基于Matlab电力系统潮流计算

毕业设计

目 录

引言 ............................................................................................. 错误！未定义书签。 1 绪论 ........................................................................................................................... 1 1.1 电力系统叙述 ................................................................................................. 1 1.2潮流计算简介 .................................................................................................. 1 1.3 潮流计算的意义及其发展 ............................................................................. 2 2电力系统潮流计算基本原理 .................................................................................... 2 2.1电力网络的基本方程式 .................................................................................. 2 2.1.2 自导纳和互导纳的确定方法 ............................................................... 4 2.1.3 节点导纳矩阵的性质及意义 ............................................................... 5 2.1.4 非标准变比变压器等值电路 ............................................................... 6 2.2潮流计算的数学模型 ...................................................................................... 7 2.2.1 潮流计算的节点类型 ......................................................................... 7 2.2.2 潮流计算基本方程 ............................................................................. 7 2.3潮流计算方法 .................................................................................................. 9 2.3.1 牛顿——拉夫逊法 ............................................................................... 9 2.3.2 高斯——赛德尔法 ............................................................................... 9 2.3.3 PQ分解法 .......................................................................................... 10 3牛顿拉夫逊潮流计算理论分析 .............................................................................. 11 3.1概述 ................................................................................................................ 11 3.2牛顿法基本原理 ............................................................................................ 11 3.3牛顿法潮流计算方程 .................................................................................... 15

毕业设计

3.3.1节点功率方程 ...................................................................................... 15 3.3.2 修正方程 ........................................................................................... 16 4基于matlab的实例仿真 ........................................................................................ 19 4.1潮流计算原始资料参数 ................................................................................. 19 4.2参数计算及等值电路的绘制 ........................................................................ 20 4.2.1节点设置及分类 .................................................................................. 20 4.2.3支路参数计算并求解 .......................................................................... 21 4.3求解方法 ........................................................................................................ 22 4.4牛顿–拉夫逊潮流计算法的求解过程 ........................................................ 23 4.4.1牛顿–拉夫逊潮流计算法的计算框图 .............................................. 23 4.4.2牛顿法计算潮流的步骤如下 .............................................................. 24 4.4.3利用已知MATLAB程序求解，并修改相应程序变量 ........................ 25 4.4.4变电所负荷为题目所给数据进行求解 .............................................. 25 4.4.5修改程序 .............................................................................................. 26 4.5运行matlab程序输出结果 .......................................................................... 27 4.6 matlab仿真结果分析 .......................................................................................... 28 5总结 .......................................................................................................................... 30 致 谢 ........................................................................................................................... 31 参考文献 ..................................................................................................................... 31

毕业设计

基于Matlab电力系统潮流计算

摘要:电力系统潮流计算是研究稳态运情况一种重要分析计算，它根据给定的运行条件及系统接线情况确定整个电力系统各部分的运行状态。在电力系统规划设计和现有电力系统运行方式的研究中，都需要利用潮流计算来定量地分析比较供电方案或运行方式的合理性，可靠性和经济性。MATLAB使用方便，有着其他高级语言无法比拟的强大的矩阵处理功能。这样使MATLAB成为电力系统潮流计算的首选计算机语言。牛顿-拉夫逊法是电力系统潮流计算的常用算法之一，它收敛性好，迭代次数少。介绍了电力系统潮流计算机辅分析的基本知识及潮流计算牛顿-拉普逊法,最后介绍了利用matlab进行实例仿真。

关键词：电力系统潮流计算；牛顿-拉普逊法；matlab

1 绪论

1.1 电力系统叙述

电力工业发展初期，电能是直接在用户附近的发电站(或称发电厂)中生产的，各发电站孤立运行。随着工农业生产和城市的发展，电能的需要量迅速增加，而热能资源(如煤田)和水能资源丰富的地区又往往远离用电比较集中的城市和工矿区，为了解决这个矛盾，就需要在动力资源丰富的地区建立大型发电站，然后将电能远距离输送给电力用户。同时，为了提高供电可靠性以及资源利用的综合经济性，又把许多分散的各种形式的发电站，通过送电线路和变电所联系起来。这种由发电机、升压和降压变电所，送电线路以及用电设备有机连接起来的整体，即称为电力系统。

电力系统加上发电机的原动机(如汽轮机、水轮机)，原动机的力能部分(如热力锅炉、水库、原子能电站的反应堆)、供热和用热设备，则称为动力系统。

现代电力系统提出了“灵活交流输电与新型直流输电”的概念。灵活交流输电技术是指运用固态电子器件与现代自动控制技术对交流电网的电压、相位角、阻抗、功率以及电路的通断进行实时闭环控制，从而提高高压输电线路的输送能力和电力系统的稳定水平。新型直流输电技术是指应用现电力电子技术的最新成果，改善和简化变流站的造价等。

1.2潮流计算简介

电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一种计算，它根据给定的运行条件及系统接线情况确定整个电力系统各部分的运行状态：各母线的电压，各元件中流过的功率，系统的功率损耗等等。在电力系统规划的设计和现有电力系统运行方式的研究中，都需要利用潮流计算来定量地分析比较供电方案或运行方式的合理性。可靠性和经济性。此外，电力系统潮流计算也是计算系统动态稳定和静态稳定的基础。所以潮流计算是研究电力系统的一种很重要和基础的计算。

