2019年山东聊城中考数学试题（解析版）

{来源}2019年山东省聊城市中考数学试卷 {适用范围:3． 九年级}

{标题}2019年山东省聊城市中考数学试卷

考试时间：120分钟 满分：120分

{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，合计36分．

{题目}1．（2019年聊城T1）－2的相反数是（ ）

A．?2 2B．

2 2

C．－2

D．2

{答案}D

{解析}本题考查了实数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数．－2的相反数是2，因此本题选D． {分值}3

{章节: [1-1-2-3]相反数} {考点:相反数的定义} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}2．（2019年聊城T2）如图所示的几何体的左视图是（ ）

A． B． C． D． {答案}B

{解析}本题考查了几何体的三视图．我们从不同的方向观察同一物体时，把从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，因此本题选B． {分值}3

{章节:[1-29-2]三视图 } {考点:简单几何体的三视图} {{类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}3．（2019年聊城T3）如果分式

x?1的值为0，那么x的值为（ ） x?1 A．－1 B．1 C．－1或1 D．1或0{答案}B

{解析}本题考查了分式的值为0的条件．当分式的分子为0，分母不为0时，则分式的值为0，易错点是忽视了分母不为0．因为分式{分值}3

{章节: [1-15-1]分式} {考点:分式的值}

x?1的值为0，所以x?1＝0且x?1≠0，即x＝1，因此本题选B． x?1{类别:易错题} {难度:2-简单}

{题目}4．（2019年聊城T4）在光明中学组织的全效师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数和众数分别是（ ） A．96分，98分 B．97分，98分 C．98分，96分 D．97分，96分

人数/人98530100989694分数/分{答案}A

{解析}本题考查了中位数和众数．一组数据中按照从大到小（或从小到大）的顺序排列，若有奇数个数据，则最中间的那个数就是中位数，若有偶数个数据，则中间两个数的平均数是中位数；一组数据中出现次数最多的那个数或那几个数是这组数据的众数．从统计图中可以看出这25个数中有3个100分，9个98分，8个96分，5个94分，所以中位数为96分，众数为98分，因此本题选A． {分值}3

{章节:[1-20-1-2]中位数和众数 } {考点:中位数} {考点:众数} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}5．（2019年聊城T5）下列计算正确的是（ ）

A．a?a?2a C．??6612

B．2?2?25?28?32

73?12?ab????2a2b??a3b3 ?2? D．a2???a??a11??a20

{答案}D

{解析}本题考查了合并同类项、同底数幂乘法和除法、幂的乘方、积的乘方以及单项式乘单项式等知识点．A．a?a?2a，故A错误；B．2?2?2?2?2?2?2，故B错误；C．??31?12?ab????2a2b???ab2???8a6b3??4a7b5，故C错误；

2?2?7666?258?2?58D．a2???a??a11??a2?a7?a11??a20，故D正确；因此本题选D． {分值}3

{章节:[1-14-1]整式的乘法 } {考点:同底数幂的乘法} {考点:同底数幂的除法} {考点:幂的乘方} {考点:积的乘方}

{考点:单项式乘以单项式} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}6．（2019年聊城T6）下列各式不成立的是（ ）

A．18?C．87?2 93

B．2?D．22?2 338?18?4?9?5 21?3?2 3?2{答案}C

{解析}本题考查了二次根式的加减，A．18?B．2?8227?32??2，故A正确；933282628?1822?3252???2???5，故C错误；，故B正确；C．33332221?D．3?2?3?2??3?23?2??3?2，故D正确；因此本题选C．

{分值}3

{章节: [1-16-3]二次根式的加减} {考点:分母有理化} {考点:同类二次根式} {考点:二次根式的加减法} {类别:易错题} {难度:2-简单}

?x?1x＜?1,?{题目}7．（2019年聊城T7）若不等式组?3 无解，则m的取值范围为（ ） 2??x＜4m A．m≤2

{答案}A

B．m＜2

C．m≥2

D．m＞2

{解析}本题考查了解一元一次不等式组以及不等式组解集，解

x?1x＜?1得x＞8，而不等式组32?x?1x＜?1,? 无解，则4m≤8，解得m≤2，因此本题选A． 32???x＜4m{分值}3

{章节:[1-9-3]一元一次不等式组 } {考点:解一元一次不等式组} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}8．（2019年聊城T8）如图，BC是半圆O的直径，D、E是BC 上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（ ） A．35° B．38° C．40° D．42°

