微分几何 陈维桓 第三章讲稿

目 录

第三章 曲面的第一基本形式 ................................................................................................................... 27

§ 3.1 正则参数曲面 ............................................................................................................................. 27

一、参数曲面 ............................................................................................................................... 27 二、参数变换 ............................................................................................................................... 28 三、正则曲面 ............................................................................................................................... 29 四、正则曲面的例子 ................................................................................................................... 30 § 3.2 切平面和法线 ............................................................................................................................. 33

一、曲面的切空间，切平面和法线 ........................................................................................... 33 二、连续可微函数的等值面 ....................................................................................................... 35 三、微分dr的几何意义 ............................................................................................................. 35 § 3.3 第一基本形式 ............................................................................................................................. 36 § 3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性 ............................................................................................. 39 § 3.5 保长对应和保角对应 ............................................................................................................... 40

一、曲面到曲面的连续可微映射 ............................................................................................... 40 二、切映射 ................................................................................................................................... 41 三、保长对应(等距对应) ............................................................................................................ 42 四、保角对应(共形对应) ............................................................................................................ 45 § 3.6 可展曲面 ..................................................................................................................................... 46

第三章 曲面的第一基本形式

本章内容：曲面的定义，参数曲线网，切平面，单位法向量，第一基本形式，正交参数网，等距对应和共形对应，可展曲面

计划学时：12学时，含习题课4学时.

难点：正交参数网的存在性，等距对应和共形对应

§ 3.1 正则参数曲面

一、参数曲面

2从平面R的一个区域(region，即连通开集)D到E3中的一个连续映射r:D?S?r(D)?E333的象集S?r(D)称为E中的一个参数曲面(parameterized surface). 在E中取定正交标架

{O;i,j,k}，建立笛卡尔右手直角坐标系. 则参数曲面S可以通过参数(parameter)(u,v)表示成参

数方程

?x?x(u,v),?2?y?y(u,v), (u,v)?D?R， (1.1) ?z?z(u,v),?或写成向量参数方程

r?r(u,v)?x(u,v)i?y(u,v)j?z(u,v)k??x(u,v),y(u,v),z(u,v)?，(u,v)??. (1.2)

为了使用微积分工具，本书中要求向量函数r(u,v)都是3次以上连续可微的.

vr(u0,v0)(u0,v0)rv?v0zu?u0Duxy图3.1 u-曲线：让v?v0固定，u变化，向量r(u,v0)的终点描出的轨迹. v-曲线，参数曲线网.

直观上，参数曲面S就是将平面中的区域D经过伸缩、扭曲等连续变形后放到欧氏空间E中的结果.

曲纹坐标p(?S)?(u,v)(?D)，即Op(u,v)?r(u,v).

一般来说，由(1.1)给出的连续映射并不能保证曲面上的点p(u,v)与该点的参数(u,v)之间是一一对应的. 为了使得曲纹坐标能真正起到坐标的作用，需要对参数曲面加上正则性条件.

定义 设S:r?r(u,v)为E中的参数曲面. 如果在(u0,v0)点，两条参数曲线的切向量

33 27

ru(u0,v0)??r?r，rv(u0,v0)? (1.3)

?u(u0,v0)?v(u0,v0)线性无关，即ru?rv(u0,v0):?ru?rv|(u0,v0)?[ru(u0,v0)]?[rv(u0,v0)]?0，则称(u0,v0)或p0(u0,v0)是S的正则点(regular point). 如果S上每一点都是正则点，则称S是正则参数曲面.

以下总假定S是正则曲面. 在正则曲面上每一点P0(u0,v0)，由于

?yru?rv(u0,v0)??u?yvzuzv,?xuxvzuxu,zvxvyu??yv??0， (1.4)

(u0,v0)通过重新选取正交标架O;i,j,k，不妨设

??x?(x,y):?uxv?(u,v)(u0,v0)yuyv(u,v)00?0.

根据反函数定理，存在(u0,v0)的邻域U?D，使得x?x(u,v),y?y(u,v)有连续可微的反函数

u?f(x,y)，v?g(x,y)，

即有

x(f(x,y),g(x,y))?x,y(f(x,y),g(x,y))?y.

2此时有(x0,y0)??x(u0,v0),y(u0,v0)?的邻域V?R和同胚映射?:V?U. 从而有连续映射

r?r?:V?r(U)?SU|?S. 于是S在P0(u0,v0)的邻域S|U内可用参数方程表示为

r(x,y)?r?u(x,y),v(x,y)???x,y,z(f(x,y),g(x,y))?， (*)

或表示为一个二元函数z?F(x,y)的图像，其中

z?F(x,y)?z?f(x,y),g(x,y)?. (1.5)

上式称为曲面片S|U的Monge形式，或称为S|U的显式方程.

从(*)式可见r:V?S|U:(x,y)?x,y,z(f(x,y),g(x,y))?是一一对应，从而

r?r??1:U?r(U)?S|U?S

也是一一对应. 这说明正则性条件至少保证了r:D?S局部是一一对应. 为了确定起见，以下约定正则曲面S?r(D)与其定义域D之间总是一一对应的，从而参数(u,v)可以作为曲面上点p(u,v)的曲纹坐标.

反之，由显式方程z?z(x,y)表示的曲面总是正则的：如果

r?r(x,y)?r?x,y,z(x,y)?， (1.6)

则rx??1,0,zx?，ry?0,1,zy，从而

??rx?ry???zx,?zy,1??0.

二、参数变换

曲面的定向(orientation)：对于曲面S:r?r(u,v)，规定ru?rv所指的一侧为S的正侧. 由于参数曲面的参数方程中，参数的选择不是唯一的，在进行参数变换(transformation of parameter)时，要求参数变换

u?u(u,v),v?v(u,v) (1.8) 满足：(1) u(u,v),v(u,v)是(u,v)的3次以上连续可微函数；(2)

?(u,v)处处不为零.

?(u,v) 28

这样的参数变换称为可允许的(compatible)参数变换. 当(preserve the orientation)的参数变换.

根据复合函数的求导法则，在新的参数下，

?(u,v)?0时，称为保持定向

?(u,v)ru?ru因此

ru?rv???u?v?u?v， rv?ru?rv?rv.

?u?u?v?v?(u,v)??u?v?u?v??ru?rv. (1.10) ?ru?rv??(u,v)??u?v?v?u?上式说明在可允许的参数变换下，正则性保持不变；在保持定向的参数变换下，曲面片的正侧保持

不变.

三、正则曲面

正则参数曲面在具体应用总是十分方便，十分广泛的. 但是有的曲面不能够用一张正则参数曲面来表示，例如球面.

