2018年四川省资阳市高考数学二诊试卷（理科）

2018年四川省资阳市高考数学二诊试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|x2＞1}，则A∩（?RB）=（ ） A．{x|﹣2＜x＜1} B．{x|﹣2＜x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x＜1} 2．（5分）复数z满足z（1﹣2i）=3+2i，则=（ ） A．

B．

C．

D．

3．（5分）已知命题p：?x0∈R，x0﹣2＜lgx0；命题q：?x∈（0，1），则（ ）

A．“p∨q”是假命题 B．“p∧q”是真命题 C．“p∧（?q）”是真命题

D．“p∨（?q）”是假命题

，

4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．π

5．（5分）设实数x，y满足，则x﹣2y的最小值为（ ）

A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1

6．（5分）为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：

第1页（共24页）

根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ） A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果 B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果 C．药物A、B对该疾病均有显著的预防效果 D．药物A、B对该疾病均没有预防效果

7．（5分）某程序框图如图所示，若输入的a，b分别为12，30，则输出的a=（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

8．（5分）箱子里有3双颜色不同的手套（红蓝黄各1双），有放回地拿出2只，记事件A表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A的概率为（ ）

A． B． C． D．

第2页（共24页）

9．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=120°，AB=AC=1，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为（ ） A．

B．

C．

D．

，

10．（5分）过抛物线C1：x2=4y焦点的直线l交C1于M，N两点，若C1在点M，N处的切线分别与双曲线C2：线C2的离心率为（ ） A． B．

C．

D．

=，若

=1（a＞0，b＞0）的渐近线平行，则双曲

11．（5分）边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足M为△ABC边上的点，点P满足|A．

B．

C．

D．

，则|MP|的最大值为（ ）

12．（5分）已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（其中ω≠0）的一个对称中心的坐标为

，一条对称轴方程为

；

．有以下3个结论：

①函数f（x）的周期可以为

②函数f（x）可以为偶函数，也可以为奇函数； ③若

，则ω可取的最小正数为10．

其中正确结论的个数为（ ） A．0

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）二项式

的展开式中x5的系数为 ．

B．1

C．2

D．3

14．（5分）由曲线y=x2和直线y=1所围成的封闭图形面积为 ．

15．（5分）如图，为测量竖直旗杆CD高度，在旗杆底部C所在水平地面上选取相距4

m的两点A，B，在A处测得旗杆底部C在西偏北20°的方向上，旗杆

顶部D的仰角为60°；在B处测得旗杆底部C在东偏北10°方向上，旗杆顶部D的仰角为45°，则旗杆CD高度为 m．

第3页（共24页）

16．（5分）已知函数如果使等式

成立的实数x1，x3分别都有3个，而使该等式成立的实

数x2仅有2个，则

的取值范围是 ．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn=anlog2an，Tn=b1+b2+…+bn，求小值．

18．（12分）某地区某农产品近几年的产量统计如表：

年 份 年份代码t 年产量y（万吨） 2012 2013 2014 2015 2016 2017 1 6.6 2 6.7 3 7 4 7.1 5 7.2 6 7.4 ；

成立的正整数n的最

（1）根据表中数据，建立y关于t的线性回归方程

（2）若近几年该农产品每千克的价格v（单位：元）与年产量y满足的函数关系式为v=4.5﹣0.3y，且每年该农产品都能售完．

第4页（共24页）

①根据（1）中所建立的回归方程预测该地区2018（t=7）年该农产品的产量； ②当t（1≤t≤7）为何值时，销售额S最大？

附：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），…，（tn，yn），其回归直线

的斜

率和截距的最小二乘估计分别为：，．

19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，AA1=A1C=AC，AB=BC，AB⊥BC，E，F分别为AC，B1C1的中点． （1）求证：直线EF∥平面ABB1A1； （2）求二面角A1﹣BC﹣B1的余弦值．

20．（12分）已知椭圆C：（1）求椭圆C的方程； （2）过P作两条直线l1，l2与圆于M，N两点．

①求证：直线MN的斜率为定值；

的离心率，且过点．

相切且分别交椭圆

②求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）． 21．（12分）已知函数f（x）=（1）当

（x＞0，a∈R）．

时，判断函数f（x）的单调性；

（2）当f（x）有两个极值点时， ①求a的取值范围；

②若f（x）的极大值小于整数m，求m的最小值．

第5页（共24页）

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为

参数），在以原点O为极点，以x轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．

（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

（2）设M是曲线C上的一动点，OM的中点为P，求点P到直线l的最小值．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知函数f（x）=|2x+a|+|x﹣2|（其中a∈R）． （1）当a=﹣4时，求不等式f（x）≥6的解集；