ADEBOC{答案}C

{解析}本题考查了三角形内角和定理以及圆周角等知识．在△ABC中，∠B＋∠C＝180°－∠A＝110°，由“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半”，故∠B＝∠DOC，∠C＝

1211111∠BOE，所以∠B＋∠C＝∠DOC＋∠BOE＝（∠DOC＋∠BOE）＝222221（180°＋∠DOE）＝90°＋∠DOE，所以∠DOE＝40°，因此本题选C．

2{分值}3

{章节: [1-24-1-4]圆周角} {考点:多边形的内角和} {考点:圆周角定理} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}9．（2019年聊城T9）若关于x的一元二次方程?k?2?x?2kx?k?6有实数根，则k的取值

2范围为（ ） A．k≥0

C．k≥

B．k≥0且k≠2 D．k≥

3 23且k≠223且k≠2，因此本题选D． 2{答案}D

{解析}本题考查了一元二次方程的根的判别式，易错点是忽视了二次项系数不为0的要求．由题意得：??2k??4?k?2??k?6?≥0且k－2≠0，解得k≥

2{分值}3

{章节:[1-21-2-2]公式法} {考点:根的判别式} {类别:易错题} {难度:3-中等难度}

{题目}10．（2019年聊城）某快递公司每天上午9:00-10:00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图像如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（ ） A．9:15 B．9:20 C．9:25 D．9:30

y/件400甲240乙40O60x/分{答案}B

{解析}本题考查了运用待定系数法求一次函数的表达式以及解二元一次方程组等知识．根据图像信息可求出y甲＝6x＋40，y乙＝－4x＋240，当y甲＝y乙时，解得x＝20，即9:20时两仓库快递件数相同，因此本题选B． {分值}3

{章节: [1-19-3]一次函数与方程、不等式} {考点:待定系数法求一次函数的解析式} {考点:一次函数与二元一次方程组} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}11．（2019年聊城）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中错误的是（ ） A．AE＋AF＝AC B．∠BEO＋∠OFC＝180°

C．OE＋OF＝

2BC 2

D．S四形AEOF?1S2ABC

AEAFBOCBOC{答案}C

{解析}本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及全等三角形的判定的知识点．由题意易证△AOE≌△COF、△BEO≌△AFO，所以AE＝CF，BE＝AF．所以A．AE＋AF＝CF＋AF＝AC，B．∠BEO＋∠OFC＝∠BEO＋∠OEA＝180°，C．OE＋OF＝2OE≠

12BC，D．S四形AEOF?S22ABC，因此本题选C．

{分值}3

{章节: [1-13-2-1]等腰三角形}

{考点:全等三角形的判定ASA,AAS} {考点:三线合一}

{考点:等腰直角三角形} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}12．（2019年聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且

AC1=，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最CB3小的点P的坐标为（ ）

A．（2，2）

yACPBxB．（，）

5522C．（，）

8833D．（3，3）

OD{答案}C

{解析}本题考查了轴对称的性质及一次函数与二元一次方程组的知识．四边形PDBC的周长＝BD＋DP＋PC＋CB，其中BD、CB为定值，使四边形PDBC周长最小，只需DP＋PC的和最小．作点D关于AO的对称点D′，点P为线段OA和线段CD′的交点．由题意得yOA＝x，yCD′＝交点P的坐标（，），因此本题选C． {分值}3

{章节:[1-19-3]一次函数与方程、不等式 } {考点:待定系数法求一次函数的解析式} {考点:一次函数与二元一次方程组} {考点:作图－轴对称} {考点:代数选择压轴} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}

yP1D'PDBxAC1x?2，所以它们的48833O

{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，合计15分． ?11?5{题目}13．（2019年聊城）计算：?????＝ ．