将E3与R等同，赋予普通的度量拓扑，即以R的标准度量确定的拓扑.

定义1.1 设S是E3?R3的一个子集，具有相对拓扑. 如果对任意一点p?S，存在p在S中的一个邻域U(U?V?S，其中V是p在E3中的邻域)，和R2中的一个区域D，以及同胚

r:D?U:(u,v)33r(u,v)??x(u,v),y(u,v),z(u,v)?，

?1使得r(u,v)是E3中一个正则参数曲面r(D)，则称S是E3中的一张正则曲面(regular surface)，简称曲面. 上述的邻域U和同胚r的逆映射??r合在一起，将(U,?)称为该曲面的一个局部参数化(local parameterization)，或坐标卡(coordinate chart).

注 S的拓扑是作为E的子集从E诱导的相对拓扑，即作为E的拓扑子空间的拓扑. 如果两个局部参数化(U1,?1)，(U2,?2)满足U1?U2??，那么正则参数曲面U1?U2就有两个参数表示r1(u1,v1)和r2(u2,v2). 由此自然产生了参数变换

333?2r1:?1(U1?U2)??2(U1?U2):(u1,v1)(u2,v2).

利用正则参数曲面U1?U2的3次以上连续可微性和正则性，可以证明上述参数变换是可允许的.

U1U1?U2U2r1r2?1?2?2r1D1?1(U1?U2)r(U1?U2)?12D2 直观上看，正则曲面S是由一些正则参数曲面“粘合”而成的. 只有那些与参数的选择无关的

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量才是曲面本身的几何量. 如果一个正则曲面有一族保持定向的局部参数化?(U?,??)|??A?(A为指标集)，使得?U?|??A?构成S的开覆盖，则称该曲面是可定向的(orientable).

除非特别指出，本课程一般是研究正则参数曲面的几何性质，称之为“局部微分几何学”. 以下所说的“曲面”一般都是正则参数曲面，包括习题中出现的“曲面”.

四、正则曲面的例子 zr(u,v)vux图3.2 例1.1 圆柱面(cylinder) x?y?a

r(u,v)，?(acosua,siunv(u,v)?D?R. (1.15)

其中a?0.当D?(0,2?)?R时，圆柱面上少了一条直线

2222yx?a,显然r(u,v)是任意阶连续可微的. 又

y?0,z?v.

如果取D?(??,?)?R，上面的直线在参数曲面上，但是又少了一条直线x??a,y?0,z?v.

ru?(?asinu,acosu,0)，rv?(0,0,1)，ru?rv?(acosu,asinu,0)?0.

所以圆柱面是正则曲面.

圆柱面也可以用一个坐标卡表示：

av?au222?,,lnu?vr(u,v)??2，(u,v)?D?R\\{(0,0)}. ??u?v2u2?v2?所以圆柱面是可定向的. zNr(?,?)??xyS图3.3 22例1.2 球面(sphere) S?(x,y,z)|x?y?z?a

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2?22?，参数方程为

2?r(?,?)?(acos?cos?,acos?sin?,asin?)，(?,?)?(0,2?)?(??2,2)?R. (1.16)

其中a?0. 由于

r??a(?cos?sin?,cos?cos?,0)，r??a(?sin?cos?,?sin?sin?,cos?)，

ru?rv?a2cos?(cos?cos?,cos?sin?,sin?)?0，

所以球面是正则曲面.

问题：球面至少需要几个坐标卡才能将它覆盖？(参见习题2)

zf(v)?x?f(v),??z?g(v).ux图3.4 r(u,v)y 例1.3 旋转面(revolution surface)

设C:x?f(v),z?g(v)(v?(a,b))是xOz平面上一条曲线，其中f(v)?0. 将C绕z轴旋转得到的旋转面S参数方程为

r(u,v)??f(v)cosu,f(v)sinu,g(v)?，(u,v)?(0,2?)?(a,b)?R. (1.18)

2旋转面S上的u-曲线称为纬线圆，v-曲线称为经线. 因为

ru?f(v)??sinu,cosu,0?，rv??f?(v)cosu,f?(v)sinu,g?(v)?，

ru?rv?f(v)?g?(v)cosu,g?(v)sinu,?f?(v)?，|ru?rv|?f(v)f?2(v)?g?2(v)， 所以当C是正则曲线，并且f(v)?0时，S是正则曲面.

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zxy例1.4 正螺面(hericoid) 图3.5 z ?设两条直线L1和L2垂直相交. 将直线L1一方面绕L2作匀速转动，同时沿L2作匀速滑动，L1的运动轨迹叫做正螺面(螺旋面). 取初始位置的直线L1为x轴，L2为z轴，建立右手直角坐标系. 则正螺面的参数方程为

r(u,v)??ucosv,usinv,av?，(u,v)?R2. (1.19)

由

ru??cosv,sinv,0?，rv???usinv,ucosv,a?，ru?rv??asinv,?acosv,u??0

可知正螺面是正则曲面.

a(u)a(u) 例1.5 直纹面(ruled surface)

简单来说，直纹面就是由单参数直线族?lu|u?(a,b)?构成的曲面.

设C:a?a(u) (u?(a,b))是一条空间正则曲线. 在C上对应于参数u?(a,b)的每一点有一

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条直线Lu，其方向向量为l(u). 这条直线的参数方程可以写成

Lu:r(v;u)?a(u)?vl(u).

让u在区间(a,b)内变动，所有这些直线就拼成一个曲面S，称为直纹面. 它的参数方程为

r?r(u,v)?a(u)?vl(u)，(u,v)?(a,b)?R. (1.20)

曲线C称为该直纹面的准线(directrix)，而这个单参数直线族中的每一条直线Lu都称为直纹面的一条直母线(generating line)，也就是直纹面S的v-曲线.

为了保证直纹面的正则性，要求

ru?rv???a?(u)?vl?(u)???l(u)?0. (1.21)

因为直母线的方向向量l(u)?0，通过参数变换u?u，v?v|l(u)|，可设|l(u)|?1. 再通过选取新的准线C:a(u)?a(u)??(u)l(u)，其中?(u)是待定的函数，使得直母线处处与准线垂直相交，即a?(u)?l(u)?0. 因为

a??l??a????l??l???l?a??l???，

只须取

?(u)???a?(u)?l(u)du

即可.

1. 当l(u)?c为常向量时，所有的直母线互相平行，直纹面S称为柱面(cylindrical surface). 2. 当所有的直母线都经过一个定点时，直纹面S称为锥面(cone).