（2）若关于x的不等式f（x）≥3a2﹣|2﹣x|恒成立，求a的取值范围．

第6页（共24页）

2018年四川省资阳市高考数学二诊试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|x2＞1}，则A∩（?RB）=（ ） A．{x|﹣2＜x＜1} B．{x|﹣2＜x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x＜1} 【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2＞1}={x|x＞1或x＜﹣1}，

则?RB={x|﹣1≤x≤1}，

则A∩（?RB）={x|﹣1＜x≤1}， 故选：C

2．（5分）复数z满足z（1﹣2i）=3+2i，则=（ ） A．

B．

C．

D．

【解答】解：由z（1﹣2i）=3+2i， 得z=∴故选：A．

3．（5分）已知命题p：?x0∈R，x0﹣2＜lgx0；命题q：?x∈（0，1），则（ ）

A．“p∨q”是假命题 B．“p∧q”是真命题 C．“p∧（?q）”是真命题

D．“p∨（?q）”是假命题

，

．

，

【解答】解：当x=1时，x﹣2=1﹣2=﹣1，lg1=0，满足x0﹣2＜lgx0，即命题p是真命题，

第7页（共24页）

当x＞0时，x+≥2∵x∈（0，1），∴

=2，当且仅当x=，即x=1取等号， ，成立，即q为真命题，

则“p∧q”是真命题，其余为假命题， 故选：B．

4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．π

【解答】解：由题意可知，几何体是半圆柱，底面半圆的半径为1，圆柱的高为2，

所以该几何体的体积为：V=故选：D．

=π．

5．（5分）设实数x，y满足，则x﹣2y的最小值为（ ）

A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1

【解答】解：先根据约束条件实数x，y满足

画出可行域，

由，解得A（1，3）

当直线z=x﹣2y过点A（1，3）时， z最小是﹣5， 故选：A．

第8页（共24页）

6．（5分）为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：

根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ） A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果 B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果 C．药物A、B对该疾病均有显著的预防效果 D．药物A、B对该疾病均没有预防效果

【解答】解：由A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知：

药物A的预防效果优于药物B的预防效果． 故选：B．

7．（5分）某程序框图如图所示，若输入的a，b分别为12，30，则输出的a=（ ）

第9页（共24页）

A．2 B．4 C．6 D．8

【解答】解：模拟程序的运行，可得 a=12，b=30，

a＜b，则b变为30﹣12=18，

不满足条件a=b，由a＜b，则b变为18﹣12=6， 不满足条件a=b，由a＞b，则a变为12﹣6=6， 由a=b=6， 则输出的a=6． 故选：C．

8．（5分）箱子里有3双颜色不同的手套（红蓝黄各1双），有放回地拿出2只，记事件A表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A的概率为（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：分别设3双手套为：a1a2；b1b2；c1c2．a1，b1，c1分别代表左手手套，a2，b2，c2分别代表右手手套．

从箱子里的3双不同的手套中，随机拿出2只，所有的基本事件是： n=6×6=36，共36个基本事件．

第10页（共24页）

事件A包含：（a1，b2），（b2，a1），（a1，c2），（c2，a1），（a2，b1），（b1，a2）， （a2，c1），（c1，a2），（b1，c2），（c2，b1），（b2，c1），（c1，b2），12个基本事件， 故事件A的概率为P（A）=故选：B．

9．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=120°，AB=AC=1，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为（ ） A．