电力系统潮流计算也分为离线计算和在线计算两种，前者主要用于系统规划设计和安排系统的运行

毕业设计

方式，后者则用于正在运行系统的经常监视及实时控制。

利用电子数字计算机进行电力系统潮流计算从50年代中期就已经开始。在这20年内，潮流计算曾采用了各种不同的方法，这些方法的发展主要围绕着对潮流计算的一些基本要求进行的。对潮流计算的要求可以归纳为下面几点：

（1）计算方法的可靠性或收敛性； （2）对计算机内存量的要求； （3）计算速度；

（4）计算的方便性和灵活性。

电力系统潮流计算问题在数学上是一组多元非线性方程式求解问题，其解法都离不开迭代。因此，对潮流计算方法，首先要求它能可靠地收敛，并给出正确答案。由于电力系统结构及参数的一些特点，并且随着电力系统不断扩大，潮流计算的方程式阶数也越来越高，对这样的方程式并不是任何数学方法都能保证给出正确答案的。这种情况成为促使电力系统计算人员不断寻求新的更可靠方法的重要因素。

1.3 潮流计算的意义及其发展

作为电力系统分析中最基本的计算，潮流计算能够在复杂电力系统故障和正常条件下对稳态运行状态进行分析计算。计算给定运行状态是其目标。潮流计算的基础是对电力系统的规划，对电力系统静、暂态稳定分析。潮流计算的结果可于稳态研究，安全估计或着最优潮流等。这些对其方法和模型有直接影响，牛-拉发是潮流计算主要方法。

在用数字计算机解统潮流问题的开始阶段，通常采取以节点导纳矩阵为基础的逐次代入法。此方法原理简单，占用计算机内存较小，适应50年代电子计算机制造水平和当时电力系统理论水平。它的缺点是收敛性比较差，系统规模扩大，迭代次数就会骤然上升，计算过程常常会出现不收敛现象。为了解决这个困扰，我们运用阻抗法。它改善了计算过程中收敛性问题，解决了导纳法无法求解的一些系统的潮流计算，在60年代应用广泛。占用计算机内存大是它的主要不足，随着迭代次数变大，系统扩大时，这些缺点就更加明显。60年代中期以阻抗矩阵为基础的分块阻抗法很好的克服了它的缺点。这中方法把大系统分割成几个小系统，这样大大减少了计算机内存，同时也提高了计算速度。

此外还有一种方法也可以很好的解决上面出现的各种问题。牛—拉发是导纳矩阵为基础，因此只要我们在计算过程中保持矩阵的稀疏性，就能提高这种方法的

2电力系统潮流计算基本原理

2.1电力网络的基本方程式

电力网络可以用结点方程式或回路方程式表示出来。在结点方程式中表示网络状态的变量是各节点的电压，在回路方程式中是各回路中的回路电流。

一般若给出网络的支路数b，结点数n，则回路方程式数m为m=b-n+1结点方程式数m 为m =n-1因此，回路方程式数比结点方程式数多d=m-m =b-2n+2

在一般电力系统中，各结点(母线)和大地间有发电机、负荷 、线路电容等对地支路，还有结点和结点之间也有输电线路和变压器之路，一般b>2n，用结点方程式表示比用回路方程式表示方程式数目要少。

毕业设计

而且如以下所示，用结点方程式表示容易建立直观的方程式，输电线的连接状态等变化时也很容易变更网络方程式。

把电力系统的发电机端子和负荷端子（同步调相机等的端子也作为发电机端来处理）抽出来，剩下的输电线路及其它输电系统概括为网络Ｎet表示 。在发电机结点和负荷结点上标出任意顺序的记号：1,2,…,I,…,n.在输电系统Net的内部不包含电源，并且各节点和大地间连接的线路对地电容、电力电容器等都作为负荷来处理。

1,v 2, ,v n，由各端子流向输电系统Net的电流相应为令端子1,2……,n的对地电压分别为v

,I , ,I ，则此网络方程组可以表示为 I12n

YV I1111 Y12V2 Y1kVk Y1nVn

YV I2 Y21V1222 Y2kVk Y2nVn

(2-1)

I n Yn1V1 Yn2V2 YnkVk YnnVn

(2-1)式可以简单写成

YV Iiijj (I=1,2,…,n) (2-2)

j 1

n

或者写成

I＝YV (2-3)

其中

V I1 Y111 VI 2 V 2 Y Y21I In Vn

Yn1

Y12 Y1n

Y22 Y2n (2-4)

Yn2 Ynn

(2-4)的Y称为节点导纳矩阵。因输电系统Net只是由无源元件构成的，而导纳矩阵是对称矩阵，于是有以下关系

Yij Yji （2-5）

电压V和电流Ｉ的关系用式(2-1)～(2-5) 表示时称为节点导纳方程式。这里电压Ｖ用电流Ｉ的方程式表示时，则(2-3)式化为

V＝ZI (2-6)