?32?4{答案}?2 32255?11?5???＝??＝?，因此本题答案为?．

3364?32?4{解析}本题考查了有理数的混合运算，有括号的先算括号内，先乘方再乘除后加减，同一级运算从左至右运算．??{分值}3

{章节:[1-1-4-2]有理数的除法}

{考点:有理数加减乘除乘方混合运算} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}14．（2019年聊城）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为 ．

A22B2C{答案}120°

{解析}本题考查了由视图到实物、圆锥侧面展开图等有关知识．由视图可知该圆锥的底面半径为1，高为22，根据勾股定理可算出母线为1?22图的弧长为：

2??2?3，所以底面周长为2π×1＝2π，侧面展开

n??3，因此本题答案为120°． ?2?，所以n＝120，即侧面展开图的圆心角为120°

180{分值}3

{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:几何体的展开图} {考点:勾股定理}

{考点:圆锥侧面展开图} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}15．（2019年聊城）在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加100米比赛，预赛分A，B，C，D四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是 ．{答案}

1 4{解析}本题考查了运用列表或画树状图求简单事件的概率，如下表所示，共有16种情况，其中小亮和大刚恰好抽到同一个组有4中，所以他俩抽到同一个的概率为

A B C D A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） 411＝，因此本题答案为． 1644

{分值}3

{章节:[1-25-2]用列举法求概率} {考点:两步事件放回} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}16．（2019年聊城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，DE为△ABC的中位线，延长BC至F，使得CF＝为 ．

1BC，连接FE并延长交AB于点M．若BC＝a，则△FMB的周长2FCEA{答案}

MDB9a 2{解析}本题考查了锐角三角函数、等边三角形的判定等知识．由题意可知CF＝

11a，BF＝a＋a223a33CE1a，在Rt△CEF中，tan∠CFE＝?2?3，所以锐角∠CFE＝＝a，CE＝CA＝122CF2a239960°，而∠B＝60°，故△BFM为等边三角形，所以其周长为3×a＝a，因此本题答案为a．

222{分值}3

{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:三角形中位线}

{考点:特殊角的三角函数值} {考点:等边三角形的判定} {类别:常考题} {{难度:2-简单}

{题目}17．（2019年聊城）数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动，第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处．按照这样的规律继续跳动到点A1，A2，A3，…，An（n≥3，n是整数）处，那么线段的长度AnA为 （n≥3，n是整数）．

POA3A2A1A{答案}4?12n?2

1111An－1O＝2An－2O＝…＝n?1A1O＝nAO，2222114所以AnA＝AO－AnO＝4－n＝4?n?2，因此本题答案为4?n?2．

222{解析}本题考查了探究数式规律．由题意可知AnO＝{分值}3

{章节:[1-2-1]整式}

{考点:规律－数字变化类} {考点:几何填空压轴} {类别:发现探究} {难度:4-较高难度}

{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共8小题，合计69分． 6?a?3?1?2?{题目}18．（2019年聊城）计算：1??． ?2a?3a?9a?6a?9??{解析}本题考查了分式的混合运算．本题先算括号内的，分式的除法要化为乘法，易错的地方是整

式减分式，将整式看成是分母为1的分式，通分后再计算．本题先算括号内，再算除法，最后算减法．

{答案}解： 原式＝1?a?3a?3 ?22a?9?a?3?2?a?3? a?3?＝1??a?3??a?3?a?3＝1?a?36＝． a?3a?3{分值}7

{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{考点:两个分式的乘除} {考点:两个分式的加减} {考点:分式的混合运算}

{题目}19．（2019年聊城）学习一定要讲究方法，比如有效的预习可大幅提高听课效率．九年级（1）班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况，对该校九年级学生每天的课前预习时间（单位：min）进行了抽样调查，并将抽查得到的数据分成5组，下面是未完成的频数，频率分布表和频数分布扇形图： 组别 课前预习时间t/min 频数（人数） 频率 1 2 0≤t＜10 2 a 0.10 10≤t＜20 3 16 0.32 20≤t＜30 4 b c 30≤t＜40 5 3 t≥40 4组5组1组2组115.2°3组请根据图表中的信息，回答下列问题：