B．

C．

D．

，∴△PAB≌△PAC，PB=PC．

，

=．

【解答】解：∵PA⊥底面ABC，AB=AC=1，

取BC中点D，连接AD，PD，∴PD⊥BC，AD⊥BC，∴BC⊥面PAD． ∴面PAD⊥面PBC，

过A作AO⊥PD于O，可得AO⊥面PBC， ∴∠APD就是直线PA与平面PBC所成角， 在Rt△PAD中，AD=sin故选：D

．

，PA=

，PD=

，

10．（5分）过抛物线C1：x2=4y焦点的直线l交C1于M，N两点，若C1在点M，N处的切线分别与双曲线C2：线C2的离心率为（ ） A． B．

=1（a＞0，b＞0）的渐近线平行，则双曲

C． D．

第11页（共24页）

【解答】解：由双曲线C2：y=±x，

可得两条切线的斜率分别为±， 则两条切线关于y轴对称， 由y=x2的导数为y′=x，

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程

则过抛物线C1：x2=4y焦点（0，1）的直线为y=1， 可得切点为（﹣2，1）和（2，1）， 则切线的斜率为±1， 即a=b，c=则e==故选C．

11．（5分）边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足M为△ABC边上的点，点P满足|A．

B．

C．

D．

=

．

a，

=，若

，则|MP|的最大值为（ ）

【解答】解：如图，由即则

，即

=，得，

，取AB中点G，AC中点H，连接GH，

，

取GH中点K，延长KG到O，使KG=GO，则O为所求点， ∵点P满足|

，M为△ABC边上的点，

∴当M与A重合时，|MP|有最大值为|OA|+|OP|， 而|OA|=

∴|MP|的最大值为故选：D．

第12页（共24页）

， ，

12．（5分）已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（其中ω≠0）的一个对称中心的坐标为

，一条对称轴方程为

；

．有以下3个结论：

①函数f（x）的周期可以为

②函数f（x）可以为偶函数，也可以为奇函数； ③若

，则ω可取的最小正数为10．

其中正确结论的个数为（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

【解答】解：对于①，∵函数f（x）=cos（ωx+φ）（其中ω≠0）的一个对称中心的坐标为∴

，T=

，一条对称轴方程为，故①正确；

，此时f（x）

．

对于②，如果函数f（x（为奇函数，则有f（0）=0，可得φ=kπ+=f（x）=cos（ωx+k

）=±sinωx，函数f（x）不可以为偶函数，故错；

）的一条对称轴为x=

，

对于③，∵函数f（x）=cos（ωx+∴ω?

+

=kπ，解得ω=3k﹣2，k∈Z；

，0），∴ω?

+

=mπ+

，解得ω=12m

又∵函数f（x）一个对称中心为点（﹣2，m∈Z；

由ω＞0可知当m=0，k=4时，ω取最小值10．故正确； 故选：C

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

第13页（共24页）

13．（5分）二项式【解答】解：二项式Tr+1=

?（x3）7﹣r?

=

的展开式中x5的系数为 35 ． 展开式的通项公式为 ?x21﹣4r，

令21﹣4r=5，解得r=4； ∴展开式中x5的系数为 =35． 故答案为：35．

14．（5分）由曲线y=x2和直线y=1所围成的封闭图形面积为 【解答】解：联立方程组

，解得

或

，

=． ．

∴曲线y=x2与直线y=x围成的封闭图形的面积为S=故答案为：

15．（5分）如图，为测量竖直旗杆CD高度，在旗杆底部C所在水平地面上选取相距4

m的两点A，B，在A处测得旗杆底部C在西偏北20°的方向上，旗杆

顶部D的仰角为60°；在B处测得旗杆底部C在东偏北10°方向上，旗杆顶部D的仰角为45°，则旗杆CD高度为 12 m．

【解答】解：如图所示，设CD=x 在Rt△BCD，∠CBD=45°，

第14页（共24页）

∴BC=x，

在Rt△ACD，∠CAD=60°， ∴AC=

=

，

在△ABC中，∠CAB=20°，∠CBA=10°，AB=4∴∠ACB=180°﹣20°﹣10°=150°，

由余弦定理可得AB2=AC2+BC2﹣2AC?BC?cos150°， 即（4

）2=x2+x2+2?

?x?

=x2，

解得x=12， 故答案为：12．

16．（5分）已知函数

如果使等式

成立的实数x1，x3分别都有3个，而使该等式成立的实

数x2仅有2个，则

的取值范围是 （1，3] ．

【解答】解：当﹣3≤x≤0时，y=﹣x（x+2）2的导数为y′=﹣（x+2）（3x+2）， 可得﹣2＜x＜﹣时，函数递增；﹣3＜x＜﹣2，﹣＜x＜0，函数递减； 当x＞0时，y=2ex（4﹣x）﹣8的导数为y′=2ex（3﹣x）， 当x＞3时，函数递减；0＜x＜3时，函数递增， x=3时，y=2e3﹣8， 作出函数f（x）的图象，

第15页（共24页）

等式=k表示点（﹣4，0），（﹣2，0），（﹣，0）与

f（x）图象上的点的斜率相等，

由（﹣3，3）与（﹣4，0）的连线与f（x）有3个交点， 且斜率为3，则k的最大值为3；

由题意可得，过（﹣2，0）的直线与f（x）的图象相切，转到斜率为3的时候， 实数x2仅有2个，

设切点为（m，n），（﹣2＜m＜0）， 求得切线的斜率为﹣（m+2）（3m+2）=解得m=﹣1，

此时切线的斜率为1， 则k的范围是（1，3]． 故答案为：（1，3]．

，

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2．

第16页（共24页）

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn=anlog2an，Tn=b1+b2+…+bn，求小值．