3. 当l(u)//a?(u)时，S称为切线曲面(tangent surface)，由准线C:a?a(u)的所有切线构成. 这3种直纹面有共同的特征，在§3.6还要进一步讨论. 课外作业：习题2，5

§ 3.2 切平面和法线

一、曲面的切空间，切平面和法线

3设S:r?r(u,v)是E中一个正则曲面，(u,v)??是曲面上点的曲纹坐标. 设p(u0,v0)是S上任意一个固定点. 则S上过p点的一条可微(参数)曲线C:r?a(t)可以表示为

a?r?:(??,?)?S:ta(t)?r(u(t),v(t))， (2.2)

其中

?:(??,?)??:t?u(t),v(t)? (2.1)

是?中一条可微曲线(不一定是正则曲线)，满足u(0)?u0，v(0)?v0. 因此

r?(0)?r(u(0),v(0))?r(u0,v0)，

正是p点的位置向量. 曲线C在p点的切向量为

a?(0)?ru(u0,v0)u?(0)?rv(u0,v0)v?(0). (2.3)

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v???r(u0,v0)v?v0r(u0,v0)z?u?u0Duxy 定义2.1 曲面S上过p(u0,v0)点的任意一条连续可微曲线在该点的切向量称为曲面S在p点的一个切向量(tangent vector).

命题 曲面S在p点的切向量全体记为TpS，它是一个2维实向量空间，?ru(u0,v0),rv(u0,v0)?是TpS的一个基. 事实上，TpS??aru(u0,v0)?brv(u0,v0)|a,b?(tangent space).

证明 记V??aru(u0,v0)?brv(u0,v0)|a,b?图3.1 ?，称为曲面S在p点的切空间

?. 由(2.3)可见TpS?V. 反之，对任意

X?aru(u0,v0)?brv(u0,v0)?V，

令a(t)?r(u0?at,v0?bt). 则a(t)是过p(u0,v0)的可微曲线，并且

a?(0)?aru(u0,v0)?brv(u0,v0)?X.

所以X?TpS. 因此V?TpS，从而TpS?V.

显然V按照向量的加法和数乘构成一个向量空间. 由于ru(u0,v0),rv(u0,v0)线性无关，它们构成V的基. □

3在空间E中，经过点p(u,v)?S，以两个不共线向量ru(u,v),rv(u,v)为方向向量的平面称为

曲面S在p点的切平面(tangent plane). 切平面的参数方程为

X(?,?)?r(u,v)??ru(u,v)??rv(u,v)，(?,?)?它的单位法向量(unit normal vector)为

n(u,v)?2. (2.6)

ru?rv(u,v). (2.7)

|ru?rv|经过点p(u,v)?S且垂直于S在p点的切平面的直线称为曲面S在p点的法线(normal line). 它的

参数方程为

X(t)?r(u,v)?tn(u,v)，t?. (2.8)

曲面S在p点的切空间、切平面、法线这三个概念都是与参数选择无关的几何概念. (为什么？) 曲面上的自然标架：?r(u,v);ru(u,v),rv(u.v),n(u,v)?.

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nrvruzx图3.6 y 二、连续可微函数的等值面

设D?E3是一个区域，f(x,y,z)是定义在D上的连续可微函数. 对于一个常数c?，集合

f?1(c)??(x,y,z)?E3|f(x,y,z)?c?称为函数f的等值面. 如果在f?1(c)的每一点，都有

?f:??fx,fy,fz??0， (2.9)

则等值面f方程

?1(c)是一个正则曲面. 事实上，设在p(x0,y0,z0)?f?1(c)，有fz(x0,y0,z0)?0，则

f(x,y,z)?c (2.10)

在p点的邻近确定了一个隐函数z?g(x,y)，使得

f(x,y,g(x,y))?c，?x,y.

于是等值面f?1(c)局部地可以用参数方程表示为

r?r(x,y)??x,y,g(x,y)?. (2.11)

由于rx?ry??gx,?gy,1?0，等值面f???1(c)是正则曲面.

在等值面上每一点p，梯度向量?f(x,y,g(x,y))是一个法向量，即是与切平面垂直的向量.事实上，由(2.11)可得切空间的基底rx?(1,0,gx),ry?(0,1,gy). 由(2.10)两边分别对x,y求偏导数并注意z?g(x,y)，得fx?fzgx?0，fy?fzgy?0，即有

???f,fxy,fz???1,0,gx??0，?fx,fy,fz???0,1,gy??0.

三、微分dr的几何意义

设曲面S的参数方程为r?r(u,v). 微分得到

dr(u,v)?ru(u,v)du?rv(u,v)dv. (2.13)

将u,v,du,dv看作4个独立的变量，则对于(2.13)中du,dv的不同取值，就得到不同的切向量.有时也用比值du:dv来表示曲面上的一个切方向. 自然，这时要求du,dv不能全为0.

变量du,dv是切向量dr(u,v)关于切空间TpS的基底?ru(u,v),rv(u,v)?的分量，因此是向量空间TpS上的线性函数，即du,dv?TpS(对偶空间). 事实上，按照定义

?du:TpS?R:X?X1ru?X2rv

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du(X)?X1.

同理，dv(X)?X2.

注. 由于切空间的自然基底?ru,rv?一般不是单位正交的，在把(du,dv)看作切向量在这个基底下的分量计算内积时，不能将它当作笛卡尔坐标系下的分量来进行运算，而应当顾及自然基底?ru,rv?的度量系数(参看下一节). 课外作业：习题1，3，5.

§ 3.3 第一基本形式

设S:r?r(u,v)是E3中一个正则参数曲面. 则

dr(u,v)?ru(u,v)du?rv(u,v)dv (3.1)

是曲面上任意一点r(u,v)处的切向量，这个向量作为E中的向量可以计算它的长度. 令

3E(u,v)?ru(u,v)?ru(u,v):??ru?ru?(u,v)，

F(u,v)??ur?v?r(u,v?)?v?r?ur(，u,Gv)(u,v)??rv?rv?(u,v). (3.2)

这三个函数E,F,G称为曲面S的第一类基本量. 而矩阵

?EF??FG? (3.3) ??称为切空间(关于基底?ru,rv?)的度量矩阵(metric matrix). 由于E3的度量是正定的，这是一个正定矩阵. 事实上，它的2个顺序主子式均?0：

22E?ru?ru?0，EG?F2??ru?ru??rv?rv???ru?rv??ru?rv?0. (Lagrange 恒等式)

利用第一类基本量E,F,G的定义，有

dr?dr?(rudu?rvdv)2?Edu2?2Fdudv?Gdv2.