其中 Z Y

(2-6)式称为结点阻抗方程式，当然，阻抗矩阵也是对称矩阵。

1

毕业设计

2.1.2 自导纳和互导纳的确定方法

电力网络的节点电压方程：

IB YBUB (2-7)

式(2-7)IB为节点注入电流列向量，注入电流有正有负，注入网络的电流为正，流出网络的电流为负。根据这一规定，电源节点的注入电流为正，负荷节点

为负。既无电源又无负荷的联络节点为零，带有地方负荷的电源节点为二者代数之和。

式(2-7)UB为节点电压列向量，由于节点电压是对称于参考节点而言的，因而需先选定参考节点。在电力系统中一般以地为参考节点。如整个网络无接地支路，则需要选定某一节点为参考。设网络中节点数为（不含参考节点），则IB，UB均为n*n列向量。YB为n*n阶节点导纳矩阵。

节电导纳矩阵的节点电压方程：

IB YBUB，展开为：

Y11 I1

I2 Y21 Y31 I

3 I n Yn1

Y12Y22Y32 Yn2

Y13 Y1n U1 Y23 Y2n U2 Y33 Y3n U3

(2-8)

Yn3 Ynn Un

YB是一个n*n阶节点导纳矩阵，其阶数就等于网络中除参考节点外的节点数。 节点导纳矩阵的对

角元素Yii (i=1，2， n)成为自导纳。自导纳数Yii值上就等于在i节点施加的电压，其余节点接地时，经过i节点注入的电流，因此，它可以定义为：

/U (U 0,j i) （2-9） Yii Iiij

节点i的自导纳Yii数值上就等于与节点直接连接的所有支路导纳的总和。

节点导纳矩阵的非对角元素Yij (j=1，2， ，n;i=1，2， 。，n;j=i)称互导纳，由此可得互导纳Yij数值上就等于在节点i施加单位电压，其他节点全部接地时，经节点j注入网络的电流，因此可定义为：

/U (U 0,j i) (2-10) Yji Ijiij

节点j，i之间的互导纳Yij数值上就等于连接节点j，i支路到导纳的负值。显然，恒Yij等于Yji。互导纳的这些性质决定了节点导纳矩阵是一个对称稀疏矩阵。而且，由于每个节点所连接的支路数总有一个限度，随着网络中节点数的增加非零元素相对愈来愈少，节点导纳矩阵的稀疏度，即零元素数与总元素的比值就愈来愈高。

毕业设计

2.1.3 节点导纳矩阵的性质及意义

节点导纳矩阵的性质：

（1）YB为对称矩阵，Yij=Yji。如网络中含有源元件，如移相变压器，则对称性不再成立。

YB对无接地支路的节点，（2）其所在行列的元素之和均为零，即 Yi,j 0, Yj,i 0。

j 1

i 1

nn

对于有接地支路的节点，其所在行列的元素之和等于该点接地支路的导纳。利用这一性质，可以检验所形成节点导纳矩阵的正确性。

（3）YB具有强对角性：对角元素的值不小于同一行或同一列中任一元素。

（4）YB为稀疏矩阵，因节点i ，j 之间无支路直接相连时Yij=0，这种情况在实际电力系统中非常普遍。矩阵的稀疏性用稀疏度表示，其定义为矩阵中的零元素与全部元素之比，即 S

Z/n2， 式

中Z 为YB中的零元素。S 随节点数n 的增加而增加：n=50，S可达92%；n=100，S 可达90%；n=500，S可达99%，充分利用节点导纳矩阵的稀疏性可节省计算机内存，加快计算速度，这种技巧称为稀疏技术。

节点导纳矩阵的意义：

YB是n*n阶方阵，其对角元素 Yii(i=1，2，----n)称为自导纳，非对角元素Yij(i，j=1，2， n，

i j)称为互导纳。将节点电压方程IB YBUB展开为：

Y I111

I2 Y21 In Yn1

/U (U 可见Yii Iiij

Y12

Y Y

22

n2

U Y1n1

2 YU2n （2-11）

Ynn Un

0,i,j 1,2, ,n,i j) (2-12)

表明，自导纳Yii在数值上等于仅在节点i施加单位电压而其余节点电压均为零（即其余节点全部接地）时，经节点i注入网络的电流。其显然等于与节点i直接相连的所有支路的导纳之和。同时可见

/U (U 0,i,j 1,2, n,j i)。表明，互导纳在数值上等于仅在节点j施加单位电压而其Yij Iiji

余节点电压均为零时，经节点i注入网络的电流，其显然等于( yij)即Yij= yij。yij为支路的导纳，负号表示该电流流出网络。如节点ij之间无支路直接相连，则该电流为0，从而Yij=0。

注意字母几种不写法的不同意义：粗体黑字表示导纳矩阵，大写字母Yij代矩阵YB中的第i行第j列元素，即节点i和节点j之间的互导纳。小写字母i，j支路的导纳等于支路阻抗的倒数数，