（1）本次调查的样本容量为 ，表中的a＝ ，b＝ ，c＝ ； （2）试计算第4组人数所对应的扇形圆心角的度数；

（3）该校九年级共有1000名学生，请估计这些学生中每天课前预习时间不少于20min的学生人数．

{解析}本题考查了统计的有关知识，涉及到频数、频率、扇形统计图中的圆心角计算以及用样本估计总体的统计思想．（1）运用“频数÷样本容量＝频率”、“频数之和等于样本容量”、“频率之和等于1”，这几个公式直接求得；（2）运用“频率×360°＝对应扇形圆心角的度数”直接求得；（3）用样本的估计总体的思想． {答案}解：（1）50，5，24，0.48； （2）

24×360°＝172.8°． 50答：第4组人数所对应的的扇形圆心角的度数为172.8°．

（3）由数据知每天课前预习时间不少于20min的人数的频率为

1?2?0.10?0.86 ，∴1000×0.86＝860（人）． 50答：九年级每天课前预习时间不少于20min的学生约有860人． {分值}8

{章节:[1-10-1]统计调查} {难度:2-简单} {类别:常考题} {考点:频数与频率} {考点:条形统计图} {考点:扇形统计图}

{考点:用样本估计总体}

{题目}20．（2019年聊城）某商城的运动服装专柜，对A，B两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：

第一次 第二次 20 30 A品牌运动服装数/件 30 40 B品牌运动服装数/件 10200 14400 累计采购款/元 （1）问A，B两种品牌运动服的进货单价各是多少元？ （2）由于B品牌运动服的销量明显好于A品牌，商家决定采购B品牌的件数比A品牌件数的

3倍多52件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件B品牌运动服？

{解析}本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用．（1）分别设出A，B两种品牌运动服的进货单价，根据图表列出方程组求解；（2）设购进A品牌运动服的件数，根据题意列出不等式求解．

{答案}解： （1）设A，B两种品牌运动服的进货单价分别为x元和y元．根据题意，得

?20x?30y?10200, 解之，得 ??30x?40y?14400?x?240, ??y?180.经检验，方程组的解符合题意．

答：A，B两种品牌运动服的进货单价分别为240元和180元． （2）设购进A品牌运动服m件，则购进B品牌运动服（∴204m＋180（解得，m≤40．

经检验，不等式的解符合题意．所以答：最多能购进65件B品牌运动服． {分值}8

{章节:[1-9-2]一元一次不等式} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:二元一次方程组的应用} {考点:不等式的简单应用问题}

3m?5）件， 23m?5）≤21300， 233m?5≤?40?5＝65． 22{题目}21．（2019年聊城）在菱形ABCD中，点P时BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，

连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF． 求证：（1）△ABF≌△DAE； （2）DE＝BF＋EF．

AEDF

{解析}本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质．（1）△ABF≌△DAE可由“ASA”证出；（2）由△ABF≌△DAE可得出AE＝BF，DE＝AF，易证出DE＝BF＋EF．

{答案}证明： （1）∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD，AD∥BC， ∴∠BPA＝∠DAE．

在△ABP和△DAE中，又∵∠ABC＝∠AED， ∴∠BAF＝∠ADE．

∵∠ABF＝∠BPF且∠BPA＝∠DAE， ∴∠ABF＝∠DAE， 又∵AB＝DA，

∴△ABF≌△DAE（ASA）． （2）∵△ABF≌△DAE， ∴AE＝BF，DE＝AF．

BPC∵AF＝AE＋EF＝BF＋EF， ∴． {分值}8

{章节:[1-18-2-2]菱形} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {考点:菱形的性质}

{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}

{题目}22．（2019年聊城）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，CD部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°，底端D点的仰角为30°，在同一剖面水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4°（如图②所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）

（参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4≈0.45，tan63.4°≈2.00，2≈1.41，3≈1.73）

