青岛市2022年高三统一质量检测数学参考答案

数学答案第1页（共6页）青岛市2020年高三统一质量检测

数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

B A

C A C

D D A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

9．BD 10．ACD 11．BCD 12．AD

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．4≤a ；14．1-；15．18；16．（1）3；（2）125

；四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

解：（1）设数列{}n a 的为d ，在数列{}n a 中，3236

S S a -==又因为2123321236S a a a d a d d =+=-+-=-=，所以2

d =从而1322a a d =-=，所以2(1)22n a n n

=+-?=由112a b =得：111

b T ==因为22141133b T T =-=-=，设数列{}n b 的公比为q 所以2113

b q b ==，所以11111()()33n n n b --=?=（2）由（1）知：1()(1)2+==+k k k a a S k k 所以(1)6k S k k k =+<，整理得250k k -<，解得05

k <<又因为111(1)31313(1)12322313-?-

==-=-?-k k k k T 所以131132239k k T -=->?，即11139k -<，解得3k >所以4k =18．（本小题满分12分）

解：（1）在ABC ?中，由余弦定理知：2222cos +-=b c a bc A ，

所以222cos (1tan )=-b bc A A ，所以(cos sin )

b c A A =-又由正弦定理知：

sin sin =b B c C

，得sin sin (cos sin )B C A A =-所以sin()sin (cos sin )A C C A A +=-

数学答案第2页（共6页）即：sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C C A C A +=-所以sin cos sin sin A C C A

=-因为sin 0A ≠，所以cos sin C C =-，所以tan 1C =-又因为0C π<<，所以34C π=

（2）若选择条件①4

ABC S ?=因为1134sin sin 224ABC S ab C ab π?===

，所以ab =

由余弦定理知：22223402cos 4c a b ab π===+-

所以2240

a b ++=

由2240a b ab ?++=??=??

，解得：4a b =???=??

4a b ?=??=??因为>B A ，所以b a >

，所以4

a b ?=??=??

，所以CD =在ACD ?中2222cos =+-??AD CA CD CA CD

C 316224264π=+-??=

所以AD =若选择条件②：25

cos 5B =因为25cos 5B =，所以5sin 5

=B 又因为10

sin sin()sin cos sin cos 10=+=+=

A B C B C C B 由正弦定理知：sin sin =c a C A

，所以sin sin ==c A a C

在?ABD 中，由余弦定理知：222=2cos +-??AD AB BD AB BD B

解得：=AD 19．（本小题满分12分）

解：（1）证明：因为O 为BE 的中点，所以在等边BCE ?中，⊥OC BE 又因为OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线，所以⊥OC OF 又因为,、=? OF BE O OF BE 平面ABE ，所以⊥OC 平面ABE 因为?OC 平面BCE ，所以平面ABE ⊥平面BCE （2）因为、F O 为中点，所以//OF AE ，又因为OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线，所以⊥OF AB ，

AE ，所以?ABE 为等腰直角三角形连接AO ，==AB AE 1

=OA

数学答案第3页（共6页）因为,⊥?OA BE OA 平面ABE ，平面⊥ABE 平面BCE 且平面 ABE 平面=BCE BE 所以⊥OA 平面BCE

因此，以O 为原点，分别以OE 、

、OA 所在的直线为x 、y 、z 轴建系如图所示：则(0,0,1)A ，(1,0,0)B -，C ，(1,0,0)

E 因为四边形ABCD 为平行四边形，设0

00(,,)D x y z 因为= BC AD

，所以000(,,1)x y z =-所以D

设面ABCD 的一个法向量为(,,)= n x

y z (1,0,1)= BA ，= BC 由0000?+=??=?????+=??=???

x z n

BA x n BC 令1=-y

，则=x =z

，所以1,

=- n 因为C

，(1,0,0)E ，D ，

所以CDE ?的重心为G

的坐标为21(,,)333，22(,,)333=- AG 设直线AG 与平面ABCD 所成角为θ

，则

233sin |cos ,||||35||||n AG n AG n AG θ?=<>===? 20．（本小题满分12分）

解：（1）由已知可得：1234535++++=

=x ，91217212717.25

y ++++==51

19212317421527303i i i x y

==?+?+?+?+?=∑522222211234555

i i x

==++++=∑所以51522153035317.245? 4.5555310

5i i

i i i x y x y b x

x ==-?-??====-?-∑∑所以?17.2 4.53 3.7a y bx =-=-?=所以?? 4.5 3.7y

bx a x =+=+C

D O A B

E x y z F

数学答案第4页（共6页）当6x =时， 4.56 3.730.7y ?+==（百亿元）

所以估计2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额为30.7（百亿元）（2）（ⅰ）由题知，X 的可能取值为：0,1,2(0)(1)(1)==--P X p q (1)(1)(1)==-+-P X p q q p (2)==P X pq