毕业设计

yij 1/Zij。

2.1.4 非标准变比变压器等值电路

变压器型等值电路更便于计算机反复计算,更适宜于复杂网络的潮流计算.双绕组变压器可用阻抗与一个理想变压器串联的电路表示.理想变压器只是一个参数,那就是变比 U1/U2。现在变压器阻抗按实际变比归算到低压侧为例,推导出变压器型等值电路。

图2-2双绕组变压器原理图

图2-3变压器阻抗归算到低压侧等值模型

流入和流出理想变压器的功率相等

I U11 U1I2/K

I1 /K (2-13) I2

式(2-13)中, U1/U2是理想变压器的变比,U1和 U2分别为变压器高,低绕组的实际电压.从图2-3直接可得：

K U I Z （2-14） U122T

UUYUYU12T1T2

I1 2 从而可得: 2

ZT ZT

UUYTU121 （2-15） I2 YTU2

ZTZT

式（2-14）中YT 1/ZT,又因节点电流方程应具有如下形式:

I1 Y11U1+Y12U2

YU -I2211+Y22U2 （2-16）

将式（2-14）与（2-15）比较，得：Y11=YT/ ，Y12=-YT/ ；Y22=YT。 21=-YT/ ，Y

2

毕业设计

因此可得各支路导纳为：

1

Y10 Y11 Y12 YT （2-17） 2

1

Y20 Y22 Y21 YT

由此可得用导纳表示的变压器型等值电路：

Y12=-Y12 YT/

Y21=-Y21 YT/

图2-4变压器型等值电路

2.2潮流计算的数学模型

2.2.1 潮流计算的节点类型

根据电力系统中各节点性质的不同，很自然地把节点分成三类： （1） PQ节点

对于这类节点，等值负荷功率PLi 、QLi和等值电源功率PGi、QGi是给定的，从而注入功率Pi、Qi

也是给定的，待求的则是节点电压的大小Ui和相位角δi。这类节点称为PQ节点 （2） PU节点

对于这类节点，等值负荷和等值电源的有功功率PLi 、QGi，从而注入有功功率Pi是给定。等值负荷的无功功率QLi和节点电压Ui的大小事给定。待求的则是等值电源的无功功率QGi，从而注入无功功率Qi和节点电压相位角δi。这类节点称为PU节点 （3） 平衡节点

潮流计算时，一般都只设一个平衡节点。对这个节点，等值负荷功率PLS、QLS是给定的，节点电压大小和相位角Us、δs.也是给定的。待求的则是等值电源功率PGS、QGS，从而注入功率Ps、Qs。担负调整系统频率任务的电厂母线往往被选作平衡节点。 2.2.2 潮流计算基本方程

采用导纳矩阵时，节点注入电流和节点电压构成如式(2-7)所示线性方程组可展开如下形式：

YV Ii ij j

j 1

n

(i 1,2, n ) (2-18)

由于实际电网中测量的节点注入量一般不是电流而是功率，因此必须将式中的注入电流用节点注入功率来表示。

毕业设计

节点功率与节点电流之间的关系为：

Si=Pi

式中Pi

I jQi Uii (2-19)

PGi PLDi，Qi QGi QLDi

Pi jQi

Ui

S/U 因此用导纳矩阵时，PQ节点可以表示为Ii ii

把这个关系代入式中 ，得

n

Pi jQi

YijUj(i 1,2, n) （2-20）

Uij 1

式（2-20）就是电力系统潮流计算的数学模型-----潮流方程。它具有如下特点： 1：它是一组代数方程，因而表征的是电力系统的稳定运行特性。 2：它是一组非线性方程，因而只能用迭代方法求其数值解。

3：由于方程中的电压和导纳既可以表为直角坐标，又可表为极坐标，因而潮流方程有多种表达形式---极坐标形式，直角坐标形式和混合坐标形式。

（1）取 Ui

Ui i ，Yij |yij| ij，得到潮流方程的极坐标形式：

Pi jQi Ui i YijUj i (2-21)

j 1n

(2) 取 Ui

ei jfi， Yij Gij jBij，得到潮流方程的直角坐标形式：

Pi ei (Gijej Bijfj) fi (Gijfj Bijej)

j 1j 1

(2-22) nn

Qi fi (Gijej Bijfj) ei (Gijfj Bijej)

j 1j 1

n

n

(3) 取 Ui

Ui i Yij Gij jBij，得到潮流方程的混合坐标形式：

n

Pi Ui Uj(Gijcos ij Bijsin ij)

j 1

(2-23) n

U(Gsin Bcos ) Qi Uijijijijij

j 1

不同坐标形式的潮流方程适用于不同的迭代解法。例如：利用牛顿---拉夫逊迭代法求解，以直角坐标和混合坐标形式的潮流方程为方便；而P-Q解耦法是在混合坐标形式的基础上发展而成，故当然采用混合坐标形式。