这是一个关于变量du,dv的二次型，称为曲面S的第一基本形式(first fundamental form)，记为

?EF??du? I?dr?dr?Edu2?2Fdudv?Gdv2?(du,dv)?. (3.4) ????FG??dv?对曲面S作可允许的参数变换

u?u，v?v(u,v)， (3.5) (u,v)并记r(u,v)?r(u(u,v),v(u,v)). 则由微分形式的不变性得

dr?rudu?rvdv?rudu?rvdv. (*)

记参数变换(3.5)的Jacobi矩阵为

u???uJ???u??v?v?u?. (3.10) ?v??v?则有

??ru??ru???J?r?， (3.7, 3.9) ?v??r?v??v??v?u?v???u?u??du,dv???du,dv???u?v???du,dv?J. (3.8)

??v?v??v?uu?ru????u?r????u?v???v因此在新的参数?u,v?下，度量矩阵成为

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?EF??ru??ru??EF?TT???????ru,rv??J????ru,rv?J?J??J， (3.12)

rrFGFG???v????v?从而第一类基本量之间的关系为

u2?u?v?v2?E?ru2?E???2F?G???u?u?u?u?,???u?u?u?v?u?v?v?F?ru?rv?E?u?v?F??u?v??v?u??G?u?2?u2?u?v?v2G?r?E?2F?G????v?v?v?v?v?.??v?v, (3.13)

在新的参数?u,v?下，第一基本形式保持不变：

?EF??du??EF?T?du??EF??du?I?(du,dv)??(du,dv)JJ?(du,dv)????FG??dv??FG??dv??I.

dv?????????FG???3因此第一基本形式与参数选择无关，也与E的标架选择无关，是一个几何量. 其实，这一结论也可

2由微分形式不变性，也就是(*)式直接得到：I?dr?dr?|dr|.

如果dr?rudu?rvdv和?r?ru?u?rv?v是r(u,v)处的两个切向量，则它们的内积为

dr??r?(d,ud)?v?E?FF?G???du??dv???? (3.15) E?du?u(F?d?u?v)d?vu?. Gd vv因此切向量dr?rudu?rvdv的长度为

Edu2?2Fdudv?Gdv2. (3.16)

两个切向量dr?rudu?rvdv和?r?ru?u?rv?v之间的夹角?(dr,?r)满足

dr??rEdu?u?F(du?v?dv?u)?Gdv?vcos?(dr,?r)??. (3.17)

2222|dr||?r|Edu?2Fdudv?GdvE?u?2F?u?v?G?v |dr|?它们相互正交的充分必要条件是

Edu?u?F(du?v?dv?u)?Gdv?v?0. (3.18)

定理3.1 在参数曲面S:r?r(u,v)上，参数曲线网是正交曲线网?F?0. □ 对于参数曲面S:r?r(u,v)上的一条曲线C:u?u(t),v?v(t),t?[a,b]，它的弧长为

L??|dr|??|r?(u(t),v(t))|dt??aabbba?Eu?2?2Fu?v??Gv?2?(t)dt. (3.21)

定义 称d??EG?F2dudv为曲面S:r?r(u,v), (u,v)?D的面积元素，称

A???d????DDEG?F2dudv (3.18)

为曲面S的面积.

命题 曲面上曲线的弧长L，曲面的面积元素d?以及曲面的面积A都是几何量.

?[a,b]Dr?r1??D1CS ?1???

r137

(u,v)，其中

u?(u,v),v?v(u,v).

则在新参数(u,v)下，S的参数方程r1(u,v)与原参数方程r(u,v)之间满足

r(u,v)?r1(u(u,v),v(u,v))?r1?(u,v).

1. 曲线的参数方程由r?r(u(t),v(t))(t?[a,b])变成了

证明 假设参数变换为?:D?D1:(u,v)r1?r1(u(t),v(t))?r1(u(u(t),v(t)),v(u(t),v(t)))?r1?(u(t),v(t))?r(u(t),v(t))?r.

所以

L1??|dr1|??|dr|?L.

aabb2. 由(3.12)可见，在新参数(u,v)下，第一类基本量E,F,G满足

EF??(u,v)??EF?T22EG?F??J??J??EG?F???(u,v)?. FGFG?????(u,v)?1是?的逆映射?的Jacobi行列式. 另一方面根据二重积分的变量代换公式，

?(u,v)?(u,v)dudv?dudv.

?(u,v)所以在新参数(u,v)下的面积元素

其中

2d??EG?F2dudv?EG?F23. 根据二重积分的变量代换公式，有

?(u,v)?(u,v)dudv?d?.

?(u,v)?(u,v)EG?F2dudv???d??A. □

DA???d????D1D1EG?F2dudv???D例1 求旋转面r(u,v)??f(v)cosu,f(v)sinu,g(v)?的第一基本形式. 解 ru?f(v)??sinu,cosu,0?，rv??f?(v)cosu,f?(v)sinu,g?(v)?. 所以

E(u,v)?f2(v)，F?0，G(u,v)?f?2(v)?g?2(v).

这说明在旋转面上，经线和纬线构成正交曲线网. 第一基本形式为

I?f2(v)du2?[f?2(v)?g?2(v)]dv2. (3.24)

这说明在旋转面上经线(v-曲线)和纬线(u-曲线)构成正交参数曲线网. □

例2 求曲面上参数曲线网的二等分角轨线的微分方程. 解 设正则参数曲面S:r?r(u,v)的第一基本形式是

I?Edu2?2Fdudv?Gdv2.

再设二等分角轨线的切向量为

dr?rudu?rvdv.

由题意，它与u-曲线的夹角要等于它与v-曲线的夹角，而u-曲线的切方向为?v?0，v-曲线的切方向为?u?0，所以

dr?rudr?rv??.

|dr||ru||dr||rv|将dr?rudu?rvdv和|ru|?

E,|rv|?G代入上式，得

G(Edu?Fdv)??E(Fdu?Gdv)，

38

即

E(EG?F)du??G(EG?F)dv.

由于EG?F2?ru?rv2?0，即?EG?F??EG?F??0，所以上式可化简为

Edu?Gdv?0， (3.25)

或等价地，参数曲线网的二等分角轨线的微分方程为

Edu2?Gdv2. □

注 求解一阶常微分方程初值问题

duG，u(v0)?u0((u0,v0)?D) ??dvE得到的解u?f(v)是曲面S上过r(u0,v0)点的一条曲线C:r(v)?r(f(v),v)，在C的每一点r(v)，切方向r?(v)与该点处的两条参数曲线的切方向夹角相等. 固定v0，让初始条件u0变动，就

得到2族这样的曲线，它们就是参数曲线网的二等分角轨线.