【解答】（12分）解：（1）当n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1=2，

当n≥2时，Sn=2an﹣2，Sn﹣1=2an﹣1﹣2．则an=2an﹣2an﹣1，所以an=2an﹣1， 所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列． 故（2）则

．（4分）

，

①

②

①﹣②得：所以由

．

得2n+1＞52．

=

=2n+1﹣n?2n+1﹣2． 成立的正整数n的最

由于n≤4时，2n+1≤25=32＜52；n≥5时，2n+1≥26=64＞52． 故使

18．（12分）某地区某农产品近几年的产量统计如表：

年 份 年份代码t 年产量y（万吨） 2012 2013 2014 2015 2016 2017 1 6.6 2 6.7 3 7 4 7.1 5 7.2 6 7.4 ；

成立的正整数n的最小值为5．（12分）

（1）根据表中数据，建立y关于t的线性回归方程

（2）若近几年该农产品每千克的价格v（单位：元）与年产量y满足的函数关系式为v=4.5﹣0.3y，且每年该农产品都能售完．

①根据（1）中所建立的回归方程预测该地区2018（t=7）年该农产品的产量； ②当t（1≤t≤7）为何值时，销售额S最大？

附：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），…，（tn，yn），其回归直线

第17页（共24页）

的斜

率和截距的最小二乘估计分别为：，．

【解答】解：（1）由题意可知：

，

，

=（﹣2.5）×（﹣0.4）+（﹣1.5）×（﹣0.3）+0+0.5×0.1+1.5

×0.2+2.5×0.4=2.8，

=（﹣2.5）2+（﹣1.5）2+（﹣0.5）2+0.52+1.52+2.52=17.5．

，，又，得，

∴y关于t的线性回归方程为（2）①由（1）知

．（6分）

，当t=7时，

，

即2018年该农产品的产量为7.56万吨．

②当年产量为y时，销售额S=（4.5﹣0.3y）y×103=（﹣0.3y2+4.5y）×103（万元）， 当y=7.5时，函数S取得最大值，又因y∈{6.6，6.7，7，7.1，7.2，7.4，7.56}， 计算得当y=7.56，即t=7时，即2018年销售额最大．（12分）

19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，AA1=A1C=AC，AB=BC，AB⊥BC，E，F分别为AC，B1C1的中点． （1）求证：直线EF∥平面ABB1A1； （2）求二面角A1﹣BC﹣B1的余弦值．

第18页（共24页）

【解答】（12分）（1）证明：取A1C1的中点G，连接EG，FG，由于E，F分别为AC，B1C1的中点，

所以FG∥A1B1．又A1B1?平面ABB1A1，FG?平面ABB1A1，所以FG∥平面ABB1A1．又AE∥A1G且AE=A1G，

所以四边形AEGA1是平行四边形．

则EG∥AA1．又AA1?平面ABB1A1，EG?平面ABB1A1， 所以EG∥平面ABB1A1．

所以平面EFG∥平面ABB1A1．又EF?平面EFG， 所以直线EF∥平面ABB1A1．（6分） （2）解：令AA1=A1C=AC=2，

由于E为AC中点，则A1E⊥AC，又侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1E?平面A1AC，

则A1E⊥平面ABC，连接EB，可知EB，EC，EA1两两垂直．以E为原点，分别以EB，EC，EA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，），A（0，﹣1，0），所以

，

，

，

．

令平面A1BC的法向量为由

则

=（x1，y1，z1），

令

，则

=（

，

，1）．

令平面B1BC的法向量为

=（x2，y2，z2），

第19页（共24页）

由则令，则=（，，﹣1）．

由cos

=

=，故二面角A1﹣BC﹣B1的余弦值为．（12分）

20．（12分）已知椭圆C：（1）求椭圆C的方程； （2）过P作两条直线l1，l2与圆于M，N两点．

①求证：直线MN的斜率为定值；

的离心率，且过点．

相切且分别交椭圆

②求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）． 【解答】（12分）解：（1）由因为C过点

，所以

，设椭圆的半焦距为c，所以a=2c，

，又c2+b2=a2，解得

，

所以椭圆方程为．（4分）

（2）①显然两直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，M（x1，y1），N（x2，y2）， 由于直线l1，l2与圆

相切，则有k1=﹣k2，

直线l1的方程为消去y，得

，联立方程组

，

，

因为P，M为直线与椭圆的交点，所以

同理，当l2与椭圆相交时，

，

所以，而，

第20页（共24页）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/os6v.html