4: 它是一组n个复数方程，因而实数方程数为2n个但方程中共含4n个变量：P，Q，U和 ，i=1，

毕业设计

2， ，n，故必须先指定2n个变量才能求解。

2.3潮流计算方法

2.3.1 牛顿——拉夫逊法

牛顿法是数学中求解非线性方程式的典型方法，它是通过泰勒级数展开，忽略二阶以上高阶项，原理是逐次将非线性方程组线性，在多次形成和求解修正方程，直至满足要求，具体的内容参照第三章。 2.3.2 高斯——赛德尔法

高斯-塞德尔法原理比较简单，主要以节点导纳矩阵为基础。下面简单介绍下其原理和潮流计算过程。 （1）高斯-塞德尔法的基本原理 设有n个联立的非线性方程

f1(x1,x2, ,xn) 0

f2(x1,x2, ,xn) 0 （2-24）

fn(x1,x2, xn) 0

解此方程组可得

x1 g1(x1,x2, ,xn) x2 g2(x1,x2, ,xn

（2-25）

xn gn(x1,x2, ,xn

若已经求得各变量的第k此迭代值x1

(k)

(k)(k)

,x2, xn，则第（k+1）次迭代值为

(k)(k)x1(k 1) g1(x1(k),x2, xn)(k 1)x2

(k 1)xn

(0)

(0)

(0)

(k)(k)

g1(x1(k 1),x2, xn)

（2-26）

(k 1)(k 1) g1(x1(k 1),x2, xn)

只要给定变量的初值x1,x2, ,xn

就可以按式（2-10）迭代计算，一直进行到所有变量都满足

收敛条件：xi(k 1) xi(k) 即可。

（2）高斯-塞德尔潮流计算过程

假设有n个节点的电力系统，没有PV节点，平衡节点编号为s，功率方程可写成下列复数方程式：

n

P jQ1i i （2-27） U YijUij Yii Uij 1 j i

对每一个PQ节点都可列出一个方程式，因而有n-1个方程式。在这些方程式中，注入功率Pi和Qi都是给定的，平衡节点电压也是已知的，因而只有n-1个节点的电压为未知量，从而有可能求得唯一解。 将上式写成高斯-塞德尔法的迭代形式

毕业设计

(k 1)Ui

1 Pi jQii 1 (k 1) YijUj Yii (k)j 1

Ui

(k) (2-28) YijU j

j i 1

n

如系统内存在PV节点，假设节点p为PV节点，设定的节点电压为Up0。假定高斯-塞德尔迭代法已完成第k次迭代，接着要做第k+1次迭代前，先按下式求出节点p的注入无功功率：

Q

然后代入下式，求出p点电压

(k 1)

p

Im(U

(K)P

Y

j 1

n

pj

Uj) (2-29)

k

Upi

(k 1)

(k 1)nP jQ1 pp (k) (2-30) YU pjj

Ypp (k)j 1

j p Up

在迭代过程中，按上式求得的节点p的电压大小不一定等于设定的节点电压Up0，所有在下一次的迭代中，应以设定的Up0对电压进行修正，但其相角仍保持上式所求得的值，使得

(k 1) U (k 1) (2-31) Upp0p

如果所求得PV节点的无功功率越限，则无功功率在限，该 PV节点转化为PQ节点。 归纳起来，高斯-塞德尔迭代法计算潮流的步骤为： 1.设定各节点电压的初值，并给定迭代误差判据；

2.对每一个PQ节点，以前一次迭代的节点电压值代入功率迭代方程式求出新值；

3．对于PV节点，求出其无功功率，并判断是否越限，如越限则将PV节点转化为PQ节点； 4.判别各节点电压前后二次迭代值相量差的模是否小于给定误差，如不小于，则回到第2步，继续进行计算，否则转到第5步；

5.根据功率方程求出平衡节点注入功率； 6求支路功率分布和支路功率损耗。 2.3.3 PQ分解法

PQ分解法是牛顿法的一种简化方法，它利用了电力系统特有的运行特性，改进和提高了运行速度。由牛顿法的修正方程进行展开可得：

P ( N U

)

(2-32)

Q (K L U)

根据电力系统的运行特性进行简化：

1. 考到电力系统中有功功率分布主要受节点电压相角的影响，无功功率分布主要受节点电压幅值的

影响，所以可以近似的忽略电压幅值变化对有功功率和电压相位变化对无功功率分布的影响，即

毕业设计

P H , Q L U (2-33)

2. 根据电力系统的正常运行条件作如假设：

1) 电压相位角在电力系统运行时的变化不大（不超过10~20度）； 2) 通常架空线路的电抗远远大于电阻

3) 节点无功功率相应的导纳Q/U*U远小于该节点的自导纳的虚部。 用算式表示如下：

N 0,K 0

Gijsin ij Bij

Qi Ui2Bii （2-34）cos ij 1

由上面假设可得雅克比矩阵的表达式：

ij Lij UiUjBij

（2-35） 2

ii Lii UiBii

修正式为

U (2-36)

Q UBU UB U

U

P UBU

3牛顿拉夫逊潮流计算理论分析

3.1概述

牛顿法收敛性好，迭代次数少，在潮流计算方法中得到广泛的应用，目前为止还没有更好的方法能够完全取代它。 牛顿拉夫逊法（下面简称牛顿法）是数学中求解非线性方程的典型方法，能快速求出其他方法求不出或者难以求出的解。本章将主要针对牛顿法的理论进行具体介绍。