课外作业：习题2，5，8

§ 3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性

在正交参数曲线网下，第一基本形式比较简单：I?Edu?Gdv. 问题：曲面上是否存在正交参数曲线网？

引理 设??f(u,v)du?g(u,v)dv是定义在区域D?222上的连续可微的1次微分形式，且

?处处不为零. 则对于任意一点(u0,v0)?D，?在(u0,v0)的某个邻域U?D内存在积分因子，即

有定义在U上的非零连续可微函数?(u,v)，使得?(u,v)?是某个定义在U上的连续可微函数F(u,v)的全微分：?(u,v)?f(u,v)du?g(u,v)du??dF(u,v).

引理的证明见附录§1定理1.2.

定理4.1 假定在曲面S:r?r(u,v)上有两个处处线性无关的、连续可微的切向量场a(u,v),

b(u,v). 则对每一点p?S，必有p点的一个邻域U?S，使得在U上存在新的参数(u,v)，满

足ru//a，rv//b.

分析：设

a?a1ru?a2rv，b?b1ru?b2rv. (4.2)

则由a,b线性无关可知

A?a1b1a2?a1b2?a2b1?0. (4.3) b2?u?vu如果这样的可允许参数变换u(u,v),v(u,v)存在，则应有函数?,?使得

ru?即有

?u?uur??v?uvr??a??(a1ru?a2rv)，rv?u???uJ???u??v?v?ur??v?vvr??b??(b1ru?b2rv)， (4.5)

???a1?a2????. (4.7) ?v??b?b2??1?v???a2?. (4.8) ??a1?在上述等式两边取逆矩阵得

J

?1u???u???u??v?v?u?1??b2??v???A????b1?v?39

因此逆参数变换u(u,v),v(u,v)应满足

??du????dv??u?u?v?udu?du??u?v?v?vdv?dv??A1?A1(b2du?b1dv),(?a2du?a1dv). (4.9)

定理4.1的证明：考虑两个1次微分形式

??b2du?b1dv，???a2du?a1dv. (4.10)

由引理可知存在积分因子???(u,v),???(u,v)使得??,??是全微分，即有函数u(u,v)，

v(u,v)使得

u?u?du???udu??vdv??(b2du?b1dv), (4.11) ??v?v?dv??udu??vdv??(?a2du?a1dv).由此可见

u???u??u??v?v?u???b2???v????b1?v??u?v?v?v??a2?. (4.12) ?a1??因为

?u?u?v?u???A?0，

参数变换(u,v)

(u,v)?(u(u,v),v(u,v))是可允许的. 在新的参数(u,v)下，

u?v?u?va?a1ru?a2rv?a1??u??urv??a2??vru??vrv??ur??a?u1?u?a?u2?v?ru??a?v1?u?a?v2?v?rv??Aru//ru.

同理有b//rv. □

注 满足条件的新参数仅是局部存在的，并且不能使得ru?a,rv?b.

定理4.2 在曲面S:r?r(u,v)上每一点p?S，有p点的一个邻域U?S，使得在U上存在新的参数(u,v)，满足F?ru?rv?0.

证明. 取向量场a?ru,b??Fru?Erv. 则a,b线性无关，且a?b?0. □ 注 在曲面S:r?r(u,v)上，令 e1?111ru，e2?b???Fru?Erv?.

2EbE(EG?F)则?e1,e2?是曲面上的单位正交切向量场，称为?ru,rv?的Schmidt正交化.

课外作业：习题1，3

§ 3.5 保长对应和保角对应

一、曲面到曲面的连续可微映射

设有两个曲面S1:r1?r1(u1,v1),(u1,v1)?D1和S2:r2?r2(u2,v2),(u2,v2)?D2. 因为曲面上的点p与它的参数(曲纹坐标)是一一对应的，从曲面S1到曲面S2的映射?:S1?S2可以通过它们的参数表示出来，即有映射?:D1?D2使得??r2?r1?1，或??r2?1?r1.

?

40

33 E?S1 S2?E

r1 D1r2

?D2

将映射?:S1?S2通过它们的参数用两个函数表示出来，则有

??u2?f(u1,v1), (5.1)

?v2?g(u1,v1).如果(5.1)中的两个函数都是连续可微的，则称映射?是连续可微的. 这一概念在曲面的可允许参数变换下保持不变，因此与这两个曲面的参数取法无关.

以下总假定映射?有足够的连续可微性.

二、切映射

设两个曲面S1,S2的参数方程分别为r1?r1(u,v),(u,v)?D1和r2?r2(u,v)，(u,v)?D2. 映射?:S1?S2是连续可微的，它的参数表示为??r2? ?:D1?D2:(u,v)r1?1，其中

?(u,v)?(u,v)?(u(u,v),v(u,v)). (5.1)’

则对每一点p?S1，可以通过下面的方法定义一个线性映射

??:TpS1?T?(p)S2:X?a?r1?u?b?r1?v其中

??X，

??X????a?r1?u?b?r1?v?:?a????r1?u??b????r1?v?

?)

uuvv ??a??b?r??a??b?r. (5.9) ?u?v??2?u?u?v??2?v?u?v?u?v?? ?a???u?r2?u??u?r2?v???b???v?r2?u??v?r2?v???(a?u?b?v)(r2上面定义的映射??称为由连续可微映射?诱导的切映射. 由上面的定义可见切映射??把

X?(a??u?b??v)(r1)?TpS1映为

???(a??u?b??v)(r1)??(a??u?b??v)(r2?)?T?(p)S2.

在(5.9)中令a?du,b?dv，可知dr1??r1?udu??r1?vdv?TpS1在切映射??下的象是

uuvv???dr1????du??dv??r2?u???du??dv??r2?v??r2?udu??r2?vdv?d?r2??. (5.9)’ ?u?v?u?vS由于每个切向量X?a?r1?u?b?r1?v?TpS1都是1上的某一过p点的曲线

C:u?u(t)，v?v(t) (5.2)

在p点的切向量：

dX?dt|t?0?r1(u(t),v(t))?，

其中(u(0),v(0))?(u0,v0)为p点的曲纹坐标，且u?(0)?a，v?(0)?b(见(2.3)式)，切映射也可以用另一种方法来定义：?将S1上的曲线C映为S2上的曲线

C:u(t)?u(u(t),v(t))，v(t)?v(u(t),v(t)). (5.3)

定义??X为C在t?0处的切向量，即

d|t?0?r2(u(u(t),v(t)),v(u(t),v(t))? (5.5) ?r2(u(t),v(t))??dtu??u??v??v? ??r2?u??2?v??uu(0)??vv(0)? ?uu(0)??vv(0)???r?? ??(X)?ddtt?0| 41

uuvv ??a??b?r??a??b?r. (5.4) ?u?v??2?u?u?v??2?v在(5.3)’中分别取(a,b)?(1,0)和(a,b)?(0,1)，可得

u?u???u?v?. (5.7) ????r1?u,?r1?v????r2?u,?r2?v???v?v???u?v?因此切映射??在自然基??r1?u,?r1?v?下的矩阵恰好是映射?的Jacobi矩阵. 由此可知在p点切映射

??:TpS1?T?(p)S2是线性同构，当且仅当在p点映射(5.1)’的Jacobi行列式

?(u,v)?(u,v)?0.

p定理5.1 设映射?:S1?S2是(3次以上)连续可微的. 如果在p点切映射??:TpS1?T?(p)S2是线性同构，则分别有p点的邻域U1?S1和?(p)点的邻域U2?S2，?(U1)?U2，以及U1,U2上的参数系(u1,v1)和(u2,v2)，使得映射?|U1的参数表示为

??id:?1??2:(u1,v1)(u2,v2)?(u1,v1)，

?1?1其中?1?r1(U1),?2?r2(U2). 这种参数系称为映射?的适用参数系.