所以X 的分布列为：

X 012P 1--+p q pq 2+-p q pq pq

()0(1)(1)(2)2=?--++-+=+E X p q p q pq pq p q

（ⅱ）因为Y KX

=所以27sin sin ()()()(

)2sin 44πππππ==+=-+=-k k E Y kE X k p q k k k k k k 令11(0,]2=∈t k ，设()2sin ππ=-f t t t ，则()()E Y f t =因为1()2cos 2(cos 2πππππ'=-=-f t t t ，且(02，ππ∈t 所以，当1(0,3∈t 时，()0'>f t ，所以()f t 在区间1(0,)3上单调递增；当11(,)32∈t 时，()0'

在区间11(,)32上单调递减；所以，当13=t 即3=k 时，1()()33

π≤=f t f （百亿元）所以()E Y 取最大值时k 的值为3

21．（本小题满分12分）

解：（1）因为2F 为抛物线2:4D

y x =的焦点，故2(1,0)

F 所以1

c =又因为以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点知：b c

=所以1

a b ==所以椭圆C 的标准方程为：（2）（ⅰ）由题知，因为D 的准线

由抛物线的定义知：1222

AB d d AF BF =+=+又因为22≤+AB AF BF ，等号当仅当2,,A B F 三点共线时成立

数学答案第5页（共6页）所以直线l 过定点2

F

根据椭圆定义得：

1121124++=+++==EF EF FF EF EF FF FF a （ⅱ）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =

因为4,AB EF ==2124

==EF S S AB 若直线l 的斜率存在，则可设直线:(1)l y k x =-(0)k ≠，设1122(,),(,)A x y B x y 由24(1)

y x y k x ?=?=-?得，2222(24)0-++=k x k x k 所以212224++=k x x k ，2122

442k AB x x k +=++=设3344(,),(,)E x y F x y ，由2212(1)x y y k x ?+=???=-?

得，2222(12)4220k x k x k +-+-=则2342412k x x k +=+，2342

2212k x x k -=+

所以2342

22(1)12k EF x k +=-=+

则2212212((0,1242===?∈+EF S S AB k 综上知：21S S 的最大值等于2422．（本小题满分12分）

解：（1）由题知：()(ln 1)2'=+-f x a x x ，(1)20'=-=f a 所以2=a ，2

ln 2)(2+-=x x x x f 所以()2(ln 1)'=+-f x x x ，令()ln 1=+-h x x x ，则11()1-'=-=x h x x x ，当(0,1)∈x 时，()0'>h x ，()h x 在区间(0,1)上单调递增；当(1,2)∈x 时，()0'

所以2()(2)4ln 22ln16ln 0

>=-=->f x f e 又因为()ln 10=+-≤h x x x ，所以ln 1x x ≤-，

数学答案第6页（共6页）所以2()2ln 2f x x x x =-+2222(1)222(1)1x x x x x x ≤--+=-+=-+2<综上知：当(0,2)∈x 时，0()2

<=f x f ，又因为当(0,1)∈x 时，)

1,2(222--∈-+-x x 所以()0'>g x ，()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(1)1g x g <=由（1）可知：()0f x >，又(0,1)x ∈，()()0g x xf x ∴=>综上可知：0()1

g x <<（3）由（1）（2）知：

若(0,1)∈x ，1(1)()2f f x =<<，若(1,2)∈x ，0(2)()(1)1

<<<=f f x f 因为1(0,1)a ∈，21()(1,2)a f a ∴=∈，32()(01)a f a =∈，

，43()(1,2)a f a =∈，……，所以*

212(0,1),(1,2),N

k k a a k -∈∈∈当2=n k 时，12312342121321()()()()()()1--???????=???=???

1231234232221132321()()()()()()1-----???????=???=???

==??????<∑n i n i a

a a a

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