3.2牛顿法基本原理

牛顿-拉夫逊法是解非线性方程式的有效方法。牛顿拉夫逊法潮流计算是目前最为广泛、效果最好的一种潮流计算方法。这种把非线性方程式的求解过程变成反复对相应的线性方程式的求解过程，即逐次线性化过程，这就是牛顿法的核心。我们以如下非线性方程式的求解过程为例来说明：

f(x) 0 （3-1）

设x(0)为该方程式的初值。而真正解x在它的近旁：

x x x （3-2）

式中： x(0)为初始值x(0)的修正量。如果求得 x(0)，则由式（3-2）就可以得到真正解x。 为此将式

(0)

(0)

f(x(0) x(0)) 0 （3-3）

毕业设计

按泰勒级数展开

( x(0))n

f(x x) f(x) f(x) x f(x(x) 0

n!

（3-4）

(0)2

当我们选择的初始值比较好，即 x(0)很小时，式（3-4）中包含的( x)和更高阶次项可以略去不

(0)

(0)

(0)

'

(0)

(0)

''

(0)

(n)

(0)

( x(0))2) ( 1)(n)f

2!

计。因此，式（3-4）可以简化为

f(x) f'(x) x

这是对于变量 x(0)的形式方程式，用它可以求出修正量 x(0)。 的真正解。实际上，用 x(0)对x(0)修正后得到的x(1)：

x x x （3-6）

现在如果再以作为初值x(1)，解式（3-5就能得到更趋近真正解的x(2)：

(1)

(0)

(0)

(0)

(0)

(0)

0 （3-5）

由于式（3-5）是式（3-4）的简化结果，所以由式（3-5）解出 x(0)后，还不能得到方程式（3-1）

x(2) x(1) x(1) （3-7）

这样反复下去，就构成了不断求解非线性方程式的逐次线性化过程。第t次迭代时的参数方程为

f(x(t)) f'(x(t)) x(t) 0 （3-8）

f(x(t) f'(x(t)) x(t) （3-9）

上式左端可以看成是近似解x(t)引起的误差，当f(x(t)) 0时，就满足了原方程式（3-1），因而x(t)

就成为该方程的解。式中f'(x(t))是函数f(x) 0 在x(t)点的一次导数，也就是曲线在x(t)点的斜率，如图（3-1）所示，修正量 x(t)则是由x点的切线与横轴的交点来确定，由图（3-1）可以直观的看出牛顿法的求解过程。

(t)

毕业设计

图3-1 牛顿-拉夫逊法几何解释

现在把牛顿法推广到多变量非线性方程组的情况。设有变量x1,x2 xn的非线性联立方程组：

f1(x1,x2, ,xn) 0 f2(x1,x2, ,xn) 0 （3-10）

fn(x1,x2, xn) 0

给定各变量初值x1

(0)

,x2, ,xn

(0)(0)

，假设 x1

(0)

, x2, , xn

(0)

(0)(0)

为其修正量，并使其满足

(0)(0)

f1(x1(0) x1(0),x2 x2, ,xn(0)f2(x1(0) x1(0),x2

(0)

fn(x1(0) x1(0),x2

(0)

xn) 0

(0)(0)(0)

x2, ,xn xn) 0

（3-11）

(0)(0)(0)

x2, ,xn xn) 0

(0)

(0)(0)

, x2, , xn所组成的二次项和高次项

对以上n个方程式分别按泰勒级数展开，当忽略 x1

时，可以得到

f1 f1 f1(0)(0)(0)

f1(x,x, ,x) x1 x2 xn 0

x20 xn0 x10

f f f (0)(0)(0)(0)

f2(x1(0),x2, ,xn) 2 x1(0) 2 x2 2 xn 0

x x x （3-12） 10 20n0

f f f(0)(0)(0)(0)

fn(x1(0),x2, ,xn) n x1(0) n x2 n xn 0

x20 xn0 x10

(0)

1

(0)2

(0)n

式中：

fi(0)(0)(0)

为函数fi(x1,x2, ,xn)对自变量xj的偏导数在点（ x1, x2, , xn）处的值。 xi0

f1 x1(0)(0)(0)

f1(x1,x2, ,xn) f2

(0)(0)(0)

f(x,x, ,x) 21 x2n 1

(0)(0)(0)

fn(x1,x2, ,xn)

fn x1

把上式写成矩阵形式：

f1 f1

x x20n0 0(0)

x1

f2 f (0)

2 x2

（3-13） x x20n0 0

(0) xn

fn fn

x20 xn0 0

毕业设计

这是变量 x1

(0)

, x2, , xn

(0)(0)

的线性方程组，称为牛顿法的修正方程，通过它可以解出

(0)(0)(0)

x1, x2, , xn，并可以进一步求得

x1(1) x1(0) x1(0) (1)(0)(0) x2 x2 x2

（3-14）

(1)(0)(0) xn xn xn

式中x1,x2, ,xn

等到更接近真解的x1

(2)