证明 设S1,S2的参数方程分别为r1?r1(u,v)和r2?r2(u,v)，?的参数表示为

?:D1?D2:(u,v)由条件，

?(u,v)?(u,v)?(u(u,v),v(u,v)).

?(u,v)?(u,v)?0. 设p点的曲纹坐标为(u0,v0)，?(p)点的曲纹坐标为(u0,v0).

p?(u,v)?(u,v)?0，且是连续的，存在(u0,v0)在D1中的邻域?1?D1，使得在?1上

?(u,v)?(u,v)在?1上?|?1有连续可微的反函数

由于

??1:?2??1:(u,v)(u,v)?(u(u,v),v(u,v))，

其中?2??(?1)?D2是(u0,v0)在?2中的邻域. 在?1上对曲面U1?r1(?1)?S1作参数变换

?u1?u,v1?v. 在??2上对曲面U2?r2(?2)?S2作参数变换u2?u(u,v),v2?v(u,v). 则在新

的参数下，?的参数表示为

?:?1??2:(u1,v1)(u2,v2)?(u(u,v),v(u,v)???1(u,v)?(u,v)?(u1,v1).

1 S1?U1 U2?S2

?|U

r1 r2

(u,v) D1??1

???2?D2 (u,v)

?1 || || ?

??1

) ? ( u 1 , v 1 1 ?1

(u2,v2)?(u,v)三、保长对应(等距对应)

设?:S1?S2是连续可微映射，(u,v)和(u,v)分别是S1,S2的曲纹坐标.

?的参数表示为

u?u(u,v),v?v(u,v).

因为

42

u???u(du,dv)?(du,dv)??u??v?v?u?v?v??:?(du,dv)J， ?2对于曲面S2上的任意一个二次微分式

?AB??du???A(u,v)du?2B(u,v)dudv?C(u,v)dv?(du,dv)????， (5.11)

BC???dv?我们可定义曲面S1上的一个二次微分式

2?AB?T?du????A(u,v)du?2B(u,v)dudv?C(u,v)dv?(du,dv)J??J??， (5.12)

BC???dv??22其中

uu?v?AB?T?????AB??u?u??uJ???u?v?，??J???u??J?BC???v?v????v?BC?其中A,B,C作为复合函数，是u,v的函数，即

2?v?u?v?vu??AB????u???v??BC?????u?u?v?v?v??. (5.15) ?

uuvA(u,v)?A?u(u,v),v(u,v)???(u,v)??2B?u(u,v),v(u,v)???(u,v)???(u,v)??u?u?uv?C?u(u,v),v(u,v)???(u,v)?,?u2uuuvB(u,v)?A(u(u,v),v(u,v))??(u,v)???(u,v)??B(u(u,v),v(u,v))[??(u,v)???(u,v)??u?v?v?u??(u,v)??(u,v)?]?C(u(u,v),v(u,v))?(u,v)??(u,v)?,?u?u?v?v?v?u?v?vuuvC(u,v)?A?u(u,v),v(u,v)???(u,v)??2B?u(u,v),v(u,v)???(u,v)???(u,v)??v?v?vv?C?u(u,v),v(u,v)???(u,v)?.?v22(5.13)

二次微分式??称为S2上的二次微分式?经过映射?拉回(pull back)到S1上的二次微分式. 简单来说，??就是将

u???u(du,dv)?(du,dv)J?(du,dv)??u??v?v?u?v?v???? ?代入(5.11)右端而得.

22例 曲面S2上的第一基本形式I2?Edu?2Fdudv?Gdv是一个二次微分式. 拉回到S1上，

??(I2)??A??du2?2?B??dudv??C??(u,v)dv2?A??(du,dv)J??B?22B??T?du??J??.C???dv?2

由于I2??dr2?????r2?udu??r2?vdv??，上式可以简单地写成

??(I2)???d?r2???? (*)

定义5.1设映射?:S1?S2是3次以上连续可微的. 如果对每一点p?S1，切映射??都保持切向量的长度，即

??X?X，?X?TpS1，?p?S1.

则称?是从S1到S2的保长对应(correspondence preserving length)，或称等距对应(isometry).

注1. 保持向量长度的线性映射一定保持内积，因此若?:S1?S2是等距对应，则有

43

???X?????Y??X?Y，?X,Y?TpS1，?p?S1.

反之，保持内积的线性映射也一定保持向量的长度. 而且，保长对应也保持连续可微曲线的弧长，即有L(C)?L(?(C)).

注2. 保持内积的线性映射必定是线性同构. 因此对于保长对应?，在每一点p?S1，切映射

??:TpS1?T?(p)S2都是线性同构，从而局部地?是微分同胚，存在适用参数系.

由(5.9)’可知

??r2?u????d?r2??. ???dr1??(du,dv)J???r2???v??利用(*)得到

???dr1?????dr1?????I2?，

22其中I2?Edu?2Fdudv?Gdv是S2的第一基本形式. 于是有

定理5.2设映射?:S1?S2是3次以上连续可微的. 则?是等距对应的充分必要条件是

???I2?????dr1?????dr1???dr1???dr1??I1，

即在对应点，成立

u?EF?T???EF??u ??J???u??J?FGFG????v???v?uu??EF????u??v?v??G????v??F?u?u?v?. □ (5.20) ?v??v?将上式按矩阵乘法算出来，可以得到类似于(5.13)的等式. 如果已知2个曲面S1,S2，是否存在等距对应?:S1?S2？这相当于已知(5.20)中的函数E,F,G,E,F,G，求解未知函数u?u(u,v)，

v?v(u,v)，使得(5.20)成立. 但是(5.20)是非线性一阶偏微分方程组，一般来说求解非常困难.

