶导数，则f(x)在I上为凸函数的充要条件是：f??(x)?0 定理4 （Jensen不等式）若f(x)为[a,b]上的凸函数，则?xi?[a,b] ,?i?0(i?1,2,...,n),

??i?1ni?1,，有f(??ixi)???if(xi).

i?1i?1nn证明 应用数学归纳法.当n=2时，由定义1命题显然成立.设n=k时命题成立,即对任何 x1,x2,...,xk?[a,b]与?i?0,i?1,2,...,k,??i?1ni?1都有f(??ixi)???if(xi)

i?1i?1kk现设x1,x2,...,xk,xk?1?[a,b]及?i?0（i=1,2,…k+1）,

??i?1k?1i?1.

k?i令?i?,i=1,2,…,k,则??i?1.由数学归纳法假设可推得

1??k?1i?1f(??ixi)?f[(1??k?1)i?1k?1??xi?1kii1??k?1k??k?1xk?1]?(1??k?1)??ixi??k?1f(xk?1)

i?1k?(1??k?1)??if(xi)??k?1f(xk?1)

i?1=(1??k?1)?if(xi)??k?1f(xk?1) ?1??i?1k?1k 3

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k?1i?1 =

??f(x)

ii 即对任何正整数n(n?2),上述不等式成立.

推论 设f(x)在区间I上是凸函数,则对于任意的x1,x2,...,xm?I和?1，?2，...,?m?0都有f(?1x1??2x2?...??mxm?f(x)?...??mf(xm). )?11?1??2?...??m?1??2?...??m3 凸函数的应用

3.1在微分学中的应用

我们讨论了凸函数的有界性，左右函数极限和Lipschitz性质.

例1 设函数f(x)在区间I上为凸函数，试证：f(x)在I上的任一闭子区间上有界. 证明 设[a,b]?I为任一闭子区间:

①（证明f(x)在[a,b]上有上界）?x?[a,b],取??x?a?[0,1],x??b?(1??)a. b?a因f(x)为凸函数,所以f(x)?f[?b?(1??)a]??f(b)?(1??)f(a)??M?(1??)M?M 其中M?max{f(a),f(b)}. 故在[a,b]上有上界M；

a?b为a,b的中点，则?x?[a,b]，有关于c的对称点x?，2f(x)?f(x?)11?f(x)?M , 因f(x)为凸函数，所以f(c)?222②（证明f(x)在[a,b]上有下界）记c? 从而 f(x)?2f(c)?M?m ， 即m为f(x)在[a,b]上的下界.

例2 设f(x)为区间(a,b)内的凸函数，试证：f(x)在I上的任一内闭区间[?,?]?[a,b]上满足Lipschitz条件.

z件，即要证明：?L?0,使得证明 要证明f(x)在区间[?,?]上满足Lipschit条

?x1,x2?[?,?]有f(x1)?f(x2)?Lx1?x2 (1)

a,b]，故可取h>0充分小，使得[??h,??h]?(a,b)与此?x1,x2?[?,?],若因为[?,?]?[x1?x2,取x3?x2?h.由凸性，

f(x2)?f(x1)f(x3)?f(x2)M?m（其中M,m分别表示??x2?x1x3?x2h4

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