(1)(1)(1)

向真正解逼近了一步，如果再以它们作为初值重复解式（3-13）修正方程式，

,x2

(2)

, ,xn

(2)

，如此迭代下去，并按式（3-14）进行修正，直到满足收敛要求

为止并停止迭代计算，这就构成了牛顿法的迭代过程。

一般第t次迭代式的修正方程为

f1 x1(t)(t)(t)

f1(x1,x2, ,xn) f2

(t)(t)(t)

f(x,x, ,x) 21 x2n 1

(t)(t)(t)

fn(x1,x2, ,xn)

fn x1

上式可以简写为

f1 f

1 x2t xnt t(t)

x1

f2 f (t)

2 x2

（3-15） x x2nttt

(t) xn

fn fn

x xnt 2tt

F(X(t)) J(t) X(t) (3-16)

其中

(t)(t)

f1(x1(t),x2, ,xn) (t)(t)(t)f(x,x, ,x) ，(t)212n

F(X(t)) J

(t)(t)(t)

fn(x1,x2, ,xn)

f1

x1 f2 x1 fn x1 f1 f

1 x2t xnt t

f2 f2

x xnt 2tt

fn fn

x xnt 2tt

其中的J(t)为第t次迭代时的雅克比矩阵；

同理可以得到第t次迭代时的修正量：

毕业设计

X(t)

x1(t) (t) x2

（3-17）

(t) xn

同样，也可以写出类似（3-14）的算式

X(t 1) X(t) X(t) （3-18）

这样反复交替的解式（3-16）及式（3-18）就可以使X(t 1)逐步趋近方程式的真正解。当满足人为收敛条件时，即

(t)(t)

maxfi(x1(t),x2, ,xn 1或max xi(t) 2 （3-19）

迭代结束，式中 1, 2为预先给定的小正数。

3.3牛顿法潮流计算方程

3.3.1节点功率方程

电力系统的负荷习惯用功率表示，对于有n个节点的电力系统，系统中各节点注入电流与注入功率以标幺值表示的关系为

S I

i

(Pi jQi)*

i

*

i=1，2， ，n （3-20）

式中 表示其共轭复数。将此关系式代入节点电压方程的通式，可得到以节点注入功率表示的节点电压方程:

(P jQ)ii

Ui

(3-21) YijUj

j 1

n

上述的方程式，通常称为功率方程。根据方程中的节点电压向量表示的不同，可以得到不同形式的功率方程。

若节点电压向量以直角坐标表示，即以复数平面上实轴与虚轴上的投影表示可写成

Ui ei jfi （3-22）

其共轭值为

Ui ei jfi （3-23）

导纳表示为

Yij Gij jBij （3-24）

把这两关系式代回式（3-21）的功率方程中，展开后再将功率方程的实部和虚部分别写成有功、无

毕业设计

功功率分离的节点方功率方程：

Pi ei (Gijej Bijfi) fi (Gijfj Bijej)

j 1j 1

（3-25） nn

Qi fi (Gijej Bijfi) ei (Gijfj Bijej)

j 1j 1

式中：i=1，2， ，n为各节点的编号。

nn

Uej i 若节点电压以极坐标表示，则Uii

或写成

Ucos jUsin （3-26） Uiiiii

将其同导纳的复数表达式一起代入式（3-21）的功率方程，进整理可以得到

Pi Ui Uj(Gijcos ij Bijsin ij)

j 1

（3-27） n

Qi Ui Uj(Gijsin ij Bijcos ij)

j 1

式中： ij i j——i与j节点电压的相角差。

由式（3-25）和（3-27）给出的功率方程表示方法避免了复数运算，因此，在潮流计算中普遍采用。 3.3.2 修正方程

采用牛顿法计算潮流时，需要对功率方程进行修改。下面将根据在不同坐标内的修改进行讨论： （1）在直角坐标系内时，由PQ节点功率方程（3-25）可知：节点i的注入功率是各点电压的函数，设节点的电压已知，代入式（3-25），可以求出节点i的有功及无功功率Pi,Qi，它们与给定的PQ 节点的注入功率Pis,Qis的差值应满足以下方程

n

Pi Pis Pi Pis ei (Gijej Bijfi) fi (Gijfj Bijej) 0

j 1j 1

（3-28） nn

Qi Qis Qi Qis fi (Gijej Bijfi) ei (Gijfj Bijej) 0

j 1j 1

对于PV 节点，已知节点的注入有功功率及节点电压大小，记作Pis,Uis，其节点的有功功率应满方程：

nn

Pi Pis Pi Pis ei (Gijej Bijfi) fi (Gijfj Bijej) 0

j 1j 1

（3-29） 2222

Ui Uis (ei fi) 0 (i m 1,m 2,.......,n 1)