利用定理5.1，定理5.2和上面的注1，注2容易得到

定理5.3 曲面S1和S2之间存在保长对应的充分必要条件是，可以在S1和S2上选取适当的相同参数系(u,v)，使得在这个参数系下S1和S2有相同的第一基本形式. □

例5.1 证明：螺旋面

S1: r1?(ucosv,usinv,u?v)，(u,v)?与单叶旋转双曲面

2

S2: r2?(?cos?,?sin?,?2?1)，(?,?)?(1,?)?(0,2?)

之间可以建立等距对应.

证明 计算得到S1和S2的第一基本形式分别为

2?2?12I1?2du?2dudv?(1?u)dv，I2?2d???2d?2.

??1对S1作参数变换u?u,v?arctanu?v，这是可允许参数变换. 则

22221?2??1?2u2?duI1??2?du?(1?u)??dv??du2?(1?u2)dv2. 2?221?u?1?u??1?u?2对S2作参数变换??1?u2,??v. 则

2u2?1?u2?2I2?du?(1?u2)dv2?I1. ?22?u?1?u?

44

等距对应?:S1?S2的参数表示为??1?u2,??arctanu?v. □

四、保角对应(共形对应)

定义5.2设映射?:S1?S2是三次以上连续可微的一一对应. 如果

????X,??Y????X,Y?，?X,Y?TpS1，?p?S1， (5.22)

其中X?0,Y?0，则称?是从S1到S2的保角对应，或称共形对应(conformal correspondence).

注 对于保角对应?，在每一点p?S1，切映射??:TpS1?T?(p)S2都是线性同构，否则

????X,??Y?无意义. 因此可以选取适用参数系(u,v)使得映射?就是具有相同参数的点之间的对

应.

引理 设V,W是两个欧氏空间(即带有内积?,?的实向量空间)，A:V?W是线性同构. 如果

A保持向量之间的夹角：?(Au,Av)??(u,v),?u,v?V，则????，使得

2 Au,Av??u,v,?u,v?V. (1)

反之，若????，使得(1)成立，则A保持向量之间的夹角.

证明 取V的单位正交基?e1,令

,en?. 因为A是同构，?Ae1,,Aen?是W的基，且两两正交.

1Aei， i?1,2,n. |Aei|ai?|Aei|?0， ei?则?e1,,en?是W的单位正交基，且

Aei?aiei， i?1,2,n. (2)

对于i?j，由条件，有?(ei?ej,ei)??(aiei?ajej,aiei)，所以

ei?ej,eiaiei?ajej,aieiai1. ???222|ei?ej||ei||aiei?ajej||aiei|ai?aj这说明a1?而(1)成立.

反之，设(1)成立. 则

?an:???0. 于是对?u??i?1uiei?V，有Au??i?1uiAei???i?1uiei，从

nnnAu,Au??2u,u，Av,Av??2v,v，Au,Av??2u,v, ?u,v?V. (3)

从而对任意两个非零向量u,v?V，有

Au,Avu,vcos?(Au,Av)???cos?(u,v). □

|Au||Av||u||v|推论 设映射?:S1?S2是三次以上连续可微的一一对应. 则?是保角对应的充分必要条件是存在S1上的正的连续函数?:S1?其中(u,v)是p点的曲纹坐标.

当函数??1时，?其实就是保长对应. 像前面一样，条件(5.22)’等价于

?:p?(p)，使得

???X?????Y???2(u,v)?X?Y?，?X,Y?TpS1，?p?S1， (5.22)’

???I2?????dr1?????dr1???2?dr1???dr1???2I1， (5.23)

45

即有 u?EF?T???EF??u???J???u??J?FGFG????v??2?v?uu??EF????u??v?v??G????v??F?u?u?v?. ?v??v?所以在适用参数系下，保角对应的条件(5.22)’就简化为 E??2E,综上所述，我们就有下面的定理. F??2F,G??2G. (5.24) 定理5.4设映射?:S1?S2是三次以上连续可微的一一对应. 则?是保角对应的充分必要条件是存在S1上的正的连续函数?:S1??，使得

??I2??2I1， (5.23)

其中I1，I2分别是S1，S2的第一基本形式. □

定理5.5 任意正则参数曲面S必局部共形于平面，即S上任意一点p都有一个邻域U可以与平面上的一个区域建立共形对应. 由此可知任意两个正则参数曲面都可以建立局部共形对应.

推论 任意正则曲面S上均存在局部的等温坐标系，即，局部地可选取参数(u,v)使得

I??2(du2?dv2)，

其中???(u,v)是局部定义的函数.

定理5.5的证明从略. 但是上面的推论是非常重要的，是研究参数曲面常用的方法. 例5.2 球面的Mercator投影 课外作业：习题1

§ 3.6 可展曲面

本节研究一类特殊的直纹面，它们都能够与平面建立局部的等距对应.

图19 考虑下面的三种直纹面：

1. 柱面r(u,v)?a(u)?vl，其中l?0是常向量，(u,v)?(a,b)?

46

.

2. 锥面r(u,v)?a?vl(u)，其中a是常向量，(u,v)?(a,b)?(0,?).

3. 切线曲面r(u,v)?a(u)?va?(u)，其中(u,v)?(a,b)?(0,?)，a?(u)?a??(u)?0. 它们的单位法向量分别是

a?(u)?ll?(u)?l(u)a?(u)?a??(u)；2. n?；3. n?.

|a?(u)?l||l?(u)?l(u)||a?(u)?a??(u)|这说明这三种直纹面有相同的特点：沿着一条直母线u?u0切平面相互重合.

1. n?定义6.1 设S为直纹面. 如果它的切平面沿每一条直母线是不变的，则称S为可展曲面. 定理6.1 设直纹面S的方程为r(u,v)?a(u)?vl(u). 则S是可展曲面的充要条件是

a?(u),l(u),l?(u)?0,???u. (6.1)

证明 因为ru(u,v)?a?(u)?vl?(u),rv(u,v)?l(u)，所以 ru?rv?(a??vl?)?l?a??l?vl??l.

由定义，S是可展曲面的充要条件是：对?u0，沿着直母线u?u0，向量ru?rv(u0,v)具有固

d定方向. 由第一章定理2，这等价于?ru?rv(u0,v)??dv?ru?rv(u0,v)??0，即

??a?(u0)?l(u0)?vl?(u0)?l(u0)?????l?(u0)?l(u0)???0， 也就是

??a?(u0)?l(u0)?????l?(u0)?l(u0)???0.

用二重外积公式将上式左端展开，得a?(u0),l?(u0),l(u0)l(u0)?0. 所以上式等价于 a?(u0),l?(u0),l(u0)?0,这就是(6.1). □

注1 如果直纹面S上有2族不同的直母线，那么S只能是单叶双曲面，双曲抛物面或平面. 单叶双曲面x2a2?????u0

yz?b2?c2?1，参数方程为

22r(u,v)??a(cosu?vsinu),b(sinu?vcosu),cv?

