典例剖析(两角和与差的三角函数习题课)
更新时间:2023-05-15 14:13:01 阅读量:3 实用文档 文档下载
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数学
[例1]求值:(1)2cos10 sin20 sin75 cos75 ;(2). sin70 sin75 cos75
选题意图:考查两角和与差三角函数公式的应用和三角函数关系式的变形能力. 解:(1)原式 2cos10 sin20 cos20
2cos(30 20 ) sin20
cos20 cos20 sin20 sin20 3cos20
tan75 1tan75 tan45 (2)原式tan75 1tan75 tan45 1
tan120 tan60 3
说明:在三角函数关系式的变形过程中,要注意统一角、统一函数,要注意角与角之间的和、差、倍、半关系和特殊角之间的关系等.
[例2]已知3sinβ=sin(2α+β)且tanα=1,求tan(α+β).
选题意图:考查两角和与差的三角函数公式的应用和三角函数关系式的变形能力. 解:由3sinβ=sin(2α+β)即3sin[(α+β)-α]=[sin(α+β)+α] 得:3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα
=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα
∴2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα
∴tan(α+β)=2tanα
又tanα=1 ∴tan(α+β)=2
说明:本题解法的关键是要注意到β=(α+β)-α,2α+β=(α+β)+α. [例3]已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为tanα,tanβ且α,β∈ (- ,),求sin2(α+β)+sin(α+β)cos(α+β)+2cos2(α+β)的值. 22
tan tan 4a tan tan 3a 1选题意图:考查两角和三角函数公式和平方关系的应用. 解:根据韦达定理
tan( ) tan tan 4a4 1 tan tan 3a3
sin2( ) sin( )cos( ) 2cos2( )
sin2( ) sin( )cos( ) 2cos2( ) sin2( ) cos2( )
164 22tan( ) tan( ) 246 .21625tan( ) 1 19
说明:解题的整个过程就是统一角,统一函数的过程.
[例4]求sin18°和cos36°的值.
数学
解:∵sin36°=cos54°
即sin(2×18°)=cos(3×18°)
2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°
∵cos18°≠0
∴2sin18°=4cos218°-3
整理得4sin218°+2sin18°-1=0
sin18 5 1 1(sin18 0舍去)44 1cos36 cos(2 18 ) 1 2sin218 4
说明:本题通过二倍角和三倍角公式构造了关于sin18°的方程求解,但利用sin54°=cos36°很难解出sin18°.在解决三角函数问题的过程中也要适当注意一些代数方法的使用.
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