对于平衡节点，因为其电压给定，故不需要迭代求解。

通过以上分析可见，式（3-28）和式（3-29）共2（n-1）个方程，待求量e1,f1,e2,f2, ,en 1,fn 1共2（n-1）个。将上述2（n-1）个方程按泰勒级数展开，并略去修正量的高次方项后得到修正方程如下：

nn

毕业设计

W J U （3-30）

22

W P1 Q1 Pm Qm Pm 1 Um 1 Pn 1 Un 1

T

U e1 f1 em fm em 1 fm 1 en 1 fn 1

T

P P P P P P P P 11111111

e f1 em fm em 1 fm 1 en 1 fn 11

Q1 Q1 Q1 Q1 Q1 Q1 Q1 Q1

e f e f e f e f11mmm 1m 1n 1n 1

P P P P P P P Pmmmmmmmm e1 f1 em fm em 1 fm 1 en 1 fn 1 Q Q Q Q Q Q Q Q mmmmmmmm

e f1 em fm em 1 fm 1 en 1 fn 1 1

J

Pm 1 Pm 1 Pm 1 Pm 1 Pm 1 Pm 1 Pm 1 Pm 1 e f1 em fm em 1 fm 1 en 1 fn 11

22222222

Um Um 1 Um 1 Um 1 Um 1 Um 1 Um 1 Um 1 1

e f e f e f e f11mmm 1m 1n 1n 1 P P P P P P P P n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1

e f1 em fm em 1 fm 1 en 1 fn 1 1 其中雅克22222222

Un 1 Un 11 Un 1 Un 1 Un 1 Un 1 Un 1 Un 1 e f1 em fm em 1 fm 1 en 1 fn 11

比矩阵的各元素可以对式（3-28）和式（3-29）求偏导数获得。

对于非对角元素（i

j）有

Pi Qi

(Gijei Bijfi) ej fj

Pi Qi

Bijei Gijfi （3-31） fj ej

Ui2 Ui2

0

ej fj

对于对角元素（i j)有

毕业设计

n

Pi

(Gijej Bijfj) Giiei Biifi eij 1

n Pi

(Gijfj Bijej) Giifi Biiei fij 1

n Qi

(Gijfj Bijej) Biiei Giifi eij 1

（3-32） n

Qi

(Gijej Bijfj) Giiei Biifi

fij 1

Ui2

2ei

ei

2

Ui

2fi fi

由上述表达式可以看到，雅克比矩阵具有以下特点：

1） 各元素是各节点电压的函数，迭代过程中每迭代一次各节点电压都要变化，因而各元素每次也变化；

2） 雅克比矩阵不具有对称性；

Ui2 Ui2

3） 互导纳Yij 0，与之对应的非对角元素亦为零，此外因非对角元素 0，故雅克

ej fj

比矩阵是稀疏矩。

（1） 当在极坐标系内时，由功率方程（3-27）可知节点i的注入功率是各节点电压幅值和相

角的函数。代入式（3-27）可以求出节点i的有功功率和无功功率，它们与给定的PQ节点的注入功率Pis,Qis的差值满足下面方程：

Pi Pi Ui Uj(Gijcos ij Bijsin ij) 0

j 1

（3-33） n

Qi Qi Ui Uj(Gijsin ij Bijcos ij) 0

j 1

式中： ij i j——i与j节点电压的相角差。

在有n个节点的系统中，假定第1~m号节点为PQ节点，第m+1~n-1号节点为PV节点，第n号节点为平衡节点。Vn和 n是给定的，PV节点的电压幅值Vm 1~Vn 1也是给定的，因此，只剩下n-1个节点的电压相角 1, 2, , n 1和m个节点的电压幅值V1,V2, Vm是未知量。由（3-33）可知一共包含了n-1+m方程式，正好同未知量的数目相等，而直角坐标形式的方程少了n-1-m个。

由方程（3-33）可以写出修正方程

n

P

Q K

式中

N

1 (3-34) L VD2 V

毕业设计

P1 Q1 1 P Q

22 ; Q ; 2 P P Q n 1 m n 1

（3-35）

V1 V1 V V

2 2 V ;V D2 VVm m

其中：H是(n 1) (n 1)阶方阵，其元素为 ij K是m (n 1)阶矩阵，其元素为Kij

Pi Pi

；N是(n 1) m阶矩阵，其元素为Nij Vj；

Vi j

Qi Qi

；L是m m阶矩阵，其元素为Lij Vj。

Vj j

对式（3-33）求偏导数，可得雅克比矩阵元素的表达式如下： 非对角元素（i j）

Hij ViVj(Gijsin ij Bijcos ij)

Nij ViVj(Gijcos ij Bijsin ij)

（3-36）

Kij ViVj(Gijcos ij Bijsin ij) Lij ViVj(Gijsin ij Bijcos ij)

对角元素（i

j）

Hij Vi2Bii Qi

2

N ViGii Pi

ii （3-37） 2

Kii ViGii Pi

Lii Vi2Bii Qi

4基于matlab的实例仿真

4.1潮流计算原始资料参数

系统地理接线如图1所示

线长为：1－火厂：70km 2－火厂：120km4－火厂：80km 2－3：100km 3－水厂：60km 3－火厂：200km均为双回线，电压为220KV，单回线路参数为：r1=0.085 Ω/km s/km

x1=0.32Ω/km b1=3.5*10

-6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/osr4.html