CDA45°30°63.4°BE 图① 图②

{解析}本题考查了解直角三角形的实际应用．根据题意构造出直角三角形，根据几个仰角的正切值列出方程求解．

{答案}解：设楼高CE为x米． ∵在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴AE＝CE＝x， ∴AB＝20，∴BE＝x－20， 在Rt△CEB中，CE＝BE·tan63.4°≈2（x－20）． ∴2（x－20）＝x． 解得x＝40米．

在Rt△DAE中，DE＝AE·tan30°＝40×∴CD＝CE－DE＝40－

3403＝， 33403≈17米． 3答：大楼部分楼体CD的高度约为17米． {分值}8

{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}

{题目}23．（2019年聊城）如图，点A（

3n

，4），B（3，m）是直线AB与反比例函数y?（x＞2x

0）图像的两个交点．AC⊥x轴，垂足为点C，已知D（0，1），连接AD，BD，BC．

（1）求直线AB的表达式；

（2）△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2，求S2－S1．

yABDOCx

{解析}本题考查了运用待定系数法求反比例函数、一次函数的表达式，在平面直角坐标系中求几何图形的面积．（1）先由A点坐标求出反比例函数的表达式，再求出B点坐标，最后运用待定系数法求直线AB的表达式；（2）△ABC的面积可由“底乘高除以2”直接求得，△ABD的面积运用“补”的思想求出．

{答案}解：（1）由点A、B在反比例函数y?∴4＝

n（x＞0）的图像上， xn，∴n＝6． 32∴反比例函数的表达式为y?将点B（3，m）代入y?6

（x＞0）． x

6得m＝2，∴B（3,2）． x3?4?4?k?b,??k??,设直线AB的表达式为y＝kx＋b，? 解得?23

???2?3k?b?b?6.4∴直线AB的表达式为y??x?6．

333（2）由点A，B的坐标得AC＝4，点B到AC的距离为3－＝．

2213∴S1＝?4?＝3.

22设AB与y轴的交点为E，可得E（0,6），∴DE＝6－1＝5，

33，4），B（3,2）知点A，B到DE的距离分别为，3． 2211315∴S2＝S△BCD－S△ACD＝?5?3－?5?＝．

2224153S2－S1＝－3＝．

44由点A（

{分值}8

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {难度:3-中等难度}

{类别:常考题}

{考点:反比例函数的解析式}

{考点:反比例函数与一次函数的综合}

{题目}24．（2019年聊城）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E． （1）求证：EC＝ED；

（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．

BODCEAF

{解析}本题考查了圆与相似的综合运用．（1）要证EC＝ED，只需证∠CDE＝∠ACE，而∠ODA＝∠CDE，∠OCA＋∠ACE＝90°，这个可以通过．可以由CE与 ⊙O相切证出；（2）要求弦AC的长，可以通过Rt△AOD∽Rt△ACB列出等式求出． {答案}解：（1）证明：连接OC， ∵CE与 ⊙O相切，OC是⊙O的半径， ∴OC⊥CE，∴∠OCA＋∠ACE＝90°． ∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA， ∴∠ACE＋∠A＝90°．

∵OD⊥AB，∴∠ODA＋∠A＝90°．

又∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CDE＋∠A＝90°． ∴∠CDE＝∠ACE，∴EC＝ED．

（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°． 在Rt△DCF中，∠DCE＋∠ECF＝90°，又∠DCE＝∠CDE， ∴∠CDE＋∠ECF＝90°，又∵∠CDE＋∠F＝90°， ∴∠ECF＝∠F，∴EC＝EF． ∵EF＝3，∴EC＝DE＝3.

在Rt△OCE中，OC＝4，CE＝3， ∴OE＝OC?EC＝4?3＝5. ∴OD＝OE－DE＝2.