??acosu,bsinu?,?0?v?a2y2双曲抛物面x2?2?2z，参数方程为

. siunb,cosc,?uabr(u,v)??a(u?v),b(u?v),2uv???au,bu,0??v?a,?b,2u?.

注2 条件(6.1)与准线取法无关，也与直母线方向向量的长度无关. 定理6.2 局部来说，可展曲面只有柱面、锥面和切线曲面这三类.

证明 设S是可展曲面. 则S是直纹面. 选取直母线的方向向量l(u)为单位向量，并且准线

a(u)处处与直母线垂直，即S的参数方程为

r(u,v)?a(u)?vl(u)，

其中|l(u)|?1，a?(u)?l(u)?0. 由定理6.1，有

?a?(u),l(u),l?(u)??0,即a?(u),l(u),l?(u)处处线性相关.

47

?u.

如果l(u)?l?(u)?0，则由l(u)?l?(u)?0可知l(u)是常向量. 此时S是柱面. 假设l(u)?l?(u)?0. 则a?(u)可用l(u),l?(u)线性表示. 由a?(u)?l(u)?0得到

a?(u)??(u)l?(u). (6.2) 令

b(u)?a(u)??(u)l(u). (6.3)

则

r?b(u)?[v??(u)]l(u).

由(6.2)，(6.3)得

b?(u)????(u)l(u).

如果b?(u)?0，则b(u)?c是常向量，从而S是锥面：

r?r(u,v)?c?vl(u)，

其中v?v??(u).

如果b?(u)?0，则b(u)是正则曲线，并且??(u)?0，从而S是切线曲面：

r?r(u,v)?b(u)?vb?(u)，

其中v??[v??(u)]/??(u). □

定理6.3 局部地，可展曲面可以与平面建立保长对应.

证明 根据定理6.2，可展曲面只有柱面，锥面和切线曲面三类. 下面分别证明它们都可以与平面建立保长对应.

1. 柱面r(u,v)?a(u)?vl，(u,v)?(a,b)?直，即柱面的方程为

?取单位常向量l为直母线的方向向量，u为准线C的弧长参数，并且准线a(u)处处与直母线垂???r(u,v)?a(u)?vl，

?2??????????2????其中|l|?1，a?l?0. 于是由ru?a，rv?l可得E?|a|?1，F?a?l?0，G?|l|?1. 所

?22以第一基本形式为I?du?dv. 它与xOy平面r?(u,v,0)有相同的第一基本形式.

2. 锥面r(u,v)?a?vl(u)，(u,v)?(a,b)?(0,?).

.

???由于|l(u)|?0(否则锥面退化为一条直线)，可作参数变换u??|l?(u)|du，v?v. 则

第一基本形式化为I?vdu?dv. 它与xOy平面r?(vcosu,vsinu,0)有相同的第一基本形式.

222????E?v2|l?(u)|2，F?l??l?0，G?|l|2?1. 所以第一基本形式为

?I?v2|l?(u)|2du2?dv2.

取l(u)为单位向量，即|l(u)|?1. 则有l(u)?l?(u)?0. 于是由ru?vl?(u)，rv?l(u)可得

???????????????取u为准线C:a?a(u)的弧长参数，它的Frenet标架为?a;?,?,??，曲率为?.由

?????ru???v??，rv??可得E?1?v2?2(u)，F?1?G. 所以第一基本形式为

I?(1?v2?2(u))du2?2dudv?dv2. (*)

?根据曲线论基本定理，存在平面曲线C1:a1(u)?(x(u),y(u),0)，以u为弧长参数，以?(u)为曲率. 显然C1的切线曲面S1是平面的一部分. 另一方面按照上面同样的方法，S1的第一基本形式也是(*). 所以S与S1是等距的. □

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3. 切线曲面S:r(u,v)?a(u)?va?(u)，其中(u,v)?(a,b)?(0,?)，a?(u)?a??(u)?0.

定义6.2 设{S?}是依赖于参数?的正则曲面族，参数??(a,b). 如果一个正则曲面S满足： (1) ?p?S，有唯一的??(a,b)，使得p?S?，且S与S?在p点有相同的切平面； (2) ???(a,b)，?p?S?S?，使得S与S?在p点有相同的切平面， 则称S是单参数曲面族{S?}的包络(面).

如果包络面存在，则可定义映射?:S?R:(x,y,z)方程

???(x,y,z). 设{S?}由含参数?的

F(x,y,z,?)?0 (6.20)

给出，连续可微地依赖于参数?. 当函数?(x,y,z)不是常值函数时，包络面的方程可由方程组

?F(x,y,z,?)?0, (6.23) ??F?(x,y,z,?)?0消去参数?而得到.

注 可展曲面是它的单参数切平面族的包络. 反过来，可以证明

定理6.4 设S是单参数平面族???:A(?)x?B(?)y?C(?)z?D(?)?0|??(a,b)?的包络. 如果这个平面族关于参数?是连续可微的，则局部来说S是可展曲面.

证明 因为对任意??(a,b)，A(?),B(?),C(?)不全为零，不妨设A(?)?0. 平面??的方程可以改写为

F(x,y,z,?):?x?B(?)y?C(?)z?D(?)?0.

根据(6.23)，包络面S上的点(x,y,z)应满足方程组

?x?B(?)y?C(?)z?D(?)?0, (1) ????B(?)y?C(?)z?D(?)?0.?由此可知S是直纹面.

如果B?(?)?C?(?)?0(??)，则??是平行平面族，包络面不存在. 因此不妨设B?(?)?0. 令??u，z?v. 则由(1)得S的参数方程

B(u)D?(u)C?(u)D?(u)??B(u)C?(u)v??C(u)v?D(u),?v?,v?r(u,v)??????B(u)B(u)B(u)B(u)??D?(u)?C?(u)??B(u)D?(u)?B(u)C?(u)?D(u),?,0?C(u),?,1? ???v??B?(u)?B?(u)??B?(u)?B?(u)?a(u)?vl(u),其中

a?于是

11?BD??B?D,?D?,0?,l??BC??B?C,?C?,B??. B?B?1?????BC???B??C,?C??,B???， ???2BC?BC,?C,BB?BD???B??D?D??0BD??B?D?D?01B??(a?,l,l?)?3BC??B?C?C?B??4BC??B?C?C?B?

B?B?BC???B??C?C??B??BC???B??C?C??B??l?l??1?3B?

?B??D?D??0?B?D?D?0B??0?C?B??40?C?B??0.

B?0?C??B??0?C??B??49

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