在Rt△OAD中，AD＝OA?OD＝4?2＝25. 在Rt△AOD和Rt△ACB中，∵∠A＝∠A，∴Rt△AOD∽Rt△ACB， ∴

2222

2222AOAD425165??，即，∴AC＝． AC85ACABBODCEAF{分值}10

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {难度:4-较高难度} {类别:常考题}

{考点:直径所对的圆周角} {考点:切线的判定} {考点:等角对等边} {考点:勾股定理}

{考点:圆与相似的综合}

{题目}25．（2019年聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（－2，0）、点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线，线段BC以及x轴于点P，D，E． （1）求抛物线的表达式；

（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标； （3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．

ylCPFDAOEBx

{解析}本题考查了二次函数与三角形相似性质等知识，属于二次函数的综合题．（1）运用待定系数法直接求二次函数的表达式；（2）由于相似三角形的对应元素不确定，所以要分类讨论，根据相似的性质列出方程求解；（3）先运用相似三角形的面积比等于相似比的平方，用△BOC的面积表示出△DFP的面积，表达式是一个二次函数，求出这个二次函数的最值即可．

{答案}解： （1）由已知，将C（0,8）代入y?ax?bx?c，∴c＝8， 将点A（－2,0）和B（4,0）代入y?ax?bx?8，得

22?4a?2b?8?0, ?16a?4b?8?0,??a??1,解得?

?b?2.∴抛物线的表达式为y??x?2x?8．

（2）∵A（－2,0），C（0,8），∴OA＝2，OC＝8. ∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，

∵∠PAE≠∠CAO，∴只有当∠PAE＝∠ACO时，△PEA∽△AOC， 此时

2AEPEAEPE?? ，即，∴AE＝4PE． COAO82设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k，∴OE＝4k－2，

∴P点的坐标为（4k－2，k），将P（4k－2，k）代入y＝－x2+2x+8，得

－（4k－2）2＋2（4k－2）＋8＝k，

23． 16152323当k＝时，4k－2＝4×－2＝．

416161523∴P点的坐标为（，）．

416解得k1＝0（舍去），k2＝

（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°， ∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠OCB， ∴Rt△PFD∽Rt△BOC，

S∴SPFDBOC?PD?=?? ，∴S?BC?2?PD?=PFD???S?BC?2BOC．

2222由B（4,0），知OB＝4，又OC＝8，∴BC＝OB?OC＝4?8＝45，

11=OB?OC=×4×8＝16. BOC2221?PD?∴SPFD=??16?PD2 ?5?45?又S∴当PD最大时，S△PFD最大．

由B（4,0），C（0,8）可解得BC所在直线的表达式为y＝－2x＋8. 设P（m，－m2＋2m＋8），则D（m，－2m＋8），

∴PD＝－m2＋2m＋8－（－2m＋8）＝－m2＋4m＝－（m－2）2＋4. ∴当m＝2时，PD有最大值4. ∴当PD＝4时，?SPDF?最大 ＝

116×42＝ ． 55{分值}12

{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {难度:5-高难度} {类别:常考题}

{考点:二次函数的三种形式} {考点:二次函数中讨论相似} {考点:相似三角形面积的性质} {考点:代数综合}

－（4k－2）2＋2（4k－2）＋8＝k，

23． 16152323当k＝时，4k－2＝4×－2＝．

416161523∴P点的坐标为（，）．

416解得k1＝0（舍去），k2＝

（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°， ∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠OCB， ∴Rt△PFD∽Rt△BOC，

S∴SPFDBOC?PD?=?? ，∴S?BC?2?PD?=PFD???S?BC?2BOC．

2222由B（4,0），知OB＝4，又OC＝8，∴BC＝OB?OC＝4?8＝45，

11=OB?OC=×4×8＝16. BOC2221?PD?∴SPFD=??16?PD2 ?5?45?又S∴当PD最大时，S△PFD最大．

由B（4,0），C（0,8）可解得BC所在直线的表达式为y＝－2x＋8. 设P（m，－m2＋2m＋8），则D（m，－2m＋8），

∴PD＝－m2＋2m＋8－（－2m＋8）＝－m2＋4m＝－（m－2）2＋4. ∴当m＝2时，PD有最大值4. ∴当PD＝4时，?SPDF?最大 ＝

116×42＝ ． 55{分值}12

{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {难度:5-高难度} {类别:常考题}

{考点:二次函数的三种形式} {考点:二次函数中讨论相似} {考点:相似三角形面积的性质} {考点:代数综合}

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/os08.html